第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁安徽省鼎尖名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知等差數(shù)列滿足，則（

）A．1 B．2 C．3 D．42．雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．3．若直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．4．已知圓，則圓的圓心到坐標原點的距離為（

）A．1 B． C． D．5．已知平行六面體，滿足，，，．若的中點為，則的長度為（

）A．2 B． C． D．46．已知點，，點滿足，同時滿足，則點到軸的距離為（

）A． B． C．1 D．7．在空間直角坐標系中，有一個三棱柱，其中，，，則點到平面的距離為（

）A．1 B． C． D．28．已知拋物線的焦點為，圓．如圖，過點的直線與拋物線和圓的交點依次為，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為，前項和為．若，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列10．如圖，在棱長為4的正方體中，是線段上的動點，則下列說法正確的是（

）A．存在點使得平面B．無論點的位置，總有平面C．若是的中點，則到平面的距離為D．若直線與平面所成角的正弦值為，則11．已知橢圓的左、右焦點分別為，過點的直線交橢圓于，兩點，則下列說法正確的是（

）A．弦長的取值范圍為B．若、兩點的中點為，則直線的斜率為C．若點在第一象限，滿足的面積為1，則D．若弦的中垂線與軸交于點，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知數(shù)列的前項和為，且，則．13．已知過點有兩條直線與圓相切，切點分別為，，則．14．某同學(xué)設(shè)計了一種小游戲，規(guī)則如下：從第二局起，每一局將上一局中一個白球變成一個白球和一個黑球，一個黑球變成一個白球和兩個黑球．按如此規(guī)律，若初始第一局為一個白球，則第七局游戲后所得白球與黑球的總數(shù)為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知等差數(shù)列的首項為，公差，等比數(shù)列的首項為，公比為，且滿足，，．(1)求數(shù)列與的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．16．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，其縱坐標為，且．(1)求的值；(2)直線與拋物線相交于兩點，若，求面積的最大值．17．如圖，正六邊形的邊長為2，將梯形沿翻折至，形成多面體，其中為的中點，連接．

(1)若點為的中點，證明：平面；(2)若，求多面體的體積；(3)若二面角的大小為，求平面與平面夾角的余弦值．18．已知數(shù)列滿足，，是與的等比中項．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和；(3)若數(shù)列對任意的，當(dāng)時，都有成立，，求數(shù)列的前項和．19．已知曲線的離心率為，分別為的左、右焦點，過點的直線與交于兩點，面積的最大值為，點為的左頂點．(1)求曲線的方程；(2)證明：為定值；(3)已知雙曲線，若所在直線與雙曲線的左支分別交于點，點（均異于點），過點作的垂線，垂足為，證明：存在點使得為定值．

參考答案1．【答案】B【詳解】根據(jù)題意，因為，又因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，，可得，所以．故選：B2．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，，可知，所以漸近線方程為：．故選：A3．【答案】D【詳解】根據(jù)題意：向量所在的直線斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以可得傾斜角為．故選：D4．【答案】B【詳解】根據(jù)題意，圓可化為，所以圓的圓心為，所以圓心到坐標原點的距離為．故選：B5．【答案】C【詳解】根據(jù)題意，以，，為空間向量的一組基底，所以，，所以，可得，所以的長度為．故選：C.6．【答案】D【詳解】根據(jù)題意可知，點滿足，設(shè)，因為，所以可得，計算可得，，又因為點滿足，所以，計算可得，，所以點是兩個曲線的公共點，聯(lián)立兩式相減可得，代入圓可得，，所以點到軸的距離為．故選：D.7．【答案】C【詳解】設(shè)平面的法向量，則，令，則，，則平面的一個法向量為，因平面平面，則點到平面的距離等于點到平面的距離，即．故選：C.8．【答案】B【詳解】根據(jù)題意，圓，可得，所以該圓的圓心為，所以，，所以，設(shè)點，，易知斜率不為0，設(shè)方程為：，聯(lián)立拋物線方程消去可得：，所以，又，兩式相乘可得：，所以，因，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．即時，取得最小值.故選：B9．【答案】ACD【詳解】根據(jù)題意，解得故A正確；則，故B不正確；，C正確；因為，，所以，是等比數(shù)列，D正確．故選：ACD10．【答案】BCD【詳解】在正方體中易知，與不垂直，故A不正確；因為，又平面并且平面，所以平面，故B正確；正方體中易知，，不在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，所以平面，所以到平面的距離即為到平面的距離，在正方體中，易知平面平面，且相交于,所以到平面的距離即為到的距離，又因為點是的中點，所以點到直線的距離等于點到直線的距離，又，，解得，故C正確；設(shè)，所以，計算可得，所以，可得，所以直線與平面所成角的正弦為，所以，故D正確．故選：BCD11．【答案】AD【詳解】根據(jù)題意，因為直線過橢圓的右焦點，所以弦長的最短為通徑，弦長的最長為長軸，所以過右焦點的通徑為，長軸為，所以弦長的取值范圍為，故選項A正確；，當(dāng)時，，故選項B錯誤；因為，計算可得，所以，，因為點在第一象限，所以，故選項C不正確；設(shè)點、的中點為，聯(lián)立，可得，，，所以，所以點的坐標，所以、兩點的中垂線方程為，所以點的坐標為，所以，利用弦長公式可得，所以，故選項D正確.故選：AD12．【答案】【詳解】根據(jù)題意，故答案為：13．【答案】【詳解】根據(jù)題意，圓心，半徑為，設(shè)直線與圓相切于點，如圖，易知，，則，所以，則．故答案為：.14．【答案】233【詳解】根據(jù)題意，假設(shè)第局中的白球總數(shù)為，第局中的黑球總數(shù)為，第一局是1個白球，0個黑球，可知，，第二局，原來的一個白球會變成1個白球和1個黑球，所以，，第三局，每個白球和黑球都要變化，第二局有1個白球和1個黑球，所以第三局的白球數(shù)應(yīng)該是原來的白球數(shù)加上原來的黑球數(shù)，同樣，黑球數(shù)是原來的白球數(shù)加上原來的黑球數(shù)的二倍，，，根據(jù)此規(guī)律可得，，所以，，，，，，，，所以第7局后球的總數(shù)為．故答案為：233.15．【答案】(1)，；(2)【詳解】（1）因為，所以，又因為，，所以，計算可得，可得或3，又因為，所以，由此可得，；（2），所以，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式計算可得，．16．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）分析可得，點在拋物線上且縱坐標為，代入拋物線方程，得點的橫坐標為，因為，根據(jù)拋物線的定義可得，，計算可得；（2）由（1）可得拋物線方程：，設(shè)，，聯(lián)立可得，韋達定理可得，，，所以弦長，直線的方程的一般式為，所以點到直線的距離為，所以的面積為，因為，所以當(dāng)時，取得最大值．

17．【答案】(1)證明見解析(2)4(3)．【詳解】（1）因為，平面，平面，所以平面，因為，平面，平面，所以平面，又因為平面且，所以平面平面，因為平面，所以平面；

（2）取中點，連接，因為是正六邊形，故是等邊三角形，所以，同理，又因為正六邊形的邊長為2，所以，又因為，所以，可得，又因為，所以平面，所以是三棱錐的高，，由題可得，所以；（3）以點為坐標原點，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為二面角的大小為，所以，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，得，又平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角的大小為，，所以平面與平面所成角的余弦值為．18．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因為數(shù)列滿足，所以數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，所以，，即，解得，則數(shù)列的通項公式為；（2）由題意可得，所以；（3）由題意可知，當(dāng)時，，取，則，即，①，當(dāng)時，，取，此時，可以推出，②，由①②可得：且，所以，，所以．19．【答案】(1)；(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）設(shè)曲線的半焦距為c，由離心率為，得，由的最大值為，得，而，解得，，，所以曲線的方程為.（2）由（1）得，依題意，直線不垂直于軸，設(shè)，，由消去得，則，，則，所以為定值；（3