第22頁（共22頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級同步經(jīng)典題精練之利用三角函數(shù)測高一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?義烏市期末）如圖小明在點(diǎn)C處測得樹頂端A的仰角為α，且BC＝20米，則樹高度AB為（）米．A．20tanα B．20tanα C．20sinα D．2．（2024秋?甘井子區(qū)期末）如圖，飛機(jī)于空中A處探測到目標(biāo)C，此時(shí)AC⊥BC，AC＝1200m，從飛機(jī)上看地平面指揮臺B的俯角為α．則飛機(jī)與指揮臺的距離AB為（）A．1200sinαm B．1200cosαm C．1200sinαm D3．（2024秋?萊陽市期末）某校組織一次定向越野拉練活動．如圖，點(diǎn)A為出發(fā)點(diǎn)，途中設(shè)置兩個(gè)檢查點(diǎn)分別為點(diǎn)B和點(diǎn)C，行進(jìn)路線為A→B→C→A．點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏東25°方向32km處，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東80°方向，∠ABC＝45°．則檢查點(diǎn)B和A．(6+63)千米 B．(3+3C．(3+3)千米 D．4．（2025?楊浦區(qū)一模）小海在距離地面高60米的熱氣球中測得地面上的著落點(diǎn)P的俯角為37°，那么此時(shí)熱氣球離著落點(diǎn)P的距離約是（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（）A．75米 B．80米 C．100米 D．40035．（2024秋?嶗山區(qū)期末）如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），某工程師操縱無人機(jī)從B地出發(fā)，垂直上升200m到達(dá)A處，在A處觀察C地的俯角為30°，則BC兩地之間的距離為（）A．1002m B．1003m C．200二．填空題（共5小題）6．（2024秋?江陰市期末）如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組為了測量塔AB的高度，將無人機(jī)飛升至距水平地面64.5米的C處，測得塔頂端A的俯角為45°，底端B的俯角為72°，則該塔的高度是米．（參考數(shù)據(jù)：tan72°≈3）7．（2024秋?萊陽市期末）如圖，某數(shù)學(xué)實(shí)踐小組測量一棵垂直于地面的樹CD的高度．在點(diǎn)A處測得樹頂C的仰角為45°，在點(diǎn)B處測得樹頂C的仰角為60°，且A、D、B三點(diǎn)在同一直線上，若AB=(83+8)米，則這棵樹CD的高度是8．（2025?徐匯區(qū)一模）如圖，熱氣球探測器顯示，從熱氣球A處測得一棟樓頂部C處的仰角是37°，測得這棟樓的底部B處的俯角是60°，熱氣球與這棟樓的水平距離是30米，那么這棟樓的高度是米（精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.79．（2025?楊浦區(qū)一模）如圖，小島A在港口P的西南方向，一艘船從港口P沿正南方向航行12海里后到達(dá)B處，在B處測得小島A在它的南偏西60°方向，那么小島A離港口P有海里．（結(jié)果保留根號）10．（2025?徐匯區(qū)一模）如圖，貨船A在燈塔P的北偏西60°方向，客船B在燈塔P的東北方向，客船B在貨船A的正東方向，如果貨船A與客船B相距50千米，那么客船B與燈塔P的距離約是千米（結(jié)果保留根號）．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?金東區(qū)期末）某班的同學(xué)想測量教學(xué)樓AB的高度，如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一平面內(nèi)，大樓前有一段斜坡BC，已知BC的長為8米，它的坡度i=1：3（坡度＝垂直高度h：水平寬度l），在離C點(diǎn)30米的D處，測得教學(xué)樓頂端A（1）求點(diǎn)C到AB的水平距離．（2）教學(xué)樓AB的高度約為多少米．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.7312．（2024秋?靖江市期末）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測量，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方向，AC＝400m，點(diǎn)E在點(diǎn)A的正北方向，點(diǎn)B，D在點(diǎn)C的正北方向，BD＝200m．點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°，點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東45°．求步道AE的長．（精確到1m，參考數(shù)據(jù)：313．（2024秋?泉港區(qū)期末）小明利用“無人機(jī)”測量涂嶺鎮(zhèn)下爐村的下爐石佛（泉港打卡景點(diǎn)：玉笏朝天）的高度．無人機(jī)的探測器顯示，觀測“玉笏朝天”最高點(diǎn)A的仰角是30°，觀測“玉笏朝天”底部B的俯角為60°．若AB與水平面垂直，無人機(jī)的觀測點(diǎn)P與AB的水平距離PE為523米．請求出“玉笏朝天”的高度14．（2025?崇明區(qū)一模）九年級數(shù)學(xué)活動小組用航拍無人機(jī)進(jìn)行測高實(shí)踐．如圖，無人機(jī)從地面AB的中點(diǎn)C處豎直上升20米到達(dá)D處，測得實(shí)驗(yàn)樓頂部E的俯角為55°，綜合樓頂部F的俯角為37°，已知實(shí)驗(yàn)樓BE高度為8米，且圖中點(diǎn)A、B、C、D、E、F在同一平面內(nèi)，求綜合樓AF的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，cot55°≈0.70，精確到0.1米．）15．（2024秋?高州市期末）在我市鄉(xiāng)村振興活動中，村委會辦公樓外墻上有一幅電子顯示屏DC每天上午在播放鄉(xiāng)村宣傳片，小麗同學(xué)在點(diǎn)A處，測得顯示屏頂端D的仰角為30°，再向顯示屏方向前進(jìn)10米后，又在點(diǎn)B處測得顯示屏頂端D的仰角為45°，已知觀測點(diǎn)A、B和C離地面高度都為1.5米，求顯示屏頂端D點(diǎn)距離地面的高度．（計(jì)算結(jié)果保留根號）

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級同步經(jīng)典題精練之利用三角函數(shù)測高參考答案與試題解析題號12345答案ACCCC一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?義烏市期末）如圖小明在點(diǎn)C處測得樹頂端A的仰角為α，且BC＝20米，則樹高度AB為（）米．A．20tanα B．20tanα C．20sinα D．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得：∠ABC＝90°，∠ACB＝α，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵∠ABC＝90°，在點(diǎn)C處測得樹頂端A的仰角為α，且BC＝20米，∴∠ACB＝α，在Rt△ABC中，AB＝BC?tanα＝20tanα（米），故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．2．（2024秋?甘井子區(qū)期末）如圖，飛機(jī)于空中A處探測到目標(biāo)C，此時(shí)AC⊥BC，AC＝1200m，從飛機(jī)上看地平面指揮臺B的俯角為α．則飛機(jī)與指揮臺的距離AB為（）A．1200sinαm B．1200cosαm C．1200sinαm D【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得：AC⊥BC，AD∥BC，從而可得∠DAB＝∠ABC＝α，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：AC⊥BC，AD∥BC，∴∠DAB＝∠ABC＝α，在Rt△ABC中，AC＝1200m，∴AB=ACsinα=∴機(jī)與指揮臺的距離AB為1200sinαm故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2024秋?萊陽市期末）某校組織一次定向越野拉練活動．如圖，點(diǎn)A為出發(fā)點(diǎn)，途中設(shè)置兩個(gè)檢查點(diǎn)分別為點(diǎn)B和點(diǎn)C，行進(jìn)路線為A→B→C→A．點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏東25°方向32km處，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東80°方向，∠ABC＝45°．則檢查點(diǎn)B和A．(6+63)千米 B．(3+3C．(3+3)千米 D．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題；勾股定理的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】C【分析】過A點(diǎn)作AH⊥BC于H點(diǎn)，如圖，根據(jù)方向角的定義和平角的定義可計(jì)算出∠BAC＝75°，再計(jì)算出∠CAH＝30°，接著在Rt△ABH中利用等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出AH＝BH＝3km，然后在Rt△ACH中利用∠CAH＝30°計(jì)算出CH=3km，最后計(jì)算BH+CH【解答】解：過A點(diǎn)作AH⊥BC于H點(diǎn)，如圖，∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏東25°方向處，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東80°方向，∴∠BAC＝180°﹣80°﹣25°＝75°，∵∠ABC＝90°，∠AHB＝90°，∴∠BAH＝45°，∴∠CAH＝∠BAC﹣∠BAH＝75°﹣45°＝30°，在Rt△ABH中，∵∠B＝45°，∴AH＝BH=22AB=22×3在Rt△ACH中，∵∠CAH＝30°，∴CH=33AH=33×∴BC＝BH+CH＝（3+3）km故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯角相等或一個(gè)角的余角等知識轉(zhuǎn)化為所需要的角，然后運(yùn)用解直角三角形解決問題．4．（2025?楊浦區(qū)一模）小海在距離地面高60米的熱氣球中測得地面上的著落點(diǎn)P的俯角為37°，那么此時(shí)熱氣球離著落點(diǎn)P的距離約是（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（）A．75米 B．80米 C．100米 D．4003【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得：AC⊥AP，AE∥CP，從而可得∠EAP＝∠APC＝37°，然后在Rt△ACP中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：AC⊥AP，AE∥CP，∴∠EAP＝∠APC＝37°，在Rt△ACP中，AC＝60m，∴AP=ACsin37°≈∴此時(shí)熱氣球離著落點(diǎn)P的距離約是100m，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2024秋?嶗山區(qū)期末）如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），某工程師操縱無人機(jī)從B地出發(fā)，垂直上升200m到達(dá)A處，在A處觀察C地的俯角為30°，則BC兩地之間的距離為（）A．1002m B．1003m C．200【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得：AB⊥BC，AE∥BC，從而可得∠EAC＝∠ACB＝30°，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：AB⊥BC，AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB＝30°，在Rt△ABC中，AB＝200m，∴BC=ABtan30°=200∴BC兩地之間的距離為2003m，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?江陰市期末）如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組為了測量塔AB的高度，將無人機(jī)飛升至距水平地面64.5米的C處，測得塔頂端A的俯角為45°，底端B的俯角為72°，則該塔的高度是43米．（參考數(shù)據(jù)：tan72°≈3）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】43．【分析】延長BA交距水平地面64.5米的水平線于點(diǎn)D，根據(jù)tan72°≈3，求出DC＝AD＝21.5米，即可求解．【解答】解：延長BA交距水平地面64.5米的水平線于點(diǎn)D，如圖，由題可知，BD＝64.5米，設(shè)AD＝x米，∵∠DCA＝45°，∴DC＝AD＝x米，∴tan72°=BDCD∴DC＝AD＝21.5（米），∴AB＝BD﹣AD＝64.5﹣21.5＝43（米），故答案為：43．【點(diǎn)評】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角與俯角問題，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵．7．（2024秋?萊陽市期末）如圖，某數(shù)學(xué)實(shí)踐小組測量一棵垂直于地面的樹CD的高度．在點(diǎn)A處測得樹頂C的仰角為45°，在點(diǎn)B處測得樹頂C的仰角為60°，且A、D、B三點(diǎn)在同一直線上，若AB=(83+8)米，則這棵樹CD的高度是8【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】83．【分析】根據(jù)題意可得：CD⊥AB，從而可得∠CDA＝∠CDB＝90°，然后設(shè)AD＝x米，則BD＝（83+8﹣x）米，分別在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長，從而列出關(guān)于x【解答】解：由題意得：CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，設(shè)AD＝x米，∵AB=(8∴BD＝AB﹣AD＝（83+8﹣x在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，∴CD＝AD?tan45°＝x（米），在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，∴CD＝BD?tan60°=3（83+8﹣∴x=3（83+8﹣解得：x＝83，∴CD＝83米，∴這棵樹CD的高度是83米，故答案為：83．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2025?徐匯區(qū)一模）如圖，熱氣球探測器顯示，從熱氣球A處測得一棟樓頂部C處的仰角是37°，測得這棟樓的底部B處的俯角是60°，熱氣球與這棟樓的水平距離是30米，那么這棟樓的高度是73.5米（精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.7【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】73.5．【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD＝30米，在Rt△ADB中和Rt△ACD中，根據(jù)銳角三角函數(shù)中的正切可以分別求得BD和CD的長，從而可以求得BC的長，本題得以解決．【解答】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，由題意可得，∠CAD＝37°，∠BAD＝60°，AD＝30米，∠ADC＝∠ADB＝90°，在Rt△ADC中，tan∠CAD=CD∴CD＝AD?tan37°≈30×0.75＝22.5（米），在Rt△ADB中，tan∠BAD=BD∴BD＝AD?tan60°＝30×3=30∴BC＝BD+CD＝22.5+303≈73.5即這棟樓的高度BC是73.5米．故答案為：73.5．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題、銳角三角函數(shù)，解答此類問題的關(guān)鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)解答．9．（2025?楊浦區(qū)一模）如圖，小島A在港口P的西南方向，一艘船從港口P沿正南方向航行12海里后到達(dá)B處，在B處測得小島A在它的南偏西60°方向，那么小島A離港口P有（182+66）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題；勾股定理的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】（182+66【分析】作AE⊥PB于E，設(shè)AP＝x海里，利用銳角三角函數(shù)的定義用x表示出PE、BE，根據(jù)題意列出方程，求出x的值，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：作AE⊥PB于E，由題意得，PB＝12海里，設(shè)AE＝x海里，∵∠APE＝45°，∴PE＝AE＝x，∵∠ABE＝60°，∴BE=33由題意得，x-33x＝解得，x＝6（3+3則AP＝（182+66答：小島A離港口P有（182+66故答案為：（182+66【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，正確標(biāo)注方向角、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2025?徐匯區(qū)一模）如圖，貨船A在燈塔P的北偏西60°方向，客船B在燈塔P的東北方向，客船B在貨船A的正東方向，如果貨船A與客船B相距50千米，那么客船B與燈塔P的距離約是(256-【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題；勾股定理的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】(256【分析】過點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C，則∠PCB＝∠PCA＝90°，由題意得∠CPB＝45°，∠CPA＝60°，在Rt△ACP和Rt△BCP中解直角三角形即可解答．【解答】解：過點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C，則∠PCB＝∠PCA＝90°，由題意得∠CPB＝45°，∠CPA＝60°，∴∠B＝∠CPB＝45°，∴CP＝CB，設(shè)CP＝CB＝xkm，則AC＝（50﹣x）km，在Rt△ACP中，tan∠CPA=AC即50-x解得x＝253-∴BP=2x=故答案為：(256【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線構(gòu)造直角三角形并利用解直角三角形的知識求解．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?金東區(qū)期末）某班的同學(xué)想測量教學(xué)樓AB的高度，如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一平面內(nèi)，大樓前有一段斜坡BC，已知BC的長為8米，它的坡度i=1：3（坡度＝垂直高度h：水平寬度l），在離C點(diǎn)30米的D處，測得教學(xué)樓頂端A（1）求點(diǎn)C到AB的水平距離．（2）教學(xué)樓AB的高度約為多少米．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題；解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】（1）點(diǎn)C到AB的水平距離為43米；（2）教學(xué)樓AB的高度約為23.7米．【分析】（1）延長AB交DC于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得：AE⊥DE，再根據(jù)已知易得：在Rt△BCE中，tan∠BCE=33，從而可得∠BCE＝30°，然后利用含（2）根據(jù)已知易得：DE＝（30+43）米，然后在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：（1）延長AB交DC于點(diǎn)E，由題意得：AE⊥DE，∵BC的坡度i=1∴BECE在Rt△BCE中，tan∠BCE=BE∴∠BCE＝30°，∵BC＝8米，∴BE=12BC＝4（米），CE=3BE＝∴點(diǎn)C到AB的水平距離為43米；（2）∵CD＝30米，CE＝43米，∴DE＝CD+CE＝（30+43）米，在Rt△ADE中，∠ADE＝37°，∴AE＝DE?tan37°≈（30+43）×0.75＝（22.5+33）米，∴AB＝AE﹣BE＝22.5+33-4＝18.5+33≈∴教學(xué)樓AB的高度約為23.7米．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．12．（2024秋?靖江市期末）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測量，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方向，AC＝400m，點(diǎn)E在點(diǎn)A的正北方向，點(diǎn)B，D在點(diǎn)C的正北方向，BD＝200m．點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°，點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東45°．求步道AE的長．（精確到1m，參考數(shù)據(jù)：3【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】步道AE的長約為492m．【分析】過E作EH⊥CD于H，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到EH＝AC＝400m，CH＝AE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到DH＝EH＝400m，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：過E作EH⊥CD于H，則四邊形ACHE是矩形，∴EH＝AC＝400m，CH＝AE，∵∠D＝45°，∠EHD＝90°，∴DH＝EH＝400m，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴BC=3AC=400∴AE＝CH＝4003-（400﹣200）≈492（m答：步道AE的長約為492m．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．（2024秋?泉港區(qū)期末）小明利用“無人機(jī)”測量涂嶺鎮(zhèn)下爐村的下爐石佛（泉港打卡景點(diǎn)：玉笏朝天）的高度．無人機(jī)的探測器顯示，觀測“玉笏朝天”最高點(diǎn)A的仰角是30°，觀測“玉笏朝天”底部B的俯角為60°．若AB與水平面垂直，無人機(jī)的觀測點(diǎn)P與AB的水平距離PE為523米．請求出“玉笏朝天”的高度【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】玉笏朝天”的高度AB為10米．【分析】根據(jù)題意可得：∠APE＝30°，∠BPE＝60°，PE=523米，∠AEP＝∠BEP＝90°，然后分別在Rt△APE和Rt△BPE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE和【解答】解：由題意得：∠APE＝30°，∠BPE＝60°，PE=523米，∠AEP＝∠在Rt△APE中，∠APE＝30°，PE=∴AE=在Rt△BPE中，∠BPE＝60°，PE=∴BE=∴AB=答：玉笏朝天”的高度AB為10米．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．14．（2025?崇明區(qū)一模）九年級數(shù)學(xué)活動小組用航拍無人機(jī)進(jìn)行測高實(shí)踐．如圖，無人機(jī)從地面AB的中點(diǎn)C處豎直上升20米到達(dá)D處，測得實(shí)驗(yàn)樓頂部E的俯角為55°，綜合樓頂部F的俯角為37°，已知實(shí)驗(yàn)樓BE高度為8米，且圖中點(diǎn)A、B、C、D、E、F在同一平面內(nèi)，求綜合樓AF的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，cot55°≈0.70，精確到0.1米．）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】綜合樓AF的高度約為13.7米．【分析】延長BE交DG于點(diǎn)N，延長AF交DG于點(diǎn)M，根據(jù)題意可得：AM⊥DG，BN⊥DG，AC＝DM，DN＝BC，AM＝CD＝BN＝20米，從而可得EN＝12米，然后在Rt△DEN中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DN的長，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得AC＝BC，從而可得DM＝DN＝8.4米，最后在Rt△DFM中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FM的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：如圖：延長BE交DG于點(diǎn)N，延長AF交DG于點(diǎn)M，由題意得：AM⊥DG，BN⊥DG，AC＝DM，DN＝BC，AM＝CD＝BN＝20米，∵BE＝8米，∴EN＝BN﹣BE＝20﹣8＝12（米），在Rt△DEN中，∠EDN＝55°，∴DN＝EN?cot55°≈12×0.7＝8.4（米），∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，∴AC＝BC，∴DM＝DN＝8.4米，在Rt△DFM中，∠MDF＝37°，∴MF＝DM?tan37°≈8.4×0.75＝6.3（米），∴AF＝AM﹣FM＝20﹣6.3＝13.7（米），∴綜合樓AF的高度約為13.7米．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．15．（2024秋?高州市期末）在我市鄉(xiāng)村振興活動中，村委會辦公樓外墻上有一幅電子顯示屏DC每天上午在播放鄉(xiāng)村宣傳片，小麗同學(xué)在點(diǎn)A處，測得顯示屏頂端D的仰角為30°，再向顯示屏方向前進(jìn)10米后，又在點(diǎn)B處測得顯示屏頂端D的仰角為45°，已知觀測點(diǎn)A、B和C離地面高度都為1.5米，求顯示屏頂端D點(diǎn)距離地面的高度．（計(jì)算結(jié)果保留根號）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】顯示屏頂端D點(diǎn)距離地面的高度為(53【分析】在Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義可得：CD＝BC，然后在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于CD的方程，進(jìn)