1.1菱形的性質與判定第一章特殊平行四邊形第1課時菱形的性質學習目標1.了解菱形的概念及其與平行四邊形的關系.2.探索并證明菱形的性質定理.（重點）3.應用菱形的性質定理解決相關計算或證明問題.（難點）導入新課情景引入欣賞下面圖片，圖片中框出的圖形是你熟悉的嗎？欣賞視頻，前面的圖片中出現(xiàn)的圖形是平行四邊形，和視頻中菱形一致，那么什么是菱形呢？這節(jié)課讓我們一起來學習吧.講授新課菱形的性質一思考如果從邊的角度,將平行四邊形特殊化,內角大小保持不變僅改變邊的長度讓它有一組鄰邊相等,這個特殊的平行四邊形叫什么呢?

平行四邊形菱形鄰邊相等定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形.菱形是特殊的平行四邊形.平行四邊形不一定是菱形.歸納總結活動1如何利用折紙、剪切的方法，既快又準確地剪出一個菱形的紙片？觀看下面視頻：活動2在自己剪出的菱形上畫出兩條折痕,折疊手中

的圖形(如圖），并回答以下問題:問題1菱形是軸對稱圖形嗎?如果是,指出它的對稱軸.是，兩條對角線所在直線都是它的對稱軸.問題2根據(jù)上面折疊過程，猜想菱形的四邊在數(shù)量上有什么關系?菱形的兩對角線有什么關系?

猜想1菱形的四條邊都相等.

猜想2菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.

已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=AD，對角線AC與BD相交于點O.

求證:(1)AB=BC=CD=AD；

(2)AC⊥BD；

∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD

=BC（平行四邊形的對邊相等）.又∵AB=AD,

∴AB

=

BC

=

CD

=AD.ABCOD證一證（2）∵AB=AD,

∴△ABD是等腰三角形.又∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OB=OD（平行四邊形的對角線互相平分）.在等腰三角形ABD中,∵OB=OD，

∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.

同理可證∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.ABCOD

菱形是特殊的平行四邊形，它除具有平行四邊形的所有性質外，還有平行四邊形所沒有的特殊性質.對稱性：是軸對稱圖形.邊：四條邊都相等.對角線：互相垂直，且每條對角線平分一組對角.

角：對角相等.邊：對邊平行且相等.對角線：相互平分.菱形的特殊性質平行四邊形的性質歸納總結例1如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周長．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD.∵AC＝6cm，BD＝12cm，∴AO＝3cm，BO＝6cm.在Rt△ABO中，由勾股定理得∴菱形的周長＝4AB＝4×3＝12(cm)．典例精析例2如圖，在菱形ABCD中，CE⊥AB于點E，CF⊥AD于點F，求證：AE＝AF.證明：連接AC.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°.又∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACF.∴AE＝AF.

菱形是軸對稱圖形，它的兩條對角線所在的直線都是它的對稱軸，每條對角線平分一組對角．歸納例3如圖，E為菱形ABCD邊BC上一點，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求證：OA=EB.ABCDOE證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，AD=BA，

∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB

，∴∠DAE＝∠AEB，∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，

∴∠ABC=∠DAE，

∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.

又∵AD＝BA

，∴△AOD≌△BEA

，∴AO＝BE.1.如圖，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝

5，則△ABD的周長是(

)A.10B.12C.15D.20C練一練2.如圖，菱形ABCD的周長為48cm，對角線AC、BD相交于O點，E是AD的中點，連接OE，則線段OE的長為_______.第1題圖第2題圖6cm1.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質是（）

A.對角相等B.對邊相等C.對角線互相垂直D.對角線相等C2.如圖，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，則△ABD的周長等于（）A.18B.16C.15D.14當堂練習B3.根據(jù)下圖填一填：（1）已知菱形ABCD的周長是12cm，那么它的邊長是______.（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，則∠BAC＝_______.（3）菱形ABCD的兩條對角線長分別為6cm和8cm，則菱形的邊長是_______.3cm30°ABCOD5cm(4)菱形的一個內角為120°,平分這個內角的對角線長為11cm，菱形的周長為______.44cmABCOD4.如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點，DF交AC于E．求證：∠AFD=∠CBE．

證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴CB=CD，CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．

∵在菱形ABCD中，AB∥CD，

∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE．ADCBFE課堂小結菱形的性質菱形的性質有關計算邊周長=邊長的四倍角對角線1.兩組對邊平行且相等；2.四條邊相等兩組對角分別相等，鄰角互補鄰角互補1.兩條對角線互相垂直平分；2.每一條對角線平分一組對角1.1菱形的性質與判定第一章特殊平行四邊形第2課時菱形的判定學習目標

1.經(jīng)歷菱形判定定理的探究過程，掌握菱形的判定定理．（重點）2.會用這些菱形的判定方法進行有關的證明和計算.

（難點）一組鄰邊相等有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形平行四邊形菱形的性質菱形兩組對邊平行四條邊相等兩組對角分別相等鄰角互補兩條對角線互相垂直平分每一條對角線平分一組對角邊角對角線復習引入導入新課問題

菱形的定義是什么？性質有哪些？根據(jù)菱形的定義,可得菱形的第一個判定的方法：AB=AD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形.數(shù)學語言有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.ABCD思考

還有其他的判定方法嗎？講授新課對角線互相垂直的平行四邊形是菱形一前面我們用一長一短兩根細木條,在它們的中點處固定一個小釘,做成一個可以轉動的十字,四周圍上一根橡皮筋,做成一個平行四邊形.那么轉動木條,這個平行四邊形什么時候變成菱形?對此你有什么猜想？猜想：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.你能證明這一猜想嗎？ABCOD已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC與BD相交于點O

，AC⊥BD.求證：□ABCD是菱形.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD,

∴BD是線段AC的垂直平分線.

∴BA=BC.

∴四邊形ABCD是菱形（菱形的定義）.證一證對角線互相垂直的平行四邊形是菱形AC⊥BD幾何語言描述：∵在□ABCD中，AC⊥BD,∴□ABCD是菱形.ABCD菱形ABCDABCD□ABCD菱形的判定定理：歸納總結例1

如圖，ABCD的兩條對角線AC、BD相交于點O，AB=5，AO=4，BO=3.

求證：四邊形ABCD是菱形.ABCDO又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∵

OA=4,OB=3,AB=5，證明：即AC⊥BD，∴

AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形，典例精析∴四邊形ABCD是菱形.例2如圖,□ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點E、F,求證：四邊形AFCE是菱形．ABCDEFO12證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AE∥FC，∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AC，∴AO=OC.又∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴EO=FO.∴四邊形AFCE是平行四邊形.又∵EF⊥AC ∴四邊形AFCE是菱形.練一練在四邊形ABCD中，對角線AC，BD互相平分，若添加一個條件使得四邊形ABCD是菱形，則這個條件可以是（）A．∠ABC=90°B．AC⊥BDC．AB=CDD．AB∥CDB四條邊相等的四邊形是菱形二小剛：分別以A、C為圓心,以大于AC的長為半徑作弧,兩條弧分別相交于點B,D,依次連接A、B、C、D四點.

已知線段AC,你能用尺規(guī)作圖的方法作一個菱形ABCD,使AC為菱形的一條對角線嗎？CABD想一想：根據(jù)小剛的作法你有什么猜想？你能驗證小剛的作法對嗎？

猜想：四條邊相等的四邊形是菱形.證明：∵AB=BC=CD=AD;∴AB=CD,BC=AD.

∴四邊形ABCD是平行四邊形. 又∵AB=BC, ∴四邊形ABCD是菱形.ABCD已知：如圖，四邊形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求證：四邊形ABCD是菱形.證一證四條邊都相等的四邊形是菱形AB=BC=CD=AD幾何語言描述：∵在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∴四邊形

ABCD是菱形.ABCD菱形ABCD菱形的判定定理：歸納總結四邊形ABCDABCD下列命題中正確的是（）A.一組鄰邊相等的四邊形是菱形B.三條邊相等的四邊形是菱形C.四條邊相等的四邊形是菱形D.四個角相等的四邊形是菱形C練一練證明：∵∠1=∠2,又∵AE=AC,AD=AD,∴△ACD≌△AED(SAS).

同理△ACF≌△AEF(SAS).∴CD=ED,CF=EF.

又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,∴四邊形ABCD是菱形.2例3如圖,在△ABC中,AD是角平分線,點E、F分別在

AB、

AD上,且AE=AC,EF=ED.求證：四邊形CDEF是菱形.ACBEDF1典例精析例4如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.將△ABC沿射線BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的對應點分別是D，E，F(xiàn)，連接AD.求證：四邊形ACFD是菱形．證明：由平移變換的性質得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，∴四邊形ACFD是菱形．

四邊形的條件中存在多個關于邊的等量關系時，運用四條邊都相等來判定一個四邊形是菱形比較方便．歸納當堂練習1.判斷下列說法是否正確(1)對角線互相垂直的四邊形是菱形；(2)對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；(3)對角線互相垂直，且有一組鄰邊相等的四邊形是菱形；(4)兩條鄰邊相等，且一條對角線平分一組對角的四邊形是菱形．√

╳

╳

╳

2.一邊長為5cm平行四邊形的兩條對角線的長分別為

24cm和26cm，那么平行四邊形的面積是

.

312cm23.如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，連接AD，下列條件能夠判定四邊形ACED為菱形的是（）A．AB=BCB．AC=BC

C．∠B=60°D．∠ACB=60°B解析：∵將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AC∥DE，AC=DE，∴四邊形ABED為平行四邊形.當AC=BC時，平行四邊形ACED是菱形．故選B．證明：∵MN是AC的垂直平分線，∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°.∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，∴△ADO≌△CEO（ASA）．∴AD=CE，OD=OE，∵OD=OE，OA=OC，∴四邊形ADCE是平行四邊形又∵∠AOD=90°，∴四邊形ADCE是菱形．4.如圖，△ABC中，AC的垂直平分線MN交AB于點D，交AC于點O，CE∥AB交MN于點E，連接AE、CD.求證：四邊形ADCE是菱形.BCADOEM（1）證明：由尺規(guī)作∠BAF的平分線的過程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=FA，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∵AB=AF，∴四邊形ABEF為菱形；5.如圖,在平行四邊形ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線交BC于點E，連接EF．（1）求證：四邊形ABEF為菱形；（2）AE，BF相交于點O，若BF=6，AB=5，求AE的長．（2）AE，BF相交于點O，若BF=6，AB=5，求AE的長．解：∵四邊形ABEF為菱形，∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，由勾股定理得AO=4，∴AE=2AO=8．課堂小結有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.四邊相等的四邊形是菱形.運用定理進行計算和證明菱形的判定定義法判定定理1.1菱形的性質與判定第一章特殊平行四邊形第3課時菱形的性質、判定與其他知識的綜合1.能靈活運用菱形的性質定理及判定定理解決一

些相關問題,并掌握菱形面積的求法.(重點、難點)2.經(jīng)歷菱形性質定理及判定定理的應用過程,體會

數(shù)形結合、轉化等思想方法.學習目標1．平行四邊形的對邊

，對角

，對角線

．2．菱形具有

的一切性質．3．菱形是

圖形也是

圖形．4．菱形的四條邊都

．5．菱形的兩條對角線互相

．平行且相等相等互相平分平行四邊形

軸對稱

中心對稱

相等

垂直且平分復習引入導入新課6.平行四邊形的面積=_________.ABCDF底×高7.菱形是特殊的平行四邊形，如圖菱形ABCD的面積=_________.BC·DF思考：你能用菱形的對角線表示菱形的面積嗎？ABCOD菱形的面積一問題1

菱形是特殊的平行四邊形,那么能否利用平行四邊形面積公式計算菱形ABCD的面積嗎?ABCD思考

前面我們已經(jīng)學習了菱形的對角線互相垂直,那么能否利用對角線來計算菱形ABCD的面積呢?能.過點A作AE⊥BC于點E,則S菱形ABCD=底×高

=BC·AE.E講授新課問題2

如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O,試用對角線表示出菱形ABCD的面積.ABCDO解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC

+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC(BO+DO)=AC·BD.你有什么發(fā)現(xiàn)？菱形的面積=

底×高=

對角線乘積的一半例1：如圖,四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形,其中對角線BD長10cm.求:(1)對角線AC的長度;(2)菱形ABCD的面積.解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴∠AED=90°,(2)菱形ABCD的面積∴AC=2AE=2×12=24(cm).DBCAE

菱形的面積計算有如下方法：(1)一邊長與兩對邊的距離(即菱形的高)的積；(2)四個小直角三角形的面積之和(或一個小直角三角形面積的4倍)；(3)兩條對角線長度乘積的一半．歸納例2如圖，菱形花壇ABCD的邊長為20m，∠ABC＝60°，沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和BD，求兩條小路的長和花壇的面積（結果分別精確到0.01m和0.1m2

）.A

B

C

D

O

解：∵花壇ABCD是菱形，【變式題】

如圖，在菱形ABCD中，∠ABC與∠BAD的度數(shù)比為1：2，周長是8cm．求：（1）兩條對角線的長度；（2）菱形的面積．解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°.∵∠ABC與∠BAD的度數(shù)比為1：2，∴∠ABC=×180°=60°，∴∠ABO=×∠ABC=30°，△ABC是等邊三角形.∵菱形ABCD的周長是8cm．∴AB=2cm，∴OA=AB=1cm，AC=AB=2cm，

∴BD=2OB=cm；（2）S菱形ABCD=AC?BD

=×2×=（cm2）．

菱形中的相關計算通常轉化為直角三角形或等腰三角形，當菱形中有一個角是60°時，菱形被分為以60°為頂角的兩個等邊三角形.歸納練一練如圖，已知菱形的兩條對角線分別為6cm和8cm，則這個菱形的高DE為（）A.2.4cmB.4.8cmC.5cmD.9.6cmB菱形的判定與性質的綜合問題二如圖兩張不等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分是什么圖形？做一做平行四邊形如圖兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分ABCD是什么圖形？為什么？菱形ACDB分析：易知四邊形ABCD是平行四邊形，只需證一組鄰邊相等或對角線互相垂直即可.由題意可知BC邊上的高和CD邊上的高相等，然后通過證△ABE≌△ADF，即得AB=AD.EF例3如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BE＝2DE，延長DE到點F，使得EF＝BE，連接CF.(1)求證：四邊形BCFE是菱形；(1)證明：∵D、E分別是AB、AC的中點，∴DE∥BC且2DE＝BC.又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四邊形BCFE是平行四邊形．又∵EF＝BE，∴四邊形BCFE是菱形；(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等邊三角形，∴菱形的邊長為4，高為，∴菱形的面積為.(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．

判定一個四邊形是菱形時，要結合條件靈活選擇方法．如果可以證明四條邊相等，可直接證出菱形；如果只能證出一組鄰邊相等或對角線互相垂直，可以先嘗試證出這個四邊形是平行四邊形．歸納練一練如圖，在平行四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四邊形ABCD的周長.解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=DC，∴四邊形ABCD為菱形，∴四邊形ABCD的周長=4×2=8．1.已知菱形的周長是24cm，那么它的邊長是______.2.如圖，菱形ABCD中∠BAC＝120°，則∠BAC＝_______.6cm60°3.如圖，菱形的兩條對角線長分別為10cm和24cm，則菱形的邊長是（）CA.10cmB.24cmC.13cmD.17cmABCDO當堂練習4.如圖，在菱形ABCD中，點O為對角線AC與BD的交點，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD兩對邊的距離h.解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，∴S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30，∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.∵又∵菱形兩組對邊的距離相等，∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝.5.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的邊長AB和對角線AC的長.解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD(菱形的對角線互相垂直)

OB=OD=BD=×6=3(菱形的對角線互相平分)在等腰三角形ABC中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形.∴AB=BD=6.ABCOD在RtΔAOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，∴OA===∴AC=2OA=

（菱形的對角線相互平分）.ABCOD課堂小結菱形的性質與判定的綜合性問題菱形的面積綜合運用面積=底×高=兩條對角線乘積的一半1.2矩形的性質與判定第一章特殊平行四邊形第1課時矩形的性質學習目標1.理解矩形的概念，知道矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系.（重點）2.會證明矩形的性質，會用矩形的性質解決簡單的問題.（重點、難點）3.掌握直角三角形斜邊中線的性質，并會簡單的運用.

（重點）觀察下面圖形,長方形在生活中無處不在.導入新課情景引入思考長方形跟我們前面學習的平行四邊形有什么關系？你還能舉出其他的例子嗎？講授新課矩形的性質一活動1：利用一個活動的平行四邊形教具演示,使平行四邊形的一個內角變化,請同學們注意觀察.矩形平行四邊形矩形有一個角是直角矩形是特殊的平行四邊形.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.

也叫做長方形.歸納總結平行四邊形不一定是矩形.思考因為矩形是平行四邊形，所以它具有平行四邊形的所有性質，由于它有一個角為直角，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質呢？可以從邊，角，對角線等方面來考慮.活動2：準備素材：直尺、量角器、橡皮擦、課本、鉛筆盒等.（1）請同學們以小組為單位,測量身邊的矩形（如書本,課桌,鉛筆盒等）的四條邊長度、四個角度數(shù)和對角線的長度及夾角度數(shù),并記錄測量結果.ABCDOABADACBD∠BAD∠ADC∠AOD∠AOB橡皮擦課本桌子物體測量（實物）（形象圖）（2）根據(jù)測量的結果,你有什么猜想？猜想1矩形的四個角都是直角.

猜想2矩形的對角線相等.

你能證明嗎？證明：∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠B=∠D,∠C=∠A,AB∥DC.∴∠B+∠C=180°.又∵∠B=90°,∴∠C=90°.∴∠B=∠C=∠D=∠A=90°.如圖,四邊形ABCD是矩形,∠B=90°.求證：

∠B=∠C=∠D=∠A=90°.ABCD證一證證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°,在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∴AC=DB.ABCDO如圖,四邊形ABCD是矩形,∠ABC=90°,對角線AC與DB相較于點O.求證：AC=DB.矩形除了具有平行四邊形所有性質，還具有的性質有：矩形的四個角都是直角.矩形的對角線相等.歸納總結幾何語言描述：在矩形ABCD中，對角線AC與DB相交于點O.∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB.ABCDO例1如圖,在矩形ABCD中,兩條對角線AC,BD相交于點O,∠AOB=60°,AB=4,求矩形對角線的長.解：∵四邊形ABCD是矩形.∴AC=BD，

OA=OC=AC,OB=OD=BD,

∴OA=OB.又∵∠AOB=60°,∴△OAB是等邊三角形，

∴OA=AB=4，

∴AC=BD=2OA=8.ABCDO典例精析矩形的對角線相等且互相平分例2如圖,在矩形ABCD中,E是BC上一點,AE=AD,DF⊥AE,垂足為F.求證：DF=DC.ABCDEF證明：連接DE.∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.∴∠ADE=∠DEC,∴∠DEC=∠AED.又∵DF⊥AE,∴∠DFE=∠C=90°.又∵DE=DE,∴△DFE≌△DCE,∴DF=DC.例3如圖，將矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于點E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面積．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠2＝∠3.又由折疊知∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.設BE＝DE＝x，則AE＝8－x.∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即DE＝5.∴S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10.矩形的折疊問題常與勾股定理結合考查思考請同學們拿出準備好的矩形紙片,折一折,觀察并思考.

矩形是不是軸對稱圖形?如果是,那么對稱軸有幾條?矩形的性質：對稱性：

.對稱軸：

.軸對稱圖形2條練一練1.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，下列說法錯誤的是（）A．AB∥DCB．AC=BDC．AC⊥BDD．OA=OB

ABCDOC2.如圖，EF過矩形ABCD對角線的交點O，且分別交AB、CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形ABCD面積的_________.

3.如圖，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度數(shù)．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD，∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.∵AE⊥BD，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.直角三角形斜邊上的中線的性質二A

B

C

D

O

活動：如圖，一張矩形紙片，畫出兩條對角線，沿著對角線AC剪去一半.BCOA問題

Rt△ABC中，BO是一條怎樣的線段？它的長度與斜邊AC有什么關系？猜想：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.試給出數(shù)學證明.OCBAD證明:延長BO至D,

使OD=BO,

連接AD、DC.∵AO=OC,BO=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵∠ABC=90°,∴平行四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中線.求證:BO=

AC?∴BO=BD=AC.1.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.性質證一證例4

如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點．(1)若AB＝10，AC＝8，求四邊形AEDF的周長；解：∵AD是△ABC的高，E、F分別是AB、AC的中點，∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，∴四邊形AEDF的周長＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；(2)求證：EF垂直平分AD.證明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、F在線段AD的垂直平分線上，∴EF垂直平分AD.

當已知條件含有線段的中點、直角三角形的條件時，可聯(lián)想直角三角形斜邊上的中線的性質進行求解．歸納例5如圖，已知BD，CE是△ABC不同邊上的高，點G，F(xiàn)分別是BC，DE的中點，試說明GF⊥DE.解：連接EG，DG.∵BD，CE是△ABC的高，

∴∠BDC＝∠BEC＝90°.∵點G是BC的中點，∴EG＝BC，DG＝BC.∴EG＝DG.

又∵點F是DE的中點，

∴GF⊥DE.

在直角三角形中，遇到斜邊中點常作斜邊中線，進而可將問題轉化為等腰三角形的問題，然后利用等腰三角形“三線合一”的性質解題．歸納歸納總結直角三角形斜邊上的中線上的性質常見類型如圖，在△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜邊AC上的中線.(1)若BD=3cm,則AC=_____cm;(2)若∠C=30°,AB=5cm,則AC=_____cm,BD=_____cm.ABCD6105練一練當堂練習1.矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質是()A.對角線相等B.對邊相等

C.對角相等D.對角線互相平分2.若直角三角形的兩條直角邊分別5和12,則斜邊上的中線長為()A.13B.6C.6.5D.不能確定

3.若矩形的一條對角線與一邊的夾角為40°,則兩條對角線相交的銳角是()A.20°B.40°C.80°D.10°ACC4.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是AO、AD的中點，若AB=6cm，BC=8cm，則EF=______cm．2.55.如圖，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D為AB中點，若DE=5，AE=8，則BE的長為______．6第4題圖第5題圖6.如圖,四邊形ABCD是矩形,對角線AC,BD相交于點O,BE∥AC交DC的延長線于點E.（1）求證：BD=BE,（2）若∠DBC=30°,BO=4,求四邊形ABED的面積.ABCDOE(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AC=BD,AB∥CD.又∵BE∥AC,∴四邊形ABEC是平行四邊形,∴AC=BE,∴BD=BE.(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,∴BD=2BO=2×4=8.∵∠DBC=30°,∴CD=BD=×8=4,∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.在Rt△BCD中,BC=∴四邊形ABED的面積=×(4+8)×=.ABCDOE7.如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的動點，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值.解：連接OP.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，OA=OD=OC=OB，∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC

=S矩形ABCD=×6×8=12.在Rt△BAD中，由勾股定理得BD=10，∴AO=OD=5，∵S△APO+S△DPO=S△AOD，∴AO·PE+DO·PF=12，即5PE+5PF=24，∴PE+PF=.能力提升：課堂小結矩形的相關概念及性質具有平行四邊行的一切性質四個內角都是直角，兩條對角線互相平分且相等軸對稱圖形有兩條對稱軸直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形1.2矩形的性質與判定第一章特殊平行四邊形第2課時矩形的判定學習目標1.經(jīng)歷矩形判定定理的猜想與證明過程，理解并掌握矩形的判定定理．（重點）2.能應用矩形的判定解決簡單的證明題和計算題.(難點)復習引入導入新課問題1

矩形的定義是什么？有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.問題2

矩形有哪些性質？矩形邊：角：對角線：對邊平行且相等四個角都是直角對角線互相平分且相等思考工人師傅在做門窗或矩形零件時，如何確保圖形是矩形呢？現(xiàn)在師傅帶了兩種工具（卷尺和量角器），他說用這兩種工具的任意一種就可以解決問題，這是為什么呢？這節(jié)課我們一起探討矩形的判定吧.講授新課對角線相等的平行四邊形是矩形一類比平行四邊形的定義也是判定平行四邊形的一種方法，那么矩形的定義也是判定矩形的一種方法.問題1

除了定義以外，判定矩形的方法還有沒有呢？矩形是特殊的平行四邊形.類似地，那我們研究矩形的性質的逆命題是否成立.問題2

上節(jié)課我們已經(jīng)知道“矩形的對角線相等”，反過來，小明猜想對角線相等的四邊形是矩形，你覺得對嗎？我猜想：對角線相等的平行四邊形是矩形.不對，等腰梯形的對角線也相等.不對，矩形是特殊的平行四邊形，所以它的對角線不僅相等且平分.思考你能證明這一猜想嗎？已知：如圖,在□ABCD中,AC

,

DB是它的兩條對角線,

AC=DB.求證：□ABCD是矩形.證明：∵AB=DC,BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB

,∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴∠ABC=90°,∴□

ABCD是矩形（矩形的定義）.ABCD證一證矩形的判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形.歸納總結幾何語言描述：在平行四邊形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形.ABCD思考數(shù)學來源于生活，事實上工人師傅為了檢驗兩組對邊相等的四邊形窗框是否成矩形，一種方法是量一量這個四邊形的兩條對角線長度，如果對角線長相等，則窗框一定是矩形，你現(xiàn)在知道為什么了嗎？對角線相等的平行四邊形是矩形.

例1如圖，在ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度數(shù)．

A

B

C

D

O解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD.又∵OA=OD，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°.又∵∠OAD=50°，∴∠OAB=40°.典例精析例2如圖,矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO上的一點,且AE=BF=CG=DH.求證:四邊形EFGH是矩形.BCDEFGHOA證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形的對角線相等)，AO=BO=CO=DO（矩形的對角線互相平分），∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵EO+OG=FO+OH，

即EG=FH，∴四邊形EFGH是矩形.練一練1.如圖，在?ABCD中，AC和BD相交于點O，則下面條件能判定?ABCD是矩形的是（）A．AC=BDB．AC=BCC．AD=BCD．AB=ADA2.如圖ABCD中,∠1=∠2中.此時四邊形ABCD是矩形嗎？為什么？ABCDO12解：四邊形ABCD是矩形.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AO=CO,DO=BO.又∵∠1=∠2，∴AO=BO，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形.有三個角是直角的四邊形是矩形二問題1

上節(jié)課我們研究了矩形的四個角，知道它們都是直角，它的逆命題是什么？成立嗎？逆命題：四個角是直角的四邊形是矩形.成立問題2

至少有幾個角是直角的四邊形是矩形？ABDC(有一個角是直角)ABDC(有二個角是直角)ABDC(有三個角是直角)猜測：有三個角是直角的四邊形是矩形.已知：如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求證：四邊形ABCD是矩形.證明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，∴AD∥BC,AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形.ABCD證一證矩形的判定定理：有三個角是直角的四邊形是矩形.歸納總結幾何語言描述：在四邊形ABCD中，∵

∠A=∠B=∠C=90°,∴四邊形ABCD是矩形.ABCD思考一個木匠要制作矩形的踏板．他在一個對邊平行的長木板上分別沿與長邊垂直的方向鋸了兩次，就能得到矩形踏板．為什么？有三個角是直角的四邊形是矩形.例3如圖，□

ABCD的四個內角的平分線分別相交于E、F、G、H，求證：四邊形

EFGH為矩形．證明：在□

ABCD中，AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AE與BG分別為∠DAB、∠ABC的平分線,ABDCHEFG∴四邊形EFGH是矩形．同理可證∠AED=∠EHG=90°,∴∠AFB=90°，∴∠GFE=90°.∴∠BAE+∠ABF=∠DAB+∠ABC=90°.例4如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E，求證：四邊形ADCE為矩形．證明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝∠BAC.又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，∴∠MAE＝∠CAE＝∠CAM,∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝(∠BAC＋∠CAM)＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°,∴四邊形ADCE為矩形．練一練在判斷“一個四邊形門框是否為矩形”的數(shù)學活動課上，一個合作學習小組的4位同學分別擬定了如下的方案，其中正確的是（）A．測量對角線是否相等B．測量兩組對邊是否分別相等C．測量一組對角是否都為直角D．測量其中三個角是否都為直角D當堂練習1.下列各句判定矩形的說法是否正確？（1）對角線相等的四邊形是矩形；（2）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；（3）有一個角是直角的四邊形是矩形；（5）有三個角是直角的四邊形是矩形；（6）四個角都相等的四邊形是矩形；（7）對角線相等，且有一個角是直角的四邊形是矩形；（4）有三個角都相等的四邊形是矩形;××××√√√√（8）一組對角互補的平行四邊形是矩形；2.如圖,直線EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C兩點,AB、CB、CD、AD分別是∠EAC、∠MCA、∠

ACN、∠CAF的平分線,則四邊形ABCD是（）

A.梯形B.平行四邊形C.矩形D.不能確定DEFMNQPABCC3.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求證：四邊形ABCD是矩形．證明：四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠ADC=90°.又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，滿足132=52+122，即∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形．ABCD4.如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，延長OA到N，使ON＝OB，再延長OC至M，使CM＝AN.求證：四邊形NDMB為矩形．證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AO＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OD＝OB，∴四邊形NDMB為平行四邊形，MN＝BD，∴平行四邊形NDMB為矩形．5.如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，AE是△BAC的外角平分線，DE∥AB交AE于點E，求證：四邊形ADCE是矩形．證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.∵AE是∠BAC的外角平分線，∴∠FAE＝∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，

∴AE∥CD.又∵DE∥AB，∴四邊形AEDB是平行四邊形，∴AE平行且相等BD.又∵BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四邊形ADCE是平行四邊形.又∵∠ADC＝90°，∴平行四邊形ADCE是矩形．6.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，動點P從點A出發(fā)沿AD方向向點D以1cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿著CB方向向點B以3cm/s的速度運動．點P、Q分別從點A和點C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點隨之停止運動．(1)經(jīng)過多長時間，四邊形PQCD是平行四邊形？解：設經(jīng)過xs，四邊形PQCD為平行四邊形，即PD＝CQ，所以24－x＝3x，解得x＝6.即經(jīng)過6s，四邊形PQCD

是平行四邊形；能力提升：(2)經(jīng)過多長時間，四邊形PQBA是矩形？解：設經(jīng)過ys，四邊形PQBA為矩形，即AP＝BQ，∴y＝26－3y，解得y＝6.5，即經(jīng)過6.5s，四邊形PQBA是矩形．課堂小結有一個角是直角的平行四邊形是矩形.對角線相等的平行四邊形是矩形.有三個角是直角的四邊形是矩形.運用定理進行計算和證明矩形的判定定義判定定理1.2矩形的性質與判定第一章特殊平行四邊形第3課時矩形的性質、判定與其他知識的綜合1．回顧矩形的性質及判定方法．2．矩形的性質和判定方法與其他有關知識的綜合運用.(難點)學習目標問題1:矩形有哪些性質？ABCDO①是軸對稱圖形;

②四個角都是直角;③對角線相等且平分.導入新課①定義：一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形②有一組鄰邊相等的矩形③有一個角是直角的菱形問題2:矩形有判定方法有哪些？ABCDOE例1：如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥AC,CE∥BD.求證：四邊形OCED是菱形.證明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴四邊形OCED是菱形．矩形的性質與判定綜合運用講授新課HGFEDCBA證明：連接AC、BD.∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD.∵點E、F、G、H為各邊中點，∴EF=FG=GH=HE，∴四邊形EFGH是菱形.例2如圖，順次連接矩形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH，求證：四邊形EFGH是菱形.CABDEFGH【變式題】如圖，順次連接對角線相等的四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH是什么四邊形？解：四邊形EFGH是菱形.又∵AC=BD,∵點E、F、G、H為各邊中點，∴EF=FG=GH=HE，∴四邊形EFGH是菱形.

順次連接對角線相等的四邊形的各邊中點，得到四邊形是菱形.歸納理由如下：連接AC、BDABCDEFGH拓展1如圖，順次連接平行四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH是什么四邊形？解：連接AC、BD.∵點E、F、G、H為各邊中點，∴四邊形EFGH是平行四邊形.拓展2如圖，若四邊形ABCD是菱形，順次連接菱形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH是什么四邊形？四邊形EFGH是矩形.同學們自己去解答吧例3：如圖，在矩形ABCD中，AD=6，對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，求AE的長.分析：由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易證得△OAB是等邊三角形，繼而求得∠BAE的度數(shù)，由△OAB是等邊三角形，求出∠ADE的度數(shù)，又由AD=6，即可求得AE的長.解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵BE：ED=1：3，∴BE：OB=1：2，∵AE⊥BD，∴AB=OA，∴OA=AB=OB，即△OAB是等邊三角形，∴∠ABD=60°，∴∠ADE=90°-∠ABD=30°，∴AE=AD=3.例4：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一條角平分線，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E．（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）連接DE，交AC于點F，請判斷四邊形ABDE的形狀，并證明；（3）線段DF與AB有怎樣的關系？請直接寫出你的結論.證明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊的中線，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，∴∠ADC=90°，∵AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，∴∠MAN=∠CAN，∴∠DAE=90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四邊形ADCE為矩形；（1）求證：四邊形ADCE為矩形；解：四邊形ABDE是平行四邊形，理由如下：由（1）知，四邊形ADCE為矩形，則AE=CD，AC=DE．又∵AB=AC，BD=CD，∴AB=DE，AE=BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形；（2）連接DE，交AC于點F，請判斷四邊形ABDE的形狀，并證明；解：DF∥AB，DF=AB．理由如下：∵四邊形ADCE為矩形，∴AF=CF，∵BD=CD，∴DF是△ABC的中位線，∴DF∥AB，DF=AB(3)線段DF與AB有怎樣的關系？請直接寫出你的結論.【點評】此題考查了矩形的判定與性質、三線合一以及三角形中位線的性質．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用.例5：如圖所示，在△ABC中，D為BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF＝BD.連接BF.(1)BD與DC有什么數(shù)量關系？請說明理由；(2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由．解：(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE.∵E是AD的中點，∴AE＝DE.在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC.∵AF＝BD，∴BD＝DC；(2)當△ABC滿足AB＝AC時，四邊形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形．∴AB＝AC，BD＝DC，∴∠ADB＝90°.∴四邊形AFBD是矩形．【方法總結】本題綜合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明確有一個角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關鍵．當堂練習1.如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個矩形，點B在EF邊上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是S1，S2，則S1，S2的大小關系是(

)A．S1>S2

B．S1＝S2C．S1<S2D．3S1＝2S2B2．如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點，AH⊥BC于點H，連接EH，若DF＝10cm，則EH等于(

)A．8cm

B．10cm

C．16cm

D．24cmB3.如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，若∠CAE＝15°，則∠BOE＝____度．754．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，點A，B分別在y軸，x軸的正半軸上，點C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么點C的坐標為

．5.如圖，O是菱形ABCD對角線AC與BD的交點，CD＝5cm，OD＝3cm；過點C作CE∥DB，過點B作BE∥AC，CE與BE相交于點E.(1)求OC的長；(2)求四邊形OBEC的面積．解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在Rt△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm；(2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四邊形OBEC為平行四邊形.又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴平行四邊形OBEC為矩形.∵OB＝OD＝3cm，∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．6.如圖，點D是△ABC的邊AB上一點，CN∥AB，DN交AC于點M，MA＝MC.(1)求證：CD＝AN；(2)若∠AMD＝2∠MCD，求證：四邊形ADCN是矩形．

證明：(1)證△AMD≌△CMN得AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四邊形ADCN是平行四邊形，∴CD＝AN.

(2)若∠AMD＝2∠MCD，求證：四邊形ADCN是矩形．

證明：∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，由(1)知四邊形ADCN是平行四邊形，∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴?ADCN是矩形.

與全等三角形的結合矩形的性質與判定課堂小結與平面直角坐標系的結合折疊問題1.3正方形的性質與判定第一章特殊平行四邊形第1課時正方形的性質學習目標1.理解正方形的概念.2.探索并