第十二章

全等三角形12.2全等三角形的判定

12.2.2用“SAS”判定三角形全等

1.經(jīng)歷作圖過程，理解基本事實：兩邊和夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，體會數(shù)學(xué)的邏輯性,培養(yǎng)抽象概況能力.2.通過動手操作理解兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，體會圖形的比較，發(fā)展幾何直觀.學(xué)習(xí)重點：“SAS”判定三角形全等.學(xué)習(xí)難點：理解“兩邊一角對應(yīng)相等不能判定三角形全等”.

1.回顧三角形全等的判定方法1

三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫為“邊邊邊”或“SSS”）.在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF.（SSS）AB=DE，BC=EF，CA=FD，2.符號語言表達：ABCDEF知識點三角形全等的判定——“邊角邊”定理

【思考】除了SSS外,還有其他情況嗎？學(xué)生活動

【一起探究】當(dāng)兩個三角形滿足六個條件中的3個時，有四種情況:三角×三邊√兩邊一角？兩角一邊能判定全等嗎？已知一個三角形的兩條邊和一個角，那么這兩條邊與這一個角的位置上有幾種可能性呢？ABCABC“兩邊及夾角”“兩邊和其中一邊的對角”它們能判定兩個三角形全等嗎？尺規(guī)作圖畫出一個△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A（即使兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等）.把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐幔緼BC兩邊及其夾角能否判定兩個三角形全等?做一做ABCA′

DEB′

C′

作法：（1）畫∠DA'E=∠A；（2）在射線A'D上截取A'B'=AB,在射線A'E上截取A'C'=AC；（3）連接B'C'.思考:

①

△A′B′C′與△ABC全等嗎？如何驗證？②這兩個三角形全等是滿足哪三個條件？文字語言：

兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.

（簡寫成“邊角邊”或“SAS”）．

“邊角邊”判定方法在△ABC和△DEF中，∴

△ABC≌△

DEF（SAS）．

幾何語言：AB=DE，∠A=∠D，AC=AF，ABCDEF必須是兩邊“夾角”

“邊角邊”判定方法例1如果AB=CB，∠ABD=∠CBD，那么△ABD和△

CBD全等嗎？ABCD利用“邊角邊”定理證明三角形全等素養(yǎng)考點1分析:△ABD

≌△CBD.邊:角:邊:AB=CB(已知)，∠ABD=∠CBD(已知)，ABCD(SAS)BD=BD(公共邊)，證明：在△ABD和△CBD中，AB=CB(已知)，∠ABD=∠CBD(已知)，∴

△ABD≌△CBD(SAS).BD=BD(公共邊)，已知:如圖,AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，求證:∠A=∠D.1A2CBDE證明:∵∠1＝∠2(已知)，∴∠1+∠DBC＝∠2+∠DBC(等式的性質(zhì))，

即∠ABC＝∠DBE.

在△ABC和△DBE中,

AB＝DB(已知)，∠ABC＝∠DBE(已證)，

CB＝EB(已知)，∴△ABC≌△DBE（SAS）.∴∠A=∠D(全等三角形的對應(yīng)角相等).1A2CBDE例2

如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個可以直接到達A和B的點C，連接AC并延長到點D，使CD＝CA，連接BC并延長到點E，使CE＝CB．連接DE，那么量出DE的長就是A、B的距離，為什么?AC·EDB利用全等三角形測距離素養(yǎng)考點2AC·EDB證明：在△ABC和△DEC

中，∴△ABC≌△DEC（SAS）.∴AB=DE.（全等三角形的對應(yīng)邊相等）AC=DC（已知），∠ACB=∠DCE

（對頂角相等），CB=EC（已知），如圖，兩車從南北方向的路段AB的A端出發(fā)，分別向東、向西行進相同的距離，到達C，D兩地.此時C，D到B的距離相等嗎？為什么？提示：相等.根據(jù)邊角邊定理，

△BAD≌△BAC，∴BD=BC.如圖，把一長一短的兩根木棍的一端固定在一起，擺出△ABC.固定住長木棍，轉(zhuǎn)動短木棍，得到△ABD.這個實驗說明了什么？B

A

CD△ABC和△ABD滿足AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC與△ABD不全等.SSA能否判定兩個三角形全等？想一想

畫△ABC和△ABD，使∠A=∠A=30°，AB=AB=5

cm

，BC=BD=3cm．觀察所得的兩個三角形是否全等？ABMCDABCABD

有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等.結(jié)論畫一畫例3下列條件中，不能證明△ABC≌△DEF的是(

)A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF解析：要判斷能不能使△ABC≌△DEF，應(yīng)看所給出的條件是不是兩邊和這兩邊的夾角，只有選項C的條件不符合，故選C.C素養(yǎng)考點3三角形全等條件的識別易錯點撥：判斷三角形全等時，注意兩邊與其中一邊的對角相等的兩個三角形不一定全等．只有兩邊及夾角對應(yīng)相等時，才能判定三角形全等．如圖，AB＝CD，AB∥CD，E，F(xiàn)是BD上兩點且BE＝DF，則圖中全等的三角形有(

)A．1對B．2對C．3對D．4對CC1.如圖，點E，F(xiàn)在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，還需要添加的一個條件是(

)A．∠A＝∠CB．∠D＝∠BC．AD∥BCD．DF∥BEB

邊角邊內(nèi)容有兩邊及夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“SAS”)應(yīng)用為證明線段和角相等提供了新的證法注意1.已知兩邊，必須找“夾角”2.已知一角和這角的一夾邊，必須找這角的另一夾邊

和它們的

分別相等的兩個三角形全等(可以簡寫成

“邊角邊”或“

”).兩邊夾角SAS

課后作業(yè)

1.

下列與圖1三角形全等的是(

D

)A.

①②B.

②③C.

①③D.

只有①D2.

如圖，點

A

，

C

，

B

，

D

在同一條直線上，

BE

∥

DF

，

CD

＝

EB

，

AB

＝

FD

.

若∠

FCD

＝30°，∠

A

＝80°，則∠

D

＝(

C

)A.

50°B.

60°C.

70°D.

80°第2題圖C3.

如圖，把一長一短兩根細(xì)木棍的一端用繩子綁在一起，使長木棍的

另一端與射線

BC

的端點

B

重合，固定住長木棍，把短木棍擺動，端點

落在射線

BC

上的

C

，

D

兩點位置時，形成的△

OBD

和△

OBC

中有

OB

＝

OB

，

OC

＝

OD

，∠

OBD

＝∠

CBO

，則△

OBD

與△

OCB

?

(填“全等”或“不全等”).不全等

第3題圖4.

如圖，△

ABC

和△

EFD

分別在線段

AE

的兩側(cè)，點

C

，

D

在線段

AE

上，

AD

＝

CE

，

AB

∥

EF

，

AB

＝

EF

.

求證：

BC

＝

FD

.

第十二章全等三角形12.2三角形全等的判定《第2課時用“SAS”判定三角形全等》同步練習(xí)

用“SAS”判定三角形全等1.

下列三角形中全等的是(

A

)A.

①②B.

②③C.

③④D.

①④A2.

【教材第39頁練習(xí)第2題改編】如圖，點

E

，

F

在

BC

上，∠

B

＝∠

C

，

AB

＝

CD

，請你添加一個條件

，使得可

以用“SAS”來判定△

ABF

≌△

DCE

.

BE

＝

CF

(或

BF

＝

CE

)

3.

如圖所示，

CA

平分∠

DCB

，

CB

＝

CD

，

DA

的延長線交

BC

于點

E

.

若∠

EAC

＝49°，則∠

BAE

的度數(shù)為

?.82°

【解析】∵

CA

平分∠

DCB

，∴∠

BCA

＝∠

DCA

.

又∵

CB

＝

CD

，

AC

＝

AC

，∴△

ABC

≌△

ADC

(SAS).∴∠

B

＝∠

D

.

∴∠

B

＋∠

ACB

＝∠

D

＋∠

ACD

.

∵∠

CAE

＝∠

D

＋∠

ACD

＝49°，∴∠

B

＋∠

ACB

＝49°.∴∠

BAE

＝180°－∠

B

－∠

ACB

－∠

CAE

＝82°.4.

如圖，在四邊形

ABCD

中，

AB

∥

CD

，

AB

＝

CD

，

E

，

F

是對角線

BD

上的兩點，且

BF

＝

DE

.

求證：△

ABE

≌△

CDF

.

三角形全等的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用5.

已知圖中的兩個三角形全等，則∠1等于(

D

)A.

72°B.

60°C.

50°D.

58°D6.

如圖，已知

AB

＝

AD

，

AC

＝

AE

，∠BAE

＝∠

DAC

.

求證：∠

C

＝∠

E

.

7.

在測量一個小口容器的壁厚時，小七用“X型轉(zhuǎn)動鉗”按如圖所示的

方法進行測量，其中

OA

＝

OD

，

OB

＝

OC

，測得

AB

＝

a

，

EF

＝

b

，

則容器的壁厚是(

D

)A.

a

B.

b

C.

b

－

a

第7題圖D8.

如圖，

OA

＝

OC

，

OB

＝

OD

且

OA

⊥

OB

，

OC

⊥

OD

，有下面的結(jié)

論：①△

AOD

≌△

COB

；②

CD

＝

AB

；③∠

CDA

＝∠

ABC

.

其中正

確的結(jié)論是(

B

)A.

①②B.

①②③C.

①③D.

②③第8題圖B9.

如圖是釘板示意圖，每相鄰4個釘點是邊長為1

個單位長度的小正方形的頂點，釘點

A

，

B

的連線與釘點

C

，

D

的連線

交于點

E

.

求證：

AB

⊥

CD

.

10.

如圖，∠

B

＝45°，

BC

＝2.(1)如圖1，若

AC

＝1.6，你還能畫出滿足條件，但形狀與圖1不同的三

角形嗎？請畫出一個這樣的三角形.(1)解：能.如圖，△

BCD

即為所求.(2)如圖2，在射線

BM

上取一點

A

，當(dāng)

AC

長唯一時，對應(yīng)△

ABC

唯一，這樣的點有