第頁(yè)，共頁(yè)陽(yáng)明中學(xué)2024-2025學(xué)年度下學(xué)期第一次段考高二數(shù)學(xué)試卷考試范圍：選必一第六、七章，選必二等比數(shù)列通項(xiàng)公式；考試時(shí)間：120分鐘；總分：150分第I卷（選擇題）一、單選題（每小題5分，共40分）1.已知隨機(jī)變量，且，則（）A.0.3 B.0.4 C.0.85 D.0.7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可．【詳解】由已知，，則，故選：D2.在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列的前和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)知的公差為的等差數(shù)列，根據(jù)條件得到，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知是公差為的等差數(shù)列，又，所以，解得，則，故選：D.3.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用與銷售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用/萬(wàn)元4235銷售額/萬(wàn)元49263954根據(jù)上表可得線性回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)測(cè)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額為（）A.9.1萬(wàn)元 B.9.2萬(wàn)元C.67.7萬(wàn)元 D.65.5萬(wàn)元【答案】D【解析】【分析】線性回歸方程一定過(guò)樣本中心，得到線性回歸方程，然后帶值求結(jié)果.【詳解】，，∵線性歸回方程經(jīng)過(guò)樣本中心，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，故選：D.4.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列片段和的性質(zhì)求解即得.【詳解】由等差數(shù)列的片段和性質(zhì)知，成等差數(shù)列，由，得該數(shù)列首項(xiàng)為4，公差為2，所以.故選：B5.已知隨機(jī)變量，則（）A.21 B.20 C.11 D.10【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)計(jì)算方差，再利用方差性質(zhì)即可得解.【詳解】由得，，所以.故選：D．6.設(shè)等差數(shù)列的公差為，共前項(xiàng)和為，已知，，則下列結(jié)論不正確的是（）.A.， B.與均為的最大值C. D.【答案】B【解析】【分析】由等差中項(xiàng)性質(zhì)與等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】依題意，因?yàn)?，，所以，所以CD正確；由，易得，所以，即，由，得，所以，所以A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，因此，與不可能同為的最大值.故選：B.7.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則等于（）A.211 B.210 C.11 D.9【答案】C【解析】【分析】設(shè)出等比數(shù)列公比，利用等式求得，根據(jù)等比中項(xiàng)，可得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，由，得，即，故.故選：C.8.袋中有10個(gè)大小相同的球，其中6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，記隨機(jī)變量為其中白球的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量為其中黑球的個(gè)數(shù)，若取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，隨機(jī)變量為取出4個(gè)球的總得分，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知，由，可得，然后根據(jù)超幾何分布的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知均服從超幾何分布，且，由，得，所以，因?yàn)?,,所以,故選：B二、多選題（每小題6分，共18分.部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)不給分）9.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中，，分別為隨機(jī)變量X的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布求，再根據(jù)期望和方差公式以及性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，，，故選：AB10.已知在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則（）A.的公比為2 B.的通項(xiàng)公式為C. D.數(shù)列為遞增數(shù)列【答案】AC【解析】【分析】應(yīng)用等比數(shù)列的基本量運(yùn)算求出公比及通項(xiàng)判斷A，B，C，再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算判斷單調(diào)性判斷D.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，，，所以，又，所以，即，所以，，A，C正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯(cuò)誤．故選：AC．11.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.使取最大值的n值有2個(gè)C.使得成立的n的最大值為23 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定的前n項(xiàng)和求出數(shù)列通項(xiàng)，再逐項(xiàng)分析、計(jì)算判斷得解.【詳解】對(duì)于A，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，A正確；對(duì)于B，，當(dāng)或時(shí)，且最大，B正確；對(duì)于C，由，得，解得，而，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，則，D正確.故選：ABD第II卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共15分）12.已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，則__________.【答案】【解析】【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)得到【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)得故答案為：13.某學(xué)校辦公室數(shù)學(xué)教師和英語(yǔ)教師的人數(shù)之比為5:3，其中數(shù)學(xué)教師中女教師占0.75，從中任選一位教師代表本辦公室參加會(huì)議，則女?dāng)?shù)學(xué)教師被選到的概率是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式求解即可.【詳解】設(shè)表示選到的教師是數(shù)學(xué)教師，用表示選到的是女教師，則，，而設(shè)女?dāng)?shù)學(xué)教師被選到的概率是，由條件概率公式得．故答案為：.14.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，設(shè)函數(shù)，則______．【答案】##【解析】【分析】先根據(jù)題干遞推式求得，然后根據(jù)作差即可求得，再結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得，最后利用倒序相加法求和即可.【詳解】，①當(dāng)時(shí)，，②①-②得；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)仍然成立，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式也成立，故．由于，設(shè)，則，．故答案為：四、解答題（5小題，共77分）15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為（1）求的最小值及對(duì)應(yīng)的的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）最小值為，當(dāng)或時(shí)；（2）.【解析】【分析】（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）利用即可求出通項(xiàng)公式.小問(wèn)1詳解】，∴當(dāng)或8時(shí)最小，最小值為．【小問(wèn)2詳解】，∴當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．∵也適合，．16.小李和小張關(guān)注到習(xí)近平總書記今年4月在重慶考察時(shí)強(qiáng)調(diào)：“奮力打造新時(shí)代西部大開發(fā)重要戰(zhàn)略支點(diǎn)、內(nèi)陸開放綜合樞紐”，于是決定大學(xué)畢業(yè)后回家鄉(xiāng)重慶創(chuàng)業(yè)．他們投入5萬(wàn)元（包括購(gòu)買設(shè)備、房租、生活費(fèi)等）建立了一個(gè)直播間，幫助山區(qū)人民售賣農(nóng)產(chǎn)品．在直播間里，他們利用所學(xué)知識(shí)談天說(shuō)地，跟粉絲互動(dòng)，集聚了一定的人氣，試播一段時(shí)間之后，正式帶貨．他們統(tǒng)計(jì)了第一周的帶貨數(shù)據(jù)如下：第x天1234567銷售額y（萬(wàn)元）1.41.62.22.433.95.1（1）求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（2）用最小二乘法求出關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01，并用精確后的的值計(jì)算的值），并預(yù)測(cè)第8天的銷售額（預(yù)測(cè)結(jié)果精確到0.01）．附：①相關(guān)系數(shù)；②回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，；③，，．【答案】（1）0.96（2），萬(wàn)元【解析】【分析】（1）由題意，求出，，代入公式計(jì)算即可得到求樣本的相關(guān)系數(shù)；（2）由題意，求出所以，，進(jìn)而求得，得到回歸方程，再代入計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由題意，得，，所以，所以樣本的相關(guān)系數(shù)約為0.96．小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以，又，，所以，所以回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測(cè)第8天的銷售額為萬(wàn)元．17.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列．（2）若數(shù)列滿足，且，求的通項(xiàng)公式．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，將條件轉(zhuǎn)化為的方程，解方程求，結(jié)合求和公式求，再根據(jù)等差數(shù)列定義證明結(jié)論；（2）由（1）利用累加法求的通項(xiàng)公式.【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，又，，解得，，所以，，所以．因?yàn)?，所以，所以?shù)列是等差數(shù)列．【小問(wèn)2詳解】，又，所以，又當(dāng)時(shí)，，則．又也滿足上式，所以的通項(xiàng)公式為．18.某工廠的生產(chǎn)線上的產(chǎn)品按質(zhì)量分為：一等品，二等品，三等品.質(zhì)檢員每次從生產(chǎn)線上任取2件產(chǎn)品進(jìn)行抽檢，若抽檢出現(xiàn)三等品或2件都是二等品，則需要調(diào)整設(shè)備，否則不需要調(diào)整.已知該工廠某一條生產(chǎn)線上生產(chǎn)的產(chǎn)品每件為一等品，二等品，三等品的概率分別為0.9，0.05和0.05，且各件產(chǎn)品的質(zhì)量情況互不影響.（1）求在一次抽檢后，設(shè)備不需要調(diào)整的概率；（2）若質(zhì)檢員一天抽檢3次，以表示一天中需要調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，.【解析】【分析】（1）應(yīng)用全概率公式計(jì)算求解即可；（2）先根據(jù)對(duì)立事件求概率，再結(jié)合二項(xiàng)分布分別求出概率及分布列進(jìn)而得出數(shù)學(xué)期望即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)表示事件“在一次抽檢中抽到的第件產(chǎn)品為一等品”，，表示事件“在一次抽檢中抽到的第件產(chǎn)品為二等品”，，表示事件“一次抽檢后，設(shè)備不需要調(diào)整”，則由已知，所求的概率為.【小問(wèn)2詳解】依題意有：隨機(jī)變量的可能取值為，由（1）知一次抽檢后，設(shè)備需要調(diào)整的概率為，依題意知，則，故的分布列為：01230.7290.2430.0270.001所以：.19.設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，是的前項(xiàng)和，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求中的最大值和最小值；（3）求的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）最大值為1，最小值為，（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算