第21頁（共21頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教新版九年級同步經(jīng)典題精練之相似三角形一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?金東區(qū)期末）如圖為某農(nóng)村一古老的搗碎器，已知支撐柱AB的高為0.3m，踏板DE長為1.6m，支撐點A到踏腳D的距離為0.6m，現(xiàn)在踏腳著地，則搗頭點E離地面的高度為（）A．0.6m B．0.8m C．1m D．1.2m2．（2024秋?通河縣期末）如圖，F(xiàn)是?ABCD的邊CD上一點，直線BF交AD延長線于點E，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．EDEA=DFDC B．DFFC=EFFB3．（2024秋?靖江市期末）五線譜是世界上通用的一種記譜法，由等距離等長度的五條平行橫線組成，如圖，同一條直線l上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段AB＝5，則線段BC的長是（）A．52 B．25 C．53 4．（2024秋?玄武區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點D在AB上，點E，F(xiàn)在AC上，且DE∥BC，DF∥BE，則下列結(jié)論中，錯誤的是（）A．AFAE=AEAC B．DEBC=DFBE5．（2024秋?東臺市期末）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度如圖，點A，B，Q在同一水平線上，∠ABC和∠AQP均為直角，AP與BC相交于點D．測得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，則樹高PQ為（）A．24m B．18m C．12m D．6m二．填空題（共5小題）6．（2024秋?清江浦區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點E在邊AC上，CE＝2AE，延長BC到點D，使∠D＝∠B，若BC＝3，則DC的長是．7．（2024秋?西山區(qū)校級期末）將一把直尺與△ABC按如圖所示的方式擺放，AB與直尺的一邊重合，AC，BC分別與直尺的另一邊交于點的D，E．若點A，B，D，E分別與直尺上的刻度4.5，8.5，5，6.5對應(yīng)，直尺的寬為1cm，則點C到邊AB的距離為cm．8．（2024秋?成都期末）如圖，在矩形ABCD中，點M是邊CD的中點，連接BM交對角線AC于點O．若AC＝9，則OC的長為．9．（2024秋?電白區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點F、G在BC上，點E、H分別在AB、AC上，四邊形EFGH是矩形，EH＝3EF，AD是△ABC的高．BC＝8，AD＝6，那么EH的長為．10．（2024秋?寶應(yīng)縣期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2AB，D是BC上一點，且AB＝AD．若BD＝1，則AB的長為．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?臨潼區(qū)期末）如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，D為BC邊上一點，且∠EDF＝∠B．求證：BD?DC＝BE?FC．12．（2024秋?金東區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，D、E分別在邊AB、AC上，連接DE，AD＝12，EC＝2，BD＝12，AE＝16．（1）求證：△ADE∽△ACB；（2）若ED＝10，求BC的值．13．（2024秋?玄武區(qū)期末）如圖，古城墻進出口的道閘桿AB水平放置時，與地面l平行．支撐點O與端點A之間的距離OA＝1.2m，與另一端點B之間的距離OB＝18m．道閘桿AB繞著支撐點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點A旋轉(zhuǎn)到點A′時，測得點A′到AB的距離為0.8m，此時，點B′到AB的距離是多少？14．（2024秋?玄武區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點D在AB上，ADAC=ACAB，點E，F(xiàn)分別在CD，BC上，∠（1）求證△ABF∽△ACE；（2）若AB＝5，AC＝4，BC＝6，BFCF=12，則DE＝15．（2024秋?靖江市期末）如圖是小明設(shè)計用手電來測量某古城墻高度的示意圖．在點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，測得AB＝2.7m，BP＝4m，PD＝8m，且AB⊥BD，CD⊥BD．求該古城墻的高度．

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教新版九年級同步經(jīng)典題精練之相似三角形參考答案與試題解析題號12345答案BCADD一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?金東區(qū)期末）如圖為某農(nóng)村一古老的搗碎器，已知支撐柱AB的高為0.3m，踏板DE長為1.6m，支撐點A到踏腳D的距離為0.6m，現(xiàn)在踏腳著地，則搗頭點E離地面的高度為（）A．0.6m B．0.8m C．1m D．1.2m【考點】相似三角形的應(yīng)用．【專題】圖形的相似；運算能力；應(yīng)用意識．【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖：∵AB∥EC，∴△DAB∽△DEC，∴AD：DE＝AB：EC，∴0.6：1.6＝0.3：EC，∴EC＝0.8米．∴搗頭點E離地面的高度0.8米．故選：B．【點評】本題考查的是相似三角形在實際生活中的應(yīng)用，解答此題時只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程求出搗頭點E上升的高度．2．（2024秋?通河縣期末）如圖，F(xiàn)是?ABCD的邊CD上一點，直線BF交AD延長線于點E，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．EDEA=DFDC B．DFFC=EFFB【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】圖形的相似．【答案】C【分析】利用相似三角形的判定和性質(zhì)判斷即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∴△EDF∽△EAB，∴EDEA=DF∴△DEF∽△CBF，∴DFFC=EF∴BCDE=BF∵△BCF∽△EAB，∴BFBE=BC故選：C．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題．3．（2024秋?靖江市期末）五線譜是世界上通用的一種記譜法，由等距離等長度的五條平行橫線組成，如圖，同一條直線l上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段AB＝5，則線段BC的長是（）A．52 B．25 C．53 【考點】平行線分線段成比例．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】A【分析】過當(dāng)C作CD⊥點A所在的平行橫線于D，交點B所在的平行橫線于E，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計算得到答案．【解答】解：如圖，過當(dāng)C作CD⊥點A所在的平行橫線于D，交點B所在的平行橫線于E，∵BE∥AD，∴CBAB=CE解得：BC=5故選：A．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用該定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?玄武區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點D在AB上，點E，F(xiàn)在AC上，且DE∥BC，DF∥BE，則下列結(jié)論中，錯誤的是（）A．AFAE=AEAC B．DEBC=DFBE【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】D【分析】由平行線分線段成比例可得AFAE=AEAC，DEBC=DF【解答】解：∵DE∥BC，DF∥BE，∴DEBC=ADAB=AEAC，DFBE=∴AFAE=AEAC，DEBC∴EFEC∴ADAB故選：D．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．5．（2024秋?東臺市期末）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度如圖，點A，B，Q在同一水平線上，∠ABC和∠AQP均為直角，AP與BC相交于點D．測得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，則樹高PQ為（）A．24m B．18m C．12m D．6m【考點】相似三角形的應(yīng)用．【專題】圖形的相似；應(yīng)用意識．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知：△ABC∽△AQP，從而可以得到ABBD=AQ【解答】解：由題意可得，BC∥PQ，AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，∴△ABD∽△AQP，∴ABBD即4020解得QP＝6，∴樹高PQ＝6m，故選：D．【點評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?清江浦區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點E在邊AC上，CE＝2AE，延長BC到點D，使∠D＝∠B，若BC＝3，則DC的長是2．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【專題】圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】2．【分析】由CE＝2AE，得CECA=23，由∠ECD＝∠ACB＝90°，∠D＝∠B，證明△EDC∽△ABC，則DCBC=CECA=23【解答】解：∵CE＝2AE，∴CA＝2AE+AE＝3AE，∴CECA∵∠ACB＝90°，點D在BC的延長線上，∴∠ECD＝∠ACB＝90°，∵∠D＝∠B，∴△EDC∽△ABC，∴DCBC∵BC＝3，∴DC=23BC=23故答案為：2．【點評】此題重點考查相似三角形的判定與性質(zhì)，證明△EDC∽△ABC是解題的關(guān)鍵．7．（2024秋?西山區(qū)校級期末）將一把直尺與△ABC按如圖所示的方式擺放，AB與直尺的一邊重合，AC，BC分別與直尺的另一邊交于點的D，E．若點A，B，D，E分別與直尺上的刻度4.5，8.5，5，6.5對應(yīng)，直尺的寬為1cm，則點C到邊AB的距離為1.6cm．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；點到直線的距離．【專題】圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】1.6．【分析】作CF⊥AB交DE于點L，由DE∥AB，直尺的寬為1cm，得△CDE∽△CAB，F(xiàn)L＝1cm，CL⊥DE，所以CLCF=DEAB，求得AB＝8.5﹣4.5＝4（cm），DE＝6.5﹣5＝1.5（cm），則CF-1【解答】解：∵作CF⊥AB交DE于點L，∵DE∥AB，直尺的寬為1cm，∴△CDE∽△CAB，∠DLE＝∠CFB＝90°，F(xiàn)L＝1cm，∴CL⊥DE，∴CLCF∵點A，B，D，E分別與直尺上的刻度4.5，8.5，5，6.5對應(yīng)，∴AB＝8.5﹣4.5＝4（cm），DE＝6.5﹣5＝1.5（cm），∴CF-解得CF＝1.6，∴點C到邊AB的距離為1.6cm，故答案為：1.6．【點評】此題重點考查相似三角形的判定與性質(zhì)，正確地作出輔助線并且證明△CDE∽△CAB是解題的關(guān)鍵．8．（2024秋?成都期末）如圖，在矩形ABCD中，點M是邊CD的中點，連接BM交對角線AC于點O．若AC＝9，則OC的長為3．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；圖形的相似；幾何直觀；推理能力．【答案】3．【分析】根據(jù)矩形可得AB∥CD，從而有△MCO∽△BAO，再根據(jù)相似三角形性質(zhì)即可求解．【解答】解：在矩形ABCD中，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△MCO∽△BAO，∴CMAB∵M是邊CD的中點，AC＝9，∴CM=∴12∴CO=1∴OC＝3，故答案為：3．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)．9．（2024秋?電白區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點F、G在BC上，點E、H分別在AB、AC上，四邊形EFGH是矩形，EH＝3EF，AD是△ABC的高．BC＝8，AD＝6，那么EH的長為7213【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】7213【分析】AD交EH于M點，如圖，設(shè)EF＝x，則EH＝3x，先證明四邊形EFDM為矩形得到MD＝EF＝x，則AM＝6﹣x，再證明△AEH∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到EHBC=AMAD，即3x【解答】解：AD交EH于M點，如圖，設(shè)EF＝x，則EH＝3x，∵四邊形EFGH為矩形，∴EH∥FG，∠MEF＝∠DFE＝90°，∵AD是△ABC的高，∴∠MDF＝90°，∴四邊形EFDM為矩形，∴MD＝EF＝x，∴AM＝AD﹣MD＝6﹣x，∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∴EHBC=AM解得x=24∴EH＝3x＝3×24故答案為：7213【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運用相似三角形的性質(zhì)計算相應(yīng)線段的長或表示線段之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．也考查了矩形的性質(zhì)．10．（2024秋?寶應(yīng)縣期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2AB，D是BC上一點，且AB＝AD．若BD＝1，則AB的長為2．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的相似；運算能力．【答案】2．【分析】根據(jù)題意，得出△ABD∽△CBA，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：由題知，∵AC＝BC，∴∠B＝∠CAB．∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，則∠B＝∠B，∠CAB＝∠ADB，∴△ABD∽△CBA，∴ABBD又∵BC＝2AB，BD＝1，∴AB＝2．故答案為：2．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?臨潼區(qū)期末）如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，D為BC邊上一點，且∠EDF＝∠B．求證：BD?DC＝BE?FC．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；推理能力．【答案】證明見解答．【分析】由AB＝AC，得∠B＝∠C，由∠EDF＝∠B，得∠CDF+∠BDE＝180°﹣∠EDF＝180°﹣∠B，而∠BED+∠BDE＝180°﹣∠B，可推導(dǎo)出∠BED＝∠CDF，則△BED∽△CDF，所以BDFC=BEDC，則BD?DC＝【解答】證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EDF＝∠B，∴∠CDF+∠BDE＝180°﹣∠EDF＝180°﹣∠B，∵∠BED+∠BDE＝180°﹣∠B，∴∠BED+∠BDE＝∠CDF+∠BDE，∴∠BED＝∠CDF，∴△BED∽△CDF，∴BDFC∴BD?DC＝BE?FC．【點評】此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，推導(dǎo)出∠BED＝∠CDF，進而證明△BED∽△CDF是解題的關(guān)鍵．12．（2024秋?金東區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，D、E分別在邊AB、AC上，連接DE，AD＝12，EC＝2，BD＝12，AE＝16．（1）求證：△ADE∽△ACB；（2）若ED＝10，求BC的值．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】（1）證明見解答；（2）BC的值為15．【分析】（1）由AD＝12，EC＝2，BD＝12，AE＝16，求得AB＝AD+BD＝24，AC＝AE+CE＝18，則ADAC=AEAB=23，而∠A（2）由相似三角形的性質(zhì)得EDBC=ADAC=23，因為ED＝10【解答】（1）證明：∵AD＝12，EC＝2，BD＝12，AE＝16，∴AB＝AD+BD＝12+12＝24，AC＝AE+CE＝16+2＝18，∴ADAC=12∴ADAC∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．（2）解：∵△ADE∽△ACB，∴EDBC∵ED＝10，∴BC=32ED=32∴BC的值為15．【點評】此題重點考查相似三角形的判定與性質(zhì)，推導(dǎo)出ADAC=AEAB，進而證明△13．（2024秋?玄武區(qū)期末）如圖，古城墻進出口的道閘桿AB水平放置時，與地面l平行．支撐點O與端點A之間的距離OA＝1.2m，與另一端點B之間的距離OB＝18m．道閘桿AB繞著支撐點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點A旋轉(zhuǎn)到點A′時，測得點A′到AB的距離為0.8m，此時，點B′到AB的距離是多少？【考點】相似三角形的應(yīng)用．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】12m．【分析】根據(jù)題意得，OA＝OA′＝1.2m，OB＝OB′＝18m，A′M＝0.8m，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【解答】解：如圖，A′M⊥AB于點M，B′N⊥AB于點N，根據(jù)題意得，OA＝OA′＝1.2m，OB＝OB′＝18m，A′M＝0.8m，∵A′M⊥AB，B′N⊥AB，∴A′M∥B′N，∴△A′OM∽△B′ON，∴A'即0.8B∴B′N＝12（m），即點B′到AB的距離是12m．【點評】此題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2024秋?玄武區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點D在AB上，ADAC=ACAB，點E，F(xiàn)分別在CD，BC上，∠（1）求證△ABF∽△ACE；（2）若AB＝5，AC＝4，BC＝6，BFCF=12，則DE＝【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】（1）見解析過程；（2）165【分析】（1）通過證明△ACD∽△ABC，可得∠ACD＝∠ABC，即可得結(jié)論；（2）由相似三角形的性質(zhì)可求CD=245，CE【解答】（1）證明：∵ADAC=ACAB，∠∴△ACD∽△ABC，∴∠ACD＝∠ABC，又∵∠BAF＝∠CAE．∴△ABF∽△ACE；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴ACAB∵AB＝5，AC＝4，BC＝6，∴CD=24∵BFCF=12，∴BF＝2，∵△ABF∽△ACE，∴ACAB∴45∴CE=8∴DE＝CD﹣CE=16故答案為：165【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．15．（2024秋?靖江市期末）如圖是小明設(shè)計用手電來測量某古城墻高度的示意圖．在點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，測得AB＝2.7m，BP＝4m，PD＝8m，且AB⊥BD，CD⊥BD．求該古城墻的高度．【考點】相似三角形的應(yīng)用．【專題】圖形的相似；運算能力；推理能力；應(yīng)用意識．【答案】該古城墻的高度為5.4m．【分析】利用入射與反射得到∠APB＝∠CPD，則可判斷Rt△ABP∽Rt△CDP，于是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CD即可．【解答】解：根據(jù)題意得∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴ABCD=BP解得CD＝5.4．答：該古城墻的高度為5.4m．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：利用入射與反射的原理構(gòu)建相似三角形，然后利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等解決．

考點卡片1．點到直線的距離（1）點到直線的距離：直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．（2）點到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個圖形．2．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．3．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．4．平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．5．矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖