iv第二章Schwartz不等式在實(shí)數(shù)域中的推廣與應(yīng)用為了其它定理研究的需要,首先介紹兩個(gè)非常重要的不等式:算術(shù)-幾何平均值不等式和楊格（Young）不等式.文章中出現(xiàn)的各種不等式及它們的推論可以通過這兩個(gè)不等式證明得到.引理1[1]（算術(shù)-幾何平均值不等式）對(duì)任意個(gè)正數(shù),有,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)全部相等時(shí)成立.證明:首先,對(duì)于由二項(xiàng)式定理,得由數(shù)學(xué)歸納法,若時(shí)為真,對(duì)于,假設(shè)又設(shè)故有及即.引理2[2]（Young不等式）設(shè),,則,必有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.證明:利用微分法證明.時(shí),結(jié)論顯然成立;當(dāng)時(shí),此時(shí)我們只要考慮到函數(shù),,顯然,當(dāng)時(shí),,在上嚴(yán)格單調(diào)減少;當(dāng)時(shí),,在上嚴(yán)格單調(diào)增加;于是僅在取得最小值,從而不等式成立,即在此不等式中取,并注意,即可導(dǎo)出不等式,（）當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.2.1在實(shí)數(shù)域中的Schwartz不等式定理1[3-5]設(shè),則有Schwartz不等式(1)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.證法一:利用判別式法設(shè),對(duì)任給的,則有由于,所以上述不等式的判別式不大于零,即易知(1)式成立.證法二:利用算術(shù)-幾何平均不等式令,由算術(shù)-幾何平均不等式,即,,取有限和,即有.2.2在實(shí)數(shù)域中的Schwartz不等式的推廣Schwartz不等式在實(shí)數(shù)域中有廣泛的應(yīng)用與推廣,由Schwartz不等式直接推導(dǎo)得出了許多著名不等式,如本節(jié)將要提到的Minkowski不等式和H?lder不等式.定理2[6,7]（Minkowski不等式）設(shè)任意個(gè)實(shí)數(shù),有Schwartz不等式在實(shí)數(shù)域（2）證明:由(1)式,易知（2）式成立.擴(kuò)充Schwartz不等式中的冪指數(shù),則有H?lder不等式.定理3[11,12]（H?lder不等式）對(duì),有不等式,（3）其中且.證明:利用引理2,,其中為非負(fù)數(shù),且,.記,則即取有限項(xiàng)和即可得.2.3在實(shí)數(shù)域中的Schwartz不等式的應(yīng)用學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以來一直有許多難題,不等式證明就是其中一個(gè).不等式種類繁多,如三角不等式、絕對(duì)值不等式、數(shù)列不等式、積分不等式、矩陣不等式、概論不等式,不等式的證明是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)的同時(shí),也是研究的熱點(diǎn),證明不等式有許多方法,并不是非要按照某種固定的方法解題,證明方法多種多樣,考驗(yàn)解題人的技巧.證明不等式的技巧有比較法、分析法、放縮法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等.Schwartz不等式在證明不等式中起著重要的作用,各大數(shù)學(xué)競(jìng)賽都十分常見.Schwartz不等式在估計(jì)函數(shù)最值,證明不等式,解方程組,確定三角形的形狀等方面也有著廣泛的應(yīng)用.下面通過例題來說明在實(shí)數(shù)域中Schwartz不等式的應(yīng)用.設(shè)滿足,求的最值.解:由Schwartz不等式有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即等號(hào)成立,故,所以的最大值為,最小值為.已知正數(shù)滿足,求證:證明:由條件,左邊即左邊.①下面只需證明,即需證.而②知原不等式成立.

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)①處等號(hào)成立;當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)②處等號(hào)成立;知時(shí)原不等式等號(hào)成立.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解方程組解:由Schwartz不等式知所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,并將其與聯(lián)立解方程組可得:設(shè)分別為三角形三邊,其對(duì)應(yīng)的高分別為,為三角形外切圓半徑,且滿足,試確定三角形的形狀.解:設(shè)三角形的面積為,則,故等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立,因此,此三角形為等邊三角形.第三章Schwartz不等式在微積分學(xué)中的推廣與應(yīng)用3.1連續(xù)函數(shù)的Schwartz不等式定理4[14]（Cauchy-Schwartz不等式）設(shè)在上可積,則有（4）當(dāng)或成比例時(shí),等號(hào)成立.證法一:因?yàn)樵谏峡煞e,則由定積分的性質(zhì)知,,在上均可積,對(duì)區(qū)間進(jìn)行等分,分點(diǎn)為,,由定積分的定義,有,,,由(1)式得,再由極限的保號(hào)性知（4）式成立,若對(duì),或與成比例時(shí),顯然等號(hào)成立,但其逆不真.例如,除有限點(diǎn)外有,則有,故式等號(hào)成立,但與不成比例.證法二:用構(gòu)造輔助函數(shù),再利用函數(shù)的單調(diào)性證明設(shè),,則有,又因?yàn)?,所以,從而是上的單調(diào)遞增的函數(shù),且故,即,則有.證畢.3.2連續(xù)函數(shù)的Schwartz不等式的推廣定理5[15]設(shè),在上可積,則有Minkowski不等式（5）證明:由（4）式知,即,因?yàn)椴坏仁絻蛇叾即笥诹?且不等式右邊被積函數(shù)大于零,所以.將（4）,（5）式指數(shù)加以推廣,則可得到下列不等式.定理6[16]設(shè),在上可積,且,,則有H?lder不等式（6）其中,.證明:由引理2（Young不等式）得,兩邊在區(qū)間取定積分,有=故得.定理7[24]設(shè),在上可積,且,,則有（7）3.3Schwartz不等式在多元函數(shù)上的推廣及應(yīng)用定理8[25]設(shè)二元函數(shù),在平面區(qū)域內(nèi)可積,則有下列不等式成立（8）該不等式稱為二重積分型的Schwartz不等式.證明由于,是任意實(shí)數(shù),即,上式左端為二次三項(xiàng)式,且,故當(dāng)為任意實(shí)數(shù)是應(yīng)有判別式,由此即可得.下面給出（8）式得幾種變形不等式.推論1[26]設(shè)二元函數(shù),是在平面區(qū)域內(nèi)非負(fù)可積函數(shù),則有（a）證明:由于,在內(nèi)可積,代入（8）即可得（a）式.推論2設(shè)二元函數(shù)是在平面區(qū)域內(nèi)非負(fù)可積函數(shù),且在區(qū)域上可積函數(shù),,是實(shí)數(shù),則有（b）證明:由于與在區(qū)域內(nèi)可積,代入（8）即可得公式（b）.推論3設(shè)二元函數(shù)是在平面區(qū)域內(nèi)可積函數(shù),且在區(qū)域上可積函數(shù),,是實(shí)數(shù),則有（c）證明:由于與在區(qū)域內(nèi)可積,代入（8）即可得公式（c）.例1設(shè)是區(qū)域內(nèi)非負(fù)可積函數(shù),且,其中是區(qū)域面積,則有.證明:由于,則有,又因?yàn)?,則在公式（c）中令,則有,即,即有成立.3.4連續(xù)型Schwartz不等式的應(yīng)用連續(xù)型Schwartz不等式在證明積分不等式中有很重要的作用,下面給出幾個(gè)Schwartz不等式在積分不等式證明中的應(yīng)用.例1試證.證明:由和Schwartz不等式即得:例2設(shè)在上可微且連續(xù),,證明.證明:由得,所以,再對(duì)不等式兩邊從到積分,得,上式右端交換積分次序,得,將積分中換成,即為

第四章Schwartz不等式在n維歐式空間中的推廣與應(yīng)用4.1n維歐式空間中的Schwartz不等式在維歐式Schwartz不等式空間中,設(shè),為維向量定義1[33]與的內(nèi)積為.定義2的長(zhǎng)度或范數(shù)為.定理9設(shè)維向量,,則有（9）當(dāng)且僅當(dāng)與線性相關(guān)時(shí)等號(hào)成立.（9）式就是Schwartz不等式在維歐式空間的表現(xiàn)形式,它表明兩個(gè)向量的內(nèi)積永遠(yuǎn)小于兩個(gè)向量長(zhǎng)度的乘積.證明:若,則,等號(hào)成立.若,則令,則有,且=故有當(dāng)與線性相關(guān)時(shí),,,等號(hào)成立,反之,當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí),或,即與線性相關(guān).4.2n維歐式空間中的Schwartz不等式的推廣（9）式又可改寫為行列式形式,即由此我們可以將Schwartz不等式推廣到維歐式空間中的個(gè)向量組,得到下面的定理.定理10[31]設(shè)是維歐式空間中的任意個(gè)向量組,則行列式（10）當(dāng)且僅當(dāng)向量組線性相關(guān)時(shí)等號(hào)成立.證明:設(shè)線性相關(guān),則存在一組不全為0的常數(shù)使因?yàn)?,所以是以為未知量的齊次線性方程組有非零解,故系數(shù)行列式,若線性無關(guān),則由可得到正交向量組,且,其中顯然,所以可逆,于是向量組與向量組等價(jià),所以,它們生成相同的子空間,即又是一組正交基,所以對(duì)任給,可設(shè),,,由坐標(biāo)變換公式,,則,其中,,由于的任意性,知,所以.4.3n維歐式空間中的Schwartz不等式的應(yīng)用例1證明對(duì)任意實(shí)數(shù),有證明:取,則有,,,則由公式（9）,,即.例2設(shè),求函數(shù)的最小值.解:構(gòu)造向量,,可得,,由（9）式,得即故在條件下的最小值為.例3已知為三維空間中的一點(diǎn),平面,求點(diǎn)到平面的距離.解：設(shè)為平面上的任意一點(diǎn),則.又因?yàn)橛蒘chwartz不等式有所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,即時(shí)成立.又由距離的定義可知點(diǎn)到平面的距離為.

第五章Schwartz不等式在概率空間中的推廣與應(yīng)用5.1概率空間中的Schwartz不等式定理11[30]設(shè)為任意隨機(jī)變量,若存在,則也存在,且有（11）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng),存在常數(shù),使得.證明:對(duì)任意實(shí)數(shù)定義二次函數(shù),因?yàn)閷?duì)實(shí)數(shù),,從而判別式非正,即,即等號(hào)成立的充分必要條件為方程有一重根,使,又由從而有,在由方差的性質(zhì)知,即.注(1):若為二維離散型隨機(jī)變量,的聯(lián)合概率密度為,.則的邊緣分布密度分別為,,,,,由（10）式即可化為即為(1)式.注（2）:設(shè)隨機(jī)變量X在上服從均勻分布,則其概率密度函數(shù)為與為上的連續(xù)函數(shù),則由（10）則有即為（4）式.5.2概率空間中的Schwartz不等式的應(yīng)用例1對(duì)于相關(guān)系數(shù)成立,并且當(dāng)且僅當(dāng);而當(dāng)且僅當(dāng).證明:對(duì)隨機(jī)變量應(yīng)用柯西施瓦茲不等式有即,故,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)存在使得,其中是方程當(dāng)時(shí)的解.顯然,時(shí),,即時(shí),,即以上表明,當(dāng)時(shí),存在完全線性關(guān)系,這時(shí)如果給定一個(gè)隨機(jī)變量的值,另一個(gè)隨機(jī)變量的值便完全決定.例2證明存在極小值.證明:因?yàn)榍蠖A偏導(dǎo)得,,因?yàn)橛蒘chwartz不等式得所以又,故存在極小值.第六章總結(jié)Schwartz不等式是一個(gè)非常經(jīng)典的不等式,被廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域,其內(nèi)涵十分豐富.本文主要?dú)w納總結(jié)了Schwartz不等式在實(shí)數(shù)域、微積分學(xué)、n維歐式空間和概率空間中的證明方法,列舉了一些簡(jiǎn)單應(yīng)用,并有適當(dāng)?shù)耐茝V.本文在平面區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)將連續(xù)型Schwartz不等式進(jìn)行推廣,得到了二重積分型Schwartz不等式,以及各種不同的二重積分型不等式的變形不等式.一般利用二重積分性質(zhì),二元函數(shù)在平面區(qū)域上的最值來估計(jì)二重積分值,但通過二重積分型不等式的推廣來估計(jì)二重積分值更精確,說明推廣的二重積分型Schwartz不等式更加實(shí)用,應(yīng)用起來更加方便.由于自身知識(shí)的局限性,對(duì)上面問題的研究還不夠充分,還有許多需要繼續(xù)討論的問題.比如Schwartz不等式在空間區(qū)域上三重積分型不等式的推廣,平面曲線、空間曲線上的曲線積分型不等式,空間曲面上的曲面積分型不等式;如何在添加約束條件下來改進(jìn)Schwartz不等式,在應(yīng)用方面對(duì)不等式證明的方法、不等式的求解策略、從不等式性質(zhì)的運(yùn)用、Schwartz不等式證明不等式的運(yùn)用、以及含參數(shù)不等式中參數(shù)的討論,要從客觀的層面上全面進(jìn)行研究;討論Schwartz不等式在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面應(yīng)用;研究不等式在最小二乘法和線性回歸方程的應(yīng)用,提高預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性和科學(xué)性.不等式在數(shù)學(xué)這門學(xué)科中占據(jù)著重要的部分,也發(fā)揮著重要的作用.如今現(xiàn)代數(shù)學(xué)是一門龐大的體系,研究積分方程、微分方程都需要用到不等式.如今一切學(xué)科都在互相融合,數(shù)學(xué)也不例外.許多其它的學(xué)科如金融學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等都有內(nèi)容與不等式相關(guān).不等式是我們理解世界的數(shù)學(xué)工具,從人們不斷研究Schwartz不等式,發(fā)現(xiàn)新的證明方法,在不同領(lǐng)域進(jìn)行新的推廣來看,Schwartz不等式開闊了我們的視野,發(fā)散了我們的思維,使人類文明日益進(jìn)步.

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