第2課時用代入消元法解稍復(fù)雜的二元一次方程組教學(xué)目標(biāo)課題第2課時用代入消元法解稍復(fù)雜的二元一次方程組授課人素養(yǎng)目標(biāo)會用代入消元法求稍復(fù)雜的二元一次方程組的解，進(jìn)一步體會“消元”思想．教學(xué)重點用代入消元法解稍復(fù)雜的二元一次方程組．教學(xué)難點方程組中未知數(shù)的系數(shù)都不為1(或－1)時，如何用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)從而實現(xiàn)代入消元的靈活運用.教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動活動一：舊知回顧，新課導(dǎo)入【設(shè)計意圖】通過回憶上節(jié)課所學(xué)，引出稍復(fù)雜的二元一次方程組的形式，為新課進(jìn)行鋪墊.【問題引入】(1)什么是二元一次方程組？方程組中含有兩個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，一共有兩個方程，像這樣的方程組叫作二元一次方程組．(2)①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x，,2x－y＝9，))②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋5y＝8，,2x－y＝5，))③eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋7y＝11，,3x－4y＝6))是二元一次方程組嗎？①②和③有什么不同？都是二元一次方程組．①②的兩個方程中有一個未知數(shù)的系數(shù)為1或－1，③的兩個方程中未知數(shù)的系數(shù)都不為1或－1.(3)如何用代入法解方程組①②？試著做一做．解方程組①，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－9，,y＝－27.))解方程組②，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1.))像③這樣的方程組也可以用代入法求解嗎？這就是我們這節(jié)課將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容．【教學(xué)建議】教師提問，學(xué)生代表進(jìn)行回答，重點在于引導(dǎo)學(xué)生觀察方程組中未知數(shù)的系數(shù)特征．也可在進(jìn)入正課之前給學(xué)生時間自行嘗試仿照上節(jié)課的代入法解一解，有助于體會方程形式上的特點，并對于解題難度上的區(qū)別有一個初步認(rèn)知．活動二：交流合作，探究新知【設(shè)計意圖】通過例題逐步設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生利用代入法解稍復(fù)雜的二元一次方程組．探究點1用代入法解稍復(fù)雜的二元一次方程組例1(教材P93例3)用代入法解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－5y＝－11，①,9x＋7y＝39.②))問題1類比上節(jié)課所學(xué)，用代入法求解這種未知數(shù)的系數(shù)都不為1或－1的二元一次方程組時，第一步應(yīng)做些什么？應(yīng)對某個方程進(jìn)行變形，把一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，并注意將被表示的未知數(shù)的系數(shù)化為1.問題2對于這個方程組，選擇表示出哪個方程中的哪個未知數(shù)會使計算更簡便？為什么？由于方程①中的x的系數(shù)的絕對值最小，所以在方程①中用含y的式子表示x會使計算更簡便．問題3根據(jù)你在問題2中的結(jié)論，寫出解答過程．解：由①，得x＝eq\f(5,2)y－eq\f(11,2).③(1)變形把③代入②，得9(eq\f(5,2)y－eq\f(11,2))＋7y＝39.(2)代入解這個方程，得y＝3.(3)求解把y＝3代入③，得x＝2.(4)回代所以這個方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，y＝3.))(5)寫解問題4解這個方程組時，可以先消去y嗎？試試看.可以.解：由①，得y＝eq\f(2,5)x＋eq\f(11,5).③把③代入②，得9x＋7(eq\f(2,5)x＋eq\f(11,5))＝39.解這個方程，得x＝2.把x＝2代入③，得y＝3.所以這個方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3.))【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P95練習(xí)第1題.【教學(xué)建議】這部分采用上節(jié)課的教學(xué)模式，將例題分解成多個小問，學(xué)生分組討論，合作完成解答，感悟探究過程中所蘊含的化歸思想，教師適時予以提示或指導(dǎo)．由于本節(jié)課涉及的方程組的系數(shù)較為復(fù)雜，學(xué)生在解答完畢后可將解代回進(jìn)行檢驗．教師也可對學(xué)生提問不同的變形方式會不會改變方程的解，鼓勵學(xué)生用不同的方式去解方程，并讓學(xué)生從中自行感悟緣由．【設(shè)計意圖】通過運用代入法解決實際問題，提高解方程組的能力和應(yīng)用意識.探究點2代入法解二元一次方程組的實際應(yīng)用例2(教材P94例4)快遞員把貨物送到客戶手中稱為送件，幫客戶寄出貨物稱為攬件．某快遞員星期一的送件數(shù)和攬件數(shù)分別為120件和45件，報酬為270元；他星期二的送件數(shù)和攬件數(shù)分別為90件和25件，報酬為185元．如果這名快遞員每送一件和每攬一件貨物的報酬分別相同，他每送一件和每攬一件的報酬各是多少元？問題1寫出題中所包含的相等關(guān)系．相等關(guān)系1：送120件的報酬＋攬45件的報酬＝270元；相等關(guān)系2：送90件的報酬＋攬25件的報酬＝185元．問題2設(shè)這名快遞員每送一件的報酬是x元，每攬一件的報酬是y元，請用含x，y的式子表示你在問題1中得到的相等關(guān)系．120x＋45y＝270，90x＋25y＝185.問題3請根據(jù)你在問題2中的設(shè)元，及本節(jié)課學(xué)過的用代入法解稍復(fù)雜的二元一次方程組，完成本題的解答．解：根據(jù)問題2中的設(shè)元，列得方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(120x＋45y＝270，①,90x＋25y＝185.②))由①，得x＝eq\f(9,4)－eq\f(3,8)y.③把③代入②，得90(eq\f(9,4)－eq\f(3,8)y)＋25y＝185.解這個方程，得y＝2.把y＝2代入③，得x＝1.5.所以這個方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1.5，,y＝2.))答：這名快遞員每送一件的報酬是1.5元，每攬一件的報酬是2元．【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P95練習(xí)第2題．【教學(xué)建議】教師引導(dǎo)學(xué)生分析題中的兩個相等關(guān)系，從而列出方程組，并獨立完成解答過程．教師可引導(dǎo)學(xué)生對用代入法解二元一次方程組的實際問題的一般步驟進(jìn)行總結(jié)：①審題，找出題中的相等關(guān)系；②設(shè)元，設(shè)出兩個未知數(shù)；③列式，根據(jù)兩個相等關(guān)系列出二元一次方程組；④求解，解方程組；⑤檢驗：有些情況下要檢驗方程組的解是否符合實際意義；⑥作答：最后要寫出實際問題的答案．活動三：變式訓(xùn)練，鞏固提升【設(shè)計意圖】考查構(gòu)造稍復(fù)雜的二元一次方程組并進(jìn)行計算，強化本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容．例3對于實數(shù)x，y，定義新運算x*y＝ax＋by＋1，其中a，b為常數(shù)，等式右邊為通常的加法和乘法運算．若3*5＝15，4*7＝28，求5*9的值．解：根據(jù)題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a＋5b＋1＝15，,4a＋7b＋1＝28，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a＋5b＝14，,4a＋7b＝27.))解這個方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－37，,b＝25.))所以5*9＝5×(－37)＋9×25＋1＝41.【對應(yīng)訓(xùn)練】若|3a＋2b＋7|＋eq\r(（5a－3b＋1）2)＝0，求a，b的值.解：根據(jù)題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a＋2b＋7＝0，,5a－3b＋1＝0，))解這個方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(23,19)，,b＝－\f(32,19).))所以a的值為－eq\f(23,19)，b的值為－eq\f(32,19).【教學(xué)建議】解決此類求值問題，通常是根據(jù)式子中隱含的相等關(guān)系構(gòu)造二元一次方程組，然后解方程組得到未知數(shù)的值，再代入所要求的式子中求值．形式多樣，包括但不限于例題中的新定義運算與對應(yīng)訓(xùn)練中的利用非負(fù)性列方程組.活動四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子(或“隨堂作業(yè)”冊子)相應(yīng)課時隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：1.你能用代入法解稍復(fù)雜的二元一次方程組嗎？如何變形方程能使計算更簡便？舉例說明.2.你能用代入法解決與二元一次方程組有關(guān)的實際問題嗎？【知識結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P99習(xí)題10.2第1，2(3)(4)，11題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時訓(xùn)練．板書設(shè)計第2課時用代入消元法解稍復(fù)雜的二元一次方程組1.用代入法解未知數(shù)的系數(shù)都不為1(或－1)的二元一次方程組.2.基本思想：消元.3.一般步驟：(1)變形，(2)代入，(3)求解，(4)回代，(5)寫解.4.代入法解二元一次方程組的實際應(yīng)用．教學(xué)反思本節(jié)課是上節(jié)課的擴充和延續(xù)，通過類比用代入法解簡單的二元一次方程組來解決稍復(fù)雜的二元一次方程組問題．課堂中采用引導(dǎo)式的教學(xué)方法，通過具體實例讓學(xué)生主動思考、嘗試，從而更深刻地領(lǐng)悟代入法，進(jìn)一步體會消元思想在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用.解題大招一用代入法解稍復(fù)雜的二元一次方程組當(dāng)方程組中未知數(shù)的系數(shù)都不是1或－1時，一般選擇未知數(shù)系數(shù)的絕對值較小的方程進(jìn)行變形，這樣可使計算較為簡便．例1用代入法解下列方程組：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋5y＝－7，①,2x＋3y＝－3；②))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(y－1,3)＝1，①,5x＋8y＝1.②))解：(1)由②，得x＝－eq\f(3,2)y－eq\f(3,2).③把③代入①，得4(－eq\f(3,2)y－eq\f(3,2))＋5y＝－7.解這個方程，得y＝1.把y＝1代入③，得x＝－3.所以這個方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝1.))(2)整理方程①，得3x－2y＝4.③由③，得x＝eq\f(2,3)y＋eq\f(4,3).④把④代入②，得5(eq\f(2,3)y＋eq\f(4,3))＋8y＝1.解這個方程，得y＝－eq\f(1,2).把y＝－eq\f(1,2)代入④，得x＝1.所以這個方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－\f(1,2).))解題大招二用代入法解決與二元一次方程組有關(guān)的實際問題未知數(shù)的系數(shù)都不是1或－1的二元一次方程組在實際問題中，往往以“總總問題”的形式出現(xiàn)，即兩個相等關(guān)系式都可簡化為某部分＋(或－)某部分＝總的某數(shù)量．需要注意在某些特殊情況下，需要檢查方程組的解是否符合實際(如正整數(shù)解等)．例2有大、小兩種貨車，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運貨15.5t，5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運貨35t.(1)一輛大貨車和一輛小貨車一次分別可以運貨多少噸？(2)若有41t貨物需要運輸，計劃安排大、小兩種貨車(兩種都有)恰好一次性運完，每輛貨車均滿載，則共有幾種運貨方案？解：(1)設(shè)一輛大貨車一次可以運貨xt，一輛小貨車一次可以運貨yt.根據(jù)題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝15.5，,5x＋6y＝35.))解這個方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2.5.))答：一輛大貨車一次可以運貨4t，一輛小貨車一次可以運貨2.5t.(2)設(shè)安排m輛大貨車，n輛小貨車．根據(jù)題意，得4m＋2.5n＝41.變形，得m＝eq\f(82－5n,8).因為m，n都是正整數(shù)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝9，,n＝2.))所以共有兩種運貨方案：方案1：安排大貨車4輛，小貨車10輛；方案2：安排大貨車9輛，小貨車2輛．培優(yōu)點用代入法解稍復(fù)雜二元一次方程組中的整體思想例閱讀材料：小軍在解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5y＝3，①,4x＋11y＝5②))時，采用了一種“整體代換”的解法：解：將方程②變形為4x＋10y＋y＝5，即2(2x＋5y)＋y＝5.③把①代入③，得2×3＋y＝5.解這個方程，得y＝－1.把y＝－1代入①，得x＝4.所以這個方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－1.))請你解決以下問題：(1)模仿小軍的“整體代換”法解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝5，①,9x－4y＝19；②))(2)已知x，y滿足方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x2－2xy＋12y2＝47，①,2x2＋xy＋8y2＝36②))，求x2＋4y2的值．分析：(1)將方程②變形為3x＋6x－4y＝19，即3x＋2(3x－2y)＝19.③把①代入③，求得x的值，再代入①求出y的值．(2)將方程