絕密★啟用前雁塔區(qū)第二中學(xué)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期第一次階段性檢測高二數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘；命題人：韓小偉；審題人：李云俠一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村主任助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為()A85 B.56C.49 D.282.某班試用電子投票系統(tǒng)選舉班干部候選人，全班k名同學(xué)都有選舉權(quán)和被選舉權(quán)，他們的編號(hào)分別為1，2，，k，規(guī)定：同意按“1”，不同意（含棄權(quán)）按0”，令，其中，且，則同時(shí)同意第1，2號(hào)同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)為（）A.B.C.D.3.袋中有大小完全相同的2個(gè)白球和3個(gè)黃球，逐個(gè)不放回的摸出兩球，設(shè)“第一次摸得白球”為事件，“摸得的兩球同色”為事件，則A. B. C. D.4.若正整數(shù)a，b滿足等式，且，則（）A.1 B.2 C.2022 D.20235.在的展開式中常數(shù)項(xiàng)為A B. C. D.6.從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個(gè)數(shù)，事件A為“第一次取到的是奇數(shù)”，B為“第二次取到的是3的整數(shù)倍”，則（）A. B. C. D.7.現(xiàn)有完全相同的甲，乙兩個(gè)箱子（如圖），其中甲箱裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球，乙箱裝有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．某人先從兩個(gè)箱子中任取一個(gè)箱子，再從中隨機(jī)摸出一球，則摸出的球是黑球的概率是（）A. B. C. D.8.袋中有5個(gè)白球，4個(gè)黑球，從中依次不放回取球，當(dāng)取出三個(gè)相同顏色球時(shí)停止取球，記X為取出球的總數(shù)，則的概率為（）A. B. C. D.9.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.10.為了測量河對(duì)岸兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在沿岸相距的兩點(diǎn)處分別測得，，則間的距離為（）A B.2 C. D.4二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.11.若，，則下列說法正確的是（）A. B.事件與相互獨(dú)立C. D.12.帶有編號(hào)、、、、的五個(gè)球，則（）A.全部投入個(gè)不同的盒子里，共有種放法B.放進(jìn)不同的個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，共有種放法C.將其中的個(gè)球投入個(gè)盒子里的一個(gè)（另一個(gè)球不投入），共有種放法D.全部投入個(gè)不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法13.函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是A.的最小正周期為2B.把圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象C.在區(qū)間，上單調(diào)遞減D.是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.14.設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為如下，則__________．15.設(shè)某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為，貨車中途停車修理的概率為，客車為.今有一輛汽車中途停車修理，該汽車是貨車的概率為________．16.在中，，面積，則等于___________．17.已知，，，則，，的大小關(guān)系為________．四、解答題：本題共5小題，共62分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.18.若的展開式中第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且.（1）求的系數(shù)；（2）求的值.19.4個(gè)男生，3個(gè)女生站成一排．（必須寫出算式再算出結(jié)果才得分）（1）3個(gè)女生必須排在一起，有多少種不同的排法？（2）任何兩個(gè)女生彼此不相鄰，有多少種不同的排法？（3）甲乙二人之間恰好有三個(gè)人，有多少種不同的排法？20.2017年5月，來自“一帶一路”沿線的20國青年評(píng)選出了中國的“新四大發(fā)明”：高鐵、掃碼支付、共享單車和網(wǎng)購．為發(fā)展業(yè)務(wù)，某調(diào)研組對(duì)A，B兩個(gè)公司的掃碼支付準(zhǔn)備從國內(nèi)n（n∈N*）個(gè)人口超過1000萬的超大城市和8個(gè)人口低于100萬的小城市隨機(jī)抽取若干個(gè)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，若一次抽取2個(gè)城市，全是小城市的概率為．（1）求n的值；（2）若一次抽取4個(gè)城市，則：①假設(shè)取出小城市的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列；②取出4個(gè)城市是同一類城市求全為超大城市的概率．21.已知是定義在上的奇函數(shù).(1)求的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；(3)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.在中，設(shè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，.（1）求角的值;（2）若三角形面積為，求的周長.

絕密★啟用前雁塔區(qū)第二中學(xué)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期第一次階段性檢測高二數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘；命題人：韓小偉；審題人：李云俠一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村主任助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為()A.85 B.56C.49 D.28【答案】C【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)題意：，故選C.考點(diǎn)：排列組合.2.某班試用電子投票系統(tǒng)選舉班干部候選人，全班k名同學(xué)都有選舉權(quán)和被選舉權(quán)，他們的編號(hào)分別為1，2，，k，規(guī)定：同意按“1”，不同意（含棄權(quán)）按0”，令，其中，且，則同時(shí)同意第1，2號(hào)同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分別列出同意1號(hào)同學(xué)當(dāng)選和2號(hào)同學(xué)當(dāng)選的同學(xué)，則同時(shí)同意1號(hào)與2號(hào)當(dāng)選的人數(shù)為它們對(duì)應(yīng)相乘再相加即可.【詳解】由題意可知全班名同學(xué)同意1號(hào)同學(xué)當(dāng)選的情況為，名同學(xué)同意2號(hào)同學(xué)當(dāng)選的情況為，同時(shí)同意1號(hào)與2號(hào)同學(xué)當(dāng)選的情況為，所以同時(shí)同意第1號(hào)與2號(hào)同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)為.故選：C.3.袋中有大小完全相同的2個(gè)白球和3個(gè)黃球，逐個(gè)不放回的摸出兩球，設(shè)“第一次摸得白球”為事件，“摸得的兩球同色”為事件，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】=,選C.4.若正整數(shù)a，b滿足等式，且，則（）A.1 B.2 C.2022 D.2023【答案】D【解析】【分析】由，再根據(jù)二項(xiàng)式定理展開后可求的值.【詳解】∵，∴.故選：D.5.在的展開式中常數(shù)項(xiàng)為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】，故可通過求展開式中的的系數(shù)來求常數(shù)項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，故，又的展開式中的系數(shù)為，故選A.【點(diǎn)睛】三項(xiàng)展開式的指定項(xiàng)的系數(shù)，可以利用二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)方法求出指定項(xiàng)的系數(shù)，也可以把三項(xiàng)代數(shù)式變形為兩項(xiàng)代數(shù)式，再利用二項(xiàng)式定理求出指定項(xiàng)的系數(shù).6.從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個(gè)數(shù)，事件A為“第一次取到的是奇數(shù)”，B為“第二次取到的是3的整數(shù)倍”，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由條件概率的定義，分別計(jì)算即得解.【詳解】由題意事件為“第一次取到的是奇數(shù)且第二次取到的是3的整數(shù)倍”：若第一次取到的為3或9，第二次有2種情況；若第一次取到的為1，5，7，第二次有3種情況，故共有個(gè)事件由條件概率的定義：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了條件概率計(jì)算，考查了學(xué)生概念理解，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.7.現(xiàn)有完全相同的甲，乙兩個(gè)箱子（如圖），其中甲箱裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球，乙箱裝有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．某人先從兩個(gè)箱子中任取一個(gè)箱子，再從中隨機(jī)摸出一球，則摸出的球是黑球的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件概率的定義，結(jié)合全概率公式，可得答案.詳解】記事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，則，由全概率公式得．故選：B．8.袋中有5個(gè)白球，4個(gè)黑球，從中依次不放回取球，當(dāng)取出三個(gè)相同顏色的球時(shí)停止取球，記X為取出球的總數(shù)，則的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先明確所代表的意義以及所包含的可能情況，再根據(jù)全概率公式即可計(jì)算所求概率.【詳解】根據(jù)題意第一、二、三、四次取出的球的顏色符合的情況有以下六種：白白黑白、白黑白白、黑白白白、黑黑白黑、黑白黑黑、白黑黑黑，這六種情況的發(fā)生是相互互斥的，所以由全概率公式得：故選：A.9.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題即可.【詳解】令，則，在同一坐標(biāo)系作出兩函數(shù)圖象，從圖像知當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)有1個(gè)交點(diǎn)，則在上有1個(gè)零點(diǎn)，又，所以也是的兩個(gè)零點(diǎn)，且在時(shí)，指數(shù)函數(shù)增長快于，則后面兩函數(shù)不會(huì)有交點(diǎn)，則總共有3個(gè)零點(diǎn)，故選：D10.為了測量河對(duì)岸兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在沿岸相距的兩點(diǎn)處分別測得，，則間的距離為（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】在和中應(yīng)用正弦定理求得與，然后在中應(yīng)用余弦定理求得．【詳解】在中，，即，，和中，，是等邊三角形，，在中，，所以，．故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)條件確定正弦定理或者余弦定理計(jì)算，及計(jì)算的順序．本題如果在中應(yīng)用余弦定理求可能更方便一些．二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.11.若，，則下列說法正確的是（）A. B.事件與相互獨(dú)立C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由條件概率公式可判斷選項(xiàng)A，D；由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可判定B；由和事件的概率公式可判斷C.【詳解】由條件概率公式，，所以，故A正確；而，故B錯(cuò)誤；，故C正確；因?yàn)椋?，故D正確.故選：ACD12.帶有編號(hào)、、、、的五個(gè)球，則（）A.全部投入個(gè)不同的盒子里，共有種放法B.放進(jìn)不同的個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，共有種放法C.將其中的個(gè)球投入個(gè)盒子里的一個(gè)（另一個(gè)球不投入），共有種放法D.全部投入個(gè)不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法【答案】AC【解析】【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理判斷A，先分組，再分配，即可判斷B，先選出個(gè)球，再選出個(gè)盒子，即可判斷C，分和兩種情況討論，利用分組分配法判斷D.【詳解】對(duì)于A：由分步計(jì)數(shù)原理，五個(gè)球全部投入個(gè)不同的盒子里共有種放法，故A正確；對(duì)于B：由排列數(shù)公式，五個(gè)不同的球放進(jìn)不同的個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，共有種放法，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：將其中的個(gè)球投入一個(gè)盒子里（另一個(gè)球不投入）共有種放法，故C正確；對(duì)于D：全部投入個(gè)不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法，故D錯(cuò)誤．故選：AC13.函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是A.的最小正周期為2B.把圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象C.在區(qū)間，上單調(diào)遞減D.是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的部分圖象求出、、和的值，寫出函數(shù)解析式，再判斷選項(xiàng)中的命題是否正確．【詳解】解：由函數(shù)的部分圖象知，，，解得，所以，選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，得，所以，，，所以，函數(shù)．圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，得的圖象，所以，選項(xiàng)錯(cuò)誤；，時(shí)，，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以是圖象一個(gè)對(duì)稱中心，選項(xiàng)正確．故選：．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.14.設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為如下，則__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的概率非負(fù)不大于，且隨機(jī)變量取遍所有可能值時(shí)相應(yīng)的概率之和等于，列出方程和不等式，解方程組即可．【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量取遍所有可能值時(shí)相應(yīng)的概率之和等于，

所以，

解得或，

又因?yàn)殡S機(jī)變量的概率非負(fù)不大于，

所以，，

解得，

綜上，

故答案為：##．15.設(shè)某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為，貨車中途停車修理的概率為，客車為.今有一輛汽車中途停車修理，該汽車是貨車的概率為________．【答案】【解析】【分析】設(shè)“中途停車修理”為事件，“經(jīng)過的是貨車”為事件，“經(jīng)過的是客車”為事件，則，然后代入貝葉斯公式計(jì)算.【詳解】設(shè)“中途停車修理”為事件，“經(jīng)過的是貨車”為事件，“經(jīng)過的是客車”為事件，則，，，，，由貝葉斯公式有.故答案：16.在中，，面積，則等于___________．【答案】【解析】【分析】先利用三角形的面積公式求出，然后利用余弦定理和正弦定理即可．【詳解】由題意及三角形面積公式可得，

可得，

由余弦定理可得，

所以，

所以．

故答案為：．17.已知，，，則，，的大小關(guān)系為________．【答案】【解析】【分析】本題根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可以判定，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出，進(jìn)而做出大小判斷．【詳解】，，，

又，所以．

故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共62分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.18.若的展開式中第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且.（1）求的系數(shù)；（2）求的值.【答案】（1）180（2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用已知條件利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出，結(jié)合二項(xiàng)式定理求出.（2）由（1）的結(jié)論，利用賦值法求出所求式子的值.【小問1詳解】第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則，解得，所以.所以的展開式中項(xiàng)為：，所以.【小問2詳解】由（1）知，的展開式中，當(dāng)時(shí)，，由二項(xiàng)展開式可得：所以都是正數(shù)，都是負(fù)數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以.19.4個(gè)男生，3個(gè)女生站成一排．（必須寫出算式再算出結(jié)果才得分）（1）3個(gè)女生必須排在一起，有多少種不同的排法？（2）任何兩個(gè)女生彼此不相鄰，有多少種不同的排法？（3）甲乙二人之間恰好有三個(gè)人，有多少種不同的排法？【答案】（1）720；（2）1440；（3）720.【解析】【分析】（1）先排3個(gè)女生作為一個(gè)元素與其余的4個(gè)元素進(jìn)行全排列，即可得到答案；（2）男生排好后，5個(gè)空中再插入3個(gè)女生，即可得到答案；（3）甲、乙先排好后，再從其余的5人中選出3人排在甲、乙之間，把排好的5個(gè)元素與最后剩余的2個(gè)元素全排列，由分步計(jì)數(shù)原理，即可求解結(jié)果．【小問1詳解】解：先排3個(gè)女生作為一個(gè)元素與其余的4個(gè)元素進(jìn)行全排列有種．【小問2詳解】解：男生排好后，5個(gè)空再插女生有種．【小問3詳解】解：甲、乙先排好后，再從其余的5人中選出3人排在甲、乙之間，把排好的5個(gè)元素與最后剩余的2個(gè)元素全排列，分步有種．20.2017年5月，來自“一帶一路”沿線的20國青年評(píng)選出了中國的“新四大發(fā)明”：高鐵、掃碼支付、共享單車和網(wǎng)購．為發(fā)展業(yè)務(wù)，某調(diào)研組對(duì)A，B兩個(gè)公司的掃碼支付準(zhǔn)備從國內(nèi)n（n∈N*）個(gè)人口超過1000萬的超大城市和8個(gè)人口低于100萬的小城市隨機(jī)抽取若干個(gè)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，若一次抽取2個(gè)城市，全是小城市的概率為．（1）求n的值；（2）若一次抽取4個(gè)城市，則：①假設(shè)取出小城市的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列；②取出4個(gè)城市是同一類城市求全為超大城市的概率．【答案】（1）；（2）①分布列見解析；②.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，共個(gè)城市，取出個(gè)的方法總數(shù)是，其中全是小城市的情況有，由古典概型可求全是小城市的概率，即可求得的值；（2）①，根據(jù)超幾何分布可得到的分布列；②若個(gè)城市全是超大城市，共有種情況；若個(gè)城市全是小城市，共有種情況；由此可求全為超大城市的概率.【詳解】（1）共個(gè)城市，取出個(gè)的方法總數(shù)是，其中全是小城市的情況有，故全是小城市的概率是，∴，∴，故．（2）①X=0，1，2，3，4.；

；

P（X=2）=；；

．故X的分布列為X01234P②若個(gè)城市全是超大城市，共有種情況；若個(gè)城市全是小城市，共有種情況；故全為超大城市的概率為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查求古典