初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯總21.定義:一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).xa,0)y,ax，bx，c(a,b,cy22.二次函數(shù)的性質(zhì)y,ax2(1)拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是軸.y,axy2(2)函數(shù)的圖像與的符號(hào)關(guān)系.ay,axa,0?當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn);,,a,0?當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).,,2(a,0)(3)頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是軸的拋物線的解析式形式為.y,axy23.二次函數(shù)的圖像是對(duì)稱(chēng)軸平行于(包括重合)軸的拋物線.y,ax，bx，cy224.二次函數(shù)用配方法可化成:的形式，其中y,ax，bx，c，，y,ax,h，k2b4acb,hk.,,，,2a4a222;?;?;?5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式:?y,axy,ax，k，，y,ax,h22;?.y,ax，bx，c，，y,ax,h，k6.拋物線的三要素:開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn).a,0a,0?a的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向:當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上;當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下;a相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.x,hx,0?平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.yya7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.22b4acb,,,2)公式法:8.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法(1，?頂點(diǎn)是yaxbxcax,，，,，，,,2a4a,,2b4ac,bb(，)x,,,，對(duì)稱(chēng)軸是直線.2a2a4a2hk(2)配方法:運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，，，y,ax,h，kx,h對(duì)稱(chēng)軸是直線.(3)運(yùn)用拋物線的對(duì)稱(chēng)性:由于拋物線是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以對(duì)稱(chēng)軸的連線的垂直平分1線是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ(chēng)性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失.29.拋物線中，的作用a,b,cy,ax，bx，c2(1)決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與中的完全一樣.aay,ax2b(2)和共同決定拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線ay,ax，bx，cbbbb,0x,,，故:?時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為軸;?(即、同號(hào))時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè);a,0yy2aabb?(即、異號(hào))時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè).a,0ya2(3)的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置.cy,ax，bx，cy2x,0當(dāng)時(shí)，，?拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0，):cy,ax，bx，cyy,cc,0c,0c,0?，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn);?,與軸交于正半軸;?,與軸交于負(fù)半軸.yyb以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)，則.,0ya10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)2(0,0)x,0(軸)yy,ax2k)(0,x,0(軸)yy,ax，k2hx,h(,0)，，y,ax,ha,0當(dāng)時(shí)2開(kāi)口向上hkx,h(,)，，y,ax,h，ka,0當(dāng)時(shí)b22x,,y,ax，bx，cb4acb,2a,，()開(kāi)口向下2a4a11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式2x(1)一般式:.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.y,ax，bx，cy2(2)頂點(diǎn)式:.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式.，，y,ax,h，kxx，，，，y,ax,xx,x(3)交點(diǎn)式:已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式:.112212.直線與拋物線的交點(diǎn)2cy,ax，bx，c(1)軸與拋物線得交點(diǎn)為(0,).y222hx,h(2)與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,).ah，bh，cy,ax，bx，cy(3)拋物線與軸的交點(diǎn)x2二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程xxxy,ax，bx，c122的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別ax，bx，c,0x式判定:,,0?有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交;x,,,,0?有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在軸上)拋物線與軸相切;xx,,,,0?沒(méi)有交點(diǎn)拋物線與軸相離.x,,(4)平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)x同(3)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱2k坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是ax，bx，c,k的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.2lG(5)一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方，，y,kx，nk,0，，y,ax，bx，ca,0y,kx，nGl程組的解的數(shù)目來(lái)確定:?方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn);?,2y,ax，bx，cGGll方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn);?方程組無(wú)解時(shí)與沒(méi)有交點(diǎn).,,2(6)拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離:若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，xx，，，，Ax，0，Bx，0y,ax，bx，c122ax，bx，c,0由于x、是方程的兩個(gè)根，故x12bcx，x,,x,x,,1212aa22b4cb,4ac,,,22AB,x,x,x,x,x，x,4xx,,,,,，，，，,,12121212aaaa,,二次函數(shù)的解析式有三種形式:2(1)一般式:y,ax，bx，c(a,b,c是常數(shù)，a,0)2(2)頂點(diǎn)式:y,a(x,h)，k(a,h,k是常數(shù)，a,0)22ax，bx，c,0xx(3)當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程有實(shí)根和y,ax，bx，c1222存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)ax，bx，c,a(x,x)(x,x)y,ax，bx，c12y,a(x,x)(x,x)化為兩根式。如果沒(méi)有交點(diǎn)，則不能這樣表示。123考點(diǎn)三、二次函數(shù)的最值(10分)如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大24acb,b值(或最小值)，即當(dāng)時(shí)，。yx,,,最值2a4ab如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，,x,x,xx,x,x12122a24acb,b若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=時(shí)，y;若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范,,x,x,x12最值2a4a2圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)x,xx,xy,ax，bx，c2122最大22時(shí)，;如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，，x,xy,ax，bx，cy,ax，bx，c11111最小最大2當(dāng)時(shí)，。x,xy,ax，bx，c222最小考點(diǎn)四、二次函數(shù)的性質(zhì)(6~14分)1、二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)函數(shù)2y,ax，bx，c(a,b,c是常數(shù)，a,0)a>0a<0yy圖像0x0x(1)拋物線開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸;(1)拋物線開(kāi)口向下，并向下無(wú)限延伸;bbbb,,,,(2)對(duì)稱(chēng)軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(，，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(，(2)對(duì)稱(chēng)軸是x=2a2a2a2a224acb4acb,,););4a4a性質(zhì)bb,,(3)在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時(shí)，y隨x(3)在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時(shí)，y隨2a2a的增大而減小;在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，即當(dāng)x的增大而增大;在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，即當(dāng)bb,,x>x>時(shí)，y隨x的增大而增大，簡(jiǎn)記左減時(shí)，y隨x的增大而減小，簡(jiǎn)記左2a2a右增;增右減;4bb(4)拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最小時(shí)，y有最(4)拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x=,,2a2a224acb4acb,,值，大值，yy,,最小值最大值4a4a2a、b、c2、二次函數(shù)中，的含義:表示開(kāi)口方向:>0aay,ax，bx，c(a,b,c是常數(shù)，a,0)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，，，<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下abb與對(duì)稱(chēng)軸有關(guān):對(duì)稱(chēng)軸為x=,2a表示拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo):(0，)cc3、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。2因此一元二次方程中的，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)。,,b,4ac當(dāng)>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);,當(dāng)=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn);,當(dāng)<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。,2二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn):1(二次函數(shù)的概念:一般地，形如(是常數(shù)，)abc～～yaxbxc,，，a,0，而可以的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào):和一元二次方程類(lèi)似，二次項(xiàng)系數(shù)bc～a,0為零(二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)(22.二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征:yaxbxc,，，?等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2(xx?abc～～是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)(acb二次函數(shù)的基本形式21.二次函數(shù)基本形式:的性質(zhì):yax,oo結(jié)論:a的絕對(duì)值越大，拋物線的開(kāi)口越小?？偨Y(jié):5的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)a時(shí)，隨的增大而增大;時(shí)，隨xyyx,0x,0軸y00～向上，，a,0的增大而減小;時(shí)，有最小值(xy0x,0時(shí)，隨的增大而減小;時(shí)，隨xyyx,0x,0軸00～y，，向下a,0的增大而增大;時(shí)，有最大值(xy0x,022.的性質(zhì):yaxc,，結(jié)論:上加下減。同左上加，異右下減總結(jié):的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)a時(shí)，隨的增大而增大;時(shí)，隨xyyx,0x,0軸y0～c，，向上a,0的增大而減小;時(shí)，有最小值(xcyx,0時(shí)，隨的增大而減小;時(shí)，隨xyyx,0x,00～c軸y，，向下a,0的增大而增大;時(shí)，有最大值(xcyx,023.的性質(zhì):yaxh,,，，結(jié)論:左加右減。同左上加，異右下減總結(jié):a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)x時(shí)，隨的增大而增大;時(shí)，隨yyxh,xh,h～0，，向上X=ha,0x的增大而減小;時(shí)，有最小值(y0xh,x時(shí)，隨的增大而減小;時(shí)，隨yyxh,xh,h～0，，向下X=ha,0x的增大而增大;時(shí)，有最大值(y0xh,2yaxhk,,，4.的性質(zhì):，，6總結(jié):的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)a時(shí)，隨的增大而增大;時(shí)，隨xyyxh,xh,hk～向上X=h，，a,0的增大而減小;時(shí)，有最小值(xykxh,時(shí)，隨的增大而減小;時(shí)，隨xyyxh,xh,hk～，，向下X=ha,0的增大而增大;時(shí)，有最大值(xykxh,二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟:2hk～?將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo);yaxhk,,，，，，，2hk～?保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下:yax,，，向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|個(gè)單位22y=axy=ax+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|個(gè)單位平移|k|個(gè)單位平移|k|個(gè)單位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|個(gè)單位22y=a(x-h)+ky=a(x-h)向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|個(gè)單位2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移;值正上移，負(fù)下移”(hk概括成八個(gè)字“同左上加，異右下減”(22三、二次函數(shù)與yaxbxc,，，的比較yaxhk,,，，，222yaxbxc,，，請(qǐng)將利用配方的形式配成頂點(diǎn)式。請(qǐng)將配成yaxhk,,，。yxx,，，245，，總結(jié):22yaxbxc,，，從解析式上看，yaxhk,,，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過(guò)配方可以得到前，，222bacb4,bacb4,,,yax,，，者，即，其中(hk,,,～,,24aa24aa,,72四、二次函數(shù)圖象的畫(huà)法yaxbxc,，，22五點(diǎn)繪圖法:利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開(kāi)口方向、yaxbxc,，，yaxhk,,，()對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，左右對(duì)稱(chēng)地描點(diǎn)畫(huà)圖.一般我們選取的五點(diǎn)為:頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，(若與0～c0～c2hc，x～0x～0xx，，，，，，，，，，12軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)).畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn):開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).xy2五、二次函數(shù)的性質(zhì)yaxbxc,，，2,,bbacb4,1.當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(,～x,,a,0,,24aa2a,,bbb當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小;當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大;當(dāng)時(shí)，有最xxx,,x,,x,,yyy2a2a2a24acb,小值(4a2,,bbbacb4,2.當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(當(dāng)時(shí)，,～x,,x,,ya,0,,24aa2a2a,,2bb4acb,隨x的增大而增大;當(dāng)時(shí)，隨x的增大而減小;當(dāng)時(shí)，有最大值(x,,x,,yy2a2a4a六、二次函數(shù)解析式的表示方法21.一般式:acyaxbxc,，，(，，為常數(shù)，);ba,02a2.頂點(diǎn)式:yaxhk,,，()(，，為常數(shù)，);hka,0xxx3.兩根式:(，，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)).yaxxxx,,,()()a,01212注意:任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，2bac,,40x只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示(二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.七、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系a1.二次項(xiàng)系數(shù)2ayaxbxc,，，二次函數(shù)中，作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然(a,08?當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，的值越大，開(kāi)口越小，反之的值越小，開(kāi)口越大;aaa,0?當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，的值越小，開(kāi)口越小，反之的值越大，開(kāi)口越大(aaa,0總結(jié)起來(lái)，決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向，的正負(fù)決定開(kāi)口方向，的大小決定開(kāi)口的大小(aaa2.一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對(duì)稱(chēng)軸(ab?在的前提下，a,0b當(dāng)時(shí)，，即