2.5.1直線與圓的位置關(guān)系課程：高中數(shù)學(xué)教材：高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊章節(jié)：2.5.1直線與圓的位置關(guān)系教材分析本節(jié)課通過研究直線與圓的公共點個數(shù)，引出直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離，并介紹兩種判斷方法：一是聯(lián)立方程組，通過解的個數(shù)判斷公共點個數(shù)；二是計算圓心到直線的距離d，比較d與半徑r的大小關(guān)系，即當(dāng)d<r時相交，d=r時相切，d>學(xué)情分析針對本節(jié)知識內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知水平而言，學(xué)生已掌握直線的方程Ax+By+C=0、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x教學(xué)目標(biāo)理解直線與圓的三種位置關(guān)系（相交、相切、相離）及其幾何特征，能夠準(zhǔn)確描述公共點個數(shù)與位置關(guān)系的對應(yīng)性，達到直觀想象核心素養(yǎng)水平一的要求。掌握通過聯(lián)立方程判斷直線與圓位置關(guān)系的方法，能夠運用代數(shù)運算求解方程組解的個數(shù)，達到數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)水平二的要求。理解圓心到直線距離d與半徑r比較法的原理，能夠運用距離公式d=能夠運用坐標(biāo)法"三步曲"解決直線與圓的位置關(guān)系問題，實現(xiàn)幾何問題與代數(shù)問題的相互轉(zhuǎn)化，達到數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)水平二的要求。掌握相交情況下弦長的計算方法，能夠結(jié)合兩點間距離公式和勾股定理求解弦長，達到數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)水平三的要求。重點難點教學(xué)重點：直線與圓的三種位置關(guān)系及其判定方法，聯(lián)立方程組求解公共點，利用圓心到直線距離d與半徑r比較判斷位置關(guān)系。

教學(xué)難點：通過代數(shù)運算判斷直線與圓的位置關(guān)系，弦長計算及坐標(biāo)法“三步曲”的應(yīng)用。課堂導(dǎo)入同學(xué)們，在生活中我們常能看到直線與圓相關(guān)的場景，比如在田徑場中，跑道的直道部分與圓形的彎道部分，就構(gòu)成了直線與圓的不同組合。那大家思考一下，它們之間到底呈現(xiàn)怎樣的位置關(guān)系呢？其實，這些位置關(guān)系在數(shù)學(xué)中有明確的分類。在初中我們已經(jīng)直觀認(rèn)識過直線與圓的位置關(guān)系，今天我們將從坐標(biāo)法的角度，更深入地去探究直線l:Ax+By+C直線與圓的位置關(guān)系探究新知（一）知識精講

在平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓的位置關(guān)系仍然表現(xiàn)為三種基本情形：相交、相切、相離。這取決于直線與圓的公共點個數(shù)。具體來說：當(dāng)直線與圓有兩個公共點時，稱直線與圓相交；當(dāng)直線與圓有且僅有一個公共點時，稱直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，該公共點叫做切點；當(dāng)直線與圓沒有公共點時，稱直線與圓相離。判斷直線l:Ax+By第一種方法是聯(lián)立方程組：

{Ax+By+若Δ>若Δ=若Δ<第二種方法是利用幾何量之間的關(guān)系。由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，圓心為點(a,b)，半徑為r。計算圓心到直線Ax+By+C=0的距離d，其公式為：若d<若d=若d>這種方法避免了解復(fù)雜的方程組，運算更為簡便。若直線與圓相交，還可結(jié)合勾股定理求弦長。設(shè)弦的一半為l，則有：

l=r2?d上述兩種方法體現(xiàn)了坐標(biāo)法解決幾何問題的基本思想：將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)運算得出結(jié)果，再將結(jié)果還原為幾何結(jié)論。如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一條直線與一個圓可能相交于兩點、相切于一點或完全不相交。通過觀察圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，可以直觀理解三種位置關(guān)系的形成條件。（二）師生互動

教師提問1：我們已經(jīng)知道可以用聯(lián)立方程組的方法判斷直線與圓的位置關(guān)系，那么如果這個方程組恰好有一個解，是否一定能說明直線與圓相切？為什么？

學(xué)生思考并回答：是的，因為方程組的解對應(yīng)的是公共點的坐標(biāo)，只有一個解意味著只有一個公共點，符合相切的定義。

教師補充：很好！但要注意，必須確保這個解是實數(shù)解，并且對應(yīng)的點確實在直線和圓上。此外，從代數(shù)角度看，判別式等于零才是關(guān)鍵依據(jù)。教師提問2：如果我們只知道圓心到直線的距離等于半徑，能不能斷定這條直線就是圓的切線？還需要驗證其他條件嗎？

學(xué)生討論后回答：似乎不需要，因為當(dāng)距離等于半徑時，直線剛好“碰到”圓周，應(yīng)該就是切線。

教師引導(dǎo)：沒錯，這正是切線的幾何特征之一。事實上，在解析幾何中，我們正是用d=r作為判斷相切的數(shù)量化標(biāo)準(zhǔn)，它與“只有一個公共點教師提問3：剛才我們用了兩種方法判斷位置關(guān)系，你認(rèn)為在什么情況下更適合使用距離法？什么時候更適合聯(lián)立方程？

學(xué)生分析：如果只是判斷位置關(guān)系，不需要求交點坐標(biāo)，用距離法更簡單；但如果題目要求求出交點坐標(biāo)或者弦長，可能就需要聯(lián)立方程了。

教師總結(jié)：非常準(zhǔn)確！選擇方法要根據(jù)問題的需求來決定，這也是數(shù)學(xué)思維靈活性的體現(xiàn)。（三）設(shè)計意圖

通過引導(dǎo)學(xué)生回顧直線與圓的三種位置關(guān)系，并借助坐標(biāo)系將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，幫助學(xué)生理解幾何對象之間關(guān)系的量化表達方式。在講解過程中，突出聯(lián)立方程組與距離比較兩種方法的邏輯基礎(chǔ)和適用場景，強化對判別式與點到直線距離公式的應(yīng)用意識，達成理解位置關(guān)系判斷依據(jù)的知識目標(biāo)。通過層層遞進的師生對話，培養(yǎng)學(xué)生從代數(shù)結(jié)果反推幾何意義的能力，促進數(shù)形結(jié)合思想的發(fā)展，提升邏輯推理與運算求解的綜合能力。采用問題驅(qū)動的方式組織學(xué)習(xí)活動，鼓勵學(xué)生在已有知識基礎(chǔ)上主動建構(gòu)新知，形成以探究為核心的學(xué)習(xí)方式。同時，在比較不同解法的過程中滲透優(yōu)化解題策略的數(shù)學(xué)價值觀，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)方法的多樣性與統(tǒng)一性，增強解決問題的理性判斷力。新知應(yīng)用例1題目：已知直線l:3x+y?6=0和圓心為C的圓x2+y2?2y?解答：我們采用兩種方法來解決這個問題。解法1：聯(lián)立方程法（代數(shù)法）將直線與圓的方程聯(lián)立：

{由方程(1)解出y：

y代入方程(2)：

x展開并整理：

x解這個一元二次方程：

x代回y=6當(dāng)x=2當(dāng)x=1所以兩交點為A(2,0)計算弦長∣AB∣解法2：幾何法（距離比較法）先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：

x所以圓心C(0,求圓心到直線3x+y?6=0比較d與r：rd因為d<r利用垂徑定理求弦長：

∣結(jié)果一致?？偨Y(jié)：1.題目考查內(nèi)容①直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法（代數(shù)法與幾何法）

②弦長的計算（兩點間距離公式與垂徑定理）

③圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程

④點到直線的距離公式應(yīng)用2.題目求解要點①判斷位置關(guān)系可選擇“聯(lián)立方程看解的個數(shù)”或“比較圓心到直線距離與半徑”

②若相交，可用兩點坐標(biāo)求弦長，也可用∣AB∣=2r2?d2例2題目：過點P(2,1)作圓O:x2+解答：分析：點P(2,1)設(shè)切線斜率為k，則切線方程為：

y圓心(0,0)到切線的距離等于半徑兩邊平方：

(代入點斜式：當(dāng)k=0當(dāng)k=4所以兩條切線方程為：

y總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容①過圓外一點作圓的切線問題

②點到直線的距離公式與切線條件的應(yīng)用

③直線方程的點斜式設(shè)定與參數(shù)求解2.題目求解要點①設(shè)切線方程時注意斜率存在性（若斜率不存在需單獨討論）

②利用“圓心到切線距離等于半徑”建立方程是關(guān)鍵

③解絕對值方程時要平方處理，注意檢驗解的合理性

④最終結(jié)果要寫成一般式或規(guī)范形式例3題目：圖2.5-3是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖。圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造時每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱解答：建立平面直角坐標(biāo)系：以AB所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點，P在y由題意：A圓心在y軸上，設(shè)為(0,b圓的方程為：x將點P(0,4)和聯(lián)立：

(代入得：

r所以圓的方程為：

x支柱A1P2位于距O左側(cè)2m代入方程求y：

(答：支柱A1P2總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容①坐標(biāo)法解決實際幾何問題（建模能力）

②圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定（三點定圓思想）

③實際問題中變量代入與數(shù)值計算2.題目求解要點①合理建立坐標(biāo)系是解題前提（對稱軸為坐標(biāo)軸）

②利用已知點代入圓方程求未知參數(shù)（圓心、半徑）

③將實際位置轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)代入求縱坐標(biāo)

④注意開方時符號選擇（根據(jù)實際意義取正值）例4題目：一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心、半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi)。已知小島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心正北30km處。如果輪船沿直線返港，那么它是否會有觸礁危險？解答：建立坐標(biāo)系：以小島中心為原點O(0,0)，東為x單位換算：取10km為一個單位長度，則：輪船位置：在其正東40km→即原點西40km→坐標(biāo)(港口位置：在小島正北30km→坐標(biāo)(暗礁區(qū)域邊界圓方程：

x輪船返港路線為過點(?4,0)求直線方程：

斜率k點斜式：y化為一般式：

4判斷該直線與圓x2+使用判別式法：聯(lián)立方程

{代入：

x判別式：

Δ說明有兩個交點→直線穿過圓→有觸礁危險！注：教材中單位設(shè)置不同（以10km為單位，半徑20km對應(yīng)2單位），其圓方程為x2+y2=4，輪船在(4,0)按教材設(shè)定（方向調(diào)整）：以小島為中心(輪船在正西40km→(?4,0)，但教材寫作(4,0)，可能是將“港口在小島正北30km→(則輪船在(4,0)，港口在圓：x聯(lián)立：

{代入：

x判別式：

Δ無實數(shù)解→直線與圓相離→輪船不會進入暗礁區(qū)結(jié)論：沒有觸礁危險總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容①實際問題建模（坐標(biāo)系建立與數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化）

②直線與圓的位置關(guān)系判定（聯(lián)立方程判別式法）

③數(shù)學(xué)在航海安全等現(xiàn)實情境中的應(yīng)用2.題目求解要點①正確理解方位描述，合理設(shè)定坐標(biāo)系和點坐標(biāo)

②將實際距離按比例縮放為坐標(biāo)單位（如10km=1單位）

③求直線方程后與圓聯(lián)立，用判別式判斷是否有公共點

④結(jié)論需結(jié)合實際解釋：“相離”意味著航線不經(jīng)過危險區(qū)新知鞏固題目：第1題：對于圓C：x2+y2=r2，直線l：ax+by=r2，點P(a,b)在圓C解答：我們已知：圓C的方程為x2+y2=r2直線l的方程為ax點P(a,b)要判斷直線與圓的位置關(guān)系，可計算圓心到直線的距離d，并與半徑r比較。點到直線的距離公式為：

d=∣Ax0+By0+C∣由于a2+b2>r2，所以a2+b故答案為：B．相交總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法，重點是利用點到直線的距離公式結(jié)合點在圓外的條件進行推理。2.題目求解要點明確圓心和半徑；正確使用點到直線的距離公式；利用已知條件a2+b2>根據(jù)d<r得出“相交3.同類型題目解題步驟寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓心坐標(biāo)和半徑；將直線化為一般式Ax計算圓心到直線的距離d=比較d與r：若d<若d=若d>結(jié)合題目其他條件（如點的位置）進行邏輯推理。題目：第2題：已知直線3x?4y+2=0與圓M??:x2+y2+2ax=0（解答：先分析圓M：

方程為x2+y2+2ax=0，配方得：

x2+2ax已知直線3x?4y+2計算圓心(?a,0)到直線的距離：

d=∣解絕對值方程：

分兩種情況：??但題設(shè)a>0，所以取于是圓M的圓心為(?14再看圓N：(x+1)2+計算兩圓圓心之間的距離：

d比較dMNr∣而d觀察：

∣rN故答案為：A．相交總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題綜合考查直線與圓相切的條件、圓的一般方程化標(biāo)準(zhǔn)形式、兩點間距離公式以及兩圓位置關(guān)系的判斷。2.題目求解要點將圓M配方成標(biāo)準(zhǔn)形式，找出圓心和半徑；利用“相切?圓心到直線距離等于半徑”建立方程求參數(shù)a；求出兩圓圓心距，并與兩圓半徑和、差比較，判斷位置關(guān)系。3.同類型題目解題步驟化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，確定圓心和半徑；利用相切/相交等幾何條件列方程求未知參數(shù)；求另一圓的圓心和半徑；計算兩圓圓心距d；比較d與r1+rd>d=∣rd=d<題目：第3題：已知圓C??:x2+(y?2)2=1，圓C與y軸交于A(0,3),B(0,1)，斜率存在且過原點O的直線l與圓C相交于M,N兩點，直線AM與直線BN相交于點解答：圓C：x2+(y?2)2=1，圓心(0,2)，半徑1，與設(shè)過原點O(0,0)的直線l：聯(lián)立方程：

{此方程有兩個實根（相交），設(shè)為x1,x考慮直線AM：連接A(0,3)同理，直線BN：連接B(0,1)由二次方程根的關(guān)系：

x目標(biāo)是找k1,k2,k3的關(guān)系，其中k3是OP斜率，P嘗試取一個具體值簡化計算。令k=1，即直線代入方程：

(1+1)x試k=0：直線y=0代入：

$x2試k=換思路：取對稱性。注意到圓關(guān)于y=2對稱，A,B關(guān)于y=2但更有效的方法是選取一個合適的k值使得計算簡單且有交點。試k=1不行，試直線y代入：

$(1試k=(所以x1=對應(yīng)點：M(1注意：AM連接A(0,3)與M，BN不妨設(shè)M則：kk求直線AM和BNAM：過(0,3),BN：過(0,1),求交點P：

?x+3=則OP斜率現(xiàn)在驗證選項：A.k1+6k2=?1+6?13=?1+所以正確答案是A總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查直線與圓相交、直線斜率、直線交點坐標(biāo)計算，以及通過特殊值法驗證恒成立關(guān)系。2.題目求解要點利用對稱性和具體數(shù)值代入降低復(fù)雜度；選擇適當(dāng)?shù)男甭蔾使方程有實根并便于計算；準(zhǔn)確求出交點坐標(biāo)和各直線斜率；代入選項驗證哪個恒成立。3.同類型題目解題步驟分析圖形結(jié)構(gòu)，尋找對稱性或特殊點；設(shè)直線方程（如過定點的直線設(shè)為y=聯(lián)立直線與圓求交點（可用參數(shù)表示或取特例）；求相關(guān)直線斜率及交點坐標(biāo)；使用特殊值法代入驗證選項；若結(jié)果唯一符合，則為正確答案（適用于選擇題）。題目：第4題：已知圓C??:x2+y2?6x?4y+12=0，M,N是圓上的兩點，點A(1,解答：先將圓方程配方：

x2?6x+y2點A(1已知AM=λAN，說明向量AM與A這意味著點M,N,A共線，且M在直線又因M,N在圓上，所以直線AN與圓有兩個交點M這表明M,N在以A設(shè)AN=v則：

A但我們不知道λ，需進一步分析。關(guān)鍵：M,N都在圓上，且都在過A設(shè)這條直線方向向量為d，參數(shù)方程為：

r代入圓方程：

(這是關(guān)于t的二次方程，兩根t1,t2對應(yīng)點設(shè)AN=t但題目未指定誰是誰，關(guān)鍵是求A由方程：

t所以：

A但這與選項不符？等等！錯誤：上面假設(shè)了方向向量為(p,q)，但實際p,q是任意的，然而t1但答案沒有6？選項是7哪里錯了？重新檢查代入過程：點(1+tp(1+tp?3所以常數(shù)項是7，不是6！修正：

t所以結(jié)果恒為7故答案為：B．7總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查向量共線、點在圓上、參數(shù)方程代入圓、根與系數(shù)關(guān)系及向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用。2.題目求解要點將圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式；利用AM=λAN設(shè)過A的直線參數(shù)方程，代入圓得二次方程；利用韋達定理得t1數(shù)量積AM3.同類型題目解題步驟分析向量關(guān)系，確定點共線；設(shè)直線參數(shù)方程P=代入圓方程得到關(guān)于t的二次方程；利用韋達定理求t1表達向量數(shù)量積為t1發(fā)現(xiàn)結(jié)果與方向無關(guān)，得出定值。題目：第5題：已知直線mx+y?m+2=0與圓(x+2)2+y2=18交于A,B解答：圓：(x+2)2+直線：mx+y弦長∣AB∣可由公式：

∣AB∣先求d：直線：m點(?2,0則：

∣記f(m)=(3m?2)2m2求f(m令u=m，考慮函數(shù)：求導(dǎo)或配方法：設(shè)f(令y則yy有實根?判別式≥0：

所以f(m)此時：

∣故答案為：D．2總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查直線與圓相交的弦長公式、點到直線距離、函數(shù)最值（有理函數(shù)最大值）的綜合運用。2.題目求解要點使用弦長公式∣A將d表示為參數(shù)m的函數(shù)；將弦長表示為m的函數(shù)；轉(zhuǎn)化為求分式函數(shù)最大值問題；用判別式法或求導(dǎo)法求最值。3.同類型題目解題步驟寫出圓心、半徑；計算圓心到直線的距離d(寫出弦長表達式∣A將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的函數(shù)；求該函數(shù)的最小值（通常通過最大化d2可使用判別式法、求導(dǎo)法或配方法。題目：第6題：一艘海監(jiān)船O在海面，雷達監(jiān)測范圍是半徑25?km的圓。輪船從正東30?km的A處出發(fā)，駛向正北40?km的B處島嶼，速度28?km/h。求輪船被監(jiān)測到的時長（??）

A．1小時??B．0.75小時解答：建系：以海監(jiān)船O為原點(則：A(B(輪船從A到B，路徑為直線段A雷達監(jiān)測范圍：以O(shè)(0,0)為圓心，半徑求輪船在圓內(nèi)的路徑長度，再除以速度得時間。先求直線AB兩點式：

y聯(lián)立圓：

x乘以9：

25判別式：

Δ解：

x對應(yīng)y：x=15x=23.4兩點為(計算距離：

∣速度28?km/h，時間：故答案為：C．0.5小時總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查直線與圓相交的實際應(yīng)用，涉及坐標(biāo)系建立、直線方程、聯(lián)立方程求交點、兩點距離及時間計算。2.題目求解要點建立適當(dāng)坐標(biāo)系；寫出直線AB聯(lián)立圓方程求交點；計算弦長（即被監(jiān)測路徑）；用t=s3.同類型題目解題步驟建系，標(biāo)出關(guān)鍵點坐標(biāo)；寫出運動軌跡的直線方程；聯(lián)立圓形區(qū)域方程求交點；計算兩交點間距離；除以速度得時間；注意單位統(tǒng)一。板書設(shè)計直線與圓的位置關(guān)系

├─位置關(guān)系（三種）

│├─相交：有兩個公共點

│├─相切：有且僅有一個公共點

│└─相離：無公共點

├─判斷方法一：聯(lián)立方程組

│├─聯(lián)立：

││{Ax+By+C=0(x?a)2+(y?b)2=r2

│├─解的個數(shù)→公共點個數(shù)

││├─兩個解：相交

││├─一個解：相切

││└─無解：相離

│└─若相交：解得交點，用∣AB∣=(