4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解M學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根與圖象交點(diǎn)三者之間的聯(lián)系（重點(diǎn)）2.會借助零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間（重點(diǎn)、難點(diǎn)）3.能借助函數(shù)單調(diào)性及圖象判斷零點(diǎn)個數(shù)（重點(diǎn)）二次函數(shù)的零點(diǎn)

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用二次函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識一元二次方程，知道一元二次方程的實(shí)數(shù)根就是相應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn)．

例如，方程x2-5x+6=0的根為x1=2，x2=3，則二次函數(shù)f(x)=x2-5x+6的零點(diǎn)就是2和3．其圖象與x軸的公共點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),(3,0)y63xO2即二次函數(shù)f(x)=x2-5x+6的零點(diǎn)為其圖象與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用二次函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識一元二次方程，知道一元二次方程的實(shí)數(shù)根就是相應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn)，像lnx十2x－6=0這樣不能用公式求解的方程，是否也能采用類似的方法，用相應(yīng)的函數(shù)研究它的解的情況呢？

與二次函數(shù)的零點(diǎn)一樣，對于一般函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)．

這樣函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解，也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)．函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解課本P142函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)

方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解

函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)．代數(shù)法幾何法函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解學(xué)案P1課本P142總結(jié)

題型一

求函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)經(jīng)典例題函數(shù)零點(diǎn)的求法(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根．(2)幾何法：與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)．函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)

方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解

函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)．代數(shù)法幾何法

由上述的等價關(guān)系我們知道，求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解，就是確定函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)，一般地，對于不能用公式求解的方程f(x)=0，我們可以把它與相應(yīng)的函數(shù)y=f(x)聯(lián)系起來，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)找出零點(diǎn)，從而得到方程的解．

下面從考察二次函數(shù)存在零點(diǎn)時函數(shù)圖象的特征，以及零點(diǎn)附近函數(shù)值的變化規(guī)律入手分析．函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解學(xué)案P1課本P142

對于二次函數(shù)

f(x)=x2－2x－3，觀察它的圖象，發(fā)現(xiàn)它在區(qū)間[2，4]上有零點(diǎn)．

這時，函數(shù)圖象與x軸有什么關(guān)系？在區(qū)間[－2，0]上是否也有這種關(guān)系？你認(rèn)為應(yīng)如何利用函數(shù)f(x)的取值規(guī)律來刻畫這種關(guān)系？

再任意畫幾個函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，以及這一區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖象與x軸的關(guān)系，并探究用

f(x)的取值刻畫這種關(guān)系的方法．探究課本P143

可以發(fā)現(xiàn)，在零點(diǎn)附近，函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，并且“穿過”x軸．函數(shù)在端點(diǎn)x=2和x=4的取值異號，即

f(2)f(4)<0，函數(shù)f(x)=x2－2x－3在區(qū)間(2,4)內(nèi)有零點(diǎn)x=3，它是方程x2－2x－3=0的一個根．

同樣地，f(－2)f(0)<0，函數(shù)

f(x)=x2－2x－3在(－2，0)內(nèi)有零點(diǎn)x=－1，它是方程x2－2x－3=0的另一個根．課本P143

如果函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有

f(a)f(b)<0，那么函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得

f(c)=0，這個c也就是方程

f(x)=0的解．函數(shù)零點(diǎn)存在定理函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解學(xué)案P2課本P143思考①可以改為“在區(qū)間(a,b)上的圖象是連續(xù)不間斷的一條曲線”嗎？②可以改去掉“連續(xù)不間斷”嗎？③可以改為“f(a)f(b)>0”嗎？④為什么是“至少有一個零點(diǎn)”？⑤滿足什么條件時,“只有一個零點(diǎn)”？

如果函數(shù)

y=f(x)是區(qū)間[a，b]上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，且有

f(a)f(b)<0

，那么函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間

(a，b)內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，即存在唯一的實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使得

f(c)=0，這個c也就是方程

f(x)=0的解．函數(shù)零點(diǎn)唯一性定理思考：

如果函數(shù)

y=f(x)是區(qū)間[a，b]上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間

(a，b)內(nèi)零點(diǎn)的個數(shù)為

．至多一個函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解總結(jié)

題型二

判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間經(jīng)典例題判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的三個步驟：1.將區(qū)間端點(diǎn)代入函數(shù)求出函數(shù)的值.2.把所得函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號判斷.3.若符號為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，若符號為負(fù)且函數(shù)圖象連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少有一個零點(diǎn).總結(jié)

題型三

函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷經(jīng)典例題1.判斷零點(diǎn)的個數(shù)時由f(x)＝g(x)－h(huán)(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐標(biāo)系中作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的圖象，利用圖象判定方程根的個數(shù).2.已知零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)時畫出函數(shù)圖象，將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問題，從而確定參數(shù)的范圍.三、課堂小結(jié)（談一談）函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)

方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解

函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

f(x)=h(x)-g(x)時,函數(shù)y=h(x)與y=g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有

f(a)f(b)<0，那么函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在

c∈(a,b)，使得

f(c)=0，這個c也就是方程

f(x)=0的解．函數(shù)零點(diǎn)唯一性定理：如果函數(shù)

y=f(x)是區(qū)間[a,b]上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，且有

f(a)f(b)<0

，