江蘇省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三1月一模前適應(yīng)性聯(lián)合測試數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘?總分：150分?年級/班級：高三一、選擇題（共10題，每題5分）要求：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識。1.已知函數(shù)f（x）=ax^2+bx+c，若f（x）在x=1時(shí)取得極小值，則a，b，c應(yīng)滿足的關(guān)系是：（）A.a>0，b>0，c>0B.a>0，b<0，c>0C.a<0，b>0，c>0D.a<0，b<0，c>02.若sinα+cosα=1，則sin2α的值為：（）A.1B.2C.0D.-13.設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和S_n為：（）A.n(n+1)B.n(n+2)C.n(n+1)/2D.n(n+2)/24.若等差數(shù)列{an}滿足a1+a4=12，a2+a5=18，則a3+a6的值為：（）A.15B.16C.17D.185.已知函數(shù)f（x）=x^3-3x，求f（x）在x=0，x=1，x=2時(shí)的單調(diào)性。（）A.單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減C.單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減D.單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增6.若直線y=kx+1與圓x^2+y^2=4相切，則k的取值為：（）A.±1B.±2C.±3D.±47.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+1/x，若f（x）在x=1時(shí)取得極小值，則a的值為：（）A.1B.2C.3D.48.已知數(shù)列{an}滿足an+1=an/2，且a1=2，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和S_n為：（）A.2nB.2n+1C.2n/2D.2n/39.若函數(shù)f（x）=x^3-3x在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是：（）A.a≤0B.a>0C.a≤1D.a>110.設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1=2an+3，且a1=1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和S_n為：（）A.2n^2+3nB.2n^2+3n+1C.2n^2+3n-1D.2n^2+3n+2二、填空題（共5題，每題5分）要求：本題主要考查集合、復(fù)數(shù)和解析幾何等基礎(chǔ)知識。11.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2+2x+1=0}，則A∩B=________。12.已知復(fù)數(shù)z=2+i，則|z|=________。13.已知點(diǎn)P（1，2）到直線x-y+1=0的距離為________。14.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z^2+2z+1=0，則z=________。15.設(shè)直線l：2x-y+1=0與直線m：x+2y-3=0的交點(diǎn)為A，則A的坐標(biāo)為________。三、解答題（共3題，每題20分）要求：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和數(shù)列等綜合應(yīng)用。16.已知函數(shù)f（x）=ax^2+bx+c，若f（x）在x=1時(shí)取得極小值，求a，b，c的關(guān)系。17.已知數(shù)列{an}滿足an+1=an/2，且a1=2，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列。18.已知函數(shù)f（x）=lnx+1/x，求f（x）在x=1，x=2，x=3時(shí)的單調(diào)性。四、應(yīng)用題（共2題，每題20分）要求：本題主要考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用。19.設(shè)某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，生產(chǎn)成本為每件10元，售價(jià)為每件15元。已知銷售量與價(jià)格之間的關(guān)系為：銷售量=銷售價(jià)格/5。若銷售價(jià)格提高x元，求利潤的變化。20.設(shè)某班級有男生m人，女生n人，男生平均身高為a米，女生平均身高為b米。求該班級平均身高的最小值。五、證明題（共1題，10分）要求：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法。21.證明：對于任意正整數(shù)n，都有1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。六、解答題（共1題，10分）要求：本題主要考查數(shù)學(xué)應(yīng)用。22.設(shè)函數(shù)f（x）=x^3-3x，求f（x）在x=0，x=1，x=2時(shí)的最大值和最小值。本次試卷答案如下：一、選擇題答案及解析：1.B.a>0，b<0，c>0解析：函數(shù)在x=1處取得極小值，因此導(dǎo)數(shù)f'(x)在x=1處為0，即2ax+b=0。由于是極小值，a>0，因此b=-2a<0。又因?yàn)閒(1)是極小值，所以f(1)是局部最小值，因此f(1)>f(x)對x≠1成立，即a+b+c>f(1)。由于f(1)=a+b+c，所以a+b+c>a+b+c，矛盾，因此c>0。2.C.0解析：由sinα+cosα=1，得sinα=1-cosα。因?yàn)閟in^2α+cos^2α=1，所以(1-cosα)^2+cos^2α=1，即2cos^2α-2cosα=0，解得cosα=0或cosα=1。當(dāng)cosα=0時(shí)，sinα=1，所以sin2α=2sinαcosα=0；當(dāng)cosα=1時(shí)，sinα=0，同樣sin2α=0。3.C.n(n+1)/2解析：數(shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列，公比為1/2，首項(xiàng)a1=2。因此，an=2*(1/2)^(n-1)，所以S_n=a1*(1-1/2^n)/(1-1/2)=2*(1-1/2^n)/(1/2)=n(n+1)/2。4.A.15解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a1+a4=a1+3d=12，a2+a5=a1+d+a1+4d=18。解得a1=3，d=3。因此a3+a6=(a1+2d)+(a1+5d)=2a1+7d=2*3+7*3=15。5.A.單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<1時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。6.A.±1解析：直線與圓相切，意味著直線到圓心的距離等于圓的半徑。圓心到直線的距離公式為|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)，其中Ax+By+C=0是直線方程。對于直線y=kx+1，有A=-k，B=1，C=1，圓的半徑為2。所以|k*0+1*0+1|/√((-k)^2+1^2)=2，解得k=±1。7.A.1解析：f'(x)=1/x-1/x^2，令f'(x)=0，解得x=1。因?yàn)閒''(x)=-1/x^2<0，所以x=1是f(x)的極大值點(diǎn)。又因?yàn)閒(1)=ln1+1/1=1，所以f(x)在x=1時(shí)取得極小值，a=1。8.A.2n解析：數(shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列，公比為1/2，首項(xiàng)a1=2。因此，an=2*(1/2)^(n-1)，所以S_n=a1*(1-1/2^n)/(1-1/2)=2*(1-1/2^n)/(1/2)=2n。9.A.a≤0解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<1時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。因此，f(x)在x=0時(shí)取得最大值，在x=1時(shí)取得最小值，所以a≤0。10.A.2n^2+3n解析：數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列，公差為3，首項(xiàng)a1=1。因此，an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2，所以S_n=n/2*(a1+an)=n/2*(1+3n-2)=2n^2+3n。二、填空題答案及解析：11.{1}解析：集合A和B的元素都是方程x^2-3x+2=0和x^2+2x+1=0的解，解這兩個(gè)方程得到A={1}，B={-1,0}，所以A∩B={1}。12.√5解析：復(fù)數(shù)z的模是|z|=√(Re(z)^2+Im(z)^2)，其中Re(z)是z的實(shí)部，Im(z)是z的虛部。對于z=2+i，有|z|=√(2^2+1^2)=√5。13.√2解析：點(diǎn)到直線的距離公式為d=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)，其中Ax+By+C=0是直線方程。對于點(diǎn)P(1,2)和直線x-y+1=0，有d=|1*1+(-1)*2+1|/√(1^2+(-1)^2)=√2。14.-1+i解析：方程z^2+2z+1=0可以寫成(z+1)^2=0，所以z=-1。又因?yàn)閦是復(fù)數(shù)，所以z=-1+i。15.(-1,2)解析：解方程組2x-y+1=0和x+2y-3=0得到x=-1，y=2，所以交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,2)。三、解答題答案及解析：16.解析：由f'(x)=2ax+b=0，得x=-b/(2a)。因?yàn)閒(x)在x=1時(shí)取得極小值，所以x=-b/(2a)=1，即b=-2a。又因?yàn)閒(1)是極小值，所以f(1)>f(x)對x≠1成立，即a+b+c>a+b+c，矛盾，因此c>0。17.解析：由an+1=an/2，得an=2*an-1。因?yàn)閍1=2，所以an=2^(n-1)*a1=2^(n-1)*2=2^n。因此，數(shù)列{an}是等比數(shù)列。18.解析：f'(x)=1/x-1/x^2，令f'(x)=0，解得x=1。因?yàn)閒''(x)=-1/x^2<0，所以x=1是f(x)的極大值點(diǎn)。又因?yàn)閒(1)=ln1+1/1=1，所以f(x)在x=1時(shí)取得極大值，在x=2時(shí)取得極小值，在x=3時(shí)取得極大值。四、應(yīng)用題答案及解析：19.解析：銷售量Q=銷售價(jià)格P/5，利潤L=(銷售價(jià)格-生產(chǎn)成本)*銷售量=(P-10)*P/5。當(dāng)銷售價(jià)格提高x元時(shí)，銷售價(jià)格為P+x，銷售量為(P+x)/5，利潤為L=(P+x-10)*(P+x)/5。利潤的變化為ΔL=L(P+x)-L(P)=(P+x-10)*(P+x)/5-(P-10)*P/5。20.解析：班級平均身高為(a*m+b*n)/(m+n)。要使平均身高最小，需要找到a*m+b*n的最小值。由于a和b是固定的，所以需要找到m和n的最小值。由于男生和女生的人數(shù)總和是固定的，所以m和n的最小值是它們相等的時(shí)候，即m=n。因此，平均身高的最小值為(a+b)/2。五、證明題答案及解析：21.解析：當(dāng)n=1時(shí)，1^2=1*(1+1)(2*1+1)/6成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，1^2+2^2+3^2+…+k^2=k(k+1)(2k+1)/6成立。當(dāng)n=k+1時(shí)，1^2+2^2+3^2+…+k^2+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))/6=(k+1)(2k^2+7k+6)/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/