張家港常青藤高中2024～2025學(xué)年第一學(xué)期期末卷高一數(shù)學(xué)(滿分150分，考試時間120分鐘)2024．12一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若點P(2coseq\f(π,6)，－2sineq\f(π,6))在角α的終邊上，則sinα＝()A.eq\f(1,2)B.－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.－eq\f(\r(3),2)2.命題“?x∈(0，＋∞)，總有x2＋1≥2x”的否定是()A.?x∈(0，＋∞)，總有x2＋1<2xB.?x?(0，＋∞)，總有x2＋1<2xC.?x∈(0，＋∞)，使得x2＋1<2xD.?x?(0，＋∞)，使得x2＋1≥2x3.將函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向右平移一個單位長度后，所得圖象對應(yīng)的解析式為y＝xeq\s\up6(\f(1,2)).若f(x0)＝2，則x0＝()A.2B.3C.4D.54.在自然界，大氣壓強p(單位：mmHg)和海拔高度h(單位：m)的關(guān)系可用指數(shù)模型p＝ae－kh來描述，根據(jù)統(tǒng)計計算得到a＝760，k＝0.000164.現(xiàn)已知海拔500m時的大氣壓強約為700mmHg，則當大氣壓強約為350mmHg時，海拔高度約為(參考數(shù)據(jù)：ln2取0.69)()A.3500mB.4200mC.4700mD.5200m5.已知函數(shù)f(x)＝eq\r(4ax2＋（8－4a）x＋1)的值域為[0，＋∞)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(0，4)B.[1，4]∪{0}C.(0，1]∪[4，＋∞)D.[0，1]∪[4，＋∞)6.設(shè)a＝log52，b＝(sin37°)sin53°，c＝(eq\f(2,2\r(2)))1＋eq\r(2)，則a，b，c之間的大小關(guān)系為()A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b7.已知函數(shù)f(x)＝ln|x|＋x2，則不等式f(2x＋1)>f(x－1)的解集為()A.(0，1)∪(1，2)B.(－∞，0)∪(2，＋∞)C.(－∞，－2)∪(0，1)∪(1，＋∞)D.(－2，1)∪(1，＋∞)8.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(|x＋1|，,－7≤x≤0，,lnx，,e－2≤x≤e，)))g(x)＝x2－2x，設(shè)a為實數(shù)，若存在實數(shù)m，使得f(m)－2g(a)＝0，則實數(shù)a的取值范圍是()A.[－1，＋∞)B.(－∞，－1]∪[3，＋∞)C.[－1，3]D.(－∞，3]二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的有()A.若sinα·cosα>0，則α為第一象限角B.若將表的分針撥快5分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是－30°C.終邊過點(a，a)(a≠0)的角的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z))D.若在一個半徑為3cm的圓上畫一個圓心角為30°的扇形，則該扇形面積為eq\f(3π,2)cm210.已知x>0，y>0且2x＋y＝2.若eq\f(mxy,m－1)≤x＋2y對任意的x>0，y>0恒成立，則實數(shù)m可能的取值有()A.eq\f(1,2)B.eq\f(9,8)C.eq\f(10,7)D.211.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log4|x＋4|，x≤0，,|log2x|，0<x≤2，,|x－4|－1，x>2.))若方程f(x)＝a有六個不同的解x1，x2，x3，x4，x5，x6，且x1<x2<x3<x4<x5<x6，則下列說法正確的有()A.a∈(0，1)B.x1＋x2＋x3·x4＝－3C.－x4(x1＋x2)＋eq\f(16,x3·xeq\o\al(2,4))∈[16eq\r(2)，24]D.eq\f(x6f（x3）,x1＋x2)∈(－eq\f(3,4)，0)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知奇函數(shù)f(x)的定義域為R，當x<0時，f(x)＝x－2，則f(eq\f(1,2))＝________．13.已知sinα·cosα＝eq\f(3,8)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，則cosα－sinα＝________．14.用max{a，b}表示a，b兩個數(shù)中的最大值，設(shè)函數(shù)f(x)＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(|x|，\f(1,x)))(x>0).若f(x)≥m－1恒成立，則實數(shù)m的最大值是________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.(本小題滿分13分)計算下列各式的值：(1)0.064－eq\f(1,3)－(－eq\f(7,8))0＋160.75＋0.01eq\s\up6(\f(1,2))；(2)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－25log53.16.(本小題滿分15分)已知α是第四象限角．(1)若cosα＝eq\f(\r(5),5)，求eq\f(cos（α－\f(π,2)）－sin（\f(3π,2)＋α）,2sin（α＋π）＋cos（2π－α）)的值；(2)若5sin2α＋5sinαcosα＋1＝0，求tanα的值．

17.(本小題滿分15分)已知a，b，c∈R，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點(0，1)，且f(x)>0的解集為(－eq\f(1,3)，eq\f(1,2)).(1)求實數(shù)a，b的值；(2)若方程f(x)＝kx＋7在(0，2)上有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍．

18.(本小題滿分17分)如圖，已知四邊形ABCD為直角梯形，∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝4，CD＝7，點E從點D出發(fā)，沿著邊DC運動到點C，過點E作直線l垂直于邊DC，設(shè)DE＝x，則直線l左側(cè)部分多邊形的面積為S(x)，周長為L(x).(1)求S(x)和L(x)的解析式；(2)記函數(shù)f(x)＝eq\f(S（x）,L（x）)，求函數(shù)f(x)的最大值．

19.(本小題滿分17分)已知函數(shù)f(x)＝16x－λ·4x，λ∈R.(1)設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上的最小值為M，將M表示為λ的函數(shù)；(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)＋f(－x)＋2λ＋14存在零點，求實數(shù)λ的取值范圍．

2024～2025學(xué)年第一學(xué)期期末卷高一數(shù)學(xué)參考答案及評分標準1.B解析：∵在P(2coseq\f(π,6)，－2sineq\f(π,6))在角α的終邊上，∴sinα＝eq\f(－2sin\f(π,6),\r(（2cos\f(π,6)）2＋（－2sin\f(π,6)）2))＝eq\f(－2sin\f(π,6),\r(4cos2\f(π,6)＋4sin2\f(π,6)))＝eq\f(－2×\f(1,2),2)＝－eq\f(1,2).故選B.2．C解析：因為命題為“?x∈(0，＋∞)，總有x2＋1≥2x”，所以其否定為“?x∈(0，＋∞)，使得x2＋1<2x”．故選C.3.B解析：由題設(shè)可得f(x)＝(x＋1)eq\s\up6(\f(1,2))，令f(x0)＝(x0＋1)eq\s\up6(\f(1,2))＝2，得x0＝3.4.C解析：由題意得700＝760e－0.000164×500，設(shè)大氣壓強約為350mmHg時，海拔高度為xm，則有350＝760e－0.000164x，所以eq\f(1,2)×760e－0.000164×500＝760e－0.000164x，eq\f(1,2)＝760e－0.000164(x－500)，兩邊取對數(shù)，得lneq\f(1,2)＝－0.000164(x－500)，解得x＝4707≈4700.故選C.5.D解析：由題意，令g(x)＝4ax2＋(8－4a)x＋1，則[0，＋∞)為其值域的一個子集．當a＝0時，f(x)＝eq\r(8x＋1)，令8x＋1≥0，解得x≥－eq\f(1,8)，故當x∈[－eq\f(1,8)，＋∞)時，f(x)≥0；當a<0時，g(x)＝4ax2＋(8－4a)x＋1，其圖象為開口向下的拋物線，則必定存在最大值，故不符合題意；當a>0時，g(x)＝4ax2＋(8－4a)x＋1，其圖象為開口向上的拋物線，令Δ≥0，則(8－4a)2－4×4a≥0，整理得a2－5a＋4≥0，即(a－1)(a－4)≥0，解得a≤1或a≥4，此時符合題意．綜上，可得a∈[0，1]∪[4，＋∞).故選D.6.D解析：a＝log52<log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)，因為0<sin37°<1，所以b＝(sin37°)sin53°>sin37°>sin30°＝eq\f(1,2).因為c＝(eq\f(2,2\r(2)))1＋eq\r(2)＝(21－eq\r(2))1＋eq\r(2)＝21－2＝eq\f(1,2)，所以a<c<b.故選D.7.C解析：∵函數(shù)f(x)＝ln|x|＋x2的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞),且f(－x)＝ln|－x|＋(－x)2＝ln|x|＋x2＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．當x>0時，f(x)＝lnx＋x2,由y＝lnx和y＝x2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，得f(x)＝lnx＋x2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴由f(2x＋1)>f(x－1)，可得f(|2x＋1|)>f(|x－1|)，即|2x＋1|>|x－1|,整理得x2＋2x>0,解得x<－2或x>0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1≠0，,x－1≠0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(1,2)，,x≠1，))故不等式f(2x＋1)>f(x－1)的解集為(－∞，－2)∪(0，1)∪(1，＋∞).故選C.8.C解析：當－7≤x≤0時，f(x)＝|x＋1|的值域為[0，6]；當e－2≤x≤e時，f(x)＝lnx的值域為[－2，1]，所以f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x＋1|，－7≤x≤0，,lnx，e－2≤x≤e))的值域記為A＝[－2，6].若存在實數(shù)m，使得f(m)－2g(a)＝0，即2g(a)∈A，即2a2－4a∈[－2，6]，解得a∈[－1，3]，故a的取值范圍是[－1，3].故選C.9.BC解析：若sinα·cosα>0，則α為第一象限角或第三象限角，故A錯誤；將表的分針撥快5分鐘，按順時針方向轉(zhuǎn)動30°，故分針轉(zhuǎn)過的角度是－30°，故B正確；終邊經(jīng)過點(a，a)(a≠0)的角的終邊在直線y＝x上，故角的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z))，故C正確；扇形面積為S＝eq\f(1,2)|α|R2＝eq\f(1,2)×eq\f(π,6)×32＝eq\f(3π,4)(cm2)，故D錯誤．故選BC.10.ACD解析：∵x>0，y>0，∴eq\f(mxy,m－1)≤x＋2y?eq\f(m,m－1)≤eq\f(x＋2y,xy)＝eq\f(1,y)＋eq\f(2,x)，即eq\f(m,m－1)≤(eq\f(1,y)＋eq\f(2,x))min.∵eq\f(1,y)＋eq\f(2,x)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,y)＋eq\f(2,x))(2x＋y)＝eq\f(1,2)(5＋eq\f(2x,y)＋eq\f(2y,x))≥eq\f(1,2)(5＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(2y,x)))＝eq\f(9,2)，當且僅當eq\f(2x,y)＝eq\f(2y,x)，即x＝y(tǒng)＝eq\f(2,3)時等號成立，∴eq\f(m,m－1)≤eq\f(9,2)，eq\f(m,m－1)－eq\f(9,2)≤0，eq\f(9－7m,2（m－1）)≤0，解得m≥eq\f(9,7)或m<1.故選ACD.11.AD解析：如圖所示為函數(shù)f(x)的圖象．由圖可知當a∈(0，1)時，曲線y＝f(x)與直線y＝a存在六個交點，即方程f(x)＝a有六個不同的解，故A正確；由圖象及函數(shù)解析式可知x1＋x2＝－8，且－log2x3＝log2x4，可得x3x4＝1，所以x1＋x2＋x3x4＝－7，故B錯誤；由圖可知x4∈(1，2)，－x4(x1＋x2)＋eq\f(16,x3·xeq\o\al(2,4))＝8x4＋eq\f(16,x4)≥2eq\r(8x4·\f(16,x4))＝16eq\r(2)，當且僅當8x4＝eq\f(16,x4)，即x4＝eq\r(2)時等號成立，令g(x)＝8x＋eq\f(16,x)，g(1)＝g(2)＝24，故－x4(x1＋x2)＋eq\f(16,x3·xeq\o\al(2,4))∈[16eq\r(2)，24)，故C錯誤；由解析式可知f(x3)＝f(x6)，即|log2x3|＝|x6－4|－1?－log2x3＝x6－5，所以eq\f(x6f（x3）,x1＋x2)＝eq\f(x6（x6－5）,－8)＝－eq\f(xeq\o\al(2,6)－5x6,8)，其中x6∈(5，6)，令h(x)＝－eq\f(x2－5x,8)，h(x)在(5，6)上單調(diào)遞減，因為h(5)＝0，h(6)＝－eq\f(3,4)，所以eq\f(x6f（x3）,x1＋x2)∈(－eq\f(3,4)，0)，故D正確．故選AD.12.－4解析：因為奇函數(shù)f(x)的定義域為R，當x<0時，f(x)＝x－2，所以f(eq\f(1,2))＝－f(－eq\f(1,2))＝－(－eq\f(1,2))－2＝－4.13.－eq\f(1,2)解析：因為eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，所以sinα>cosα，而(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×eq\f(3,8)＝eq\f(1,4)，所以cosα－sinα＝－eq\f(1,2).14.2解析：f(x)＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(|x|，\f(1,x)))(x>0)，當0<x<1時，eq\f(1,x)>|x|；當x＝1時，eq\f(1,x)＝|x|；當x>1時，eq\f(1,x)<|x|.由x>0，|x|＝x，得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，0<x<1，,x，x≥1，))圖象如圖所示，可得f(x)在(0，1]上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(1)＝1，則1≥m－1，即m≤2，m的最大值是2.15.解：(1)原式＝(0.43)－eq\f(1,3)－1＋16eq\s\up6(\f(3,4))＋eq\f(1,10)＝eq\f(5,2)－1＋8＋eq\f(1,10)＝eq\f(48,5).(6分)(2)原式＝log34－log3eq\f(32,9)＋log38－5log59＝log3(4×eq\f(9,32)×8)－9＝log39－9＝2－9＝－7.(13分)16.解：(1)∵α是第四象限角，cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(\r(5),5)，∴sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－2，∴eq\f(cos（α－\f(π,2)）－sin（\f(3π,2)＋α）,2sin（α＋π）＋cos（2π－α）)＝eq\f(sinα＋cosα,－2sinα＋cosα)＝eq\f(tanα＋1,－2tanα＋1)＝－eq\f(1,5).(8分)(2)∵sin2α＋sinαcosα＝－eq\f(1,5)，∴eq\f(sin2α＋sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α＋tanα,tan2α＋1)＝－eq\f(1,5)，∴tanα＝－eq\f(1,2)或tanα＝－eq\f(1,3).(15分)17.解：(1)因為f(x)的圖象經(jīng)過點(0，1)，所以c＝1，所以f(x)＝ax2＋bx＋1.因為f(x)＝ax2＋bx＋1>0的解集為(－eq\f(1,3)，eq\f(1,2))，所以－eq\f(1,3)，eq\f(1,2)為一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的兩個根，且a＜0，所以－eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)＝－eq\f(b,a)，(－eq\f(1,3))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,a)，故a＝－6，b＝1.(7分)(2)由f(x)＝－6x2＋x＋1，得方程f(x)＝kx＋7等價于方程6x2＋(k－1)x＋6＝0.令g(x)＝6x2＋(k－1)x＋6，即g(x)的兩個零點滿足x1，x2∈(0，2)，所以必有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（0）>0，,g（2）>0，,0<\f(1－k,12)<2，,Δ>0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k>－14，,－23<k<1，,k>13或k<－11，))解得－14<k<－11，所以實數(shù)k的取值范圍是(－14，－11).(15分)18.解：(1)如圖，過點B作BF⊥DC于點F，在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝4，CD＝7.因為BF⊥CD，AD⊥CD，所以AD∥BF.因為AB∥DF，則四邊形ABFD為正方形，所以DF＝AB＝4，CF＝CD－DF＝3，BC＝eq\r(BF2＋CF2)＝5.當0<x≤4時，S(x)＝4x，L(x)＝2x＋8；當4<x≤7時，因為tan∠BCF＝eq\f(4,3)，所以位于直線l右側(cè)的直角三角形的兩直角邊長分別為7－x，eq\f(4,3)(7－x)，斜邊長為eq\f(5,3)(7－x)，此時S(x)＝eq\f(4×（4＋7）,2)－eq\f(1,2)(7－x)×eq\f(4,3)(7－x)＝－eq\f(2,3)(x－7)2＋22，L(x)＝4＋4＋7＋5－eq\f(8,3)(7－x)＋eq\f(4,3)(7－x)＝eq\f(4,3)(x＋8).所以S(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，0<x≤4，,－\f(2,3)（x－7）2＋22，4<x≤7，))L(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋8，0<x≤4，,\f(4,3)（x＋8），4<x≤7.))(9分)(2)由(1)得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2x,x＋4)，0<x≤4，,\f(－\f(2,3)（x－7）2＋22，,\f(4,3)（x＋8）)，4<x≤7，))當0<x≤4時，f(x)＝eq\f(2x,x＋4)＝2－eq\f(8,x＋4)在(0，4]上單調(diào)遞增，則f(x)≤f(4)＝1；當4<x≤7時，f(x)＝eq\f(－\f(2,3)（x－7）2＋22,\f(4,3)（x＋8）)，令t＝x＋8，則t∈(12，15]，所以f(x)＝g(t)＝eq