第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)TOC\o"1-4"\h\z\u3.1函數(shù)的概念及其表示 -1-3.1.1函數(shù)的概念 -1-3.1.2函數(shù)的表示法(1) -10-3.1.2函數(shù)的表示法(2) -19-3.2函數(shù)的基本性質(zhì) -26-3.2.1單調(diào)性與最大(小)值(1) -26-3.2.1單調(diào)性與最大(小)值(2) -33-3.2.2奇偶性 -42-3.3冪函數(shù) -51-3.4函數(shù)的應(yīng)用(一) -60-3.1函數(shù)的概念及其表示3.1.1函數(shù)的概念內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.通過豐富實例，進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型．?dāng)?shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)推理2.學(xué)習(xí)用集合對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用．3.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求函數(shù)的定義域.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第30頁[教材提煉]知識點一函數(shù)的概念eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思考問題)y＝x中x與y的對應(yīng)關(guān)系，和y＝eq\f(x2,x)中x與y的對應(yīng)關(guān)系相同嗎？知識梳理(1)一般地，設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)(function)，記作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域(domain)；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域(range)．顯然，值域是集合B的子集．(2)函數(shù)的三要素：一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的．(3)相同函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．知識點二區(qū)間的概念知識梳理(1)一般區(qū)間的表示定義名稱符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a＜x＜b}開區(qū)間(a，b){x|a≤x＜b}半開半閉區(qū)間[a，b){x|a＜x≤b}半開半閉區(qū)間(a，b](2)特殊區(qū)間定義區(qū)間數(shù)軸表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x＞a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x＜b}(－∞，b)R(－∞，＋∞)[自主檢測]1．下列從集合A到集合B的對應(yīng)中不是函數(shù)的是()答案：D2．已知函數(shù)g(x)＝2x2－1，則g(1)＝()A．－1 B．0C．1 D．2答案：C3．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(4－x))的定義域是()A．(－∞，4) B．(－∞，4]C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)答案：A4．已知全集U＝R，A＝{x|1＜x≤3}，則?UA用區(qū)間表示為________．答案：(－∞，1]∪(3，＋∞)授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第31頁探究一函數(shù)關(guān)系的判斷[例1](1)下列集合A到集合B的對應(yīng)f是函數(shù)的是()A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的數(shù)平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數(shù)開方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的數(shù)取倒數(shù)D．A＝R，B＝{正實數(shù)}，f：A中的數(shù)取絕對值[解析]按照函數(shù)定義，選項B，集合A中的元素1對應(yīng)集合B中的元素±1，不符合函數(shù)定義中一個自變量的值對應(yīng)唯一的函數(shù)值的條件；選項C，元素0取倒數(shù)沒有意義，也不符合函數(shù)定義中集合A中任意元素都對應(yīng)唯一函數(shù)值的要求；選項D，集合A中的元素0在集合B中沒有元素與其對應(yīng)，也不符合函數(shù)定義中集合A中的任意元素都對應(yīng)唯一函數(shù)值的要求，只有選項A符合函數(shù)定義．[答案]A(2)下列圖形中，不能確定y是x的函數(shù)的是()[解析]任作一條垂直于x軸的直線x＝a，移動直線，根據(jù)函數(shù)的定義可知，此直線與函數(shù)圖象至多有一個交點．結(jié)合選項可知D不滿足要求，因此不表示函數(shù)關(guān)系．[答案]D1．判斷一個對應(yīng)是否是函數(shù)的方法2．根據(jù)圖形判斷對應(yīng)是否為函數(shù)的步驟(1)任取一條垂直于x軸的直線l.(2)在定義域內(nèi)平行移動直線l.(3)若l與圖形有且只有一個交點，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數(shù)．如圖所示：集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示從A到B的函數(shù)的是()A．f：x→y＝eq\f(1,2)x B．f：x→y＝eq\f(1,3)xC．f：x→y＝eq\f(2,3)x D．f：x→y＝eq\r(x)解析：對選項C，當(dāng)x＝4時，y＝eq\f(8,3)＞2不合題意，故選C.答案：C探究二求函數(shù)的定義域[例2](1)函數(shù)y＝eq\f(2,1－\r(1－x))的定義域為()A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0,1]C．(－∞，0)∪(0,1) D．[1，＋∞)(2)已知函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝eq\r(x＋3)＋eq\r(1－x)是相等函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的定義域是()A．[－3,1] B．(－3,1)C．(－3，＋∞) D．(－∞，1](3)函數(shù)y＝eq\f(x＋10,\r(|x|－x))的定義域是()A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}C．{x|x＜0，且x≠－1} D．{x|x≠0，且x≠－1}(4)已知等腰△ABC的周長為10，則底邊長y關(guān)于腰長x的函數(shù)關(guān)系為y＝10－2x，則函數(shù)的定義域為________．[解析](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,1－\r(1－x)≠0))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤1，,x≠0.))故選B.(2)由于y＝f(x)與y＝eq\r(x＋3)＋eq\r(1－x)是相等函數(shù)，故二者定義域相同，所以y＝f(x)的定義域為{x|－3≤x≤1}．寫成區(qū)間形式為[－3,1]．故選A.(3)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,|x|－x＞0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－1，,|x|＞x，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－1，,x＜0.))故選C.(4)由題意知0＜y＜10，即0＜10－2x＜10，解得0＜x＜5.又底邊長y與腰長x應(yīng)滿足2x＞y，即4x＞10，x＞eq\f(5,2).綜上，eq\f(5,2)＜x＜5.[答案](1)B(2)A(3)C(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，5))求函數(shù)定義域的實質(zhì)及結(jié)果要求(1)求函數(shù)的定義域?qū)嵸|(zhì)是解不等式(組)，即將滿足的條件轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，要求把滿足條件的不等式列全．(2)結(jié)果要求：定義域的表達(dá)形式可以是集合形式，也可以是區(qū)間形式．(3)一般地，形如y＝eq\r(fx)，則f(x)≥0，形如y＝eq\f(1,fx)，則f(x)≠0，形如y＝(f(x))0，則f(x)≠0.1．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝eq\f(1,\r(3,x3))有相同定義域的是()A．f(x)＝eq\r(x) B．f(x)＝eq\f(1,x)C．f(x)＝|x| D．f(x)＝eq\r(3,x3)解析：函數(shù)y＝eq\f(1,\r(3,x3))＝eq\f(1,x)，其定義域為{x|x≠0}，與選項B中的函數(shù)是相等函數(shù)，其定義域相同．答案：B2．y＝eq\r(x－1)·eq\r(1－x)的定義域為________．解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,1－x≥0))?x＝1，所以函數(shù)的定義域為{1}．答案：{1}探究三求函數(shù)值問題[例3][教材P65例2拓展探究](1)若函數(shù)f(x)＝eq\r(x＋3)＋eq\f(1,x＋2)，求f(f(－3))的值．[解析]∵f(－3)＝－1.∴f(f(－3))＝f(－1)＝eq\r(－1＋3)＋eq\f(1,－1＋2)＝eq\r(2)＋1.(2)若函數(shù)f(x)＝eq\r(x＋3)＋eq\f(1,x＋2)，求f(x－1)的定義域．[解析]法一：f(x－1)＝eq\r(x－1＋3)＋eq\f(1,x－1＋2)＝eq\r(x＋2)＋eq\f(1,x＋1)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2≥0，,x＋1≠0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－2，,x≠－1.))定義域為[－2，－1)∪(－1，＋∞)．法二：∵f(x)的定義域為{x|x≥－3且x≠－2}，∴f(x－1)的定義域為x－1≥－3且x－1≠－2.即{x|x≥－2且x≠－1}．(3)若函數(shù)f(x)＝eq\r(x＋3)＋eq\f(1,x＋2)，設(shè)g(x)＝x2－3，求f[g(x)]．[解析]首先g(x)≥－3，且g(x)≠－2，即x2－3≥－3且x2－3≠－2，∴x≠±1.∴f[g(x)]＝eq\r(gx＋3)＋eq\f(1,gx＋2)＝eq\r(x2)＋eq\f(1,x2－1)＝|x|＋eq\f(1,x2－1).∴f[g(x)]＝|x|＋eq\f(1,x2－1)(x≠±1)．函數(shù)求值的方法及關(guān)注點(1)方法：①求f(a)：已知f(x)的解析式時，只需用a替換解析式中的x即得f(a)的值．②求f(g(a))：已知f(x)與g(x)，求f(g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則．(2)關(guān)注點：用來替換解析式中x的數(shù)a必須是函數(shù)定義域內(nèi)的值，否則函數(shù)無意義．授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第32頁一、抽象函數(shù)有“據(jù)”可依——抽象函數(shù)的定義域問題、求值問題eq\x(?數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)所謂抽象函數(shù)，是指明顯、具體的給出x與y之間的關(guān)系，只是借用函數(shù)符號來表達(dá)，指明了一些性質(zhì)的函數(shù)．1．定義域問題求抽象函數(shù)定義域的原則及方法(1)原則：同在對應(yīng)法則f下的范圍相同，即f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三個函數(shù)中的t，φ(x)，h(x)的范圍相同．(2)方法：①已知f(x)的定義域為A，求f(g(x))的定義域，其實質(zhì)是已知g(x)∈A，求x的范圍；②已知f(g(x))的定義域為A，求f(x)的定義域，其實質(zhì)是已知x∈A，求g(x)的范圍，此范圍就是f(x)的定義域．[典例](1)已知函數(shù)f(x)的定義域為[0,1]，求f(x2＋1)的定義域；(2)已知函數(shù)f(2x－1)的定義域為[0,1)，求f(1－3x)的定義域．[解析](1)因為函數(shù)f(x2＋1)中的x2＋1相當(dāng)于函數(shù)f(x)中的x，所以0≤x2＋1≤1，即－1≤x2≤0，所以x＝0，故f(x2＋1)的定義域為{x|x＝0}．(2)因為f(2x－1)的定義域為[0,1)，即0≤x＜1，所以－1≤2x－1＜1.故f(x)的定義域為[－1,1)，所以－1≤1－3x＜1.解得0＜x≤eq\f(2,3)，所以f(1－3x)的定義域為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))).2．求值問題充分利用所給函數(shù)的性質(zhì)或者特征，結(jié)合已知值，采用賦值法．[典例]定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，則f(－3)等于()A．2 B．3C．6 D．9[解析]f(1)＝f(1＋0)＝f(1)＋f(0)＋2×1×0＝f(1)＋f(0)，得f(0)＝0；又f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)＋2×(－1)×1＝f(－1)＋2－2＝f(－1)，得f(－1)＝0；f(－2)＝f(－1－1)＝2f(－1)＋2×(－1)2＝2×0＋2＝2；f(－3)＝f(－2－1)＝f(－2)＋f(－1)＋2×(－2)×(－1)＝2＋0＋4＝6.[答案]C點評求解此類問題時要靈活選擇賦值量，反復(fù)運用已知關(guān)系式．二、求定義域時盲目化簡[典例]求函數(shù)y＝eq\f(x＋12,x＋1)－eq\r(1－x)的定義域．[解析]要使函數(shù)有意義，須eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,x＋1≠0，))得x≤1且x≠－1定義域為(－∞，－1)∪(－1,1]．糾錯心得從表達(dá)式特征上看，似乎將函數(shù)式化簡為y＝x＋1－eq\r(1－x)，求定義域更簡單.1－x≥0得x≤1.這已經(jīng)破壞了函數(shù)的概念．求定義域務(wù)必是針對原函數(shù)而求，化簡也是定義域內(nèi)保持等價才可以．3.1.2函數(shù)的表示法(1)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.掌握函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法．直觀想象、邏輯推理數(shù)學(xué)抽象2.會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)方法表示函數(shù).授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第33頁[教材提煉]知識點函數(shù)的三種表示方法eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思考問題)比較函數(shù)的三種表示法，它們各自的特點是什么？知識梳理解析法，就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．列表法，就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．圖象法，就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．這三種方法是常用的函數(shù)表示法．[自主檢測]1．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，則f(x)的定義域是()A．RB．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(－1,0)答案：C2．已知y與x成反比，且當(dāng)x＝2時，y＝1，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝－xC．y＝eq\f(2,x) D．y＝eq\f(x,2)答案：C3．已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(f(3))＝________.x1234f(x)3241答案：1授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第33頁探究一列表法表示函數(shù)[例1](1)某路公共汽車，行進的站數(shù)與票價關(guān)系如下表：行進的站數(shù)123456789票價(元)0.50.50.51111.51.51.5若某人乘坐此公共汽車7站后下車，票價應(yīng)為________元．(2)下表表示函數(shù)y＝f(x)，則f(x)＞x的整數(shù)解的集合是________.x0＜x＜55≤x＜1010≤x＜1515≤x＜20y＝f(x)46810(3)已知兩個函數(shù)f(x)和g(x)的定義域和值域都是集合{1,2,3}，其函數(shù)對應(yīng)關(guān)系如表：x123f(x)231x123g(x)321則方程g(f(x))＝x的解集為________．[解析](1)觀察表格可知，自變量(行進的站數(shù))為7時函數(shù)的值為1.5，所以此人乘車的票價應(yīng)為1.5元．(2)當(dāng)0＜x＜5時，f(x)＞x的整數(shù)解為{1,2,3}．當(dāng)5≤x＜10時，f(x)＞x的整數(shù)解為{5}．當(dāng)10≤x＜15時，f(x)＞x的整數(shù)解為?.當(dāng)15≤x＜20時，f(x)＞x的整數(shù)解為?.綜上所述，f(x)＞x的整數(shù)解的集合是{1,2,3,5}．(3)當(dāng)x＝1時，f(x)＝2，g(f(x))＝2，不符合題意；當(dāng)x＝2時，f(x)＝3，g(f(x))＝1，不符合題意；當(dāng)x＝3時，f(x)＝1，g(f(x))＝3，符合題意，綜上，方程g(f(x))＝x的解集為{3}．[答案](1)1.5(2){1,2,3,5}(3){3}列表法表示函數(shù)的相關(guān)問題的解法解決此類問題關(guān)鍵在于弄清每個表格表示的函數(shù)，對于f(g(x))這類函數(shù)值的求解，應(yīng)從內(nèi)到外逐層求解，而求解不等式，則可分類討論或列表解決．1．在本例(3)條件下，求不等式f(g(x))＞g(f(x))的解集．解析：f(g(x))與g(f(x))與x相對應(yīng)的值如表所示：x123f(g(x))132g(f(x))213不等式f(g(x))＞g(f(x))的解集為{2}．2．若例題(3)改為：表格所表示的y是x的函數(shù).x1234y4321定義域為________，值域為________．答案：{1,2,3,4}{4,3,2,1}探究二函數(shù)的圖象及應(yīng)用[例2](1)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)[解析]2016年8月到9月，10月到11月等是逐月下降的，故A錯．[答案]A(2)已知二次函數(shù)y＝－x2＋4x－3.①指出該函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸方程、頂點坐標(biāo)、與坐標(biāo)軸的交點的坐標(biāo)，并畫出函數(shù)圖象的草圖．②說明其圖象由y＝－x2的圖象經(jīng)過怎樣平移得來的．③當(dāng)定義域為[0,3]時，結(jié)合該二次函數(shù)圖象求該函數(shù)的值域．[解析]①y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，圖象的開口向下，對稱軸方程為x＝2，頂點坐標(biāo)為(2,1)．令y＝0解得，x＝1或x＝3，所以此函數(shù)圖象與x軸相交于點(1,0)和(3,0)，令x＝0解得，y＝－3，所以此函數(shù)圖象與y軸相交于點(0，－3)，畫出此函數(shù)的圖象，如圖所示：②由y＝－x2的圖象向右平移2個單位長度，得函數(shù)y＝－(x－2)2的圖象，再向上平移1個單位長度，得函數(shù)y＝－(x－2)2＋1的圖象．③畫出函數(shù)y＝－x2＋4x－3，x∈[0,3]的圖象，如圖所示，觀察圖象可知該函數(shù)的值域為[－3,1]．作函數(shù)圖象的基本步驟利用圖象認(rèn)識函數(shù)左右看范圍→函數(shù)的定義域上下看范圍→函數(shù)的值域左右看變化→函數(shù)值隨x的變化情況1.某地一年內(nèi)的氣溫Q(t)(單位：℃)與時間t(月份)之間的關(guān)系如圖所示，已知該年的平均氣溫為10℃.令C(t)表示時間段[0，t]的平均氣溫，C(t)與t之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示，則正確的應(yīng)該是()解析：依題設(shè)當(dāng)t＝12時，C(t)＝10，排除D；由年平均氣溫為10℃知C(t)不會都在10℃以下，排除B；依題圖知在t∈[0,6]內(nèi)，Q(t)的圖象關(guān)于(3,0)中心對稱，因此C(6)＝0，排除C，故選A.答案：A2．已知函數(shù)為y＝x2－2x，x∈[－1,2)，試畫出此函數(shù)的圖象．解析：y＝x2－2x＝(x－1)2－1.當(dāng)x＝－1時，y＝3；當(dāng)x＝0時，y＝0；當(dāng)x＝1時，y＝－1；當(dāng)x＝2時，y＝0.如圖開口向上的部分拋物線段．探究三求函數(shù)解析式[例3](1)(待定系數(shù)法)已知f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)．[解析]設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，則f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b，∴k2x＋kb＋b＝16x－25.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝16，,kb＋b＝－25，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝4，,b＝－5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－4，,b＝\f(25,3).))∴f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋eq\f(25,3).(2)換元法(或配湊法)已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，求f(x)的解析式．[解析]法一(換元法)：令t＝eq\r(x)＋1，則x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)的解析式為f(x)＝x2－1(x≥1)．法二(配湊法)：f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)＝x＋2eq\r(x)＋1－1＝(eq\r(x)＋1)2－1.因為eq\r(x)＋1≥1，所以f(x)的解析式為f(x)＝x2－1(x≥1)．(3)(方程組法)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)．[解析]∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①∴將x換成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝eq\f(1,3)x2－2x.求函數(shù)解析式的方法提醒：換元法要注意新元“t”的取值范圍，否則易弄錯函數(shù)定義域.1．設(shè)函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))＝x，則f(x)的表達(dá)式為()A.eq\f(1＋x,1－x) B.eq\f(1＋x,x－1)C.eq\f(1－x,1＋x) D.eq\f(2x,x＋1)解析：令t＝eq\f(1－x,1＋x)，解得x＝eq\f(1－t,1＋t)，代入feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))＝x，可得f(t)＝eq\f(1－t,1＋t)，∴f(x)＝eq\f(1－x,1＋x).答案：C2．已知f(x)滿足2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，則f(x)＝________.解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2fx＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，①,2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋fx＝\f(3,x)，②))∴①×2－②得3f(x)＝6x－eq\f(3,x)，∴f(x)＝2x－eq\f(1,x).答案：2x－eq\f(1,x)授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第35頁一、一“圖”勝萬言——函數(shù)圖象的應(yīng)用eq\x(?直觀想象)[典例]已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象如圖所示，則b的取值范圍是()A．(－∞，0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2，＋∞)[解析]法一：由f(x)的圖象知點(0,0)，(1,0)，(2,0)在圖象上，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝0，,a＋b＋c＝0，,8a＋4b＋2c＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－3a，,c＝2a，,d＝0.))∴f(x)＝ax3－3ax2＋2ax.又由圖象知f(－1)＜0，∴－a－3a－2a＜0?a＞0，則b＝－3a＜0.故選A.法二：由三次函數(shù)f(x)的圖象過(0,0)，(1,0)，(2,0)點，可設(shè)f(x)＝ax(x－1)(x－2)＝ax3－3ax2＋2ax.又∵f(3)＞0，得6a＞0?a＞0，∴b＝－3a＜0.故選A.[答案]A二、忽視新元的范圍[典例]已知f(x2＋1)＝x2＋eq\f(1,x2＋1)，求f(x)的解析式．[解析]設(shè)t＝x2＋1，∴t≥1，∴x2＝t－1，∴f(t)＝t－1＋eq\f(1,t)，∴f(x)＝x＋eq\f(1,x)－1(x≥1)．糾錯心得此題用換元法或配湊法求出f(x)后，易丟定義域的證明(x≥1)．3.1.2函數(shù)的表示法(2)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.通過具體實例，了解分段函數(shù)的概念．?dāng)?shù)學(xué)抽象2.能畫出簡單分段函數(shù)的圖象.直觀想象授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第35頁[教材提煉]知識點分段函數(shù)eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思考問題)函數(shù)y＝|x|在x≥0與x＜0時的解析式相同嗎？知識梳理如果函數(shù)y＝f(x)，x∈A，根據(jù)自變量x在A中不同的取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)．[自主檢測]1．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)，x＜－1，,\r(x－1)，x＞1，))則f(2)等于()A．0B.eq\f(1,3)C．1D．2答案：C2．若f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x＜0))且f(x)＝1，則x＝()A．1 B．－1C．±1 D．0答案：C3．函數(shù)D(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x是有理數(shù)，,0，x是無理數(shù)，))則其定義域為________，值域為________．答案：R{0,1}4．函數(shù)y＝|x－1|的圖象關(guān)于直線________對稱．答案：x＝1授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第35頁探究一分段函數(shù)的定義域、值域及求值問題[例1][教材P68例6拓展探究](1)若已知函數(shù)M(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋12，x≤－1，,x＋1，－1＜x≤0，,x＋12，x＞0.))求①M(－3)，②M(2)，③M[M(0)]，④f[M(－3)]，⑤F[M(a)]．[解析]①當(dāng)x＝－3時，M(－3)＝(－3＋1)2＝4.②當(dāng)x＝2時，M(2)＝(2＋1)2＝9.③∵M(0)＝1，∴M[M(0)]＝M(1)＝(1＋1)2＝4.④∵f(x)＝x＋1，∴f[M(－3)]＝f(4)＝4＋1＝5.⑤當(dāng)a≤－1時，M(a)＝(a＋1)2，∴f[M(a)]＝(a＋1)2＋1.當(dāng)－1＜a≤0時，M(a)＝a＋1，∴f[M(a)]＝(a＋1)＋1＝a＋2.當(dāng)a＞0時，M(a)＝(a＋1)2，∴f[M(a)]＝(a＋1)2＋1.綜上，f[M(a)]＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋12＋1，a≤－1，,a＋2，－1＜a≤0，,a＋12＋1，a＞0.))(2)?x∈R，用m(x)表示f(x)、g(x)中的較小者，記為m(x)＝mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(fx，gx)).求m(x)的解析式，并求m(x)的值域．[解析]由(x＋1)2＝x＋1得x＝－1或x＝0，即函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象相交于兩點(－1,0)和(0,1)．結(jié)合f(x)與g(x)的圖象得出m(x)的解析式為m(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－1，,x＋12，－1＜x≤0，,x＋1，x＞0，))如圖，值域為R.1．分段函數(shù)定義域、值域的求法(1)分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集．(2)分段函數(shù)的值域是各段函數(shù)值域的并集．2．絕對值函數(shù)的定義域、值域通常要轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來解決．3．分段函數(shù)求函數(shù)值的方法(1)確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間．(2)代入該段的解析式求值，直到求出值為止．當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．探究二求分段函數(shù)解析式[例2]如圖①，在邊長為6的正方形ABCD的邊上有一點P，沿著折線BCDA由點B(起點)向點A(終點)運動．設(shè)點P運動的路程為x，△APB的面積為y.求：(1)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)畫出y＝f(x)的圖象．[解析](1)按照題意，根據(jù)x的變化，寫出分段函數(shù)的解析式．當(dāng)點P在線段BC上移動時，即0＜x≤6，BP＝x，于是S△APB＝eq\f(1,2)AB·BP＝eq\f(1,2)×6×x＝3x；當(dāng)點P在線段CD上移動時，即6＜x≤12，S△APB＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)×6×6＝18；當(dāng)點P在線段DA上移動時，即12＜x＜18，S△APB＝eq\f(1,2)AB·PA＝eq\f(1,2)×6×(18－x)＝54－3x.于是y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，0＜x≤6，,18，6＜x≤12，,54－3x，12＜x＜18.))(2)畫出y＝f(x)的圖象，如圖②所示．求分段函數(shù)解析式的關(guān)鍵點(1)明確自變量x的分段區(qū)間及分段點．(2)明確每一段上的函數(shù)類型用待定系數(shù)法求.若函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則其表達(dá)式f(x)為________．解析：此函數(shù)在三個區(qū)間上的圖象各不相同，故分別寫出其在各區(qū)間內(nèi)的函數(shù)表達(dá)式．答案：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋3，x∈[－2，0，,－\f(1,2)x＋3，x∈[0，2，,2，x∈[2，4.))探究三分段函數(shù)與方程、不等式[例3](1)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x≤2，,2x，x＞2.))若f(x0)＝8，則x0＝________.[解析]當(dāng)x0≤2時，f(x0)＝xeq\o\al(2,0)＋2＝8，即xeq\o\al(2,0)＝6，∴x0＝－eq\r(6)或x0＝eq\r(6)(舍去)．當(dāng)x0＞2時，f(x0)＝2x0＝8，∴x0＝4.綜上，x0＝－eq\r(6)或x0＝4.[答案]－eq\r(6)或4(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≤－2，,x＋1，－2＜x＜4,3x，x≥4，))，若f(a)＜－3，則a的取值范圍是________．[解析]當(dāng)a≤－2時，f(a)＝a＜－3，此時不等式的解集是(－∞，－3)；當(dāng)－2＜a＜4時，f(a)＝a＋1＜－3，此時不等式無解；當(dāng)a≥4時，f(a)＝3a＜－3，此時不等式無解．所以a的取值范圍是(－∞，－3)．[答案](－∞，－3)由分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量的方法已知分段函數(shù)的函數(shù)值求對應(yīng)的自變量的值，可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的值，但應(yīng)注意檢驗函數(shù)解析式的適用范圍，也可先判斷每一段上的函數(shù)值的范圍，確定解析式再求解．將本例(1)改為：若f(x)＞8，求x的范圍．解析：當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤2，,x2＋2＞8))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤2，,x2＞6，))∴x＜－eq\r(6).當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞2，,2x＞8，))∴x＞4.∴x的范圍為(－∞，－eq\r(6))∪(4，＋∞).授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第36頁一、形分而神不分——分段函數(shù)問題的求解方法eq\x(?直觀想象、邏輯推理)分段函數(shù)只是在自變量不同的范圍下，有不同的解析式，但在定義域內(nèi)，它還是一個函數(shù)，而不是多個函數(shù)，解決問題時，要“分段處理”，然后結(jié)果要合為一體．[典例]已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋a，x＜1，,－x－2a，x＞1，))若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為________．[解析]當(dāng)a＜0時，1－a＞1,1＋a＜1，所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－a－1，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.因為f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2，所以a＝－eq\f(3,4).當(dāng)a＞0時，1－a＜1,1＋a＞1，所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1.因為f(1－a)＝f(1＋a)，所以2－a＝－3a－1所以a＝－eq\f(3,2)(舍去)．綜上所述，a＝－eq\f(3,4).[答案]－eq\f(3,4)二、不分類討論致錯[典例]若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x2，－1≤x≤2，,x－3，2＜x≤5，))則方程f(x)＝1的解是()A.eq\r(2)或2 B.eq\r(2)或3C.eq\r(2)或4 D．±eq\r(2)或4[解析]當(dāng)－1≤x≤2時，由f(x)＝1得，3－x2＝1，所以x＝eq\r(2)或x＝－eq\r(2)(舍去)．當(dāng)2＜x≤5時，由f(x)＝1得，x－3＝1，所以x＝4.綜上，f(x)＝1的解是x＝eq\r(2)或x＝4.[答案]C糾錯心得解決分段函數(shù)求值問題，要緊扣“分段”的特征，即函數(shù)在定義域的不同部分，有不同的對應(yīng)關(guān)系，它不是幾個函數(shù)，而是一個函數(shù)，應(yīng)看成一個整體才有意義，它的定義域應(yīng)是各部分x范圍的并集，求值時要重視x的取值范圍．如本例當(dāng)－1≤x≤2時，求出x＝eq\r(2)或x＝－eq\r(2)，通過檢驗應(yīng)舍去x＝－eq\r(2).3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.1單調(diào)性與最大(小)值(1)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.利用函數(shù)圖象，直觀地觀察函數(shù)的單調(diào)性．直觀想象數(shù)學(xué)抽象邏輯推理2.利用特殊函數(shù)，理解函數(shù)單調(diào)性及幾何意義．3.會根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義，判斷、證明單調(diào)性.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第37頁[教材提煉]知識點函數(shù)的單調(diào)遞增、單調(diào)遞減eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思考問題)對于函數(shù)f(x)＝x2，如何用符號語言描述？知識梳理(1)定義域為I的函數(shù)f(x)的增減性(2)①特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù)(increasingfunction)．②特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù)(decreasingfunction)．③如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．[自主檢測]1．如圖所示的函數(shù)中在其定義域上是增函數(shù)的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．4解析：只有①是增函數(shù)．答案：B2．對于函數(shù)y＝f(x)，在給定區(qū)間上有兩個數(shù)x1，x2，且x1＜x2，使f(x1)＜f(x2)成立，則y＝f(x)()A．一定是增函數(shù) B．一定是減函數(shù)C．可能是常數(shù)函數(shù) D．單調(diào)性不能確定解析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性概念可知，y＝f(x)的單調(diào)性不確定．答案：D3．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù)的是()A．y＝3－x B．y＝x2＋1C．y＝eq\f(1,x) D．y＝－|x|答案：B4．函數(shù)y＝|x－1|的增區(qū)間為________．答案：[1，＋∞)授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第37頁探究一由函數(shù)圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間[例1]作出函數(shù)y＝－x2＋2|x|＋3的圖象并指出它的單調(diào)區(qū)間．[解析]根據(jù)絕對值的意義，y＝－x2＋2|x|＋3＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3，x≥0,－x2－2x＋3，x<0))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－12＋4，x≥0,－x＋12＋4，x<0)).作出函數(shù)圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知，函數(shù)在區(qū)間(－∞，－1]，[0,1]上是增函數(shù)；函數(shù)在區(qū)間(－1,0)，(1，＋∞)上是減函數(shù)．一般來說，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間可以根據(jù)函數(shù)的圖象．在某區(qū)間內(nèi)，由左至右圖象是上升的，該區(qū)間就是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；某區(qū)間內(nèi)，由左到右圖象是下降的，該區(qū)間就是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．將本例函數(shù)改為f(x)＝|x2＋2x－3|，求f(x)的單調(diào)區(qū)間．解析：令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.先作出g(x)的圖象，保留其在x軸及x軸上方部分，把它在x軸下方的圖象翻到x軸上方就得到f(x)＝|x2＋2x－3|的圖象，如圖所示．由圖象易得：函數(shù)的遞增區(qū)間是[－3，－1]，[1，＋∞)；函數(shù)的遞減區(qū)間是(－∞，－3]，[－1,1]．探究二函數(shù)單調(diào)性的證明或判斷[例2][教材P79例3拓展探究]根據(jù)定義證明y＝x＋eq\f(1,x)在(0,1)上是單調(diào)遞減．[證明]?x1，x2∈(0,1)，且x1＜x2，有y1－y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,x1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)－\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq\f(x2－x1,x1x2)＝eq\f(x1－x2,x1x2)(x1x2－1)．由于0＜x1＜1,0＜x2＜1.∴0＜x1x2＜1.∴x1x2－1＜0.又由x1＜x2，∴x1－x2＜0，∴eq\f(x1－x2,x1x2)(x1x2－1)＞0，∴y1＞y2，∴函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)在(0,1)上是減函數(shù)．證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的方法主要是定義法(在解決選擇或填空題時有時可用圖象法)，利用定義法證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟是：探究三利用單調(diào)性求參數(shù)[例3]已知函數(shù)f(x)＝ax2－x＋1在(－∞，2)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．[解析]當(dāng)a＝0時，f(x)＝－x＋1在(－∞，2)上單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)a≠0時，要使f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞減，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,－\f(－1,2a)≥2，))解得0＜a≤eq\f(1,4).綜上，a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))).根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的方法(1)利用單調(diào)性的定義：設(shè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)x1＜x2，由f(x1)－f(x2)＜0(或f(x1)－f(x2)＞0)恒成立求參數(shù)范圍．(2)利用具體函數(shù)本身所具有的特征：如二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間被對稱軸一分為二，根據(jù)對稱軸相對于所給單調(diào)區(qū)間的位置求參數(shù)．需注意：若一函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b－1x＋b－1，x＞0，,－x2＋2－bx，x≤0))在R上為增函數(shù)，則實數(shù)b的取值范圍是________．解析：要使此分段函數(shù)為R上的增函數(shù)，必須使函數(shù)g(x)＝(2b－1)x＋b－1在(0，＋∞)上是增函數(shù)；函數(shù)h(x)＝－x2＋(2－b)x在(－∞，0]上是增函數(shù)，且滿足h(0)≤g(0)，根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b－1＞0，,－\f(2－b,2×－1)≥0，,0≤b－1，))∴1≤b≤2，即實數(shù)b的取值范圍是[1,2]．授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第38頁一、單調(diào)性定義的拓展及規(guī)律1.eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0?(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?f(x)是增函數(shù)．2.eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＜0?(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0?f(x)是減函數(shù)．3．f(x)在區(qū)間A上是單調(diào)函數(shù)，則k＞0時，kf(x)的單調(diào)性不變；k＜0時，則相反．4．f(x)，g(x)在區(qū)間A上同單調(diào)，則f(x)＋g(x)的單調(diào)性不變．5．若f(x)在區(qū)間A上是單調(diào)函數(shù)，則eq\f(1,fx)的單調(diào)性相反，eq\r(2n,fx)(f(x)＞0)、eq\r(2n－1,fx)(n∈N*)的單調(diào)性相同．6．圖象關(guān)于軸(與x軸垂直)對稱的函數(shù)在它們的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，圖象關(guān)于中心對稱的函數(shù)在它們的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同．[典例]1.判定函數(shù)y＝x2－2x＋eq\r(x－1)的單調(diào)性，并求單調(diào)區(qū)間．[解析]定義域為x≥1，函數(shù)y1＝x2－2x，y2＝eq\r(x－1)均為增函數(shù)，則y＝x2－2x＋eq\r(x－1)也為增函數(shù)，則y＝x2－2x＋eq\r(x－1)的增區(qū)間為[1，＋∞)．2．定義在R上的函數(shù)f(x)，對任意的x1，x2∈R，(x1≠x2)有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＜0，若a＋b≤0，則有()A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)[解析]由題意知，f(x)在R上為減函數(shù)．由題意知，a≤－b，b≤－a，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故選D.[答案]D二、對“單調(diào)區(qū)間”和“在區(qū)間上單調(diào)”兩個概念理解錯誤而致誤[典例]若函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，4]，求實數(shù)a的取值范圍．[解析]函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為直線x＝1－a.因為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，4]，所以1－a＝4，解得a＝－3.故實數(shù)a的取值范圍是{－3}．糾錯心得單調(diào)區(qū)間是一個整體概念，例如函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是I，指的是函數(shù)遞減的最大范圍是區(qū)間I，而函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)，則指此區(qū)間是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間．3.2.1單調(diào)性與最大(小)值(2)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.理解函數(shù)的最大(最小)值及幾何意義．直觀想象邏輯推理、數(shù)學(xué)運算2.利用單調(diào)性求最值、比較大小、解不等式.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第39頁[教材提煉]知識點函數(shù)的最值eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思考問題)(1)函數(shù)f(x)＝x2圖象的最低點的縱坐標(biāo)是多少？(2)函數(shù)f(x)＝－x2圖象的最高點的縱坐標(biāo)是多少？知識梳理最大值最小值條件一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：對于任意的x∈I，都有f(x)≤Mf(x)≥M存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值幾何意義f(x)圖象上最高點的縱坐標(biāo)f(x)圖象上最低點的縱坐標(biāo)[自主檢測]1．函數(shù)f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分別為()A．3、5 B．－3、5C．1、5 D．－5、3答案：B2．函數(shù)f(x)在[－2，＋∞)上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最大、最小值分別為()A．3、0 B．3、1C．3、無最小值 D．3、－2答案：C3．函數(shù)y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________．答案：4授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第40頁探究一利用圖象法求函數(shù)的最值[例1]已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x0≤x≤2，,\f(2,x－1)x＞2，))求函數(shù)f(x)的最大值、最小值．[解析]作出f(x)的圖象如圖：由圖象可知，當(dāng)x＝2時，f(x)取最大值為2；當(dāng)x＝eq\f(1,2)時，f(x)取最小值為－eq\f(1,4).所以f(x)的最大值為2，最小值為－eq\f(1,4).用圖象法求最值的三個步驟已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x－1)(x∈[2,6])，求函數(shù)的最大值和最小值．解析：由函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x－1)(x∈[2,6])的圖象(如圖所示)可知，函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x－1)在區(qū)間[2,6]上單調(diào)遞減．所以，函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x－1)在區(qū)間[2,6]的兩個端點上分別取得最大值和最小值．ymax＝f(2)＝2，ymin＝f(6)＝eq\f(2,5).探究二利用單調(diào)性求最值[例2]求函數(shù)f(x)＝eq\r(x2＋9)－x，x∈[－4,0]的最大值和最小值．[解析]設(shè)x1，x2是[－4,0]上的任意兩個實數(shù)，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋9)－x1－eq\r(x\o\al(2,2)＋9)＋x2＝eq\f(x1－x2x1＋x2,\r(x\o\al(2,1)＋9)＋\r(x\o\al(2,2)＋9))＋x2－x1.∵－4≤x1＜x2≤0，∴x1－x2＜0，x1＋x2＜0，x2－x1＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[－4,0]上是減函數(shù)．∴f(x)min＝f(0)＝3，f(x)max＝f(－4)＝9.利用單調(diào)性求最值的一般步驟(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性．(2)利用單調(diào)性寫出最值．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x,x＋1)，x∈[－3，－2]，求f(x)的最大值和最小值．[解析]法一：設(shè)x1，x2是區(qū)間[－3，－2]上的任意兩個實數(shù)，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(2x1,x1＋1)－eq\f(2x2,x2＋1)＝eq\f(2x1x2＋1－2x2x1＋1,x1＋1x2＋1)＝eq\f(2x1－x2,x1＋1x2＋1).由于－3≤x1＜x2≤－2，則x1－x2＜0，x1＋1＜0，x2＋1＜0.所以f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)．所以函數(shù)y＝eq\f(2x,x＋1)，x∈[－3，－2]是增函數(shù)．又因為f(－2)＝4，f(－3)＝3，所以函數(shù)的最大值是4，最小值是3.法二：f(x)＝eq\f(2x,x＋1)＝eq\f(2x＋1－2,x＋1)＝2＋eq\f(－2,x＋1)，所以f(x)圖象的對稱中心是(－1,2)，在(－∞，－1)，(－1，＋∞)是增函數(shù)，圖象如圖：由圖象可知f(x)在[－3，－2]的值域為[3,4]，最小值為f(－3)＝3，最大值為f(－2)＝4.探究三二次函數(shù)的最值問題[例3][教材P80例4拓展探究](1)已知二次函數(shù)f(x)＝x2－2x＋3.①當(dāng)x∈[－2,0]時，求f(x)的最值；②當(dāng)x∈[－2,3]時，求f(x)的最值；③當(dāng)x∈[t，t＋1]時，求f(x)的最小值g(t)．[解析]f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其對稱軸為x＝1，開口向上．①當(dāng)x∈[－2,0]時，f(x)在[－2,0]上是單調(diào)遞減的，故當(dāng)x＝－2時，f(x)有最大值f(－2)＝11；當(dāng)x＝0時，f(x)有最小值f(0)＝3.②當(dāng)x∈[－2,3]時，f(x)在[－2,3]上先遞減后遞增，故當(dāng)x＝1時，f(x)有最小值f(1)＝2.又|－2－1|＞|3－1|，所以f(x)的最大值為f(－2)＝11.③a.當(dāng)t＞1時，f(x)在[t，t＋1]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝t時，f(x)取得最小值，此時g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.b．當(dāng)t≤1≤t＋1，即0≤t≤1時，f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上先遞減后遞增，故當(dāng)x＝1時，f(x)取得最小值，此時g(t)＝f(1)＝2.c．當(dāng)t＋1＜1，即t＜0時，f(t)在[t，t＋1]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝t＋1時，f(x)取得最小值，此時g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，綜上得，g(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2－2t＋3，t＞1，,2，0≤t≤1，,t2＋2，t＜0.))(2)求f(x)＝x2－2ax－1在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值．[解析]f(x)＝(x－a)2－1－a2，對稱軸為x＝a.①當(dāng)a<0時，由圖可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.②當(dāng)0≤a＜1時，由圖可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.③當(dāng)1≤a≤2時，由圖可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.④當(dāng)a>2時，由圖可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵是考查對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進行分類討論．(2)二次函數(shù)的單調(diào)性問題則主要依據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸進行分類討論求解.探究四利用單調(diào)性比較大小、解不等式[例4](1)如果函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c，對任意實數(shù)x都有f(2＋x)＝f(2－x)．試比較f(1)，f(2)，f(4)的大?。甗解析]由題意知，f(x)的對稱軸為x＝2，故f(1)＝f(3)．∵f(x)＝x2＋bx＋c，∴f(x)在[2，＋∞)上為增函數(shù)．∴f(2)＜f(3)＜f(4)，即f(2)＜f(1)＜f(4)．(2)已知y＝f(x)在定義域(－1,1)上是減函數(shù)，且f(1－a)＜f(2a－1)，求a的取值范圍．[解析]由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＜1－a＜1，,－1＜2a－1＜1，))解得0＜a＜1.①又f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)，且f(1－a)＜f(2a－1)，∴1－a＞2a－1，即a＜eq\f(2,3).②由①②可知，0＜a＜eq\f(2,3)，即所求a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))).1．利用單調(diào)性比較大小的方法(1)利用函數(shù)單調(diào)性可以比較函數(shù)自變量(函數(shù)值)的大小，即已知f(x)在區(qū)間D上為增函數(shù)，則對x1，x2∈D，x1＜x2?f(x1)＜f(x2)．(2)利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，務(wù)必將自變量x的值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上才能進行比較，最后寫結(jié)果時再還原回去．2．利用函數(shù)單調(diào)性解不等式與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的結(jié)論(1)正向結(jié)論：若y＝f(x)在給定區(qū)間上是增函數(shù)，則當(dāng)x1＜x2時，f(x1)＜f(x2)；當(dāng)x1＞x2時，f(x1)＞f(x2)；(2)逆向結(jié)論：若y＝f(x)在給定區(qū)間上是增函數(shù)，則當(dāng)f(x1)＜f(x2)時，x1＜x2；當(dāng)f(x1)＞f(x2)時，x1＞x2.當(dāng)y＝f(x)在給定區(qū)間上是減函數(shù)時，也有相應(yīng)的結(jié)論．已知函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且f(x)<f(2x－3)，求x的取值范圍．解析：∵f(x)是定義在(0，＋∞)上的減函數(shù)，且f(x)<f(2x－3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,2x－3>0，,x>2x－3，))解得eq\f(3,2)<x<3.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第41頁一、抽象函數(shù)單調(diào)性及最值的求解抽象函數(shù)一般由方程(不等式)確定，這類函數(shù)的單調(diào)性問題一般用單調(diào)性的定義來處理，但要注意運用好所給條件，判斷出函數(shù)值之間的關(guān)系，常見思路是：先在所證區(qū)間上設(shè)出任意x1，x2(x1＜x2)，然后利用題設(shè)條件向已知區(qū)間上轉(zhuǎn)化，最后運用函數(shù)單調(diào)性的定義解決問題．注意：若給出的是和型[f(x＋y)＝…]抽象函數(shù)，判定符號時的變形為f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f[(x1－x2)＋x2]；若給出的是積型[f(xy)＝…]抽象函數(shù)，判定符號時的變形為f(x2)－f(x1)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1·\f(x2,x1)))－f(x1)．[典例]已知函數(shù)f(x)對任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當(dāng)x＞0時，f(x)＜0，f(1)＝－eq\f(2,3).(1)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值與最小值．[解析](1)證明：令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.又令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，則x2－x1＞0，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．∵x2－x1＞0，依題設(shè)x＞0時，有f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x2)＜f(x1)．∴y＝f(x)在R上是減函數(shù)．(2)∵[－3,3]?R，故f(x)max＝f(－3)，f(x)min＝f(3)．由(1)可知f(－3)＝－f(3)，又∵f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝f(1＋1)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3f(1)＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－2，∴f(－3)＝－f(3)＝2，∴f(x)max＝f(－3)＝2，f(x)min＝f(3)＝－2.二、忽視參數(shù)對最值的影響[典例]函數(shù)y＝ax＋1在區(qū)間[－1,3]上的最大值為4，求a的值．[解析]當(dāng)a＞0時，y＝ax＋1為增函數(shù)．∴當(dāng)x＝3時，∴ymax＝3a＋1＝4.∴a＝1.當(dāng)a＜0時，y＝ax＋1為減函數(shù)．∴當(dāng)x＝－1時，ymax＝－a＋1＝4.∴a＝－3.綜上，a＝1或a＝－3.糾錯心得忽視對a，即對函數(shù)單調(diào)性的討論，直接認(rèn)為y＝ax＋b為增函數(shù)，只有一個解，當(dāng)函數(shù)的單調(diào)性受參數(shù)影響時，要根據(jù)題意進行討論．3.2.2奇偶性內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義．?dāng)?shù)學(xué)抽象直觀想象邏輯推理2.學(xué)會運用函數(shù)的圖象理解函數(shù)性質(zhì)．3.會利用函數(shù)奇偶性解決一些問題.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第42頁[教材提煉]知識點函數(shù)奇偶性的定義eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思考問題)(1)函數(shù)f(x)＝x2的圖象有什么對稱性？(2)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)的圖象有什么對稱性？知識梳理(1)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)(evenfunction)．偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反之成立．(2)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(oddfunction)．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，反之成立．[自主檢測]1．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()A．y＝|x| B．y＝3－xC．y＝eq\f(1,x3) D．y＝－x2＋14答案：C2．若函數(shù)y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函數(shù)，則a的值為()A．－2 B．2C．0 D．不能確定答案：B3．若點(－1,3)在奇函數(shù)y＝f(x)的圖象上，則f(1)等于()A．0 B．－1C．3 D．－3答案：D4．已知f(x)是偶函數(shù)，且f(2)＝2，則f(2)＋f(－2)＝________.答案：4授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第42頁探究一函數(shù)奇偶性的判斷[例1]判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝x4＋2x2；(2)f(x)＝x3＋eq\f(1,x)；(3)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；(4)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3－3x2＋1x＞0，,x3＋3x2－1x＜0；))(5)f(x)＝eq\f(\r(1－x2),|x＋2|－2).[解析](1)∵f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，又f(－x)＝(－x)4＋2(－x)2＝x4＋2x2＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．(2)∵f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，它關(guān)于原點對稱，又f(－x)＝(－x)3＋eq\f(1,－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,x)))＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．(3)∵f(x)的定義域為{－1,1}，是兩個具體數(shù)，但它關(guān)于原點對稱，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．(4)函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱．①當(dāng)x＞0時，－x＜0，則f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)．②當(dāng)x＜0時，－x＞0，則f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)．由①②知，當(dāng)x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)時，都有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．(5)由題設(shè)得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,|x＋2|－2≠0，))∴函數(shù)f(x)定義域為[－1,0)∪(0,1]，關(guān)于原點對稱，且x＋2>0，∴|x＋2|＝x＋2，∴f(x)＝eq\f(\r(1－x2),|x＋2|－2)＝eq\f(\r(1－x2),x＋2－2)＝eq\f(\r(1－x2),x)，∴f(－x)＝eq\f(\r(1－－x2),－x)＝－eq\f(\r(1－x2),x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．函數(shù)奇偶性的判定方法(1)定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點對稱的對稱區(qū)域，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點對稱的對稱區(qū)域，再判斷f(－x)是否等于±f(x)，或判斷f(x)±f(－x)是否等于零，或判斷eq\f(fx,f－x)是否等于±1等．用定義判斷函數(shù)奇偶性的一般步驟：①求函數(shù)的定義域，并判斷定義域是否關(guān)于原點對稱．②用－x代x，驗證是否有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，若f(－x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；若f(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數(shù)；若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；若f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，則f(x)為非奇非偶函數(shù)．(2)圖象法：奇(偶)函數(shù)的等價條件是它的圖象關(guān)于原點(y軸)對稱．判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝eq\f(2x2＋2x,x＋1).解析：(1)函數(shù)的定義域為R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．(2)f(x)的定義域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．(3)函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不關(guān)于原點對稱，∴f(x)是非奇非偶函數(shù)．探究二已知函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式[例2][教材P86第11題拓展探究](1)已知y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2－2x，求f(x)在R上的解析式．[解析]設(shè)x<0，則－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x.又y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2＋2x(x<0)．∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,x2＋2x，x<0.))(2)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f(x)＝x(2－x)，求函數(shù)f(x)的解析式．[解析]∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.當(dāng)x＞0時，－x＜0，則f(－x)＝－x(2＋x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(x＋2)．故f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx＋2x＞0，,0x＝0，,x2－xx＜0.))(3)設(shè)函數(shù)y＝F(x)的定義域為[－m，m](m＞0)．試探究y＝F(x)可否寫為奇函數(shù)f(x)，與偶函數(shù)g(x)的和的形式，若能，求出f(x)與g(x)．[解析]設(shè)f(x)＋g(x)＝F(x)，①x∈[－m，m]．∴f(－x)＋g(－x)＝F(－x)．又∵f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，∴－f(x)＋g(x)＝F(－x)．②①＋②得，2g(x)＝F(x)＋F(－x)，∴g(x)＝eq\f(1,2)[F(x)＋F(－x)]．①－②得，2f(x)＝F(x)－F(－x)，∴f(x)＝eq\f(1,2)[F(x)－F(－x)]．故F(x)可寫為f(x)＋g(x)的形式．f(x)＝eq\f(1,2)[F(x)－F(－x)]，g(x)＝eq\f(1,2)[F(x)＋F(－x)]．利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的步驟(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè)；(2)轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入已知的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．探究三已知奇偶性求值或參數(shù)[例3](1)若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________.(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x≤0，,ax2＋bx，x＞0))為奇函數(shù)，則a＋b＝________.(3)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x≥0時，f(x)＝x2＋2x＋b，則f(－1)＝________.(4)已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于________．[解析](1)∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)＝f(－x)，即(x＋a)(x－4)＝(－x＋a)(－x－4)，整理得，2a＝8，∴a＝4.(2)由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2＝－f－2，,f1＝－f－1，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＝－2，,a＋b＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1.))當(dāng)a＝－1，b＝1時，經(jīng)檢驗知f(x)為奇函數(shù)，故a＋b＝0.(3)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝b＝0，∴f(x)＝x2＋2x(x≥0)，∴f(－1)＝－f(1)＝－(1＋2)＝－3.(4)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＋g1＝－f1＋g1＝2,f1＋g－1＝f1＋g1＝4))兩式相加得g(1)＝3.[答案](1)4(2)0(3)－3(4)3利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)值的方法(1)此類問題應(yīng)充分運用奇(偶)函數(shù)的定義，構(gòu)造函數(shù)，從而使問題得到快速解決．(2)在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，若解析式中僅含有x的奇次項，則函數(shù)為奇函數(shù)；若解析式中僅含有x的偶次項，則函數(shù)為偶函數(shù)，常利用此結(jié)論構(gòu)造函數(shù)．(3)利用奇偶性求參數(shù)值時，應(yīng)根據(jù)x∈R等式恒成立的特征求參數(shù)．1．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，則f(3)＝()A．26 B．18C．10 D．－26解析：法一：由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx.令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8，∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，∴G(x)是奇函數(shù)，∴G(－3)＝－G(3)，即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10，∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26.法二：由已知條件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－3＝－35＋a－33＋b－3－8，①,f3＝35＋a·33＋b·3－8，②))①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16，又f(－3)＝10，∴f(3)＝－26.答案：D2．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋b,1＋x2)是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(2,5)，求函數(shù)f(x)的解析式．解析：∵f(x)是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，即eq\f(b,1＋02)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝eq\f(ax,1＋x2).又∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\f(1,2)a,1＋\f(1,4))＝eq\f(2,5)a＝eq\f(2,5)，∴a＝1，∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝eq\f(x,1＋x2).授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第43頁一、單調(diào)性與奇偶性珠聯(lián)璧合的妙用(1)將函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合，可知：①奇函數(shù)在(－b，－a)和(a，b)上有相同的單調(diào)性．②偶函數(shù)在(－b，－a)和(a，b)上有相反的單調(diào)性．這里，區(qū)間(－b，－a)和(a，b)都在函數(shù)定義域內(nèi)．因此，若函數(shù)具有奇偶性，研究單調(diào)性或最值或作圖象等問題，只需在非負(fù)值范圍內(nèi)研究即可，在負(fù)值范圍內(nèi)由對稱性可得．(2)研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性必須在定義域上進行，如果沒有給出定義域，則需先求出．[典例]設(shè)定義在[－2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù)，若f(1－m)＜f(m)，求實數(shù)m的取值范圍．[解析]因為f(x)是奇函數(shù)且f(x)在[0,2]上是減函數(shù)，所以f(x)在[－2,2]上是減函數(shù)．所以不等式f(1－m)＜f(m)等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＞m，,－2≤m≤2，,－2≤1－m≤2，))解得－1≤m＜eq\f(1,2).二、由奇偶性的對稱特點拓展的圖象對稱性1．函數(shù)圖象的軸對稱f(x)在定義域內(nèi)恒滿足的條件y＝f(x)的圖象的對稱軸f(a＋x)＝f(a－x)直線x＝af(x)＝f(a－x)直線x＝eq\f(a,2)f(a＋x)＝f(b－x)直線x＝eq\f(a＋b,2)2.函數(shù)圖象的中心對稱y＝f(x)在定義域內(nèi)恒滿足的條件y＝f(x)的圖象的對稱中心f(a－x)＋f(a＋x)＝2b(a，b)f(x)＋f(a－x)＝beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)))f(a＋x)＋f(b－x)＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))