第22頁（共22頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大新版九年級同步經(jīng)典題精練之圓中的計(jì)算問題一．選擇題（共5小題）1．（2025?柳州一模）已知扇形的半徑為3，圓心角為120°，則這個(gè)扇形的面積為（）A．9π B．6π C．3π D．2π2．（2024秋?揚(yáng)州期末）已知扇形的半徑為12，圓心角為60°，則這個(gè)扇形的弧長為（）A．9π B．6π C．3π D．4π3．（2024秋?萊蕪區(qū)期末）圓錐的底面圓的半徑為10，圓錐母線長為20，則圓錐側(cè)面展開圖的面積為（）A．100π B．200π C．300π D．400π4．（2024秋?東莞市期末）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓．則該圓錐的底面圓半徑是（）A．34 B．12 C．13 5．（2024秋?南川區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2．以點(diǎn)C為圓心，CB長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點(diǎn)E，D，則圖中陰影部分的面積為（）A．23π B．13π-3 C二．填空題（共5小題）6．（2024秋?金東區(qū)期末）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC=22cm，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，連接DC，則線段DC＝cm，陰影部分的面積為7．（2024秋?東臺(tái)市期末）已知圓錐的母線長13，側(cè)面積是65π，則此圓錐的底面半徑長是．8．（2024秋?宿城區(qū)期末）若一個(gè)圓錐的母線長為4，它的側(cè)面展開圖的圓心角為90°，則這個(gè)圓錐的底面圓面積為．9．（2024秋?增城區(qū)期末）如圖，圓錐的底面半徑OC＝4，母線長AC＝8，則圓錐的側(cè)面積為．10．（2024秋?包河區(qū)校級期末）如圖，扇形的圓心角為120°，點(diǎn)C在圓弧上，∠ABC＝30°，OA＝2，陰影部分的面積為．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?鹽城期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC，AC分別相交于點(diǎn)D，E．（1）求證：BD＝CD；（2）若⊙O半徑為5，∠CDE＝50°，求扇形ODB的面積．12．（2024秋?揚(yáng)州期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），請?jiān)诰W(wǎng)格圖中進(jìn)行如下操作：（1）若該圓弧所在圓的圓心為D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）連接AD、CD，則⊙D的半徑長為，∠ADC的度數(shù)為；（3）若扇形ADC是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑為．（結(jié)果保留根號(hào)）13．（2024秋?拱墅區(qū)期末）如圖，已知⊙O的半徑為2，弦CD⊥直徑AB，垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合），連接AF，AC，AD，F(xiàn)C．（1）求證：AC＝AD．（2）若∠AFC①求∠ACD的度數(shù)．②當(dāng)FC∥AD時(shí)，求AF的長．14．（2024秋?濱海新區(qū)期末）如圖，OA，OB為⊙O的半徑，過點(diǎn)A作OA⊥AP，過點(diǎn)B作OB⊥BP，AP與BP相交于點(diǎn)P，連接OP交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，若OA∥BC，OA＝1．（Ⅰ）求證：△OBC為等邊三角形；（Ⅱ）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．15．（2024秋?商洛期末）如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OA、OB，若AB=2OC=22

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大新版九年級同步經(jīng)典題精練之圓中的計(jì)算問題參考答案與試題解析題號(hào)12345答案CDBDC一．選擇題（共5小題）1．（2025?柳州一模）已知扇形的半徑為3，圓心角為120°，則這個(gè)扇形的面積為（）A．9π B．6π C．3π D．2π【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算．【答案】C【分析】直接代入扇形的面積公式即可得出答案．【解答】解：S扇形=120π×3故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了扇形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形的面積公式：S=nπ2．（2024秋?揚(yáng)州期末）已知扇形的半徑為12，圓心角為60°，則這個(gè)扇形的弧長為（）A．9π B．6π C．3π D．4π【考點(diǎn)】弧長的計(jì)算．【答案】D【分析】把扇形的圓心角為和半徑為代入弧長公式計(jì)算即可．【解答】解：依題意，n＝60，r＝12，∴扇形的弧長=nπr180=故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了弧長公式的運(yùn)用．關(guān)鍵是熟悉公式：扇形的弧長=nπr3．（2024秋?萊蕪區(qū)期末）圓錐的底面圓的半徑為10，圓錐母線長為20，則圓錐側(cè)面展開圖的面積為（）A．100π B．200π C．300π D．400π【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．【解答】解：∵圓錐的底面圓的半徑為10，∴圓錐的底面圓的周長為20π，∴圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長為20π，∴圓錐側(cè)面展開圖的面積為：12×20π×20＝200故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是圓錐的計(jì)算，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?東莞市期末）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓．則該圓錐的底面圓半徑是（）A．34 B．12 C．13 【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】根據(jù)側(cè)面展開圖的弧長等于圓錐的底面周長，即可求得底面周長，進(jìn)而即可求得底面的半徑長．【解答】解：∵圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，∴圓錐的底面周長是2π，設(shè)圓錐的底面半徑是r，則2πr＝2π，解得：r＝1，∴該圓錐的底面圓半徑是1．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的計(jì)算，正確理解理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．5．（2024秋?南川區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2．以點(diǎn)C為圓心，CB長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點(diǎn)E，D，則圖中陰影部分的面積為（）A．23π B．13π-3 C【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；勾股定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】連接CE，作EF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)題意得出cosB=BCAB=12，CB＝CE，得到∠B＝60°，可得△BCE是等邊三角形，計(jì)算S陰＝S扇【解答】解：如圖，連接CE，作EF⊥BC于點(diǎn)F，由條件可知cosB=∴∠B＝60°，∵CB＝CE，∴△BCE是等邊三角形，∴BE＝BC＝2，∴EF=∴S△∴S扇∴S陰故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了扇形面積公式及計(jì)算，銳角三角函數(shù)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?金東區(qū)期末）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC=22cm，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，連接DC，則線段DC＝（23-2）cm，陰影部分的面積為（83π﹣23【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力．【答案】（23-2），（83π﹣23【分析】連接AD，延長DC交AB于H點(diǎn)，如圖，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AC＝BC＝22cm，AB＝4cm，∠ABC＝45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BD＝BA，∠ABD＝60°，則可判斷△ABD為等邊三角形，所以DA＝DB，從而可判斷DH垂直平分AB，所以∠DHB＝90°，AH＝BH＝CH＝2cm，接著在Rt△BDC中計(jì)算出DH＝23cm，則DC＝DH﹣CH＝（23-2）cm，然后根據(jù)三角形面積公式和扇形的面積公式，利用陰影部分的面積＝S扇形ABD﹣S△BDH﹣S△ACH【解答】解：連接AD，延長DC交AB于H點(diǎn)，如圖，∵△ACB為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝22cm，AB=2AC＝4cm，∠ABC＝45∵△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，∴BD＝BA，∠ABD＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∴DA＝DB，而CA＝CB，∴DH垂直平分AB，∴∠DHB＝90°，AH＝BH=12AB＝2∴CH＝BH＝2cm，在Rt△BDC中，∵∠DBH＝60°，∴DH=3BH＝23cm∴DC＝DH﹣CH＝（23-2）cm陰影部分的面積＝S扇形ABD﹣S△BDH﹣S△ACH=60×π×42360-12×2×23-12×故答案為：（23-2），（83π﹣23【點(diǎn)評】本題考查了扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR7．（2024秋?東臺(tái)市期末）已知圓錐的母線長13，側(cè)面積是65π，則此圓錐的底面半徑長是5．【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力．【答案】5．【分析】根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑長為r，則12×2πr×13＝65解得：r＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查的是圓錐的計(jì)算，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．8．（2024秋?宿城區(qū)期末）若一個(gè)圓錐的母線長為4，它的側(cè)面展開圖的圓心角為90°，則這個(gè)圓錐的底面圓面積為π．【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力．【答案】π．【分析】根據(jù)弧長公式求出側(cè)面展開圖的弧長，進(jìn)而求出圓錐的底面圓的半徑，根據(jù)圓的面積公式求出面積．【解答】解：∵圓錐的母線長為4，它的側(cè)面展開圖的圓心角為90°，∴它的側(cè)面展開圖的弧長為：90π×4180則圓錐的底面圓的半徑為：2π2∴圓錐的底面圓面積為：π×12＝π，故答案為：π．【點(diǎn)評】本題考查的是圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．9．（2024秋?增城區(qū)期末）如圖，圓錐的底面半徑OC＝4，母線長AC＝8，則圓錐的側(cè)面積為32π．【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力．【答案】32π．【分析】由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則利用扇形面積公式可計(jì)算出圓錐的側(cè)面積．【解答】解：根據(jù)題意得，∵圓錐的底面半徑OC＝4，∴圓錐的底面圓的周長＝2π×4＝8π，∴圓錐的側(cè)面積=12×8π×8＝故答案為：32π．【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的計(jì)算，圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了扇形面積公式．10．（2024秋?包河區(qū)校級期末）如圖，扇形的圓心角為120°，點(diǎn)C在圓弧上，∠ABC＝30°，OA＝2，陰影部分的面積為23π【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；圓周角定理．【專題】運(yùn)算能力．【答案】23【分析】連接OC，AC，由∠ABC的度數(shù)得出∠AOC的度數(shù)，再將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OAC的面積，最后根據(jù)扇形的面積公式即可解決問題．【解答】解：連接OA，OC，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2×30°＝60°．又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝60°．∵∠AOB＝120°，∴∠COB＝120°﹣60°＝60°，∴∠ACO＝∠COB，∴AC∥OB，∴S△AOC＝S△ABC，∴S陰影＝S扇形OAC．∵OA＝2，∴S扇形∴S陰影故答案為：23【點(diǎn)評】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算及圓周角定理，熟知圓周角定理及扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?鹽城期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC，AC分別相交于點(diǎn)D，E．（1）求證：BD＝CD；（2）若⊙O半徑為5，∠CDE＝50°，求扇形ODB的面積．【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）125π【分析】（1）連接AD，根據(jù)圓周角定理的推論得到∠BDA＝90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到BD＝CD；（2）根據(jù)已知求出∠BOD＝50°，根據(jù)扇形面積公式即可得到答案．【解答】（1）證明：連接AD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠BDA＝90°，∴AD⊥BC．∵AB＝AC．∴BD＝CD；（2）解：∵∠CDE＝50°，∴∠BAC＝50°，∵AD⊥BC．AB＝AC．∴∠BAD＝∠CAD＝25°，∴∠BOD＝2∠BAD＝50°，∵⊙O半徑為5，∴S扇形ODB=50【點(diǎn)評】本題考查了扇形面積和等腰三角形的性質(zhì)以及圓周角定理．掌握扇形的面積公式、等腰三角形的性質(zhì)以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．12．（2024秋?揚(yáng)州期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），請?jiān)诰W(wǎng)格圖中進(jìn)行如下操作：（1）若該圓弧所在圓的圓心為D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0）；（2）連接AD、CD，則⊙D的半徑長為25，∠ADC的度數(shù)為90（3）若扇形ADC是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑為52【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理．【專題】運(yùn)算能力．【答案】（1）（﹣2，0）；（2）25，90°；（3）52【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出D點(diǎn)位置，結(jié)合圖形得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）利用點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合勾股定理得出⊙D的半徑長，根據(jù)勾股定理的逆定理∠ADC的度數(shù)；（3）利用圓錐的底面圓的周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長即可得出答案．【解答】解：（1）分別作AB、BC的垂直平分線，兩直線交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D即為該圓弧所在圓的圓心，由圖形可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，0），故答案為：（﹣2，0）；（2）圓D的半徑長=2AC=AD2+CD2=(25)AC2＝40，則AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，故答案為：25；90（3）設(shè)圓錐的底面圓的半徑長為r，則2πr解得r=【點(diǎn)評】本題考查的是圓錐的計(jì)算、勾股定理及其逆定理，掌握扇形面積公式、正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．13．（2024秋?拱墅區(qū)期末）如圖，已知⊙O的半徑為2，弦CD⊥直徑AB，垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合），連接AF，AC，AD，F(xiàn)C．（1）求證：AC＝AD．（2）若∠AFC①求∠ACD的度數(shù)．②當(dāng)FC∥AD時(shí)，求AF的長．【考點(diǎn)】弧長的計(jì)算；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力．【答案】（1）見解答；（2）①②π．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理及圓心角定理證明；（2）①根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解；②根據(jù)“平行弦所夾的弧相等”，及弧長公式求解．【解答】（1）證明：∵弦CD⊥直徑AB，∴A平分CAD，即AC=∴AC＝AD；（2）①∵四邊形AFCD內(nèi)接于⊙O，∴∠AFC+∠ADC＝180°①，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠AFC=53由①②得：∠ADC＝67.5°，∠AFC＝112.5°，∴∠ACD＝67.5°；②連接OC，OD，∵∠ADC＝∠ACD＝67.5°，∴∠CAD＝180°﹣2×67.5°＝45°，∴∠COD＝90°，∵FC∥AD，∴AF=∵CD的長為：90π?∴AF的長為π．【點(diǎn)評】本題考查了弧長公式及垂徑定理，掌握弧長公式和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．14．（2024秋?濱海新區(qū)期末）如圖，OA，OB為⊙O的半徑，過點(diǎn)A作OA⊥AP，過點(diǎn)B作OB⊥BP，AP與BP相交于點(diǎn)P，連接OP交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，若OA∥BC，OA＝1．（Ⅰ）求證：△OBC為等邊三角形；（Ⅱ）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（Ⅰ）證明見解答；（Ⅱ）3-【分析】（Ⅰ）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和等邊三角形的判定定理證明即可；（Ⅱ）利用特殊角的三角形函數(shù)和三角形面積公式求出S四邊形OAPB，利用扇形面積公式求出S扇形AOB，再由S陰影＝S四邊形OAPB﹣S扇形AOB計(jì)算陰影部分的面積即可．【解答】（Ⅰ）證明：在Rt△OAP和Rt△OBP中，OA=∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴∠AOP＝∠BOP，∵OA∥BC，∴∠BCO＝∠AOP，∴∠BOP＝∠BCO，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠BCO，∴∠OBC＝∠BCO＝∠BOP，∴△OBC為等邊三角形．（Ⅱ）∵△OBC為等邊三角形，∴∠BOP＝60°，∴BP＝OB?tan∠BOP＝1×3∴SRt△OBP＝SRt△OAP=12OB?BP=1∴S四邊形OAPB＝SRt△OBP+SRt△OAP=3∵∠AOB＝2∠BOP＝120°，∴S扇形AOB=120360π×12∴S陰影＝S四邊形OAPB﹣S扇形AOB=3【點(diǎn)評】本題考查扇形面積的計(jì)算、等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握扇形面積的計(jì)算公式、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、特殊角的三角形函數(shù)和三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．15．（2024秋?商洛期末）如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OA、OB，若AB=2OC=2【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；勾股定理；垂徑定理．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力．【答案】π．【分析】先根據(jù)垂徑定理得出AC＝BC，再結(jié)合AB＝2OC得出∠AOC＝∠OAC＝45°，進(jìn)一步求出∠AOB的度數(shù)，最后根據(jù)扇形的面積公式即可解決問題．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AB＝2AC．又∵AB＝2OC，∴AC＝OC，∴∠AOC＝∠OAC＝45°，∴∠AOB＝2∠AOC＝90°．又∵AB＝2OC=22∴OA=2∴S陰影=90?【點(diǎn)評】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算、勾股定理及垂徑定理，熟知垂徑定理及扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．坐標(biāo)與圖形性質(zhì)1、點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個(gè)方面：①到x軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時(shí)，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?hào)．2、有圖形中一些點(diǎn)的坐標(biāo)求面積時(shí)，過已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律．3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補(bǔ)”法去解決問題．2．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．3．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ǎ话愕?，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°的角判定．4．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．5．等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個(gè)銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€(gè)小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個(gè)小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R=2+1，所以r：R＝1：26．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．7．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．