第頁，共頁第15頁，共15頁云南大學(xué)附屬中學(xué)星耀學(xué)校2024－2025學(xué)年（下）開學(xué)檢測高一數(shù)學(xué)試卷命題人：孫曉棟審題人：王澤娟（考試時間：120分鐘總分：150分）誠信誓言：我以我的榮譽起誓，在本次考試中，誠實守信，成績真實．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．1.（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用兩角和余弦公式化簡計算即可.【詳解】.故選：C2.已知函數(shù)則（）A.8 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式結(jié)合函數(shù)概念求解函數(shù)值即可.【詳解】因為函數(shù)，所以，即．故選：B.3.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡集合B，進而根據(jù)包含關(guān)系以及集合見的運算逐項分析判斷.【詳解】由題可知：，顯然不是的子集，不是的子集，故AB錯誤；且，C錯誤；因為，所以，D正確.故選：D.4.若，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷可.【詳解】因為，所以，故選：A5.在平面直角坐標(biāo)系中，若角的終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義可得正切值與終邊上一點的坐標(biāo)關(guān)系，再利用誘導(dǎo)公式和特殊角三角函數(shù)值，即可求解.【詳解】由角的終邊經(jīng)過點，則，故選：B.6.“打水漂”是一種游戲：按一定方式投擲石片，使石片在水面上實現(xiàn)多次彈跳，彈跳次數(shù)越多越好．小樂同學(xué)在玩“打水漂”游戲時，將一石片按一定方式投擲出去，石片第一次接觸水面時的速度為，然后石片在水面上繼續(xù)進行多次彈跳．不考慮其他因素，假設(shè)石片每一次接觸水面時的速度均為上一次的，若石片接觸水面時的速度低于，石片就不再彈跳，沉入水底，則小樂同學(xué)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：，，）（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【解析】【分析】利用條件建立指數(shù)函數(shù)模型，根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】設(shè)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為，由題意得，即，得．因為，所以，即．故選：A7.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的零點排除選項，結(jié)合的變化趨勢，推出的變化趨勢，推出結(jié)果即可．【詳解】函數(shù)的定義域為，令，即，解得或，所以函數(shù)有個零點、，排除選項A，B；當(dāng)時且，，的增長速度更快，所以，故排除D.故選：C．8.已知函數(shù)，若對任意的正數(shù)，，滿足，則的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，可得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】對任意的，，所以函數(shù)的定義域為，因為，即函數(shù)為奇函數(shù)，又因為，且函數(shù)在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，對任意的正數(shù)，，滿足，則，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為8.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.“”是“”的充要條件D.“”是“”的充分不必要條件【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)反例可判斷A的正誤，根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷B的正誤，根據(jù)兩者之間的推出關(guān)系可判斷CD的正誤.【詳解】對于A，當(dāng)時，，故A錯誤；對于B，因為，故且，故，故B正確；對于C，當(dāng)時，也成立，而時，成立，故是的充分不必要條件，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，故，取，則，但不成立，故“”是“”的充分不必要條件，故D正確.故選：BD.10.對于函數(shù)，，下列結(jié)論正確的有（）A.當(dāng)時，的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到B.當(dāng)時，的圖像關(guān)于點中心對稱C.當(dāng)時，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)D.若恒成立，則的最小值為2【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的平移規(guī)律，以及誘導(dǎo)公式判斷A，根據(jù)代入法，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)判斷BC，由函數(shù)的最值，求的取值集合，即可判斷D.【詳解】A.的圖象向右平移個單位得到，故A正確；B.時，，，故B正確；C.當(dāng)時，，此時函數(shù)先增后減，故C錯誤；D.由條件可知，時，函數(shù)取得最大值，即,此時，且，所以的最小值為2，故D正確.故選：ABD11.設(shè)函數(shù)的定義域為，且滿足，當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.在上為減函數(shù) D.方程有且僅有5個實數(shù)根【答案】AD【解析】【分析】利用賦值法可求判斷A；由已知可得，進而可求判斷B；作出函數(shù)圖象可判斷C；在同一坐標(biāo)系下作出的圖象，可判斷D.【詳解】令，由，可得，所以，故A正確；由，所以，所以是的一個周期，所以，故B錯誤；當(dāng)，，由，可得，再結(jié)合周期性，作出圖象如圖所示：可知在上為增函數(shù)，故C錯誤；由方程，可得與的交點個數(shù)，又，結(jié)合與的圖象，可知兩函數(shù)有且只有5個交點，所以方程有且僅有5個實數(shù)根，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知冪函數(shù)的定義域是，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的系數(shù)為，求出的值，再結(jié)合冪函數(shù)的定義域進行檢驗即可.【詳解】因為函數(shù)為冪函數(shù)，則，即，解得或，當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，合乎題意；當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，舍去.綜上所述，.故答案為:13.已知函數(shù)，則______．【答案】##0.3.【解析】【分析】利用弦化切公式和代換法，可化為正切再求值.【詳解】由函數(shù)，當(dāng)時，有，故答案為：14.已知函數(shù)若存在，使得，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)中二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可確定滿足的條件，據(jù)此得出取值范圍.【詳解】如圖，設(shè)，則直線與的圖象有3個交點，因為當(dāng)時，，所以時直線與圖象有2個交點，且，當(dāng)時，，所以當(dāng)，即時，存在，使得，所以的取值范圍是．故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15已知集合.（1）當(dāng)時，求；（2）已知，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），或；（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)求出集合，當(dāng)時求出集合，即可求；（2）由有，分或兩種情況求解即可.【小問1詳解】因為，或，當(dāng)時，，所以，或；【小問2詳解】因為，所以，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，或解得，或，綜上，實數(shù)的取值范圍為或.16.（1）計算：；（2）化簡求值；（3）設(shè)，為銳角，且，，求的值．【答案】【解析】【分析】（1）利用指、對數(shù)運算性質(zhì)進行求解即可；（2）利用構(gòu)造正切的兩角和公式進行求解即可；（3）為了便于求兩角和的大小，最好利用兩角和的余弦公式進行求解即可．【詳解】（1）;（2）;（3）由，為銳角，，，利用平方關(guān)系可得：，，則，因為，為銳角，所以.17.一項關(guān)于高中生上課注意力集中情況的調(diào)查研究表明，在一節(jié)課內(nèi)，注意力指數(shù)與聽課時間（單位：分鐘）之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線．當(dāng)時，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當(dāng)時，曲線是函數(shù)且圖象的一部分．根據(jù)研究得知：當(dāng)注意力指數(shù)大于80時聽課效果最佳．（1）求的函數(shù)解析式；（2）在一節(jié)課的什么時間段內(nèi)學(xué)生聽課效果最佳？請說明理由．【答案】（1），（2），理由見解析.【解析】【分析】（1）利用點的坐標(biāo)代入解析式，待定系數(shù)法求出分段函數(shù).（2）根據(jù)題意分別計算出當(dāng)時和當(dāng)時的函數(shù)值，得出結(jié)論.【小問1詳解】由題意知，當(dāng)時，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，拋物線頂點坐標(biāo)為，且曲線過點，設(shè)二次函數(shù)的表達式為．代入點，得，則可得．又當(dāng)時，曲線是函數(shù)且圖象的一部分，且曲線過點，則，即，解得，則，則．【小問2詳解】由題意知，注意力指數(shù)大于80時聽課效果最佳，當(dāng)時，令，解得：；當(dāng)時，令，解得：．綜上可得，．故在一節(jié)課的時間段內(nèi)學(xué)生聽課效果最佳．18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期及函數(shù)圖象的對稱軸；（2）若函數(shù)在上不單調(diào)，求的取值范圍；（3）若，，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），對稱軸;（2）;（3）.【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式、兩角和正弦公式化簡，再求周期和對稱軸；（2）利用區(qū)間里面一定有，所以去分析函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間中也有0，從而利用不單調(diào)來判斷區(qū)間端點的取值范圍；（3）利用三角函數(shù)在區(qū)間的值域，結(jié)合任意變量都滿足不等式恒成立，可得，從而可得參數(shù)范圍.【小問1詳解】函數(shù),所以函數(shù)的最小正周期，由，所以函數(shù)圖象的對稱軸為；【小問2詳解】由，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由于區(qū)間里面一定有，而，所以函數(shù)在上不單調(diào)的等價條件是，即滿足或，解得：，故的取值范圍；【小問3詳解】當(dāng)時，，則，所以函數(shù)的值域為，再由，，都有恒成立，則有，即，故實數(shù)的取值范圍．19.已知偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足：．（1）求解析式；（2）解不等式；（3）存在實數(shù)滿足存在最值大值，求的取值范圍．【答案】（1），．（2）（3）【解析】【分析】（1）利用奇偶性構(gòu)造方程，解方程組得解；（2）利用對數(shù)函數(shù)單