第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省部分學(xué)校高三（下）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)(a+i)2A.0 B.1 C.2 D.32.“x?2<1”是“x∈(2,3)”的(

)A.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3.若點(diǎn)(3,0)到雙曲線C：x2?y2b2=1(b>0)的一條漸近線的距離為A.24 B.22 C.4.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且b=3c，csinC=2，則2b?csinB?sinCA.5 B.4 C.3 D.15.廢棄礦山的治理事關(guān)我國(guó)的生態(tài)環(huán)境保護(hù)，甲、乙兩種植物可以在一定程度上加快污染地生態(tài)的恢復(fù).若在某一片污染地上甲、乙至少有一種可以存活，且甲存活的概率是0.6，乙存活的概率是0.5，則在該片污染地上甲、乙都存活的概率為(

)A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.16.已知某圓臺(tái)軸截面的周長(zhǎng)為10，面積為33，圓臺(tái)的高為3，則該圓臺(tái)的表面積為A.6π B.10π C.11π D.12π7.已知AC為圓M的直徑且AC=2，B為圓M上的動(dòng)點(diǎn)且與A，C均不重合，等邊三角形BCD與△ABC共面且點(diǎn)A，D位于BC的異側(cè)，則DA?DC的最大值為(

)A.12 B.1 C.2 D.8.已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4=7S1，若存在正整數(shù)m，kA.1 B.2 C.3 D.4二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知a>0，設(shè)函數(shù)y=sinx在區(qū)間[a,2a]上的最大值為m，在區(qū)間[2a,3a]上的最大值為n，當(dāng)a變化時(shí)，下列結(jié)論可能成立的是(

)A.m>0，n>0 B.m>0，n<0 C.m=0，n>0 D.m<0，n<010.如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AD//BC，AD=AB=CD=PA=PD=1，BC=2，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，則(

)A.BC/?/平面PAD

B.PC⊥平面BDF

C.三棱錐P?ABC的體積為14

D.PA與CD所成角的余弦值為11.已知曲線C1：(x?2)2+(y?1)2=r2(r>0,x≥2)ⅡC2：(x?2)2+(y+1)2=r2(x≥2)相切，且曲線C1，C2和拋物線C3：y2=2x(x≤2)圍成封閉曲線C，過A.r=1 B.|FB|的最大值為52

C.|OA|2不大于點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離的4倍 D.若l的斜率為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某蔬菜種植基地最近五年的年投資成本x(萬元)和年利潤(rùn)y(萬元)的統(tǒng)計(jì)表如下：x1011121314y1112ab19若y關(guān)于x的線性回歸方程為y=2x?9.6，則y的平均數(shù)y?13.已知函數(shù)f(x)=x3+mx2+nx的圖象與直線y=1相切，且與直線y=114.記max{a,b,c}表示a，b，c三個(gè)數(shù)中的最大數(shù).若函數(shù)f(x)=ln(2ax2?bx+c)(a≥b≥c>0)的值域?yàn)镽四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知數(shù)列{1an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+2n．

(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ16.(本小題12分)

如圖，在直五棱柱ABCDE?A1B1C1D1E1中，AB⊥BC，AB⊥AE，AE⊥ED，AA1=AB=AE=2ED=BC=1，M是EE1的中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：17.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=(x?a)ex+a．

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若a≤1，證明：當(dāng)x>0時(shí)f(x)+18.(本小題12分)

已知曲線C：x2+4y2=λ(λ>0)上任意兩點(diǎn)間的最大距離為4，M，N為C與y軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)M在N的上方．

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)若過M的直線與C交于另一點(diǎn)G(異于點(diǎn)N)，作NH⊥MG，H為垂足，直線NH，NG的斜率分別為k1，k2，證明：k1=4k2；

(Ⅲ)若點(diǎn)P，Q19.(本小題12分)

甲、乙兩個(gè)不透明的袋中各有n(n≥2)個(gè)材質(zhì)、大小相同的小球，甲袋中的小球分別編號(hào)為1，2，…，n，乙袋中的小球分別編號(hào)為n+1，n+2，…，2n.從甲袋中任取兩個(gè)小球，編號(hào)記為a，b(a<b)，從乙袋中任取兩個(gè)小球，編號(hào)記為c，d(c<d)

(Ⅰ)若n=5，設(shè)X=b?a，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

(Ⅱ)設(shè)Y=c?a，Z=d?b，事件“Y=Z”發(fā)生的概率記為Pn．

(i)用含n的組合數(shù)表示Pn．

(ii)證明：當(dāng)n≥3時(shí)，43n<Pn≤答案解析1.B

【解析】解：因?yàn)?a+i)2(a∈R)是純虛數(shù)，且(a+i)2=a?1+2ai，

所以a?1=02.C

【解析】解：由x?2<1可得，2≤x<3．

由2≤x<3不能推出x∈(2,3)，即充分性不成立，而x∈(2,3)可以推出2≤x<3，即必要性成立，

所以“2≤x<3”是“x∈(2,3)”的必要不充分條件．

故選：C．

先解不等式，再根據(jù)充分條件和必要條件的概念進(jìn)行判斷即可．3.B

【解析】解：點(diǎn)(3,0)到雙曲線C：x2?y2b2=1(b>0)的一條漸近線的距離為1，

對(duì)于雙曲線x2?y2b2=1(b>0)，其漸近線方程為y=±bx，即bx±y=0．

點(diǎn)(3,0)到漸近線bx?y=0(取這條漸近線計(jì)算，取另一條結(jié)果相同)的距離d，

已知距離d=1，則|3b?0+0|b2+1=1．

即|3b|=b2+14.A

【解析】解：由正弦定理可知，bsinB=csinC=2，

則sinB=b2,sinC=c2，結(jié)合b=3c，

于是5.D

【解析】解：已知甲存活的概率是0.6，乙存活的概率是0.5，

設(shè)甲存活為事件A，乙存活為事件B，

則P(A)=0.6，P(B)=0.5，

則甲乙至少有一種存活的概率為P(A∪B)=1，

則P(A)+P(B)?P(A∩B)=1，

則所以甲、乙都存活的概率為P(A∩B)=P(AB)=0.5+0.6?1=0.1．

故選：D．

根據(jù)容斥原理的概率公式計(jì)算可得答案．

本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題．6.C

【解析】解：由題意圓臺(tái)軸截面的周長(zhǎng)為10，面積為33，圓臺(tái)的高為3，

可設(shè)圓臺(tái)上下底面半徑分別為r，R且R>r，則圓臺(tái)軸截面腰長(zhǎng)為(R?r)2+3，

所以2(R+r)+2(R?r)2+3=10，3(R+r)=33，即R+r=3，

所以(R?r)2=1，可得R?r=1，故R=2，r=1，

綜上，圓臺(tái)的表面積為7.D

【解析】解：如圖：

因?yàn)镸A+MC=0，

所以DA?DC=(DM+MA)?(DM+MC)=DM2?MA2=|MD|2?1，

取BC中點(diǎn)N，則|MD|=|MN|+|DN|，

因?yàn)?<|BC|<2，所以設(shè)|BC|=2cosα，α∈(0,π2)，

則|MN|=1?cos2α=sinα，8.B

【解析】解：公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4=7S1，

存在正整數(shù)m，k，使得S33=66(Sm?Sk)，

設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=2，公差為d，

由題有4a1+4×32d=7a1，整理得到a1=2d，

又S33=66(Sm?Sk)，

∴33a1+33×322d=66[ma1+m(m?1)2d?ka1?k(k?1)2d]，

整理得到a1+16d=2(m?k)a9.ABC

【解析】解：對(duì)于A，取a=π6，則[a,2a]=[π6,π3]，[2a,3a]=[π3,π2].

此時(shí)函數(shù)y=sinx在區(qū)間[a,2a]上為增函數(shù)，最大值m=sinπ3>0，

在區(qū)間[2a,3a]上也是增函數(shù)，最大值n=sinπ2>0，故A項(xiàng)符合題意；

對(duì)于B，取a=7π12，則[a,2a]=[7π12,7π6]，[2a,3a]=[7π6,7π4].

此時(shí)函數(shù)y=sinx在區(qū)間[a,2a]上為減函數(shù)，最大值m=sin7π12>0，

在區(qū)間[2a,3a]上先減后增，最大值n=sin7π6=?12<0，故B項(xiàng)符合題意；

對(duì)于C，取a=π，則[a,2a]=[π,2π]，[2a,3a]=[2π,3π]．

此時(shí)函數(shù)y=sinx在區(qū)間[a,2a]上先減后增，最大值m=sinπ=0，

在區(qū)間[2a,3a]上先增后減，最大值n=sin5π2=1>0，故C項(xiàng)符合題意；

對(duì)于D，若m<0，即y=sinx在區(qū)間[a,2a]上的最大值小于0，

則[a,2a]∈(π10.AC

【解析】解：對(duì)選項(xiàng)A：因?yàn)锳D//BC，AD?平面PAD，BC?平面PAD，

所以BC/?/平面PAD，故A正確；

對(duì)選項(xiàng)B：如圖：

取AD中點(diǎn)H，連接PH，BH，

因?yàn)镻A=PD=AD=1，所以PH⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PH?平面PAD，

所以PH⊥平面ABCD，

BH?平面ABCD，所以PH⊥BH，

在直角△PHB中：PH=32，

HB2=AB2+BH2?2?AB?BH?cos∠BAH=1+14?2×1×12×(?12)=74，

所以PB2=PH2+BH2=52，

又BC=2，所以BP≠BC，又F為PC中點(diǎn)，所以PC與BF不垂直，

所以PC⊥平面BFD是錯(cuò)誤的，故B錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)C：因?yàn)镾△ABC=12?BA?BC?sin60°=12×1×2×32=32，

所以VP?ABC=13S△ABC?PH=13×32×32=14，故C正確；11.ACD

【解析】解：如圖：C1(2,1)，C2(2,?1)，

因?yàn)閳AC1與圓C2相切，所以|C1C2|=2r，即2=2r，

所以r=1，A選項(xiàng)正確；

當(dāng)直線l與曲線C交于圓C1上時(shí)，F(xiàn)，C1B三點(diǎn)共線時(shí)|FB最大，

此時(shí)|FB|=|FC1|+r=12+(2?12)2+1=1+132>52，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)點(diǎn)A在曲線C3上時(shí)，設(shè)A(2t2,2t)，2t2≤2，即t2≤1，

|OA|2?4×2t2=(2t2)2+(2t)2?8t2=4t2(t2?1)≤0；

當(dāng)點(diǎn)A在曲線C1上時(shí)，設(shè)A(2+cosα,1+sinα)，0≤cosα≤1，

|OA|2?4×(2+cosα)=(2+cosα)2+(1+sinα)2?(8+4cosα)=2sinα?2≤0；

由對(duì)稱性可知當(dāng)點(diǎn)A在曲線C2上時(shí)，結(jié)論也成立，C選項(xiàng)正確；

若l的斜率為3時(shí)，l：y=3x?32，

顯然此時(shí)直線與曲線C交于C3，

則y=3x?32y2=2x，

整理得3x2?5x+34=0，

設(shè)A(x1,y1)，A(x2,y212.14.4

【解析】解：由題意可知，x?=10+11+12+13+145=12，

因?yàn)榫€性回歸方程過樣本中心點(diǎn)(x?,y?)，

將x?=12代入線性回歸方程y=2x?9.613.6

【解析】解：由題意可得，f′(x)=3x2+2mx+n，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3+mx2+nx的圖象與直線y=1相切，且與直線y=1僅有一個(gè)交點(diǎn)，

由題意知函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，且f′(x)且存在唯一零點(diǎn)，

∴Δ=(2m)2?3×4n=0，即n=m23，

∴f′(x)=3x2+2mx+n=3x2+2mx+m23=0，x=?m3，

則f(?m3)=(?m3)3+m(?m3)2+14.89【解析】解：若函數(shù)f(x)=ln(2ax2?bx+c)的值域?yàn)镽，

記g(x)=2ax2?bx+c，則g(x)能取所有的正數(shù)，

則g(x)min≤0，故Δ=b2?8ac≥0，

由a≥b≥c>0，得c≤b28a，且a+b≥a+c≥b+c>0，

所以1b+c≥1c+a≥1a+b>0，

所以ab+c≥bc+a≥ca+b>0，

故max{15.解：(Ⅰ)數(shù)列{1an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+2n，

可得n=1時(shí)，1a1=S1=3，即a1=13，

當(dāng)n≥2時(shí)，1an=Sn?Sn?1【解析】(Ⅰ)由數(shù)列的通項(xiàng)與求和的關(guān)系，化簡(jiǎn)可得所求通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)可得所求和．

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和的關(guān)系，以及數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．16.解：(Ⅰ)證明；如圖，分別取AB，AA1的中點(diǎn)P，Q，

連接PD，PQ，QM，則PQ//A1B.

因?yàn)镋D=AP=1，ED//AP，所以四邊形APDE為平行四邊形，

所以PD=AE=2，PD//AE，

同理QM=AE=2，QM//AE，

所以PD//QM，PD=QM，所以四邊形PQMD為平行四邊形，

故PQ//DM，又A1B//PQ，

所以A1B/?/DM，又A1B?平面DB1M，MD?平面DB1M，

所以A1B/?/平面DB1M.

(Ⅱ)如圖，以A為原點(diǎn)，直線AB，AE，AA1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

可得D(1,2,0)，B1(2,0,2)，M(0,2,1)，C1(2,1,2)，E1(0,2,2)，

則DB1=(1,?2,2)，DM=(?1,0,1)，C1E1=(?2,1,0)．

設(shè)平面D【解析】(Ⅰ)分別取AB，AA1的中點(diǎn)P，Q，連接PD，PQ，QM，先證四邊形APDE為平行四邊形，再證四邊形PQMD為平行四邊形，進(jìn)而得A1B/?/DM，最后應(yīng)用線面平行的判定證明結(jié)論；

(Ⅱ17.解：(Ⅰ)因?yàn)閒(x)=(x?a)ex+a，

所以f′(x)=(x?a+1)ex．

當(dāng)x<a?1時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>a?1時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(?∞,a?1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(a?1,+∞)．

(Ⅱ)證明：要證明f(x)+ex≥x+lnx+2，

即證明xex+ex?x?lnx?2≥a(ex?1)，

因?yàn)閍≤1，且x>0，所以a(ex?1)≤ex?1，

先證明xex+ex?x?lnx?2≥ex?1，即xex?x?lnx?1≥0．

設(shè)g(x)=xex?x?lnx?1，則g′(x)=(x+1)ex?1?1【解析】(Ⅰ)由函數(shù)f(x)的解析式求得其導(dǎo)數(shù)f′(x)，由導(dǎo)數(shù)f′(x)<0求得遞減區(qū)間，由導(dǎo)數(shù)f′(x)>0求得遞增區(qū)間；

(Ⅱ)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在已知條件下a(ex?1)≤ex?1，所以不等式轉(zhuǎn)化為xex?x?lnx?1≥0，設(shè)函數(shù)g(x)=xex?x?lnx?1，求導(dǎo)數(shù)g′(x)，由解析式可知g′(x)遞增，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知存在唯一的18.解：(Ⅰ)易知x2λ+y2λ4=1，

該方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，任意兩點(diǎn)間的最大距離為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，

所以2λ=4，

解得λ=4，

則C的方程為x24+y2=1；

(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知N(0,?1)，M(0,1)，

設(shè)G(x0,y0)(x0≠0)，

此時(shí)k2=y0+1x0．

因?yàn)閗MG=y0?1x0，

所以k1=?1kMG=?x0y0?1，

所以k1k2=?x0y0?1?x0y0+1=x021?y02．

因?yàn)辄c(diǎn)G在橢圓上，

所以x024+y02=1，

此時(shí)k1k2=x021?y02=4(1?y02)1?y02=4，

即k1=4k2；

(Ⅲ)證明：易知直線MP，MQ，PQ的斜率存在，

設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m(m≠1)【解析】(Ⅰ)整理曲線方程，由題意知長(zhǎng)軸為4，求得λ，從而求出曲線方程；

(Ⅱ)寫出點(diǎn)M，N坐標(biāo)，設(shè)G(x0,y0)(x0≠0)，得到斜率k2，由kMG求k1，然后得到k1k2，由G