高考試題分類解析PAGE考點35立體幾何中的向量方法一、簡答題1.(2017·全國乙卷理科·T18)如圖,在四棱錐PABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)證明:平面PAB⊥平面PAD.(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角APBC的余弦值.【命題意圖】本題主要考查面面垂直的證明,考查如何建立空間直角坐標系,確定相關點的坐標,利用法向量求二面角的余弦值.【解析】(1)因為∠BAP=∠CDP=90°,所以PA⊥AB,PD⊥CD,又因為AB∥CD,所以PD⊥AB,又因為PD∩PA=P,PD,PA?平面PAD,所以AB⊥平面PAD,又因為AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)取AD中點O,BC中點E,連接PO,OE,因為ABCD,所以四邊形ABCD為平行四邊形,所以OEAB,由(1)知,AB⊥平面PAD,所以OE⊥平面PAD,又因為PO,AD?平面PAD,所以OE⊥PO,OE⊥AD,又因為PA=PD,所以PO⊥AD,所以PO,OE,AD兩兩垂直,所以以O為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,設PA=2,所以DQUOTE-2,0,0,BQUOTE2,2,0,PQUOTE0,0,2,CQUOTE-2,2,0,所以QUOTEPD→=QUOTE-2,0,-2,QUOTEPB→=QUOTE2,2,-2,QUOTEBC→=QUOTE-22,0,0,設n=QUOTEx,y,z為平面PBC的法向量,由QUOTEn·PB→=0,n·BC→=0,得QUOTE2x+2y-令y=1,則z=QUOTE2,x=0,可得平面PBC的一個法向量n=QUOTE0,1,2,因為∠APD=90°,所以PD⊥PA,又因為PD⊥AB,PA∩AB=A,所以PD⊥平面PAB,即QUOTEPD→是平面PAB的一個法向量,QUOTEPD→=QUOTE-2,0,-2,所以cos<QUOTEPD→,n>=QUOTEPD→·nPD→·n==-,由圖知二面角APBC為鈍二面角,所以它的余弦值為-.【反思總結】高考對空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個方面:①求異面直線所成的角,關鍵是轉化為兩直線的方向向量的夾角;②求直線與平面所成的角,關鍵是轉化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角;③求二面角,關鍵是轉化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標系和表示出所需點的坐標是解題的關鍵.2.(2017·天津高考理科·T17)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.點D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點,M是線段AD的中點,PA=AC=4,AB=2.(1)求證:MN∥平面BDE.(2)求二面角C-EM-N的正弦值.(3)已知點H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為,求線段AH的長.【命題意圖】本題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法,考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.【解析】如圖,以A為原點,分別以QUOTEAB→,QUOTEAC→,QUOTEAP→方向為x軸,y軸,z軸正方向,建立空間直角坐標系.由題意可得各點坐標:A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)QUOTEDE→=(0,2,0),QUOTEDB→=(2,0,-2).設n=(x,y,z)為平面BDE的法向量,則QUOTEn·DE→=0,n·DB→=0即QUOTE2y=0,2x-2z=0.不妨設z=1,可得n=(1,0,1).又QUOTEMN→=(1,2,-1),可得·n=0.因為MN?平面BDE,所以MN//平面BDE.(2)易知,n1=(1,0,0)為平面CEM的一個法向量,設n2=(x,y,z)為平面EMN的一個法向量.則n2·QUOTEEM→=0,n2·QUOTEMN→=0,又QUOTEEM→=(0,-2,-1),QUOTEMN→=(1,2,-1),所以QUOTE-2y-z=0,x+2y-z=0,令y=1,則n2=(-4,1,-2),所以,cos<n1,n2>=-QUOTE421,sin<n1,n2>=QUOTE10521,所以二面角C-EM-N的正弦值為.(3)由題意,設AH=h(0≤h≤4),則H(0,0,h),進而QUOTENH→=(-1,-2,h),QUOTEBE→=(-2,2,2),由已知得,|cos<QUOTENH→,QUOTEBE→>|=QUOTENH→·BE→NH→BE→=QUOTE2h-2h2+5×23=QUOTE721,整理得,10h2-21h+8=0,所以,h=QUOTE85或QUOTE12,所以,線段AH的長為QUOTE85或QUOTE12.【方法技巧】利用向量法計算二面角大小的常用方法(1)找法向量法:分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小.(2)找與棱垂直的方向向量法:分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量,則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.3.(2017·北京高考理科·T16)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點M在線段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=6,AB=4.(1)求證:M為PB的中點.(2)求二面角B-PD-A的大小.(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.【命題意圖】本題主要考查空間幾何體的位置關系與夾角運算,意在培養(yǎng)學生的空間想象能力及運算能力.【解析】(1)設AC∩BD=O,連接OM,因為PD∥平面MAC且平面PBD∩平面MAC=MO,所以PD∥MO,因為O為BD中點,所以M為PB中點.(2)取AD中點E,連接PE,因為PA=PD,所以PE⊥AD,又因為平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PE⊥平面ABCD,建立如圖所示坐標系,則B(-2,4,0),P(0,0,),D(2,0,0),A(-2,0,0),易知平面PDA的法向量m=(0,1,0),設平面BPD的法向量n=(x0,y0,z0),則QUOTEn·DP→=(x所以n=(1,1,),設二面角B-PD-A的平面角為θ,cosθ=|cos<m,n>|===,所以θ=.(3)由(2)可知M,C(2,4,0),=,設直線MC與平面BDP的角為α,則有sinα=|cos<QUOTEMC→,n>|==QUOTE3+2-11+1+(2)2·32所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為.【知識鏈接】平面與平面成角設n1,n2分別是二面角α-l-β的面α,β的法向量,則<n1,n2>就是所求二面角的平面角或其補角的大小.且有cos<n1,n2>=.4.(2017·江蘇高考·T22)如圖,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=120°.(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值.(2)求二面角BA1DA的正弦值.【命題意圖】主要考查異面直線所成角及二面角的求法,重點考查運用空間向量解決問題的能力.【解析】在平面ABCD內(nèi),過點A作AE⊥AD,交BC于點E.因為AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥AE,AA1⊥AD.如圖,以為正交基底,建立空間直角坐標系Axyz.因為AB=AD=2,AA1=QUOTE3,∠BAD=120°.則A(0,0,0),B(QUOTE3,-1,0),D(0,2,0),E(QUOTE3,0,0),A1(0,0,QUOTE3),C1(QUOTE3,1,QUOTE3).(1)QUOTEA1B→=(QUOTE3,-1,-QUOTE3),QUOTEAC1→=(QUOTE3,1,QUOTE3),則cos<>=QUOTEA1B→·AC=QUOTE(3,-1,-3)·(3,1,3)7=-QUOTE17因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為QUOTE17.(2)平面A1DA的一個法向量為QUOTEAE→=(QUOTE3,0,0).設m=(x,y,z)為平面BA1D的一個法向量,又QUOTEA1B→=(QUOTE3,-1,-QUOTE3),QUOTEBD→=(-QUOTE3,3,0),則QUOTEm·A1B→=0,m·BD→=0,即QUOTE不妨取x=3,則y=QUOTE3,z=2,所以m=(3,QUOTE3,2)為平面BA1D的一個法向量,從而cos<QUOTEAE→,m>=QUOTEAE→·m|AE→||m|=QUOTE(3,0,0)·(3,3,2)3×4,設二面角BA1DA的大小為θ,則|cosθ|=QUOTE34.因為θ∈[0,π],所以sinθ=QUOTE1-cos2θ=QUOTE74.因此二面角B-A1D-A的正弦值為QUOTE74.【反思總結】利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”:第一,破“建系關”,構建恰當?shù)目臻g直角坐標系;第二,破“求坐標關”,準確求解相關點的坐標;第三,破“求法向量關”,求出平面的法向量;第四,破“應用公式關”.5.(2017·山東高考理科·T17)如圖幾何體是圓柱體的一部分,它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉軸旋轉120°得到的,G為QUOTEDF的中點.(1)設P是QUOTECE上一點,AP⊥BE,求∠CBP的大小.(2)當AD=2,AB=3,求二面角E-AG-C的大小.【命題意圖】本題考查空間線面位置關系的判定及應用空間向量求二面角,意在考查考生的空間想象能力和運算求解能力.【解析】(1)因為AP⊥BE,AB⊥BE,AB,AP?平面ABP,AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP,又BP?平面ABP,所以BE⊥BP,又∠EBC=120°.因此∠CBP=30°.(2)以B為坐標原點,分別以BE,BP,BA所在的直線為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.由題意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,QUOTE3,3),C(-1,QUOTE3,0),故QUOTEAE→=(2,0,-3),QUOTEAG→=(1,QUOTE3,0),QUOTECG→=(2,0,3),設m=(x1,y1,z1)是平