承重能力的簡(jiǎn)易工程計(jì)算?一、引言在工程領(lǐng)域，準(zhǔn)確計(jì)算結(jié)構(gòu)或物體的承重能力至關(guān)重要。無論是建筑設(shè)計(jì)、橋梁搭建、機(jī)械制造還是日常物品的設(shè)計(jì)，都需要對(duì)其承重能力進(jìn)行評(píng)估，以確保安全可靠。本文將介紹一些簡(jiǎn)易的工程計(jì)算方法，幫助讀者了解如何確定各種結(jié)構(gòu)和物體的承重能力。

二、材料力學(xué)基礎(chǔ)（一）應(yīng)力與應(yīng)變1.應(yīng)力應(yīng)力是指材料內(nèi)部單位面積上的力，用公式表示為：$\sigma=\frac{F}{A}$，其中$\sigma$為應(yīng)力，$F$為外力，$A$為受力面積。應(yīng)力的單位是帕斯卡（Pa），$1Pa=1N/m^{2}$。2.應(yīng)變應(yīng)變是材料在受力時(shí)的變形量與原始尺寸的比值，公式為：$\varepsilon=\frac{\DeltaL}{L}$，其中$\varepsilon$為應(yīng)變，$\DeltaL$為變形量，$L$為原始長(zhǎng)度。應(yīng)變是無量綱的量。3.應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系胡克定律對(duì)于彈性材料，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即$\sigma=E\varepsilon$，其中$E$為彈性模量。彈性模量反映了材料抵抗彈性變形的能力，單位與應(yīng)力相同。

（二）材料的力學(xué)性能指標(biāo)1.屈服強(qiáng)度材料開始產(chǎn)生明顯塑性變形時(shí)的應(yīng)力，用$\sigma_s$表示。當(dāng)應(yīng)力超過屈服強(qiáng)度后，材料會(huì)發(fā)生不可恢復(fù)的塑性變形。2.抗拉強(qiáng)度材料在拉伸過程中所能承受的最大應(yīng)力，用$\sigma_b$表示?？估瓘?qiáng)度是材料力學(xué)性能的一個(gè)重要指標(biāo)。

三、簡(jiǎn)單梁的承重計(jì)算（一）簡(jiǎn)支梁的受力分析1.簡(jiǎn)支梁的定義簡(jiǎn)支梁是兩端支撐在支座上，只能承受豎向荷載的梁。2.受力情況設(shè)簡(jiǎn)支梁長(zhǎng)度為$L$，在梁上作用一豎向集中荷載$P$，距離左端支座為$a$，距離右端支座為$b$（$a+b=L$）。左端支座反力$R_A=\frac{P\timesb}{L}$，右端支座反力$R_B=\frac{P\timesa}{L}$。3.彎矩計(jì)算梁某截面的彎矩$M$等于該截面一側(cè)所有外力對(duì)該截面形心的力矩之和。例如，距離左端支座$x$處的截面彎矩$M(x)=R_A\timesx$（當(dāng)$x\leqa$時(shí)）；$M(x)=P\times(xa)$（當(dāng)$x>a$時(shí)）。4.剪力計(jì)算梁某截面的剪力$V$等于該截面一側(cè)所有外力的代數(shù)和。例如，距離左端支座$x$處的截面剪力$V(x)=R_A$（當(dāng)$x\leqa$時(shí)）；$V(x)=PR_B$（當(dāng)$x>a$時(shí)）。

（二）簡(jiǎn)支梁的抗彎能力計(jì)算1.正應(yīng)力計(jì)算公式對(duì)于梁在純彎曲情況下，截面上的正應(yīng)力分布為線性分布，最大正應(yīng)力$\sigma_{max}=\frac{M_{max}}{W}$，其中$M_{max}$為梁的最大彎矩，$W$為截面抵抗矩。對(duì)于矩形截面，$W=\frac{bh^{2}}{6}$，其中$b$為截面寬度，$h$為截面高度；對(duì)于圓形截面，$W=\frac{\pid^{3}}{32}$，其中$d$為圓直徑。2.梁的抗彎承載能力梁的抗彎承載能力由其材料的許用應(yīng)力$[\sigma]$和截面抵抗矩$W$決定。設(shè)梁的抗彎承載能力為$P_{max}$，則由$\sigma_{max}=\frac{M_{max}}{W}\leq[\sigma]$可得：$M_{max}\leq[\sigma]W$。對(duì)于簡(jiǎn)支梁受集中荷載$P$作用時(shí)，$M_{max}=\frac{PL}{4}$（當(dāng)荷載作用在梁跨中時(shí)）。所以，$P_{max}=\frac{4[\sigma]W}{L}$。

（三）簡(jiǎn)支梁的抗剪能力計(jì)算1.剪應(yīng)力計(jì)算公式梁截面上的剪應(yīng)力分布不均勻，最大剪應(yīng)力$\tau_{max}=\frac{V_{max}S}{Ib}$，其中$V_{max}$為梁的最大剪力，$S$為計(jì)算剪應(yīng)力處以上（或以下）截面面積對(duì)中性軸的靜矩，$I$為截面慣性矩，$b$為截面寬度。對(duì)于矩形截面，$I=\frac{bh^{3}}{12}$，$S=\frac{bh}{2}\times\frac{h}{4}=\frac{bh^{2}}{8}$（計(jì)算最大剪應(yīng)力時(shí)）。2.梁的抗剪承載能力梁的抗剪承載能力由其材料的許用剪應(yīng)力$[\tau]$決定。設(shè)梁的抗剪承載能力為$P_{vmax}$，由$\tau_{max}=\frac{V_{max}S}{Ib}\leq[\tau]$可得：$V_{max}\leq\frac{[\tau]Ib}{S}$。對(duì)于簡(jiǎn)支梁受集中荷載$P$作用時(shí)，$V_{max}=\frac{P}{2}$（當(dāng)荷載作用在梁跨中時(shí)）。所以，$P_{vmax}=\frac{2[\tau]Ib}{S}$。梁的實(shí)際承載能力應(yīng)取抗彎承載能力和抗剪承載能力中的較小值。

四、柱的承重計(jì)算（一）軸心受壓柱的受力分析1.軸心受壓柱的定義軸心受壓柱是指壓力作用線與柱截面形心軸重合的柱子。2.受力情況設(shè)軸心受壓柱的軸向壓力為$N$，柱的截面面積為$A$。柱截面上的應(yīng)力$\sigma=\frac{N}{A}$。

（二）軸心受壓柱的穩(wěn)定計(jì)算1.長(zhǎng)細(xì)比長(zhǎng)細(xì)比$\lambda=\frac{l_0}{i}$，其中$l_0$為柱的計(jì)算長(zhǎng)度，$i$為截面回轉(zhuǎn)半徑。對(duì)于矩形截面，$i=\sqrt{\frac{I}{A}}=\sqrt{\frac{bh^{3}/12}{bh}}=\frac{h}{\sqrt{12}}$；對(duì)于圓形截面，$i=\frac8emiyem{4}$。2.穩(wěn)定系數(shù)根據(jù)長(zhǎng)細(xì)比$\lambda$查鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范或混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范可得穩(wěn)定系數(shù)$\varphi$。穩(wěn)定系數(shù)$\varphi$反映了柱的長(zhǎng)細(xì)比對(duì)其承載能力的影響，$\lambda$越大，$\varphi$越小。3.軸心受壓柱的承載能力軸心受壓柱的承載能力$N_{u}=\varphiA[\sigma]$，其中$[\sigma]$為材料的許用應(yīng)力。

（三）偏心受壓柱的計(jì)算要點(diǎn)1.偏心受壓柱的受力分析偏心受壓柱是指壓力作用線與柱截面形心軸不重合的柱子，存在偏心距$e$。偏心受壓柱截面上除了軸向壓力外，還會(huì)產(chǎn)生彎矩$M=Ne$。2.計(jì)算方法偏心受壓柱的計(jì)算較為復(fù)雜，一般采用考慮二階效應(yīng)的方法。對(duì)于鋼筋混凝土偏心受壓柱，可根據(jù)規(guī)范公式進(jìn)行截面設(shè)計(jì)和承載力計(jì)算，如大偏心受壓和小偏心受壓的判別及相應(yīng)的計(jì)算公式。對(duì)于鋼結(jié)構(gòu)偏心受壓柱，可采用數(shù)值方法如有限元軟件進(jìn)行精確分析，也可根據(jù)規(guī)范的近似方法進(jìn)行初步計(jì)算。

五、桁架結(jié)構(gòu)的承重計(jì)算（一）桁架的基本概念1.桁架的定義桁架是由桿件通過節(jié)點(diǎn)連接而成的結(jié)構(gòu)，各桿件主要承受軸向力。2.桁架的分類常見的桁架有平面桁架和空間桁架。平面桁架又可分為簡(jiǎn)單桁架、聯(lián)合桁架和復(fù)雜桁架。

（二）桁架內(nèi)力計(jì)算方法1.節(jié)點(diǎn)法取桁架的節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，利用節(jié)點(diǎn)的平衡條件（$\sumF_x=0$，$\sumF_y=0$）求解各桿件的內(nèi)力。例如，對(duì)于平面桁架的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，若已知作用在節(jié)點(diǎn)上的外力，設(shè)某桿件內(nèi)力為$F$，通過建立平衡方程可求出$F$。2.截面法用一個(gè)截面截?cái)噼旒艿娜舾蓷U件，取截面一側(cè)的部分桁架為研究對(duì)象，利用平衡條件求解截?cái)鄺U件的內(nèi)力。一般選擇截?cái)嗟臈U件數(shù)量不超過三個(gè)，這樣可以通過三個(gè)平衡方程（$\sumF_x=0$，$\sumF_y=0$，$\sumM=0$）求出桿件內(nèi)力。

（三）桁架的承載能力計(jì)算1.桿件的強(qiáng)度計(jì)算根據(jù)桿件所受的內(nèi)力，計(jì)算桿件截面上的應(yīng)力$\sigma=\frac{F}{A}$，其中$F$為桿件內(nèi)力，$A$為桿件截面面積。若$\sigma\leq[\sigma]$，則桿件滿足強(qiáng)度要求，$[\sigma]$為材料的許用應(yīng)力。2.桁架的整體穩(wěn)定性桁架的整體穩(wěn)定性與桁架的形式、支撐情況等有關(guān)。對(duì)于平面桁架，可通過計(jì)算桁架的長(zhǎng)細(xì)比等參數(shù)，結(jié)合規(guī)范判斷其整體穩(wěn)定性。例如，對(duì)于某些受壓桿件組成的桁架，需考慮桿件的局部失穩(wěn)和整體失穩(wěn)問題，采取相應(yīng)的加強(qiáng)措施，如設(shè)置支撐、控制桿件長(zhǎng)細(xì)比等。

六、實(shí)例分析（一）簡(jiǎn)支梁實(shí)例1.工程背景有一簡(jiǎn)支梁，長(zhǎng)度$L=4m$，采用矩形截面，寬度$b=200mm$，高度$h=300mm$，材料為Q235鋼，許用應(yīng)力$[\sigma]=120MPa$。梁上作用一集中荷載$P$，作用在梁跨中。2.計(jì)算過程首先計(jì)算截面抵抗矩$W=\frac{bh^{2}}{6}=\frac{200\times300^{2}}{6}=3\times10^{6}mm^{3}=3\times10^{3}m^{3}$。梁的最大彎矩$M_{max}=\frac{PL}{4}$，由抗彎承載能力公式$P_{max}=\frac{4[\sigma]W}{L}$可得：$P_{max}=\frac{4\times120\times10^{6}\times3\times10^{3}}{4}=360\times10^{3}N=360kN$。再計(jì)算截面慣性矩$I=\frac{bh^{3}}{12}=\frac{200\times300^{3}}{12}=4.5\times10^{8}mm^{4}=4.5\times10^{4}m^{4}$。計(jì)算最大剪應(yīng)力時(shí)，$S=\frac{bh}{2}\times\frac{h}{4}=\frac{200\times300}{2}\times\frac{300}{4}=2.25\times10^{6}mm^{3}=2.25\times10^{3}m^{3}$。梁的最大剪力$V_{max}=\frac{P}{2}$，由抗剪承載能力公式$P_{vmax}=\frac{2[\tau]Ib}{S}$，對(duì)于Q235鋼，許用剪應(yīng)力$[\tau]=80MPa$。$P_{vmax}=\frac{2\times80\times10^{6}\times4.5\times10^{4}\times0.2}{2.25\times10^{3}}=640\times10^{3}N=640kN$。比較抗彎和抗剪承載能力，該梁的實(shí)際承載能力為$360kN$。

（二）軸心受壓柱實(shí)例1.工程背景有一軸心受壓柱，采用圓形截面，直徑$d=400mm$，柱高$l=5m$，材料為Q345鋼，許用應(yīng)力$[\sigma]=200MPa$。2.計(jì)算過程首先計(jì)算截面面積$A=\frac{\pid^{2}}{4}=\frac{\pi\times400^{2}}{4}=4\pi\times10^{4}mm^{2}=4\times10^{2}m^{2}$。截面回轉(zhuǎn)半徑$i=\fracsio6g4c{4}=100mm=0.1m$。設(shè)柱兩端鉸接，計(jì)算長(zhǎng)度$l_0=l=5m$，則長(zhǎng)細(xì)比$\lambda=\frac{l_0}{i}=\frac{5}{0.1}=50$。根據(jù)鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范查得穩(wěn)定系數(shù)$\varphi=0.862$。軸心受壓柱的承載能力$N_{u}=\varphiA[\sigma]=0.862\times4\times10^{2}\times200\times10^{6}=6896\times10^{3}N=6896kN$。

（三）桁架實(shí)例1.工程背景一平面簡(jiǎn)單桁架，由等邊角鋼組成，節(jié)點(diǎn)間距為$1m$，桁架跨度為$6m$，承受均布荷載$q=10kN/m$。2.計(jì)算過程用節(jié)點(diǎn)法計(jì)算桁架內(nèi)力。首先求支座反力，$R_A=R_B=\frac{qL}{2}=\frac{10\times6}{2}=30kN$。取節(jié)點(diǎn)A分析，設(shè)上弦桿內(nèi)力為$F_1$，下弦桿內(nèi)力為$F_2$，斜腹桿內(nèi)力為$F_3$。由$\sumF_y=0$可得：$F_3\sin45^{\circ}=R_A$，則$F_3=\frac{R_A}{\sin45^{\circ}}=\frac{30}{\sin45^{\circ}}=30\sqrt{2}kN$（拉力）。由$\sumF_x=0$可得：$F_1=F_3\cos45^{\circ}=30kN$（壓力）。再取節(jié)點(diǎn)B分析，同理可得下弦桿內(nèi)力$F_2=30kN$（拉力）。對(duì)于角鋼桿件，根