模型01倒角模型易錯(cuò)模型1：飛鏢模型（燕尾）模型模型解讀：飛鏢（燕尾）模型看起來(lái)特別簡(jiǎn)單，在復(fù)雜幾何圖形倒角時(shí)往往有巧妙的作用。因?yàn)槟Ｐ拖耧w鏢（回旋鏢）或燕尾，所以我們稱為飛鏢（燕尾）模型。圖1圖2圖3基本模型：條件：如圖1，凹四邊形ABCD；結(jié)論：①；②。拓展模型1：條件：如圖2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；結(jié)論：∠O=（∠A+∠C）。拓展模型2：條件：如圖3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD；結(jié)論：∠O=（∠D-∠B）。易錯(cuò)提醒：在應(yīng)用飛鏢模型時(shí)，輔助線的使用非常重要。如何正確地通過(guò)輔助線將相關(guān)圖形拆解成飛鏢模型，是解題的關(guān)鍵。如果輔助線的使用不當(dāng)，可能會(huì)導(dǎo)致解題過(guò)程復(fù)雜化，甚至得出錯(cuò)誤的結(jié)果。?例1．（2024·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”：如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”．當(dāng)我們仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，它實(shí)際上就是凹四邊形．那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢？下面我們進(jìn)行認(rèn)識(shí)與探究：凹四邊形通俗地說(shuō)，就是一個(gè)角“凹”進(jìn)去的四邊形，其性質(zhì)有：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個(gè)內(nèi)角之和．（即如圖1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C）理由如下：方法一：如圖2，連接AB，則在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如圖3，連接CD并延長(zhǎng)至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個(gè)外角，......大家在探究的過(guò)程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論，你有自己的方法嗎？任務(wù)：(1)填空：“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是；(2)探索：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過(guò)程的剩余部分；(3)應(yīng)用：如圖4，AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，AE與BF交于G，若∠ADB=150°，∠AGB=110°，請(qǐng)你直接寫出∠C的大小．變式1．（2024·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，用鐵絲折成一個(gè)四邊形ABCD（點(diǎn)C在直線BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分線的夾角∠E的度數(shù)為100°，可保持∠A不變，將∠BCD（填“增大”或“減小”）°．變式2．（2024·四川·中考模擬預(yù)測(cè)）箭頭四角形,模型規(guī)律:如圖1，延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)D，則．因?yàn)榘妓倪呅蜛BOC形似箭頭，其四角具有“”這個(gè)規(guī)律，所以我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用:（1）直接應(yīng)用：①如圖2，．②如圖3，的2等分線（即角平分線）交于點(diǎn)F，已知，則③如圖4，分別為的2019等分線．它們的交點(diǎn)從上到下依次為．已知，則度易錯(cuò)模型2：風(fēng)箏（鷹爪）與角內(nèi)（外）翻模型模型解讀：風(fēng)箏（鷹爪）與角內(nèi)（外）翻模型表面上看有點(diǎn)區(qū)別，但是本質(zhì)上是一致的。圖1圖21）鷹爪模型：結(jié)論：如圖1，∠A+∠O=∠1+∠2；2）鷹爪模型（變形）：結(jié)論：如圖2，∠A+∠O=∠2-∠1。圖3圖4翻角模型：條件：如圖3，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE內(nèi)部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠1+∠2；條件：如圖4，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE外部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠2-∠1。易錯(cuò)提醒：根據(jù)圖中相關(guān)輔助線，利用外角定理即可證明相關(guān)結(jié)論。例1．（2024·河南·九年級(jí)校考期中）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．在數(shù)學(xué)探究課上，老師出了這樣一個(gè)題：如圖1，銳角內(nèi)部有一點(diǎn)D，在其兩邊和上各取任意一點(diǎn)E，F(xiàn)，連接．求證：．小麗的證法小紅的證法證明：如圖2，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)M，，（

依據(jù)

），又∵，，∴．證明：∵，（量角器測(cè)量所得），∴，（計(jì)算所得）．∴（等量代換）．任務(wù)：(1)小麗證明過(guò)程中的“依據(jù)”是指數(shù)學(xué)定理：_______________；(2)下列說(shuō)法正確的是____________．A．小麗的證法用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理B．小麗的證法還需要改變的大小，再進(jìn)行證明，該定理的證明才完整C．小紅的證法用特殊到一般的方法證明了該定理D．小紅的證法只要將點(diǎn)D在的內(nèi)部任意移動(dòng)100次，重新測(cè)量進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理(3)如圖，若點(diǎn)D在銳角外部，與相交于點(diǎn)G，其余條件不變，原題中結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)?zhí)剿髦g的關(guān)系．例2．（2024·重慶黔江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，中，，，．點(diǎn)是邊上的定點(diǎn)，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，沿折疊，折疊后點(diǎn)落在點(diǎn)處．下面我們來(lái)研究折疊后的有一邊與原三角形的一邊平行時(shí)的值．

(1)首先我們來(lái)研究邊．因?yàn)楹偷?、相交，所以只有一種可能的情況（如圖2），，此時(shí)．(2)其次，我們來(lái)研究邊．因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以可能與的邊、邊分別平行．當(dāng)時(shí)（如下圖），則．當(dāng)時(shí)（如下圖），則．(3)最后，我們來(lái)研究邊．因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以可能與的邊、邊分別平行．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．

變式1．（2024·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）三角形內(nèi)角和定理告訴我們：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于如何證明這個(gè)定理呢？我們知道，平角是，要證明這個(gè)定理就是把三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)移到一個(gè)平角中去，請(qǐng)根據(jù)如下條件，證明定理．（1）【定理證明】已知：如圖①，求證：．

（2）【定理推論】如圖②，在中，有，點(diǎn)D是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，由平角的定義可得，所以_______，從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．【初步運(yùn)用】如圖③，點(diǎn)D、E分別是的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．（3）若，，則_______．（4）若，則_______．【拓展延伸】如圖④，點(diǎn)D、E分別是四邊形的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．（5）若，，則_________．（6）分別作和的平分線，如圖⑤，若，則和的關(guān)系為_(kāi)_________．（7）分別作和的平分線，交于點(diǎn)O，如圖⑥，求出，和的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由．

變式2．（2024·福建·九年級(jí)校聯(lián)考期中）中，，點(diǎn)、分別是邊、上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，令，，．初探：(1)如圖，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，①當(dāng)時(shí)，則______；②、、之間的關(guān)系為：______．(2)再探：若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到邊的延長(zhǎng)線上，如圖，則、、之間有何關(guān)系？并說(shuō)明理由．(3)拓展：請(qǐng)你試著給出一個(gè)點(diǎn)的其他位置，在圖中補(bǔ)全圖形，寫出此時(shí)、、之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．變式3．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將四邊形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在四邊形外點(diǎn)的位置，點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置，若，，則等于（）A． B． C． D．變式4．（2023·重慶渝北·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點(diǎn)與B'點(diǎn)重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°變式5．（2023·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，將沿直線m翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．易錯(cuò)模型3：“8”字模型模型解讀：“8”字模型通常是由兩條相交直線和它們所夾的兩條線段（或延長(zhǎng)線）組成的，形狀類似于數(shù)字“8”。?圖1圖21）8字模型（基礎(chǔ)型）條件：如圖1，AD、BC相交于點(diǎn)O，連接AB、CD；結(jié)論：①；②。2）8字模型（加角平分線）條件：如圖2，線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD；結(jié)論：2∠P=∠B+∠D易錯(cuò)提醒：?“8”字模型的主要易錯(cuò)點(diǎn)包括對(duì)應(yīng)關(guān)系的書寫錯(cuò)誤和證明過(guò)程中的邏輯錯(cuò)誤。例1．（2024·廣東深圳·八年級(jí)?？计谀?）在圖1中，請(qǐng)直接寫出、、、之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)個(gè)；（3）如果圖2中，，，與分別是和的角平分線，試求的度數(shù)；（4）如果圖2中和為任意角，其他條件不變，試問(wèn)與，之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論即可）．變式1．（2024·重慶·九年級(jí)校考期中）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．(1)如圖1，線段，交于點(diǎn)，連接，，判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，平分，為上任意一點(diǎn)，在，上截取，連接，．求證：；(3)如圖3，在中，，為角平分線上異于端點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，求證：．變式2．（2024·浙江·八年級(jí)?？计谥校┨骄款}：(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則，，，四個(gè)角的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，若，的角平分線，交于點(diǎn)，則與，的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；(3)如圖3，，分別平分，，當(dāng)時(shí)，試求的度數(shù)（提醒：解決此問(wèn)題可以直接利用上述結(jié)論）；(4)如圖4，如果，，當(dāng)時(shí)，則的度數(shù)為_(kāi)_____．易錯(cuò)模型4：“A”字模型模型解讀：如圖，B、C分別是∠DAE兩邊上的點(diǎn)，連結(jié)BC，形狀類似于字母A，故稱為“A”字模型。條件：如圖，在?ABC中，∠1、∠2分別為∠3、∠4的外角；結(jié)論：①∠1+∠2=∠A+180°；②∠3+∠4=∠D+∠E易錯(cuò)提醒：（1）部分學(xué)生可能對(duì)“A”字模型的理解不夠深入，容易忽略模型的關(guān)鍵特征和應(yīng)用條件，導(dǎo)致在解題時(shí)出現(xiàn)偏差。（2）在實(shí)際應(yīng)用中，學(xué)生可能會(huì)錯(cuò)誤地將“A”字模型應(yīng)用于不符合條件的幾何圖形，導(dǎo)致解題失敗。例1．（23-24八年級(jí)下·河南·期末）在學(xué)習(xí)完三角形的內(nèi)角、外角相關(guān)知識(shí)后，利用三角形的內(nèi)角和同學(xué)們很容易證明三角形的一個(gè)外角與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的關(guān)系．于是，愛(ài)思考的小紅在想，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？①嘗試探究：如圖1，與分別為的兩個(gè)外角，試探究與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？解：數(shù)量關(guān)系：．理由：∵與分別為的兩個(gè)外角，∴．∴．∵三角形的內(nèi)角和為，∴．∴．小紅順利地完成了探究過(guò)程，并想考一考同學(xué)們，請(qǐng)同學(xué)們利用上述結(jié)論完成下面的問(wèn)題．②初步應(yīng)用：（1）如圖2，在紙片中剪去，得到四邊形，，則；（2）如圖3，在中，分別平分外角，則與有何數(shù)量關(guān)系？；（直接填答案）；③拓展提升：（3）如圖4，在四邊形中，分別平分外角，則與有何數(shù)量關(guān)系？為什么？（若需要利用上面的結(jié)論說(shuō)明，可直接使用，不需說(shuō)明理由）。變式1．（2024·河北邯鄲·?？家荒＃┤鐖D，已知在中，，若沿圖中虛線剪去，則的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．變式2．（2024·江蘇·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則等于_______．（2）如圖2，已知中，，剪去后成四邊形，求的值．（3）如圖2，請(qǐng)你歸納猜想與的關(guān)系是______，并說(shuō)明理由．（4）如圖3，若沒(méi)有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究與的關(guān)系并說(shuō)明理由．易錯(cuò)模型5：三角板拼接模型模型解讀由一副三角板拼湊出的幾個(gè)圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ汀D①中：∠A=30°，∠C=60°，圖②中：∠A=∠C=45°，易錯(cuò)提醒：在拼接三角形時(shí)，需要注意角度的累加。例如：兩個(gè)30°的角拼接在一起并不總是60°，因?yàn)檫€需要考慮外部角度的影響。正確的角度計(jì)算是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵?例1．（23-24八年級(jí)下·山東·階段練習(xí)）如圖①，將三角板與三角板擺放在一起，其中，，，如圖②，固定三角板，將三角板繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角．(1)當(dāng)為_(kāi)_____時(shí)，；(2)當(dāng)?shù)囊贿^(guò)與的某一邊平行（不共線）時(shí)，寫出旋轉(zhuǎn)角的所有可能的度數(shù)；(3)當(dāng)時(shí)，連結(jié)，分別交、于點(diǎn)、，利用圖③探值的大小變化情況，并給出你的證明．變式1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）小華將一副三角板（，，）按如圖所示的方式擺放，其中，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．變式2．（2024·江蘇·校考二模）一副三角板如圖所示擺放，其中含角的直角三角板的直角頂點(diǎn)在另一個(gè)三角板的斜邊上，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．易錯(cuò)模型6：高分線模型模型解讀高分線模型：過(guò)三角形一個(gè)頂點(diǎn)的高與角平分線的夾角等于另外兩個(gè)角差的絕對(duì)值的一半。1）條件：如圖1，在中，，分別是的高和角平分線，結(jié)論：．2）條件：如圖2，F(xiàn)為的角平分線AE的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，于D，結(jié)論：．

易錯(cuò)提醒：（1）在高分線模型中，高與角平分線的夾角等于另外兩個(gè)角差的絕對(duì)值的一半。這個(gè)關(guān)系在解題過(guò)程中需要特別注意，因?yàn)殄e(cuò)誤的計(jì)算會(huì)導(dǎo)致整個(gè)問(wèn)題的解答錯(cuò)誤。（2）在解題過(guò)程中，需要正確應(yīng)用幾何定理，如角平分線的性質(zhì)、垂直線的性質(zhì)等。錯(cuò)誤的定理應(yīng)用會(huì)導(dǎo)致解題方向錯(cuò)誤。??例1．（23-24八年級(jí)上·廣東·?？计谥校┮阎涸谥校?，平分交于點(diǎn)．

(1)如圖①，于點(diǎn)，若，求的度數(shù)；(2)如圖①，于點(diǎn)，若，求的度數(shù)（用含的式子表示）；(3)如圖②，在中，于點(diǎn)，是上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，且，請(qǐng)你運(yùn)用（2）中的結(jié)論求出的度數(shù)；(4)在（3）的條件下，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上（如圖③），其他條件不變，則的度數(shù)會(huì)發(fā)生改變嗎？說(shuō)明理由．變式1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在中，，是高，以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)E，再分別以B、E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部交于點(diǎn)F，作射線，則．變式2．（2024·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，分別是的高和角平分線．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論．

易錯(cuò)模型7：雙垂直模型模型解讀：雙垂直模型的定義是一個(gè)三角形中有兩條高，則圖中會(huì)產(chǎn)生多個(gè)直角三角形。條件：如圖所示，在△ABC中，BD，CE是兩條高，（?雙垂直模型的核心是倒角之間的關(guān)系）結(jié)論：①∠ABD=∠ACE；②∠A=∠BOE=∠COD；③。易錯(cuò)提醒：在計(jì)算角度時(shí)，容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤包括計(jì)算錯(cuò)誤和忽略某些條件。例如，在倒角雙垂直模型中，可能需要計(jì)算多個(gè)角度，如果計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，會(huì)導(dǎo)致最終結(jié)果不準(zhǔn)確。例1．（2023·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）如圖，，垂足分別為D，E．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．變式1．（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）在中，，是它的兩條高，直線交于點(diǎn)F，．變式2．（2024·重慶·八年級(jí)校考期末）如圖，在中，，，于點(diǎn)F，于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，．(1)求的度數(shù)．(2)若，求的長(zhǎng)．

易錯(cuò)模型8：子母型雙垂直模型（射影模型）模型解讀子母型雙垂直模型的定義是一個(gè)直角三角形和斜邊上的高。子母型雙垂直模型的核心還是倒角之間的關(guān)系。條件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高線，結(jié)論：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。

易錯(cuò)提醒：（1）部分學(xué)生對(duì)字母型雙垂直模型的理解不夠深入，容易混淆模型中的各個(gè)元素和關(guān)系，導(dǎo)致在應(yīng)用模型時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。（2）在證明過(guò)程中，確保每一步都合理且必要，避免遺漏重要條件或步驟，使證明過(guò)程更加嚴(yán)謹(jǐn)和完整.??例1．（23-24八年級(jí)下·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在中，，D是AB上一點(diǎn)，且．

(1)求證：證明：∵在中，（已知）∴（___________），又∵（已知），∴（等量代換），∵（___________），∴，∴．(2)如圖②，若的平分線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：；(3)如圖③．若E為上一點(diǎn)，交于點(diǎn)F，，，．①___________；（用含m的代數(shù)式表示）②四邊形的面積是___________．（用含m的代數(shù)式表示）變式1．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，是高，若，，則變式2．（2024·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，是高，是中線，是角平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，下面結(jié)論：①的面積等于的面積；②；③；④．其中正確的是（

）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④易錯(cuò)模型9：雙角平分線模型（雙內(nèi)角）模型解讀：雙角平分線模型1：當(dāng)這兩個(gè)角為內(nèi)角時(shí)，這夾角等于90°與第三個(gè)角的一半的和。1）兩內(nèi)角平分線的夾角模型圖1圖2圖3條件：如圖1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BP，CP交于點(diǎn)P；結(jié)論：。2）凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型1條件：如圖2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：2∠P=∠A+∠D。3）凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型2條件：如圖3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：。易錯(cuò)提醒：雙角平分線模型有多種情況，包括內(nèi)角平分線、外角平分線以及混合情況。學(xué)生在應(yīng)用這些模型時(shí)，可能會(huì)因?yàn)閷?duì)不同情況的理解和應(yīng)用不當(dāng)而導(dǎo)致錯(cuò)誤。例1．（2024·山東·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．(1)求證：∠AOC＝90°＋∠ABC；(2)當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，且AO＝3OD（如圖2），判斷線段AE，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．變式1．（2024·安徽阜陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)到三邊的距離相等，若，則．變式2．（2023·天津·八年級(jí)期中）探究一：已知：如圖1，與分別為的兩個(gè)外角．試探究與的數(shù)量關(guān)系（即列出一個(gè)含有，，的等式，直接寫出答案即可）；探究二：已知：如圖2，在中，分別平分和，求：與的數(shù)量關(guān)系；探究三：若將探究2中的改為任意四邊形呢？即：如圖3，在四邊形中，分別平分和，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論探究與的數(shù)量關(guān)系。易錯(cuò)模型10：雙角平分線模型（一內(nèi)角一外角）模型解讀：雙角平分線模型2：當(dāng)這兩個(gè)角為一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角時(shí)，這夾角等于第三個(gè)角的一半。圖1圖21）一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型條件：如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：．2）一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型（累計(jì)平分線）條件：如圖2，，∠ABC、∠ACD的平分線相交于點(diǎn)，的平分線相交于點(diǎn)，，的平分線相交于點(diǎn)……以此類推；結(jié)論：的度數(shù)是．易錯(cuò)提醒：雙角平分線模型有多種情況，包括內(nèi)角平分線、外角平分線以及混合情況。學(xué)生在應(yīng)用這些模型時(shí)，可能會(huì)因?yàn)閷?duì)不同情況的理解和應(yīng)用不當(dāng)而導(dǎo)致錯(cuò)誤。例1．（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）如圖，在菱形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，，，是菱形的外角，點(diǎn)是的角平分線上任意一點(diǎn)，連接、，則的面積等于（

）A．6 B．9 C．12 D．無(wú)法確定變式1．（2024·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┲?，．現(xiàn)進(jìn)行第一次操作：如圖1作射線，使得，作射線，使得．再進(jìn)行第二次操作：如圖2作射線，使得，作射線，使得．再進(jìn)行第三次操作：如圖3作射線使得，作射線，使得．則．變式2．（23-24九年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）如圖1，的內(nèi)角和外角的平分線相交于點(diǎn)，平分并交于點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；（用含的代數(shù)式表示）(2)若，且，求的值；（提示：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)）；(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，其中，，，當(dāng)點(diǎn)為的三等分點(diǎn)時(shí)，直接寫出點(diǎn)到射線的距離．易錯(cuò)模型11：雙角平分線模型（雙外角）模型解讀雙角平分線模型3：當(dāng)這兩個(gè)角為外角時(shí)，這夾角等于90°與第三個(gè)角的一半的差。 圖1圖2圖31）兩外角平分線的夾角模型條件：如圖1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分線；結(jié)論：．2）旁心模型旁心：三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)條件：如圖2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)D；結(jié)論：AD平分∠CAD。易錯(cuò)提醒：雙角平分線模型有多種情況，包括內(nèi)角平分線、外角平分線以及混合情況。學(xué)生在應(yīng)用這些模型時(shí)，可能會(huì)因?yàn)閷?duì)不同情況的理解和應(yīng)用不當(dāng)而導(dǎo)致錯(cuò)誤。例1．（2024·山西大同·二模）閱讀下列材料并完成相應(yīng)的任務(wù)．三角形的旁心三角形一個(gè)內(nèi)角的平分域和其他兩個(gè)內(nèi)角的外角平分線的交點(diǎn)，稱為該三角形的旁心，每個(gè)三角形有三個(gè)旁心．已知：如圖1，在中，的外角與的平分線，相交于點(diǎn)I．作射線．求證：平分．證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)I分別作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．平分，，．，用理可得．……任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明過(guò)程的剩余部分．(2)圖1中各角之間存在特殊的數(shù)量關(guān)系：①；②；③．請(qǐng)你選擇一個(gè)結(jié)論進(jìn)行證明．(3)如圖3，在中，，點(diǎn)D是的一個(gè)旁心，過(guò)點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．變式1．（2024·貴州遵義·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖（1），，是的外角，的平分線所在直線與的平分線交于點(diǎn)D，與的平分線交于點(diǎn)E．(1)若，則度；(2)若，求∠E的度數(shù)；(3)在圖（1）的條件下，沿作射線，連接，如圖（2）．求證：平分．變式2．（2023·山東青島·一模）【閱讀理解】三角形內(nèi)角和定理告訴我們：如圖①，三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于．如圖②，在中，有，點(diǎn)D是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．由平角的定義可得，所以．從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．【初步應(yīng)用】如圖③，點(diǎn)D，E分別是的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，（1）若，則______；（2）若，則______；（3）若，則______．【拓展延伸】如圖④，點(diǎn)D，E分別是的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，（4）若，分別作和的平分線交于點(diǎn)O，則______；（5）若，分別作和的三等分線交于點(diǎn)O，且，，則______；（6）若，分別作和的n等分線交于點(diǎn)O，且，，則______．易錯(cuò)模型12：平行線中的拐點(diǎn)模型模型解讀：平行線+拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問(wèn)題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。常見(jiàn)平行線+拐點(diǎn)模型有：豬蹄模型(M型)、鉛筆頭模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型等。拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來(lái)，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見(jiàn)拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。易錯(cuò)提醒：（1）部分學(xué)生可能對(duì)平行線和拐點(diǎn)的基本概念理解不深，導(dǎo)致在應(yīng)用模型時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。（2）在計(jì)算角度時(shí)，由于疏忽或計(jì)算錯(cuò)誤，導(dǎo)致結(jié)果不準(zhǔn)確。（3）在具體題目中，不能正確應(yīng)用這些模型，導(dǎo)致解題方向錯(cuò)誤。例1．（2024·山西·二模）如圖是一種衛(wèi)星接收天線的軸截面示意圖，衛(wèi)星波束與平行射入接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行于主光軸的光線和經(jīng)過(guò)凸透鏡的折射后，折射光線和折射光線交主光軸于點(diǎn)P，若，，則°．例3．（2024·重慶江津·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，如果，，那么的度數(shù)為．

例4．（2024·河南·統(tǒng)考三模）如圖，已知，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例5．（2023·四川廣元·統(tǒng)考三模）珠江流域某江段江水流向經(jīng)過(guò)B、C、D三點(diǎn)，拐彎后與原來(lái)方向相同，如圖，若，則等于（

）A．50° B．40° C．30° D．20°變式1．（2023春·河南駐馬店·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，，，若，則為（

）A．23° B．33° C．44° D．46°變式2．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）抖空竹是一種傳統(tǒng)雜技節(jié)目，是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．如圖1是某同學(xué)“抖空竹”的一個(gè)瞬間，若將其抽象成圖2的數(shù)學(xué)問(wèn)題：在平面內(nèi)，已知，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．變式3．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，已知，是等腰直角三角形，，頂點(diǎn)分別在上，當(dāng)時(shí)，．變式4．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，這是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺(tái)平行若，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．變式5．（24-25九年級(jí)上·湖北·課后作業(yè)）①如圖①，，則；②如圖②，，則；③如圖③，，則；④如圖④，直線，點(diǎn)在直線上，則．以上結(jié)論正確的是（

）A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．②③④1-1．（23-24·吉林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）圖1是用一種彭羅斯瓷磚平鋪成的圖案，它的基礎(chǔ)部分是“風(fēng)箏”和“飛鏢”兩郎分，圖2中的“風(fēng)箏”和“飛鏢”是由圖3所示的特殊菱形制作而成．在菱形中，，在對(duì)角線上截取，連按，，可將菱形分割為“風(fēng)箏”（凸四邊）和“飛鏢”（凹四邊形）兩部分，則圖2中的°．1-2．（2024·湖北八年級(jí)期中）如圖，，的角平分線交于點(diǎn)，若，，則的度數(shù)（

）A． B． C． D．1-3．（2023·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的符號(hào)——箭號(hào)．我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”．

探究：（1）觀察“箭頭四角形”，試探究與、、之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；應(yīng)用：（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，若，則；②如圖3，、的2等分線（即角平分線）、相交于點(diǎn)，若，，求的度數(shù)；拓展：（3）如圖4，，分別是、的2020等分線（），它們的交點(diǎn)從上到下依次為、、、…、．已知，，則度．2-1．（2024·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，、、分別為、、的外角判斷下列大小關(guān)系何者正確？（）A．B．C．D．2-2．（2023·湖北武漢·八年級(jí)校考階段練習(xí)）（1）如圖，將沿折疊，使點(diǎn)A落在的內(nèi)部的點(diǎn)M處，當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)；（2）如圖，將沿折疊，使點(diǎn)A落在的外部的點(diǎn)M處．求圖中，，之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖，將、一起沿折疊，使點(diǎn)A、點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M、N分別落在射線的左右兩側(cè)，，，、的數(shù)量關(guān)系．(直接寫結(jié)果，不需要過(guò)程）2-3．（2024·重慶·九年級(jí)?？计谥校ⅰ鰽BC沿著DE翻折，使點(diǎn)A落到點(diǎn)A′處，A′D、A′E分別與BC交于M、N兩點(diǎn)，且DEBC．已知∠A′NM＝27°，則∠NEC＝．2-4．（2023·遼寧·中考真題）如圖，在三角形紙片中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，將三角形紙片沿對(duì)折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為．

2-5．（2023春·江蘇宿遷·七年級(jí)?？计谥校?）如圖1，將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置．則之間的數(shù)量關(guān)系為：_______；（2）如圖2，若將（1）中“點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置”變?yōu)椤包c(diǎn)落在四邊形外點(diǎn)的位置”，則此時(shí)之間的數(shù)量關(guān)系為：_________；（3）如圖3，將四邊形紙片（，與不平行）沿折疊成圖3的形狀，若，，求的度數(shù)；（4）在圖3中作出的平分線，試判斷射線的位置關(guān)系，當(dāng)點(diǎn)在邊上向點(diǎn)移動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)重合），的大小隨之改變（其它條件不變），上述，的位置關(guān)系改變嗎？為什么？

3-1．（2024·山東德州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1，已知線段相交于點(diǎn)O，連接，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．(1)求證：；(2)如圖2，若和的平分線和相交于點(diǎn)P，且與分別相交于點(diǎn)．①若，求的度數(shù)；②若角平分線中角的關(guān)系改為“”，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系．3-2．（2024·江蘇蘇州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）閱讀：基本圖形通常是指能夠反映一個(gè)或幾個(gè)定理，或者能夠反映圖形基本規(guī)律的幾何圖形．這些圖形以基本概念、基本事實(shí)、定理、常用的數(shù)學(xué)結(jié)論和基本規(guī)律為基礎(chǔ)，圖形簡(jiǎn)單又具有代表性．在幾何問(wèn)題中，熟練把握和靈活構(gòu)造基本圖形，能更好地幫助我們解決問(wèn)題．我們將圖1①所示的圖形稱為“8字形”．在這個(gè)“8字形”中，存在結(jié)論．我們將圖1②所示的凹四邊形稱為“飛鏢形”．在這個(gè)“飛鏢形”中，存在結(jié)論．

(1)直接利用上述基本圖形中的任意一種，解決問(wèn)題：如圖2，、分別平分、，說(shuō)明：．(2)將圖2看作基本圖形，直接利用（1）中的結(jié)論解決下列問(wèn)題：①如圖3，直線平分的外角，平分的外角，若，，求的度數(shù)．②在圖4中，平分的外角，平分的外角，猜想與、的關(guān)系（直接寫出結(jié)果，無(wú)需說(shuō)明理由）．③在圖5中，平分，平分的外角，猜想與、的關(guān)系（直接寫出結(jié)果，無(wú)需說(shuō)明理由）．

4-1．（2023·浙江·八年級(jí)期中）如圖是某建筑工地上的人字架，若，那么的度數(shù)為．

4-2．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）在中，數(shù)據(jù)如圖所示，若比小，則比（

）A．大 B．小 C．大 D．小5-1．（2024·四川涼山·中考真題）一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．5-2．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）將一副直角三角板如圖放置，已知，，，則°．5-3．（2024·浙江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）有一副直角三角板、，其中，，．如圖，將三角板的頂點(diǎn)E放在上，移動(dòng)三角板，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A沿向點(diǎn)B移動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)E、C、D始終保持在一條直線上．下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②逐漸變?。虎廴糁本€與直線交于點(diǎn)M，則為定值；④若的一邊與的某一邊平行，則符合條件的點(diǎn)E的位置有3個(gè)．正確的有．（填序號(hào)）

6-1．（2024·重慶涪陵·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，鈍角中，為鈍角，為邊上的高，為的平分線，則與、之間有一種等量關(guān)系始終不變，下面有一個(gè)規(guī)律可以表示這種關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)的是（

）A．B．C．D．6-2．（23-24八年級(jí)上·湖南郴州·期末）在中，，平分．(1)如圖（1），于D，若，求；(2)如圖（1），于D，猜想與有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明你的理由；(3)如圖（2），F(xiàn)為上一點(diǎn)，于D，這時(shí)與又有什么數(shù)量關(guān)系？________；（不用證明）(4)如圖（3），F(xiàn)為的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，于D，這時(shí)與又有什么數(shù)量關(guān)系？________．（不用證明）6-3．（2024·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)期中）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角形的角與三角形的特殊線段”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)【操作判斷】在中，，，作的平分線交于點(diǎn)．①操作一：在下圖中，用三角尺作邊上的高，垂足為點(diǎn)，求的度數(shù)；②操作二：如圖1，在上任取點(diǎn)，作，垂足為點(diǎn)，直接寫出的度數(shù)；

(2)【遷移探究】操作三：如圖2，將（1）中“在上任取點(diǎn)”改為“在的延長(zhǎng)線上任取點(diǎn)”其他條件不變，判斷的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化，并說(shuō)明理由；(3)【拓展應(yīng)用】如圖3、圖4在中，，，是的平分線，在直線上任取點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與直線交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系．

7-1．（2024·陜西·?？家荒＃┤鐖D，在中，分別是邊上的高，并且交于點(diǎn)P，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．7-2．（2024·重慶·三模）如圖，中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，已知，，則的面積為．7-3．（2024·安徽·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，和分別是邊上的高，若，，則的值為（）．A． B． C． D．8-1．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，中，，于點(diǎn)D，若，則的長(zhǎng)度為（

）A．5 B．4 C．3 D．28-2．（2023下·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，、分別是的高和角平分線，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，則．

8-3．（23-24八年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）如圖，在中，，D是上一點(diǎn)，且．(1)求證：(2)如圖②，若的平分線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：；(3)如圖③，若E為上一點(diǎn)，交于點(diǎn)F，，，．①求的值；②四邊形的面積是______．