第頁，共頁第19頁，共19頁延邊州2025年高三教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)本試卷共6頁.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺.不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若“”的充分不必要條件是“”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分不必要條件的判斷即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由＂＂的充分不必要條件是＂＂，得，但，所以．故選：B.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則的復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可得到答案.【詳解】由題意得，則，其對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限．故選：D3.在中，，為中點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意作圖，根據(jù)圖象，利用平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，可得答案.【詳解】由題意可作圖如下：則，，由為的中點(diǎn)，則，.故選：A.4.已知正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對題目等式變形得，再利用乘“1”法即可得到答案.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù),滿足，所以，則：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以．故選：B．5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由輔助角公式及余弦二倍角公式即可求解；【詳解】由，可得，即，所以，故選：C6.在直三棱柱中，，，且，則該三棱柱的外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)因?yàn)?，利用正弦定理得外接圓半徑為，利用勾股定理即可得外接球半徑為，代入球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)外接圓半徑為，圓心為，設(shè)外接球球心為，半徑為，因?yàn)?，，在中由正弦定理有，則，則有，所以，所以球的體積為：，故選：D.7.編號為，，，，的5種蔬菜種在如圖所示的五塊實(shí)驗(yàn)田里，每塊只能種一種蔬菜，要求品種不能種在1，2試驗(yàn)田里，品種必須與品種在相鄰的兩塊田里，則不同的種植方法種數(shù)為（）A.24 B.30 C.36 D.54【答案】B【解析】【分析】對A所種位置進(jìn)行分類討論即可.【詳解】當(dāng)A種在4號田時，B只能種在3號，其余三種蔬菜在三個位置全排列，共有種結(jié)果，當(dāng)A種在5號田時，結(jié)果相同，也有6種；當(dāng)A種在3號田時，B有3種結(jié)果，余下的三種蔬菜在三個位置全排列，有種結(jié)果；根據(jù)分類計數(shù)原理，共有種結(jié)果．故選：B．8.如圖是函數(shù)的大致圖象，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由圖確定是的極小值點(diǎn)，求得，即可求解.【詳解】由圖可知，是的極小值點(diǎn)，由已知得，令，得，得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以，由，，可得，解得.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的或不選的得0分.9.下列命題中正確的是（）A.樣本甲中有件樣品，其方差為，樣本乙中有件樣品，其方差為，則由甲，乙組成總體樣本的方差為B.已知隨機(jī)變量，則C.數(shù)據(jù)，，，，，，的第80百分位數(shù)是8D.已知隨機(jī)變量，則【答案】BCD【解析】【分析】對A，根據(jù)方差公式即可判斷；對B，根據(jù)隨機(jī)變量的特點(diǎn)即可判斷；對C，利用百分位數(shù)計算公式即可判斷；對D，根據(jù)隨機(jī)變量的均值計算公式即可判斷.【詳解】對于A，記樣本甲，乙的平均數(shù)分別為，由甲乙組成的總體樣本的平均數(shù)為，則甲乙組成的總體樣本的方差為，故A不正確；對于B，因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以?shù)據(jù)1，3，4，5，7，8，10的第80百分位數(shù)是8，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以，所以，故D正確；故選：BCD．10.設(shè)是上的奇函數(shù)，且對都有，當(dāng)時，，則下列說法正確的是（）A.的最大值是1，最小值是0 B.當(dāng)時，C.點(diǎn)是函數(shù)的對稱中心 D.在區(qū)間上是增函數(shù)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)是上的奇函數(shù)得到，再由都有，得到的圖象關(guān)于對稱，然后推出是周期為4的周期函數(shù)，結(jié)合時，逐項(xiàng)判斷.【詳解】因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以，又對都有，所以的圖象關(guān)于對稱，因?yàn)椋?，所以，所以是周期?的周期函數(shù)，又當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，由的圖象關(guān)于對稱，得在上單調(diào)遞增，所以在上的最大值是，最小值是，故A錯誤；當(dāng)時，，則，故B正確；由對都有，得的圖象關(guān)于對稱，故C錯誤；由在上單調(diào)遞增，且周期為4，則在區(qū)間上是增函數(shù)，故D正確；故選：BD11.過點(diǎn)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，下列說法正確的是（）A.以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn) B.若，則C.若直線的斜率存在，則斜率為 D.【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)，聯(lián)立拋物線方程得到韋達(dá)定理式，計算即可判斷A；直接代入并利用焦半徑公式即可判斷B；求出，則，即可判斷C；計算得即可判斷D.【詳解】由題意可知直線斜率不為0，設(shè)，聯(lián)立得，則，對于A選項(xiàng)，，因?yàn)椋?，所以以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，A說法正確；對于B選項(xiàng)，若，則，由拋物線的定義可得，B說法錯誤；對于C選項(xiàng)，因?yàn)闉榫€段中點(diǎn)，所以，若直線的斜率存在，則，直線的斜率，C說法正確；對于D選項(xiàng)，，D說法正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是采用設(shè)線法并聯(lián)立拋物線方程得到韋達(dá)定理式，再整體代入一一判斷即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，若的周長為10，則的離心率為______.【答案】##【解析】【分析】由已知可得，再由的周長為10，可得，求出，從而可求出離心率.【詳解】由橢圓方程可得，得，因?yàn)槭巧弦稽c(diǎn)，所以，因?yàn)榈闹荛L為10，所以，得，所以的離心率為.故答案為：13.在中，角的對邊分別為，，，且的周長為，則角為______.【答案】【解析】【分析】由題意知，先根據(jù)正弦定理邊化角，再利用余弦定理求出角即可.【詳解】由題意知，，由正弦定理得，，即，所以，由余弦定理得，，又，所以.故答案為：.14.若函數(shù)的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】由題意可得有正根，參變分離后構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得其值域，即可得解.【詳解】當(dāng)時，，有解，∴有正根，即，令，則，故當(dāng)時，，當(dāng)單調(diào)遞增，，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，問題轉(zhuǎn)化為有解，得到在上有解，通過構(gòu)造函數(shù)求值域解決.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.（1）求，；（2）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）直接代入計算即可；（2）變形得，即可證明；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論得，再移項(xiàng)即可.【小問1詳解】，【小問2詳解】由得，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列.【小問3詳解】由（2）知數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，所以，即:.16.如圖，在四棱柱中，底面是矩形，，，，.（1）證明：平面平面；（2）若三棱錐的體積為，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可求解；（2）根據(jù)體積求出，利用空間直角坐標(biāo)系即可求解.【小問1詳解】因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，又，，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面；【小?詳解】因?yàn)?，，，所以，因?yàn)椋?，所以，即，由?）可知，，，兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，以直線，，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量，則，取，則，設(shè)平面的一個法向量，則，取，則，于是，故二面角的正弦值為.17.某生物研究小組準(zhǔn)備探究某地區(qū)棉花長絨分布規(guī)律，據(jù)統(tǒng)計該地區(qū)棉花有，個品種，且這兩個品種的種植數(shù)量大致相等，記種棉花和種棉花的絨長（單位：）分別為隨機(jī)變量，，其中服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布.（1）從該地區(qū)的棉花中隨機(jī)采摘一朵，求這朵棉花的絨長在區(qū)間的概率；（2）記該地區(qū)棉花的絨長為隨機(jī)變量，若用正態(tài)分布來近似描述的分布，請你根據(jù)（1）中的結(jié)果，求參數(shù)和的值（精確到0.1）；（3）在（2）的條件下，從該地區(qū)的棉花中隨機(jī)采摘3朵，記這3朵棉花中絨長在區(qū)間的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望（分布列寫出計算表達(dá)式即可）.參考數(shù)據(jù)：若，則，，.【答案】（1）；（2），．（3）分布列見解析，期望為.【解析】【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性計算即可；（2）首先求得，再根據(jù)（1）得到方程組，解出即可；（3）利用二項(xiàng)分布的模型即可得到其分布列，再計算其期望即可.【小問1詳解】記這朵棉花的線長為．因?yàn)锳種棉花和種棉花的個體數(shù)量大致相等，所以這朵棉花是A種還是種的可能性是相等的．所以．【小問2詳解】由于兩種棉花的個體數(shù)量相等，，的方差也相等，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，可知，由（1）可知得．【小問3詳解】設(shè)棉花的絨長為，則，由題有，所以，因此的分布列為0123.18.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率.（1）求雙曲線C的方程；（2）記雙曲線C的右頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線，與C的左支分別交于兩點(diǎn)，且，為垂足.（i）證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)坐標(biāo)；（ii）判斷是否存在定點(diǎn)，使得為定值，若存在說明理由并求出點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）（2）（i）證明見解析，；（ii）存在，，理由見解析【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)即可求得雙曲線C的方程：（2）（i）設(shè)直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，并結(jié)合條件進(jìn)行運(yùn)算，即可證明直線過定點(diǎn)；（ii）由，此時存在以為斜邊的直角三角形，從而可知存在定點(diǎn)為中點(diǎn)滿足，從而可求出點(diǎn)坐標(biāo)【小問1詳解】由題意，雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為，可得，解得，所以雙曲線方程.【小問2詳解】證明：（i）由（1）知，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，，即，設(shè)，由韋達(dá)定理可得.因?yàn)?，所以，可得，即，即，整理得，即，即，可得，解得，將代入直線，此時直線過定點(diǎn)，不合題意；將代入直線，此時直線過定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時，不妨設(shè)直線方程為，因?yàn)椋詾榈妊苯侨切?，此時點(diǎn)坐標(biāo)為，所以（舍）或，此時過定點(diǎn)，綜上可知，直線恒過定點(diǎn)（ii）因?yàn)?，此時存在以為斜邊的直角三角形，所以存在定點(diǎn)為中點(diǎn)滿足，此時.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二小問中通過分析直線與雙曲線的交點(diǎn)，求解直線MN的特性及其與雙曲線的交點(diǎn)M、N的坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而確定直線MN是否通過一個定點(diǎn)P，并探索是否存在一個定點(diǎn)Q，使得從點(diǎn)D到Q的距離為一個固定值。本題主要考查雙曲線的性質(zhì)和直線與雙曲線的綜合問題，屬于較難題.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的極值；（2）若，求的值；（3）求證：.【答案】（1）在處取得極小值，無極大值（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得最值；（2）分情況討論函數(shù)單調(diào)性與最值情況，可得參數(shù)值；（3）利用放縮法，由，可知若證，即證，再根據(jù)，可得證.【小問1詳解】當(dāng)時，，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，無極大值；【小問2詳解】由題意得，①