吉林省長(zhǎng)春市2024年中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．根據(jù)有理數(shù)加法法則，計(jì)算2+（﹣3）過(guò)程正確的是（）A．+（3+2） B．+（3﹣2） C．﹣（3+2） D．﹣（3﹣2）【答案】D【解析】【解答】解：．故答案為：D．【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則：絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值.2．南湖公園是長(zhǎng)春市著名旅游景點(diǎn)之一，圖①是公園中“四角亭”景觀的照片，圖②是其航拍照片，則圖③是“四角亭”景觀的（）A．主視圖 B．俯視圖 C．左視圖 D．右視圖【答案】B【解析】【解答】解：由題意可知圖③是從“四角亭”上方看到的，即為俯視圖．故答案為：B．【分析】根據(jù)三視圖的定義即可得到答案．3．在剪紙活動(dòng)中，小花同學(xué)想用一張矩形紙片剪出一個(gè)正五邊形，其中正五邊形的一條邊與矩形的邊重合，如圖所示，則∠α的大小為（）A．54° B．60° C．70° D．72°【答案】D【解析】【解答】解：由題意得：∠α是正五邊形的一個(gè)外角，

∴.故答案為：D．【分析】根據(jù)多邊形的外角和及正五邊形的性質(zhì)，即可得到答案．4．下列運(yùn)算一定正確的是（）A．2a?3a＝6a B．a(chǎn)2?a3＝a6C．（ab）2＝a2b2 D．（a3）2＝a5【答案】C【解析】【解答】解：A．，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B．，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C．，故選項(xiàng)C正確；D．，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故答案為：C．【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則可判斷A；根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則可判斷B；根據(jù)積的乘方運(yùn)算法則可判斷C；根據(jù)冪的乘方運(yùn)算法則可判斷D．5．不等關(guān)系在生活中廣泛存在．如圖，a、b分別表示兩位同學(xué)的身高，c表示臺(tái)階的高度．圖中兩人的對(duì)話體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是（）A．若a＞b，則a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，則a＞cC．若a＞b，c＞0，則ac＞bc D．若a＞b，c＞0，則【答案】A【解析】【解答】解：由左圖可得：，由右圖可得：，即選項(xiàng)A符合題意．故答案為：A．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得到答案．6．2024年5月29日16時(shí)12分，“長(zhǎng)春凈月一號(hào)”衛(wèi)星搭乘谷神星一號(hào)火箭在黃海海域成功發(fā)射．當(dāng)火箭上升到點(diǎn)A時(shí)，位于海平面R處的雷達(dá)測(cè)得點(diǎn)R到點(diǎn)A的距離為a千米，仰角為θ，則此時(shí)火箭距海平面的高度AL為（）A．a(chǎn)sinθ千米 B．千米 C．a(chǎn)cosθ千米 D．千米【答案】A【解析】【解答】解：由題意得：∴千米.故答案為：A.【分析】根據(jù)銳角的正弦函數(shù)的定義即可求解.7．如圖，在△ABC中，O是邊AB的中點(diǎn)．按下列要求作圖：①以點(diǎn)B為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線段BO于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E；②以點(diǎn)O為圓心、BD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線段OA于點(diǎn)F；③以點(diǎn)F為圓心、DE長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交前一條弧于點(diǎn)G，點(diǎn)G與點(diǎn)C在直線AB同側(cè)；④作直線OG，交AC于點(diǎn)M．下列結(jié)論不一定成立的是（）A．∠AOM＝∠B B．∠OMC+∠C＝180°C．AM＝CM D．OMAB【答案】D【解析】【解答】解：A．根據(jù)作圖可得：，故選項(xiàng)A一定成立，不符合題意；B．∵，∴，∴，故選項(xiàng)B一定成立，不符合題意；C．∵是邊的中點(diǎn)，∴，∵，∴，即：，故選項(xiàng)C一定成立，不符合題意；D．不一定成立，故選項(xiàng)D符合題意．故答案為：D.【分析】先根據(jù)作圖可得，根據(jù)平行線的判定定理得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線分線段成比例得出，即可得出．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（4，2）在函數(shù)y（k＞0，x＞0）的圖象上．將直線OA沿y軸向上平移，平移后的直線與y軸交于點(diǎn)B，與函數(shù)y（k＞0，x＞0）的圖象交于點(diǎn)C．若BC，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）A．（0，） B．（0，3）C．（0，4） D．（0，2）【答案】B【解析】【解答】解：把代入∴．

∴反比例函數(shù)的解析式為，

設(shè)直線OA的解析式為，

把代入

得：2=4k，解得：，

∴直線OA的解析式為，

設(shè)直線OA沿y軸向上平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，

∴，直線OB解析式為，

點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上，設(shè)，代入，

得，即

過(guò)點(diǎn)y軸于點(diǎn)H，如圖：

∴在△BCH中，由勾股定理得：

即：解得：a=2，代入得，

解得：m=3∴故答案為：B．【分析】由待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)解析式，直線OA的解析式為，設(shè)直線OA沿y軸向上平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，得，直線OB解析式為，設(shè)，代入，得到，過(guò)點(diǎn)y軸于點(diǎn)H，在△BCH中，由勾股定理得：，即：，解得a=2，進(jìn)而得出m=3，即可得到答案.二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。9．單項(xiàng)式﹣2a2b的次數(shù)是．【答案】3【解析】【解答】解：?jiǎn)雾?xiàng)式的次數(shù)是3.故答案為：．【分析】根據(jù)單項(xiàng)式次數(shù)的定義：所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)．10．計(jì)算：-=【答案】【解析】【解答】解：=2﹣=．故答案為：．【分析】先化簡(jiǎn)=2，再合并同類(lèi)二次根式即可．11．若拋物線y＝x2﹣x+c（c是常數(shù)）與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則c的取值范圍是．【答案】【解析】【解答】解：∵拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，∴，解得：．故答案為：．【分析】根據(jù)拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，，即可求解.12．已知直線y＝kx+b（k、b是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1），且y隨x的增大而減小，則b的值可以是.（寫(xiě)出一個(gè)即可）【答案】2（b＞1即可）【解析】【解答】解：把代入，得：．∵y隨x的增大而減小，∴，得：b＞1∴b的值可以是2．故答案為：2（答案不唯一）【分析】由題意得出，由y隨x的增大而減小，利用一次函數(shù)的性質(zhì)，可得出，可得b＞1，寫(xiě)出解即可.13．一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖所示的方式擺放，邊AB與直線l重合，AB＝12cm．現(xiàn)將該三角板繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'落在直線l上，則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)至少為cm．（結(jié)果保留π）【答案】8π【解析】【解答】解：∵將該三角板繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上，∵，

∴，∴點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)至少為．故答案為：8π．【分析】由題意得：，再根據(jù)點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)至少為以B為圓心，以為半徑的圓弧的長(zhǎng)即可求解．

?14．如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，DB交AC于點(diǎn)G，連結(jié)AD．給出下面四個(gè)結(jié)論：①∠ABD＝∠DAC；②AF＝FG；③當(dāng)DG＝2，GB＝3時(shí)，F(xiàn)G；④當(dāng)2，AB＝6時(shí)，△DFG的面積是，上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)有．【答案】①②③【解析】【解答】解：如圖：連接，∵是的中點(diǎn)，∴，

由圓周角定理的推論得：，故①正確；∵是直徑，∴，∴，∵∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，即②正確；在和，，∴，∴，

即：，

解得：，

由勾股定理得：，∵，∴，故③正確；如圖：假設(shè)半圓的圓心為O，連接，

∵，，是的中點(diǎn)，∴∴，∵，∴是等邊三角形，∴，

∴四邊形是菱形，∴，∵，∴，即，解得：，∴，∵∴，故④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．

【分析】連接，由圓周角定理的推論可判定①正確；先證明、可得、，即可判定②；根據(jù)相似三角形的判定定理先證明可得，即，解得，然后由勾股定理可得，再結(jié)合即可判定③；設(shè)半圓的圓心為O，連接，由題意可得，從而證明是等邊三角形，即可得到四邊形是菱形，然后得到，再解直角三角形可得，根據(jù)三角形面積公式可得，最后根據(jù)三角形的中線將三角形的面積平分即可判定④．三、解答題：本題共10小題，共78分。15．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x．【答案】解：原式把代入得，原式【解析】【分析】先根據(jù)分式的減法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再代數(shù)求值即可．16．2021年吉林省普通高中開(kāi)始施行新高考選科模式，此模式有若干種學(xué)科組合，每位高中生可根據(jù)自己的實(shí)際情況選擇一種．一對(duì)雙胞胎姐妹考入同一所高中且選擇了相同組合，該校要將所有選報(bào)這種組合的學(xué)生分成A、B、C三個(gè)班，其中每位學(xué)生被分到這三個(gè)班的機(jī)會(huì)均等．用畫(huà)樹(shù)狀圖（或列表）的方法，求這對(duì)雙胞胎姐妹被分到同一個(gè)班的概率．【答案】解：列表如下：ABCAA，AA，BA，CBB，AB，BB，CCC，AC，BC，C共有9種等可能的結(jié)果，其中這對(duì)雙胞胎姐妹被分到同一個(gè)班的結(jié)果有3種，∴這對(duì)雙胞胎姐妹被分到同一個(gè)班的概率為．【解析】【分析】先列表確定出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及這對(duì)雙胞胎姐妹被分到同一個(gè)班的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式計(jì)算求解即可．17．《九章算術(shù)》是我國(guó)第一部自成體系的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買(mǎi)金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．問(wèn)人數(shù)、金價(jià)各幾何？譯文：今有人合伙買(mǎi)金，每人出400錢(qián)，剩余3400錢(qián)；每人出300錢(qián)，剩余100錢(qián)．問(wèn)合伙人數(shù)和金價(jià)各是多少？請(qǐng)解答這個(gè)問(wèn)題．【答案】解：設(shè)共x人合伙買(mǎi)金，金價(jià)為y錢(qián)，依題意得：，解得：．答：共33人合伙買(mǎi)金，金價(jià)為9800錢(qián)．??【解析】【分析】設(shè)共x人合伙買(mǎi)金，金價(jià)為y錢(qián)，根據(jù)“每人出400錢(qián)，會(huì)剩余3400錢(qián)；每人出300錢(qián)，會(huì)剩余100錢(qián)”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解方程組即可．18．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是邊AB的中點(diǎn)，∠AOD＝∠BOC．求證：四邊形ABCD是矩形．【答案】證明：是邊AB的中點(diǎn)，，在和中，(ASA)，，，

∴∠A+∠B=180°，，四邊形ABCD是平行四邊形，又，四邊形ABCD是矩形.【解析】【分析】利用全等三角形的判定定理ASA證明，得出，根據(jù)平行線的判定定理證出，即可證明四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可根據(jù)矩形的判定定理證明四邊形是矩形．19．某校為調(diào)研學(xué)生對(duì)本校食堂的滿意度，從初中部和高中部各隨機(jī)抽取20名學(xué)生對(duì)食堂進(jìn)行滿意度評(píng)分（滿分10分），將收集到的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息：a．高中部20名學(xué)生所評(píng)分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布直方圖如圖：（數(shù)據(jù)分成4組：6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x≤10）b．高中部20名學(xué)生所評(píng)分?jǐn)?shù)在8≤x＜9這一組的是：8.0，8.1，8.2，8.2，8.4，8.5，8.6，8.7，8.8c．初中部、高中部各20名學(xué)生所評(píng)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下：平均數(shù)中位數(shù)初中部8.38.5高中部8.3m根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）表中m的值為；（2）根據(jù)調(diào)查前制定的滿意度等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)，評(píng)分不低于8.5分為“非常滿意”．①在被調(diào)查的學(xué)生中，設(shè)初中部、高中部對(duì)食堂“非常滿意”的人數(shù)分別為a、b，則a▲b；（填“＞”“＜”或“＝”）②高中部共有800名學(xué)生在食堂就餐，估計(jì)其中對(duì)食堂“非常滿意”的學(xué)生人數(shù)．【答案】（1）8.3（2）解：①＞；

②，∴估計(jì)其中對(duì)食堂“非常滿意”的學(xué)生人數(shù)為人．【解析】【解答】解：（1）高中部評(píng)分的中位數(shù)為第位數(shù)的平均數(shù)，即，故答案為：；（2）①由題意得，初中部評(píng)分的中位數(shù)為，高中部評(píng)分的中位數(shù)為，∴，故答案為：；【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義，即可求解；（1）①利用中位數(shù)即可得到答案；

②利用總數(shù)乘以“非常滿意”的學(xué)生占比，計(jì)算求解即可．20．圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作四邊形ABCD，使其是軸對(duì)稱(chēng)圖形且點(diǎn)C、D均在格點(diǎn)上．（1）在圖①中，四邊形ABCD面積為2；（2）在圖②中，四邊形ABCD面積為3；（3）在圖③中，四邊形ABCD面積為4．【答案】（1）解：如圖①：

.

∴四邊形ABCD的面積為2.

四邊形即為所求.??????（2）解：如圖②：

四邊形ABCD為軸對(duì)稱(chēng)圖形，且AC⊥BC

∴四邊形ABCD的面積為.

∴四邊形即為所求.（3）解：如圖③：四邊形即為所求.

??????【解析】【分析】（1）以AB為邊畫(huà)正方形ABCD即可．（2）結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義，使四邊形ABCD的對(duì)角線相互垂直平分，且對(duì)角線的長(zhǎng)分別為2和3即可.

（3）畫(huà)長(zhǎng)和寬分別為和的矩形即可.也可作上下底分別為和，高為的梯形.21．區(qū)間測(cè)速是指在某一路段前后設(shè)置兩個(gè)監(jiān)控點(diǎn)，根據(jù)車(chē)輛通過(guò)兩個(gè)監(jiān)控點(diǎn)的時(shí)間來(lái)計(jì)算車(chē)輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車(chē)在高速公路上行駛，其間經(jīng)過(guò)一段長(zhǎng)度為20千米的區(qū)間測(cè)速路段，從該路段起點(diǎn)開(kāi)始，他先勻速行駛小時(shí)，再立即減速以另一速度勻速行駛（減速時(shí)間忽略不計(jì)），當(dāng)他到達(dá)該路段終點(diǎn)時(shí)，測(cè)速裝置測(cè)得該輛汽車(chē)在整個(gè)路段行駛的平均速度為100千米/時(shí)．汽車(chē)在區(qū)間測(cè)速路段行駛的路程y（千米）與在此路段行駛的時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)圖象如圖所示．（1）a的值為；（2）當(dāng)x≤a時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明在此區(qū)間測(cè)速路段內(nèi)，該輛汽車(chē)減速前是否超速．（此路段要求小型汽車(chē)行駛速度不得超過(guò)120千米/時(shí)）【答案】（1）（2）解：設(shè)當(dāng)時(shí)，y與x之間函數(shù)關(guān)系式為，

圖象經(jīng)過(guò)，得

，

解得：，∴．??（3）解：當(dāng)時(shí)，，∴先勻速行駛小時(shí)的速度為：，∵，∴汽車(chē)減速前沒(méi)有超速．【解析】【解答】解：(1)由題意可得：，

解得：．故答案為：．【分析】（1）根據(jù)題意：當(dāng)以平均時(shí)速為行駛時(shí)，小時(shí)路程為千米，可得，即可求解；（2）設(shè)當(dāng)時(shí)，y與x之間函數(shù)關(guān)系式為，利用待定系數(shù)法求解即可得解；（3）求出先勻速行駛小時(shí)的速度，然后比較即可得解．22．【問(wèn)題呈現(xiàn)】小明在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)遇到一個(gè)幾何問(wèn)題：如圖①，在等邊△ABC中，AB＝3，點(diǎn)M、N分別在邊AC、BC上，且AM＝CN，試探究線段MN長(zhǎng)度的最小值．【問(wèn)題分析】小明通過(guò)構(gòu)造平行四邊形，將雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，再通過(guò)定角發(fā)現(xiàn)這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，進(jìn)而解決上述幾何問(wèn)題．【問(wèn)題解決】如圖②，過(guò)點(diǎn)C、M分別作MN、BC的平行線，并交于點(diǎn)P，作射線AP．在【問(wèn)題呈現(xiàn)】的條件下，完成下列問(wèn)題：（1）證明：AM＝MP；（2）∠CAP的大小為度，線段MN長(zhǎng)度的最小值為．（3）【方法應(yīng)用】某種簡(jiǎn)易房屋在整體運(yùn)輸前需用鋼絲繩進(jìn)行加固處理，如圖③．小明收集了該房屋的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫(huà)出了示意圖，如圖④，△ABC是等腰三角形，四邊形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，∠ACB＝30°．MN是一條兩端點(diǎn)位置和長(zhǎng)度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩，點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在DE上．在調(diào)整鋼絲繩端點(diǎn)位置時(shí)，其長(zhǎng)度也隨之改變，但需始終保持AM＝DN．鋼絲繩MN長(zhǎng)度的最小值為米．【答案】（1）證明：過(guò)點(diǎn)、分別作、的平行線，并交于點(diǎn)，作射線，四邊形是平行四邊形，；（2）30；（3）【解析】【解答】解：（2）∵是等邊三角形，

∴，AC=AB=3.；當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)最小，在中，，線段長(zhǎng)度的最小值為；

故答案為：30；.【方法應(yīng)用】：過(guò)點(diǎn)、分別作、的平行線，并交于點(diǎn)，作射線，連接，

四邊形是平行四邊形，，MP=ND.

∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝30°；四邊形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，，∠BCD=90°，∵AM=DN，

∴AM=MP.，..當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)最小，

在等腰△ACD中，，

在中，，

線段長(zhǎng)度的最小值為米．故答案為：.

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)、分別作、的平行線，并交于點(diǎn)，作射線，根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)先證明，然后根據(jù)垂線段最短求出最小值；（3）過(guò)點(diǎn)、分別作、的平行線，并交于點(diǎn)，作射線，連接，根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)，求出，進(jìn)而得，根據(jù)垂線段最短，利用三角函數(shù)求解即可．23．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），作射線AD，在射線AD上取點(diǎn)P，使AP＝BD，以AP為邊作正方形APMN，使點(diǎn)M和點(diǎn)C在直線AD同側(cè)．（1）當(dāng)點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)時(shí)，求AD的長(zhǎng)；（2）當(dāng)BD＝4時(shí)，點(diǎn)D到直線AC的距離為；（3）連結(jié)PN，當(dāng)PN⊥AC時(shí)，求正方形APMN的邊長(zhǎng)；（4）若點(diǎn)N到直線AC的距離是點(diǎn)M到直線AC距離的3倍，則CD的長(zhǎng)為.（寫(xiě)出一個(gè)即可）【答案】（1）解：∵，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，BD=6，

∴，BD=CD=3，∴在中，由勾股定理得：

；（2）（3）解：當(dāng)時(shí)，根據(jù)正方形的軸對(duì)稱(chēng)性可得，點(diǎn)落在上，過(guò)點(diǎn)作于，

設(shè)，則，，則，，，解得：故，所以正方形的邊長(zhǎng)為；?????（4）或【解析】【解答】解：（2）作交AC于H，如圖所示；設(shè)點(diǎn)到直線的距離，

當(dāng)時(shí)，則，，解得：；

故答案為：（4）如圖，①，在異側(cè)時(shí)；

點(diǎn)N到直線AC的距離是點(diǎn)M到直線AC距離的3倍，

∴NQ=3MQ，

四邊形APMN是正方形，

∴AN=MN，∠PAN=∠ANQ=90°，

∴，

設(shè)

，即，

AC=AE+CE=5，即：，

解得：；②當(dāng)，在同側(cè)

由題意得：∠NAF=MQC，∠AFN=QCM=90°，

∴△ANF∽△QME，

∴

點(diǎn)N到直線AC的距離是點(diǎn)M到直線AC距離的3倍，

∴AN=3MQ，

四邊形APMN是正方形，

∴

，

設(shè)

，

∴

AC=AH+CH=5，即：，解得：；綜上所述：的長(zhǎng)為或.故答案為：或.【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，利用勾股定理即可求解；

（2）作交AC于H，利用三角形面積相等即可求解；

（3）過(guò)點(diǎn)作于H，設(shè)，則，，根據(jù)，列出方程即可求解；

（4）分類(lèi)討論：①，在異側(cè)時(shí)，由點(diǎn)N到直線AC的距離是點(diǎn)M到直線AC距離的3倍，得NQ=3MQ，結(jié)合正方形的性質(zhì)可推出，設(shè)，根據(jù)三角函數(shù)可得，由AC=AE+CE=5，即，計(jì)算求解即可；②當(dāng)，在同側(cè)，由相似三角形的判定定理可得△ANF∽△QME，可得，即可AN=3MQ，根據(jù)正方形的性質(zhì)及正切的定義可得，設(shè)，由三角函數(shù)可得，由AC=AH+CH=5，即，計(jì)算求解即可得解.24．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝x2+2x+c（c是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣2，﹣2）．點(diǎn)A、B是該拋物線上不重合的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為m、﹣m，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣5m，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相同，連結(jié)AB、AC．（1）求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）求證：當(dāng)m取不為零的任意實(shí)數(shù)時(shí)，tan∠CAB的值始終為2；（3）作AC的垂直平分線交直線AB于點(diǎn)D，以AD為邊、AC為對(duì)角線作菱形ADCE，連結(jié)DE．①當(dāng)DE與此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸重合時(shí)，求菱形ADCE的面積；②當(dāng)此拋物線在菱形ADCE內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大時(shí)，直接寫(xiě)出m的取