四道微分方程練習(xí)題詳解1.二階常微分方程48y''+85y'=0的通解主要內(nèi)容：本文通過一階微分方程分離變量法、一階齊次微分方程和二階常系數(shù)微分方程通解計算，介紹二階常微分方程48y''+85y'=0通解的計算步驟。主要步驟：※.分離變量法由48y''=-85y'有：48d(y')=-85y'dxeq\f(48d(y'),y')=-85dx,兩邊同時積分有：48eq\i(,,\f(d(y'),y'))=-85eq\s\up5(\i(,,))dx，即：48eq\s\up5(\i(,,))d(lny')=-85eq\s\up5(\i(,,))dx，48lny'=-85x+C00,對方程變形有：eq\f(dy,dx)=eeq\s\up12((-eq\f(85x,48)+eq\f(C00,48)))=C01eeq\s\up10(-eq\f(85x,48)),再次積分可有：eq\s\up5(\i(,,))dy=C01eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(85x,48))dx))，即：y=-C01*eq\f(48,85)eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(85x,48))deq-\f(85x,48)))=C1eeq\s\up10(-eq\f(85x,48))+C2?！?一階齊次微分方程求解因為48(y')'+85y'=0，即：(y')'+eq\f(85,48)y'=0，按照一階齊次微分方程公式有：y'=eeq\s\up12(-eq\s\up5(\i(,,eq\f(85,48)dx)))*(eq\s\up5(\i(,,0*eeq\s\up12(eq\s\up5(\i(,,eq\f(85,48)dx)))dx))+C0)，進(jìn)一步化簡有：y'=C0eeq\s\up10(-eq\f(85x,48))，繼續(xù)對積分可有：eq\s\up5(\i(,,))dy=C0eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(85x,48))dx))，即：y=-C0*eq\f(48,85)*eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(85x,48))deq-\f(85x,48)))=C1eeq\s\up10(-eq\f(85x,48))+C2?！?二階常系數(shù)微分方程求解該微分方程的特征方程為48r2+85r=0，即：r(48r+85)=0，所以r1=-eq\f(85,48)，r2=0。此時二階常系數(shù)微分方程的通解為：y=C1er1x+C2er2x=C1eeq\s\up10(-eq\f(85x,48))+C2。2.微分方程17ydx+(2x2-10x)dy=0的通解計算主要步驟：解：由微分方程的分離變量積分法來求通解。因為17ydx+(2x2-10x)dy=0，所以(2x2-10x)dy=-17ydx，即：(2x2-10x)eq\f(dy,dx)=-17y，進(jìn)一步變形為：eq\f(dy,y)=17eq\f(dx,10x-2x2),兩邊同時對x積分得：eq\i(,,eq\f(dy,y))=17eq\i(,,eq\f(dx,10x-2x2))=17eq\i(,,eq\f(dx,x(10-2x))),ln|y|=eq\f(17,10)(eq\i(,,eq\f(dx,x))-eq\i(,,eq\f(2dx,2x-10))),右邊進(jìn)一步積分得：10ln|y|=17eqln|\f(x,2x-10)|+C1,10ln|y|=17eqln|\f(x,2x-10)|+lnC,所以該微分方程的通解為：y10=C(eq\f(x,2x-10))17.3.微分方程y'=(7x6-7)y3的計算主要內(nèi)容：本文通過分離變量微分方程計算法，介紹微分方程y'=(7x6-7)y3的主要計算步驟。主要步驟：因為y'=(7x6-7)y3，所以eq\f(dy,dx)=(7x6-7)y3,由微分方程分離變量計算有：eq\f(dy,y3)=(7x6-7)dx,兩邊同時取積分，有：eq\i(,,eq\f(dy,y3))=eq\i(,,(7x6-7)dx)eq\i(,,y-3dy)=eq\i(,,(7x6-7)dx)-eq\f(y(-2),2)=7eq\i(,,x6)dx-7eq\i(,,)dx-eq\f(y(-2),2)=x7-7x+C1，兩邊同時乘以2，則有：-y(-2)=2x7-49x+C將方程變形為：y2(2x7-49x+C)+1=0。4.求微分方程(32y+19)4y'+13x5=0的通解主要步驟：解：根據(jù)微分方程的分離變量法來求解，對微分方程變形得：(32y+19)4y'=-13x5，(32y+19)4*eq\f(dy,dx)=-13x5，(32y+19)4*dy=-13x5dx,兩邊同時對x進(jìn)行積分，有：eq\i(,,(32y+19)4dy)=-13eq\i(,,x5dx),eq\f(1,32)eq\i(,,(32y+19)4d(3