Page第一章數(shù)與式第04講二次根式TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01二次根式有意義的條件??題型02與二次根式有關(guān)的開放性試題??題型03二次根式的非負性??題型04二次根式的性質(zhì)化簡??題型05二次根式與數(shù)軸??題型06應(yīng)用乘法公式求二次根式的值??題型07最簡二次公式的判斷??題型08分母有理化??題型09二次根式的混合運算??題型10二次根式估值??題型11與二次根式有關(guān)的新定義問題??題型12與二次根式有關(guān)的規(guī)律探究??題型13二次根式的應(yīng)用??題型01二次根式有意義的條件1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在函數(shù)y=-3x-2-x+1【答案】x≥-1且x≠2【分析】根據(jù)分式的分母不為零、二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)求解可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，得：x-2≠0且x+1?0，解得x?-1且x≠2，故答案為：x?-1且x≠2．2．（2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測）要使代數(shù)式x-2+2-x有意義，則x的取值范圍是（A．x≥2 B．x≤2 C．x=2 D．全體實數(shù)【答案】C【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)為非負數(shù)，列式計算，即可作答．【詳解】解：要使代數(shù)式x-2+∴x-2≥0∴x=2故選：C3．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）a表示不超過a的最大整數(shù)．若實數(shù)a滿足方程a=1-1aA．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì)及不等式的解法，熟練掌握二次根式的性質(zhì)及不等式的解法是解題的關(guān)鍵；由題意易得a≥0，1-1【詳解】解：由a=1-1a+a-解得：a≥1，∴a=1故選A．4．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）整數(shù)a滿足a2-a<a<aA．0 B．1 C．-1 D．1或-1【答案】B【分析】本題考查了實數(shù)的運算，根據(jù)題中的二次根式的運算，有理數(shù)的乘方逐項判斷即可，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、當a=0時，a2-aa2B、當a=1時，a2-aa2C、當a=-1時，a無意義，不符合題意；D、當a=1時，a2-a=0，a2+1=2，故選：B．??題型02與二次根式有關(guān)的開放性試題1．（2024松江區(qū)三模）下列m取值中，能滿足m在實數(shù)范圍內(nèi)有意義的是（）A．m=-2 B．m=2024 C．m=-0.2 D．m=-1【答案】B【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)大于等于零是二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)不小于零，直接解答即可．【詳解】∵m在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴m≥0，則在四個選項中，只有m=2024時，m在實數(shù)范圍內(nèi)有意義；故選：B．2．（2024·河北邢臺·模擬預(yù)測）若32a是正整數(shù)，則a不可能的值為（

）A．14 B．12 C．2 D【答案】A【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，根據(jù)被開方數(shù)能開平方的知識點進行解題即可．【詳解】解：A、32×1B、32×1C、32×2=D、32×8=故選：A．3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）若式子11-x在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的值可以是【答案】0（答案不唯一）【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件和分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件的條件是被開方數(shù)大于等于0，分式有意義的條件是分母不為0進行求解即可．【詳解】解：∵式子11-x∴1-x>0，解得x<1．∴x的值可以是0，故答案為：0（答案不唯一）．4．（2024·山西大同·模擬預(yù)測）請寫出一個無理數(shù)，使它與27的積是有理數(shù)，這個無理數(shù)可以是．（寫出一個即可）【答案】3（答案不唯一）【分析】本題考查了無理數(shù)的定義，二次根式的性質(zhì)，二次根的乘法，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和乘法法則是解本題的關(guān)鍵．先化簡27，再根據(jù)二次根式的乘法法則進行計算后確定這個符合條件的無理數(shù)．【詳解】∵27=33，∴這個無理數(shù)可以是3，（答案不唯一）故答案為：3（答案不唯一）．??題型03二次根式的非負性1．（2024儀征市一模）若2023-m+m-2024=m，則【答案】2024【分析】本題考查二次根式有意義，先根據(jù)m-2024得到m≥2024，再化簡絕對值計算即可．【詳解】解：m-2024，∴m≥2024，∵2023-m+∴m-2023+m-2024∴m-2024=2023∴m-2024=2023∴m-2023故答案為：2024．2．（2024·四川廣元·三模）先化簡，再求值1-a2+4ab+4b2a2-ab【答案】-2ba【分析】本題考查的是分式的化簡求值，分母有理化，先計算分式的除法運算，再計算分式的減法運算，再利用非負數(shù)的性質(zhì)求解a=2，b=-【詳解】解：1-=1-==-2b∵a-2∴a-2=0，解得：a=2，b=-∴原式=-2×??題型04二次根式的性質(zhì)化簡1．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）若7<t<9，則化簡5-t+t-102A．5 B．-5 C．2t-15 D．15-2t【答案】A【分析】本題主要考查可化解絕對值，求一個數(shù)的算術(shù)平方根，根據(jù)7<t<9化簡絕對值，求出t-102【詳解】解∶∵7<t<9，∴5-t=t-5+10-t=5，故選：A．2．（2024·甘肅武威·二模）已知一次函數(shù)：y=-mx+n的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則化簡(m-n)2A．n B．-m C．2m-n D．m-2n【答案】D【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡以及一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意可得-m<0，n<0，再進行化簡即可．熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵一次函數(shù)y=-mx+n的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，∴-m<0，n<0，即m>0，n<0，∴(m-n)==m-n-n=m-2n，故選：D．3．（2024·四川樂山·模擬預(yù)測）已知△ABC的三邊分別為2,x,5，化簡x2-6x+9【答案】4【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系以及二次根式的化簡，正確理解二次根式的性質(zhì)是關(guān)鍵．首先根據(jù)三角形的三邊的關(guān)系求得x的范圍，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡．【詳解】解：∵2、x、5是三角形的三邊，∴3<x<7，∴x-3>0，x-7<0，∴原式=(x-3)故答案為：4．4．（2024·湖南·模擬預(yù)測）設(shè)A=1+112+A．2027 B．2026 C．2025 D．2024【答案】D【分析】本題主要考查了二次根式的化簡，根據(jù)1+1【詳解】解：對于正整數(shù)n，有1+===n+1∴1+1∴A==1+=2024-1∴不超過A的最大整數(shù)為2024．故選：D．??題型05二次根式與數(shù)軸1．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，則-a2+1+a-1A．2 B．2a-1 C．0 D．1-2a【答案】A【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡、實數(shù)與數(shù)軸．先根據(jù)數(shù)軸分析出a的取值范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡即可．【詳解】解：由數(shù)軸知0<a<1，∴a-1<0，∴-a2故選：A．2．（2024·江蘇鹽城·三模）a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡a-b-a2

A．2a-b B．b C．-b D．-2a+b【答案】C【分析】本題主要考查了化簡絕對值，求一個數(shù)的算術(shù)平方根，實數(shù)與數(shù)軸，先根據(jù)數(shù)軸得到b<0<a，則a-b>0，據(jù)此化簡絕對值，求算術(shù)平方根即可得到答案．【詳解】解：由題意得，b<0<a，∴a-b>0，∴a-b-故選：C．3．（2023·山東濱州·二模）若實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，則化簡a2-b

【答案】-2a-2b【分析】首先由實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置，可得a<0<b，a>【詳解】解：由實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置，可得a<0<b，a>∴a+b<0，∴==-a-b-=-a-b-a-b=-2a-2b故答案為：-2a-2b．【點睛】本題考查了根據(jù)實數(shù)在數(shù)軸數(shù)軸上的位置，化簡二次根式，去絕對值符號，整式的加減運算，熟練掌握和運用各運算法則是解決本題的關(guān)鍵．4．（2024·河北·二模）計算2×6的結(jié)果為，這個數(shù)落在了數(shù)軸上的【答案】23【分析】本題考查了二次根式的運算與估值，掌握運算方法與估值技巧是解題關(guān)鍵．利用二次根式乘法計算即可，注意結(jié)果為最簡二次根式，再利用找相鄰兩數(shù)的平方的方法估值即可．【詳解】解：2×∵9<12<16，∴3<23∴23落在第④故答案為：23；④??題型06應(yīng)用乘法公式求二次根式的值1．（2024·河北·模擬預(yù)測）老師在復(fù)習(xí)二次根式的運算時，給出了一道題：計算3×甲：3=3-=1．乙：3===1．對于甲、乙的計算過程及結(jié)果，下列判斷正確的是（

）A．甲和乙都對 B．甲對乙錯C．甲錯乙對 D．甲和乙都錯【答案】A【分析】本題主要考查了乘法分配律的逆用和二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握乘法分配律的逆用和二次根式的混合運算法則，根據(jù)二次根式的混合運算法則和乘法分配律的逆用即可進行解答．【詳解】解：根據(jù)題意可得：甲和乙都對，故選：A．2．（2024·天津濱海新·模擬預(yù)測）計算5-32【答案】8-215/【分析】本題考查了二次根式的乘法．根據(jù)完全平方公式計算即可求解．【詳解】解：5=5-2=8-215故答案為：8-2153．（2024·山西長治·模擬預(yù)測）計算(21-19【答案】2【分析】本題考查了二次根式的混合運算，平方差公式，利用平方差公式進行計算即可解答．【詳解】(=21-19=2，故答案為：2．4．（2024·江蘇蘇州·三模）計算：2-120242【答案】2-1/【分析】本題考查了積的乘方逆用，二次根式的乘法運算以及平方差公式，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．把原式變形為2-120232【詳解】解：2=====1×=2故答案為：2-1??題型07最簡二次公式的判斷1．（2024·廣東江門·模擬預(yù)測）下列二次根式是最簡二次根式的是（

）A．32 B．0.4 C．43 D．【答案】D【分析】本題考查最簡二次根式，根據(jù)最簡二次根式的定義進行解題即可．【詳解】解：A.32=4B.0.4=C.43D.15是最簡二次根式；故選D．2．（2024·河北·模擬預(yù)測）若a的倒數(shù)是18，則a的值為【答案】2【分析】本題考查的是倒數(shù)的含義，二次根式的化簡，先求解a=8，再化簡8即可．【詳解】解：∵a的倒數(shù)是18∴a=8，∴a=故答案為：223．（2024·吉林長春·二模）7與最簡二次根式22m+1是同類二次根式，則m的值為【答案】3【分析】本題主要考查了同類二次根式，最簡二次根式，根據(jù)同類二次根式定義可知2m+1=7，求出解即可．【詳解】∵7與最簡二次根式22m+1∴2m+1=7，解得m=3．故答案為：3．4．（2024·江西九江·三模）在等式“???????÷6=2”中，括號內(nèi)應(yīng)填入的【答案】2【分析】本題主要考查了二次根式的乘法和除法，根據(jù)題意，列出二次根式的乘法算式即可求解．【詳解】解：括號內(nèi)應(yīng)填入的數(shù)為：2×故答案為：23??題型08分母有理化1．（2024·江蘇南京·二模）計算18-88的結(jié)果是．【答案】1【分析】此題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡后，再根據(jù)二次根式的加減法運算法則進行計算即可．【詳解】解：原式=3故答案為：122．（2024·廣東·模擬預(yù)測）先化簡，再求值：2x2【答案】1x，【分析】本題考查了分式的化簡求值，根據(jù)分式的乘法可以化簡題目中的式子，然后將x的值代入化簡后的式子即可解答本題．【詳解】解：原式==-==1當x=2-1時，原式3．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）化簡求值：x2-y2x÷x-2xy-y【答案】2xx-y，當x=-1，y=2時，原式【分析】此題考查了分式的混合運算—化簡求值及分母有理化，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)分式的混合運算法則計算，然后選取適當?shù)闹荡?，利用二次根式的運算法則計算求解即可；【詳解】解：x=======當x=-1，y=2原式=4．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）先化簡，再求代數(shù)式a-2a-1÷a+1-【答案】1a+2，3【分析】本題考查分式的化簡求值、特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．先通分括號內(nèi)的式子，再算括號外的除法，然后將a的值的代入化簡后的式子計算即可．【詳解】解：a-2===1a=2sin當a=3-2時，原式??題型09二次根式的混合運算1．（2024·甘肅隴南·模擬預(yù)測）計算：2【答案】2【分析】本題考查的是二次根式的混合運算，先計算二次根式的乘法運算，再合并即可；【詳解】解：2==2．（2024·湖南·模擬預(yù)測）計算：π【答案】-【分析】本題考查實數(shù)計算，特殊角三角函數(shù)值，二次根式化簡，絕對值化簡，負指數(shù)冪等．根據(jù)題意先將每項整理計算，再從左到右依次計算即可．【詳解】解：π-=1+2×3=1+3=-33．（2024·廣東中山·模擬預(yù)測）計算：2【答案】9-【分析】首先計算負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，二次根式分母有理化，然后計算加減．此題考查了負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，二次根式分母有理化，解題的關(guān)鍵是掌握以上運算法則．【詳解】解：2===9-34．（2024·浙江杭州·一模）以下是小濱計算12÷解：原式=2=6小濱的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．【答案】有錯誤；2【分析】本題考查了二次根式的混合運算．先把12和34化簡，再12化為【詳解】解：小濱的解答過程有錯誤；正確的解答過程:12===26??題型10二次根式估值1．（2024·云南昆明·二模）估算12-A．0和1之間 B．1和2之間 C．2和3之間 D．3和4之間【答案】B【分析】本題考查了二次根式的乘法和減法及無理數(shù)的估算，先根據(jù)運算法則計算出結(jié)果，再估計即可．【詳解】解：12-∵9<12<∴3<2∴1<23∴23-2在1和故選：B．2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）估計22+4÷A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間【答案】B【分析】本題主要考查了二次根式的混合運算、估算無理數(shù)的大小，熟練掌握二次根式的混合運算法則、算術(shù)平方根的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的混合運算法則，計算出22【詳解】解：2==2+22∵4<8<9，∴2<22∴4<2+22∴22+4÷22故選：B．3．（2024·江蘇南京·一模）如圖，實數(shù)m在數(shù)軸上對應(yīng)的點M到原點的距離為5．下列各數(shù)中，與m最接近的是（

）A．-42 B．-32 C．-22【答案】A【分析】根據(jù)題意，得到m=-5=-25，-32<-25<-本題考查了絕對值，實數(shù)大小比較，熟練掌握兩點間距離越小，兩個數(shù)越靠近是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)題意，得到m=-5=-25因為-4所以-所以-5在-42所以-==7=所以數(shù)軸上表示數(shù)m與-42的距離小于表示數(shù)m與-3即數(shù)m與-42?

故選A．4．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）如圖，估計3×13-1A．點A處 B．點B處 C．點C處 D．點D處【答案】B【分析】本題主要考查了二次根式的乘法運算、無理數(shù)的估算，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．先利用乘法分配律化簡，然后再估算無理數(shù)的大小即可．【詳解】解：3==1-∵1<∴1<3∴-1<1-3∵由圖象點的位置可得：B點符合．故選：B．??題型11與二次根式有關(guān)的新定義問題1．（2023·山東菏澤·三模）對于實數(shù)P，我們規(guī)定：用{p}表示不小于p的最小整數(shù)．例如：{4}=2，3=2，現(xiàn)在對72進行如下操作：72→第一次72=9→第二次9=3【答案】3【分析】理解題中新定義運算的規(guī)則，對36進行運算即可．【詳解】解：由題意可得：36故答案為：3【點睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解新定義運算以及掌握二次根式的性質(zhì)．2．（2024·內(nèi)蒙古烏?！ひ荒＃τ谌我鈨蓚€不相等的正實數(shù)a，b定義新運算“※”，規(guī)定：a※b=a×b【答案】x≥1【分析】本題考查了定義下的實數(shù)運算，二次根式的意義，分式的意義，根據(jù)新定義，由2※x-1=2×【詳解】解：∵a※∴2※∴x-1≥0且x-3≠0，∴x≥1且x≠3，故答案為：x≥1且x≠3．3．（2024烏海二中一模）對于任意的正數(shù)a、b，定義運算“*”為計算a*b=a+b【答案】-6【分析】本題考查二次根式的混合運算和實數(shù)的運算，結(jié)合已知條件列得正確的算式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)新定義把數(shù)值代入得(5+【詳解】解：原式=(=(=2(=2×(2-5)=-6，故答案為：-6．4．（2022·重慶·模擬預(yù)測）材料一：若a是正整數(shù)，a除以3的余數(shù)為1，則稱a是“三拖一數(shù)”．例如：13是正整數(shù)，且13÷3=4?1，則13是“三拖一數(shù)”．材料二：對于任意四位正整數(shù)p，p的千位數(shù)字為a、百位數(shù)字為b、十位數(shù)字為c、個位數(shù)材字為d，規(guī)定：Fp請根據(jù)以上材料，解決下列問題：(1)判斷：124，1838是不是“三拖一數(shù)”？并說明理由；(2)若四位正整數(shù)p是“三拖一數(shù)”，p的千位數(shù)字的2倍與個位數(shù)字的和等于9，百位數(shù)字與十位數(shù)字的和等于8，F(xiàn)p是有理數(shù)，求所有滿足條件的p【答案】(1)124是“三拖一數(shù)”，1838不是“三拖一數(shù)”，理由見解析．(2)所有滿足條件的p的值為1717、4081、4531．【分析】(1)根據(jù)“三拖一數(shù)”的定義即可一一判定；(2)任意四位正整數(shù)p，設(shè)p的千位數(shù)字為a、百位數(shù)字為b、十位數(shù)字為c、個位數(shù)字為d，則p=1000a+100b+10c+d，根據(jù)題意可知：2a+d=9，b+c=8，化簡整理可得p=4500+99b+9c-498d+b+c-d，若p為“三拖一數(shù)”，則b+c-d必須為“三拖一數(shù)”，可設(shè)b+c-d=3k+1（k≥0且k為整數(shù)），則k=b+c-d-13=7-d3，分類討論可確定d=7、a=1或d=1、a=4，再根據(jù)是Fp【詳解】（1）解：124是“三拖一數(shù)”，1838不是“三拖一數(shù)”理由如下：∵124÷3=∴124是“三拖一數(shù)”∵1838÷3∴1838不是“三拖一數(shù)”（2）解：任意四位正整數(shù)p，設(shè)p的千位數(shù)字為a、百位數(shù)字為b、十位數(shù)字為c、個位數(shù)字為d，則p=1000a+100b+10c+d，根據(jù)題意可知：2a+d=9，b+c=8∴a=9-d∵p是“三拖一數(shù)”且4500+99b+9c-498d能被3∴b+c-d是“三拖一數(shù)”，設(shè)b+c-d=3k+1（k≥0且k=當k=7-d3=0時當k=7-d3=1時當k=7-d3=2時因為Fp有理數(shù)，則FFp當d=7，b=0，c=8時，F(xiàn)p=b=1，c=7時，F(xiàn)p=b=2，c=6時，F(xiàn)p=3b=3，c=5時，F(xiàn)p=4b=4，c=4時，F(xiàn)p=b=5，c=3時，F(xiàn)p=b=6，c=2時，F(xiàn)p=b=7，c=1時，F(xiàn)p=b=8，c=0時，F(xiàn)p=當d=1，b=0，c=8時，F(xiàn)p=b=1，c=7時，F(xiàn)p=b=2，c=6時，F(xiàn)p=6b=3，c=5時，F(xiàn)p=7b=4，c=4時，F(xiàn)p=b=5，c=3時，F(xiàn)p=b=6，c=2時，F(xiàn)p=b=7，c=1時，F(xiàn)p=b=8，c=0時，F(xiàn)p=綜上，所有滿足條件的p的值為1717、4081、4531．【點睛】本題考查了新定義運算，列代數(shù)式，二次根式的求值問題，應(yīng)用了分類討論的思想，理解題意，逐條件分析是解決本題的關(guān)鍵．??題型12與二次根式有關(guān)的規(guī)律探究1．（2023·貴州六盤水·二模）人們把5-12≈0.618這個數(shù)叫做黃金比，優(yōu)選法中的“0.618法”與黃金分割緊密相關(guān)，這種方法經(jīng)著名數(shù)學(xué)家華羅庚的倡導(dǎo)在我國得到大規(guī)模推廣，取得了很大的成果．設(shè)a=5-12，b=5+12，記S1=A．55 B．25 C．65 D【答案】D【分析】利用分式的加減法則以及二次根式的混合運算法則求得ab、a+b，以及S6【詳解】解：∵a=5-12∴ab=5-1∵S1S2S3…，S6故選：D．【點睛】本題考查了分式的加減法，二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是找出相應(yīng)的規(guī)律．2．（2024·山東泰安·三模）細心觀察下面圖形，其中，Sn表示圖中第n個三角形的面積，認真分析各式：OA22=12+12=2，S1=12，【答案】28【分析】本題主要考查了勾股定理，圖形類的規(guī)律探索，化簡二次根式，．利用勾股定理求出推出OAn=n，即可得到Sn【詳解】解：∵每一個三角形都是直角三角形，∴由勾股定理可求得：OA1=1，O∴OA∴Sn∴當一個三角形的面積是7時，則有n2∴n=28，故答案為：28．3．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）如圖，正方形ABCD邊長為1，以AC為邊作第2個正方形ACEF，再以CF為邊作第3個正方形FCGH，…，按照這樣的規(guī)律作下去，第2024個正方形的邊長為（

）A．222024 B．222025 C．【答案】C【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，圖形的規(guī)律探究等知識．由題意知，第1個正方形ABCD的邊長為1；第2個正方形ACEF的邊長AC為2；第3個正方形FCGH的邊長CF為22；第4個正方形FGMN的邊長FG為23；……，可推導(dǎo)一般性規(guī)律為第n個正方形的邊長為【詳解】解：由題知，第1個正方形ABCD的邊長為1；第2個正方形ACEF的邊長AC為12第3個正方形FCGH的邊長CF為2AD=2=2第4個正方形FGMN的邊長FG為2CF=……∴第n個正方形的邊長為2n-1∴當n=2024時，第2024個正方形的邊長22024故選：C．4．（2023·湖北黃岡·模擬預(yù)測）觀察下列等式：第1個等式：a1第2個等式：a2第3個等式：a3…根據(jù)以上等式給出的規(guī)律，計算：a1+a【答案】25-1【分析】直接仿照前面三個等式，即可寫出第n個等式，根據(jù)前面已知a1，a2，a3【詳解】解：第n個等式：an∴a==-1+=2【點睛】本題考查了二次根式的分母有理化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)已知等式，找出數(shù)字變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5．（22-23九年級下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）如圖，直線l1與直線l2所成的角∠B1OA1=30°，過點A1作A1B1⊥l1交直線l2于點B1，OB1=2，以A1B1為邊在△OA1B1【答案】3【分析】根據(jù)含30°的直角三角形可得A1B1=1，OA1=3，由等邊三角形的性質(zhì)可得出A1A【詳解】解：∵∠B1OA1∴在Rt△OA1B1∵△A1∴A1∴在Rt△OA2B2∵△A∴A2∴在Rt△OA3B3同理可得：An∴第20223個等邊三角形A2023B2023故答案為：3【點睛】本題考查了含30°的直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)、規(guī)律探究，解題的關(guān)鍵是通過含30°的直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)找出規(guī)律An6．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測）觀察下列等式：①3-22②5-26③7-212……請你根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：(1)寫出第6個等式：；第n個等式：；(2)計算：5-26【答案】(1)13-242=(2)6【分析】本題考查規(guī)律探索，根據(jù)已知的式子總結(jié)出等式與序數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．由已知的等式，總結(jié)規(guī)律求解即可．（1）由已知的等式，即可歸納出規(guī)律；（2）根據(jù)歸納的規(guī)律進行變形計算即可．【詳解】（1）解：13-2(2n+1)-2（2）原式====6??題型13二次根式的應(yīng)用1．（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測）小靜、小智、小慧是同一學(xué)習(xí)小組里的成員，小靜在計算時出現(xiàn)了一步如下的錯誤：2小智與小慧分別從不同的角度幫助小靜加深對這一錯誤的認識：小智的思路：將2+3，5兩個式子分別小慧的思路：以2，3，5為三邊構(gòu)造一個三角形，再由三角形的三邊的關(guān)系判斷2+3與根據(jù)小智與小慧的思路，請解答下列問題：(1)填空：∵2+32=_______∴2+32≠(2)如圖，以2，3，5為三邊構(gòu)造△ABC，①請判斷△ABC是什么特殊的三角形，并說明理由；②根據(jù)圖形直接寫出2+3與【答案】(1)5+26，(2)①直角三角形，見解析；②2【分析】本題考查二次根式的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．（1）根據(jù)二次根式的混合運算法則計算判斷即可；（2）①利用勾股定理的逆定理判斷即可；②利用三角形三邊關(guān)系判斷即可．【詳解】（1）解：∵2+32∴2+∴2+故答案為：5+26，5（2）解：①△ABC是直角三角形．理由：∵2∴∠A=90°，∴△ABC是直角三角形；②∵AB+AC>BC，∴2+2．（2024·廣東肇慶·一模）【發(fā)現(xiàn)問題】由(a-b)2≥0得，a2+b2≥2ab；如果兩個正數(shù)aa+b≥2ab，當且僅當a=b【提出問題】若a>0，b>0，利用配方能否求出a+b的最小值呢？【分析問題】例如：已知x>0，求式子x+4解：令a=x,?b=4x，則由a+b≥2ab，得x+4x【解決問題】請根據(jù)上面材料回答下列問題：（1）2+3__________22×3（用“=”“>”“<”填空）；當x>0，式子x+1x【能力提升】（2）用籬笆圍一個面積為32平方米的長方形花園，使這個長方形花園的一邊靠墻（墻長20米），問這個長方形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？（3）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△AOB、△COD的面積分別是8和14，求四邊形ABCD面積的最小值．【答案】（1）>，2；（2）當長、寬分別為8米，4米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是16米；（3）四邊形ABCD面積的最小值為22+8【分析】本題考查了配方法在最值問題中的應(yīng)用，同時本題還考查了等高三角形的在面積計算中的應(yīng)用．（1）當x>0時，按照公式a+b≥2ab（當且僅當a=b時取等號）來計算即可；當x<0時，-4x>0，-36x>0，則也可以按公式（2）設(shè)這個長方形花園靠墻的一邊的長為x米，另一邊為y米，則xy=32，可得y=32x，推出籬笆長（3）設(shè)S△BOC=x，已知S△AOB=8，S△COD【詳解】解：（1）∵2>0,3>0，且2≠3，∴2+3>22×3當x>0時，x+1故答案為：>，2；（2）設(shè)這個長方形花園靠墻的一邊的長為x米，另一邊為y米，則xy=32，∴y=32∴這個籬笆長=32根據(jù)材料可得，64x+x≥264x×x∴x=8或-8（舍棄），∴y=32∴當長、寬分別為8米，4米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是64x（3）設(shè)S△BOC=x，已知S△AOB則由等高三角形可知：S△BOC∴x:14=8:S∴S∴四邊形ABCD面積=8+14+x+當且僅當x=112x，即∴四邊形ABCD面積的最小值為22+873．（2023·山東濟寧·二模）探究問題：探究a+b2與ab(1)觀察猜想：a+b2與ab的大小關(guān)系是a+b2______(2)計算驗證：當a=8,b=8時，a+b2與ab的大小關(guān)系是a+b2______ab；當a=2,b=6時，a+b2與ab的大小關(guān)系是a+b(3)推理證明：如圖，以AB為直徑作半圓O，點C半圓上一動點，過C作CD⊥AB于點D，設(shè)AD=a，BD=b．先用含a，b的式子表示出線段OC，CD，再寫出他們（含a，

(4)實踐應(yīng)用：要制作一個面積為1平方米的矩形，請直接利用探究得出的結(jié)論，求矩形周長的最小值．【答案】(1)≥(2)=；>(3)a+b2(4)矩形周長的最小值為4．【分析】（1）根據(jù)題意作出猜想即可；（2）代入數(shù)據(jù)，計算即可得出答案；（3）易得OC=a+b2，再通過證明△ACD∽△CBD，利用相似比得CD=ab，根據(jù)直角邊與斜邊的關(guān)系得OC≥CD（當C點為半圓AB（4）設(shè)矩形的兩邊分別為a、b，則ab=1，利用a+b2≥ab得a+b2≥1【詳解】（1）解：猜想：a+b2與ab的大小關(guān)系是a+b故答案為：≥；（2）解：當a=8，b=8時，a+b2∴a+b2當a=2，b=6時，a+b2∴a+b2故答案為：=；>；（3）解：∵AB為直徑，AB=AD+BD=a+b，∴∠ACD=90°，∴∠A+∠B=90°，∵CD⊥AB，∴∠ACD=∠CDB，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B，∴△ACD∽△CBD，∴CDBD=AD∴CD=ab∵OC≥CD（當C點為半圓AB的中點時取等號），∴a+b2（4）解：設(shè)矩形的兩邊分別為a、b，則ab=1，∵a+b2∴a+b2≥1，即∴2a+b∴矩形周長的最小值為4．【點睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用，熟練掌握圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；體會由于幾何的方法比較代數(shù)式的大?。?．（2023·河南洛陽·二模）閱讀材料：我們學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，可以發(fā)現(xiàn)：當a>0，b>0時，有a+b2=a-2ab請利用上述結(jié)論解決以下問題：(1)當x>0時，x+1x的最小值為_________；當x<0時，x+1(2)當x>0時，求y=x(3)如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△AOB、△COD的面積分別為9和16，求四邊形ABCD的最小面積．【答案】(1)2；-2(2)y的最小值為11(3)49【分析】（1）根據(jù)題目中給出的信息進行解答即可；（2）先將y=x2+3x+16（3）設(shè)S△BOC=x，根據(jù)等高三角形性質(zhì)得出S△BOCS△COD=S△AOBS【詳解】（1）解：∵當x>0時，x+1x≥2∴x+1x的最小值為∵當x<0時，-x>0，∴-x+-1x∴-x+∴x+1∴x+1x的最大值為故答案為：2；-2；（2）解：y=x∵x>0，∴x+16∴當x=4時，y的最小值為11．（3）解：設(shè)S△BOC=x，已知S△AOB=9，S∴x16∴S△AOD因此四邊形ABCD的面積=16+9+x+144當且僅當x=12時取等號，即四邊形ABCD面積的最小值為49．【點睛】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是理解題意，準確計算．1．（2024·四川廣安·中考真題）已知，直線l:y=33x-33與x軸相交于點A1，以O(shè)A1為邊作等邊三角形OA1B1，點B1在第一象限內(nèi)，過點B1作x軸的平行線與直線l交于點A2，與y軸交于點C1，以【答案】5【分析】直線直線l:y=33x-33可知，點A1坐標為1,0，可得OA1=1，由于△OA1B1是等邊三角形，可得點B【詳解】解：∵直線l：l:y=33x-33∴點A1坐標為1,0∴OA過B1，B2，作B1M⊥x軸交x軸于點M，B2N⊥x軸交A2

∵△A∴∠O∴MO=1∴B∴B1當y=32時，32∴A2C1∴C1∴B2∴B2∴當y=734時，7∴A3而254同理可得：A4的橫坐標為5∴點A2024的橫坐標為5故答案為：52【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)，特殊圖形點的坐標的規(guī)律，掌握探究的方法是解本題的關(guān)鍵.2．（2023·山東濰坊·中考真題）［材料閱讀]用數(shù)形結(jié)合的方法，可以探究q+q2+例求12方法1：借助面積為1的正方形，觀察圖①可知12即12方法2：借助函數(shù)y=12x+12和y=x12+122+123+?+12即兩個函數(shù)圖象的交點到x軸的距離．因為兩個函數(shù)圖象的交點(1,1)到x軸的距為1，所以，12

【實踐應(yīng)用】任務(wù)一

完善23

方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知23+方法2：借助函數(shù)y=23x+23和y=x因為兩個函數(shù)圖象的交點的坐標為______，所以，23+任務(wù)二

參照上面的過程，選擇合適的方法，求34任務(wù)三

用方法2，求q+q2+【遷移拓展】長寬之比為5+1觀察圖⑤，直接寫出5-1

【答案】任務(wù)一，方法1：2；方法2：2,2，2；任務(wù)二，3；任務(wù)三，q1-q；[遷移拓展]【分析】任務(wù)一，仿照例題，分別根據(jù)方法1，2進行求解即可；任務(wù)二，借助函數(shù)y=34x+34和y=x得出交點坐標，進而根據(jù)兩個函數(shù)圖象的交點到x軸的距離．因為兩個函數(shù)圖象的交點2,2任務(wù)三

參照方法2，借助函數(shù)y=qx+q和y=x的圖象，得出交點坐標，即可求解；[遷移拓展]觀察圖⑤第一個正方形的面積為1×1=1=5-120，第二個正方形的面積為5+12-12=5-1【詳解】解：任務(wù)一，方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知23+故答案為：2．方法2：借助函數(shù)y=23x+23和y=x因為兩個函數(shù)圖象的交點的坐標為2,2，所以，23+2故答案為：2,2，2．任務(wù)二：參照方法2，借助函數(shù)y=34x+34和y=x解得：x=3∴兩個函數(shù)圖象的交點的坐標為3,3，34任務(wù)三

參照方法2，借助函數(shù)y=qx+q和y=x的圖象，兩個函數(shù)圖象的交點的坐標為q1-q∴q+[遷移拓展]根據(jù)圖⑤，第一個正方形的面積為1×1=1=5-120則5-122+5-12即5【點睛】本題考查了一次函數(shù)交點問題，正方形面積問題，理解題意，仿照例題求解是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2024·四川巴中·中考真題）函數(shù)y=x+2自變量的取值范圍是（

A．x>0 B．x>-2 C．x≥-2 D．x≠-2【答案】C【分析】本題考查了求函數(shù)自變量的取值范圍、二次根式的定義，熟練掌握二次根式的有意義的條件是解題關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的有意義的條件建立不等式求解即可解題．【詳解】解：由題知，x+2≥0，解得x≥-2，故答案為：C．2．（2023·山東煙臺·中考真題）下列二次根式中，與2是同類二次根式的是（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】根據(jù)同類二次根式的定義，逐個進行判斷即可．【詳解】解：A、4=2，與2B、6與2不是同類二次根式，不符合題意；C、8=22，與D、12=23，與故選：C．【點睛】本題主要考查了同類二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握同類二次根式的定義：將二次根式化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式是同類二次根式；最簡二次根式的特征：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．3．（2023·遼寧大連·中考真題）下列計算正確的是（

）A．20=2 BC．8=42 D【答案】D【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，二次根式的加法以及二次根式的性質(zhì)，二次根式的混合運算進行計算即可求解．【詳解】解：A.20=1B.23+3C.8=22D.32故選：D．【點睛】本題考查了零指數(shù)冪，二次根式的加法以及二次根式的性質(zhì)，二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．4．（2023·河北·中考真題）若a=2，b=7，則A．2 B．4 C．7 D．2【答案】A【分析】把a=2【詳解】解：∵a=2∴14a故選：A．【點睛】本題考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除運算是解題的關(guān)鍵．5．（2022·貴州安順·中考真題）估計(25+52A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的混合運算進行化簡，進而估算即可求解．【詳解】解：原式=2＝2+10∵3<10∴5<2+10故選B．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，無數(shù)的估算，正確的計算是解題的關(guān)鍵．6．（2024·四川南充·中考真題）如圖，已知線段AB，按以下步驟作圖：①過點B作BC⊥AB，使BC=12AB，連接AC；②以點C為圓心，以BC長為半徑畫弧，交AC于點D；③以點A為圓心，以AD長為半徑畫弧，交AB于點E．若AE=mAB，則m

A．5-12 B．5-22 C．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，根據(jù)垂直定義可得∠ABC=90°，再根據(jù)BC=12AB，設(shè)AB=a，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC=5【詳解】解：∵BC⊥AB，∴∠ABC=90°，∵BC=12∴BC=1∴AC=A由題意得：AD=AE，∴AE=AD=AC-CD=5∵AE=mAB，∴m=5故選：A二、填空題7．（2024·山東青島·中考真題）計算：18+1【答案】22+3【分析】本題主要考查了二次根式的加減計算，負整數(shù)指數(shù)冪和求特殊角三角函數(shù)值，先計算特殊角三角函數(shù)值，負整數(shù)指數(shù)冪和化簡二次根式，再根據(jù)二次根式的加減計算法則求解即可．【詳解】解：18=3=3=22故答案為：228．（2021·貴州銅仁·中考真題）計算27+18【答案】3【分析】先化簡二次根式，再利用平方差公式展開計算即可求出答案．【詳解】解：27==3×=3×=3×1=3．故答案為：3．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的運算法則，細心運算是解題的關(guān)鍵．9．（2022·四川宜賓·中考真題）《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為S=14c2a2-c【答案】3【分析】根據(jù)周長為18的三角形的三邊滿足a:b:c=4:3:2，求得a=8,b=6,c=4，代入公式即可求解．【詳解】解：∵周長為18的三角形的三邊滿足a:b:c=4:3:2，設(shè)a=4k,b=3k,c=2k∴4k+3k+2k=18解得k=2∴a=8,b=6,c=4∴S=====3故答案為：3【點睛】本題考查了化簡二次根式，正確的計算是解題的關(guān)鍵．10．（19-20八年級上·北京大興·期末）已知x，y是實數(shù)，且滿足y=x-2＋2-x＋18，則x?y【答案】1【分析】根據(jù)二次根式的定義可得x-2≥02-x≥0，解得：x=2，即可求出【詳解】解：∵由二次根式的定義得x-2≥02-x≥∴y=0+0+18，即：∴x?故答案為：12【點睛】本題主要考查二次根式的定義以及二次根式的乘除，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的定義以及二次根式的乘除的運算法則即可.11．（2021·湖北鄂州·中考真題）已知實數(shù)a、b滿足a-2+b+3=0，若關(guān)于x的一元二次方程x2-ax+b=0的兩個實數(shù)根分別為x1【答案】-【分析】根據(jù)非負性求得a、b的值，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求得x1+x2、x1x【詳解】解：∵實數(shù)a、b滿足a-2+∴a﹣2=0，b+3=0，解得：a=2，b=﹣3，∴x2-2x-3=0∵一元二次方程x2-2x-3=0的兩個實數(shù)根分別為x1∴