7.4.1.2二項(xiàng)分布的綜合問(wèn)題

【引例】設(shè)諸葛亮解出某個(gè)題目的概率是0.9，三個(gè)臭皮匠各自獨(dú)立解出該題目的概率都是0.6，臭皮匠團(tuán)隊(duì)中解出該題人數(shù)X的均值和方差是多少？X0123P0.0640.2880.4320.216觀察：二項(xiàng)分布隨機(jī)變量X的均值E(X)和方差D(X)與n與p有什么關(guān)系？【探究】假設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，那么X的均值和方差是什么？當(dāng)n＝1時(shí)，當(dāng)n＝2時(shí)，……P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).P(X＝0)＝(1－p)2,P(X＝1)＝2p(1－p),P(X＝2)＝p2.E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2p2＝2p.D(X)＝02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p).猜想：若X~B(n，p)，則E(X)=np，D(X)=np(1?p).【探究】若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，證明X的均值E(X)＝np.

【課后探究】同理可證得X的方差D(X)=np(1－p)

嗎？

二項(xiàng)分布的期望與方差：1.若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝

，D(X)＝

.2.若X～B(n，p)，則E(X)＝

，D(X)＝

.p(1－p)np(1－p)pnp

1

A.3

B.6

C.9

D.12

√

【例2】一名學(xué)生每天騎自行車(chē)上學(xué)，從家到學(xué)校的途中有5個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是

.(1)求這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的均值；(2)求這名學(xué)生在首次遇到紅燈或到達(dá)目的地停車(chē)前經(jīng)過(guò)的路口數(shù)η的均值；故η的分布列為

√√√

【例3】某一批產(chǎn)品的合格率為95%，那么在取出的20件產(chǎn)品中，最有可能有幾件產(chǎn)品合格？解設(shè)合格產(chǎn)品有X件，則X～B(20,0.95)，則當(dāng)k<19.95時(shí)，P(X＝k－1)<P(X＝k)；k>19.95時(shí)，P(X＝k－1)>P(X＝k)，由以上分析可知，在取出的20件產(chǎn)品中，合格品有19件的概率最大，即最有可能有19件合格品.【變式】取出的30件呢？【課堂小結(jié)】1.二項(xiàng)分布：

一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為