計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第十一章【高考專題突破(六)】——過“三關(guān)”破解概率與統(tǒng)計問題概率與統(tǒng)計應(yīng)用性問題是歷年高考命題的主要題型之一，解答這類問題的關(guān)鍵是能閱讀、理解陳述的材料，深刻理解題意，學(xué)會文字語言向數(shù)學(xué)的符號語言的轉(zhuǎn)化，能結(jié)合所學(xué)知識解決問題．解答應(yīng)用問題要過“三關(guān)”：一是事理關(guān)，即讀懂題意，需要一定的閱讀理解能力；二是文理關(guān)，即把文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號語言；三是數(shù)理關(guān)，即構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建之后還需要扎實的基礎(chǔ)知識和較強(qiáng)的數(shù)理能力．除以上過“三關(guān)”外，對于概率與統(tǒng)計應(yīng)用問題還應(yīng)再過“三關(guān)”，即文字關(guān)、圖表關(guān)、計算關(guān)．(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；(2)求樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由．(3)由(2)知各樣區(qū)的這種野生動物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)性，由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物的數(shù)量差異很大，采用分層隨機(jī)抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)得以執(zhí)行，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計．【解題技巧】1．此類問題文字?jǐn)⑹鲚^長，解答問題應(yīng)過文字關(guān)，其技巧是：(1)快速了解“無關(guān)信息”；(2)仔細(xì)閱讀題中重要信息，把握信息所給內(nèi)容(如本例數(shù)字、字母等)；(3)明確題目所求內(nèi)容．2．提煉題干信息(1)利用野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)野生動物平均數(shù)乘以地塊數(shù)，代入數(shù)據(jù)即可．(2)利用相關(guān)系數(shù)公式計算即可．(3)各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應(yīng)采用分層隨機(jī)抽樣．【變式探究】1．(2020年廣西月考)若養(yǎng)殖場每個月生豬的死亡率不超過1%，則該養(yǎng)殖場考核為合格．該養(yǎng)殖場在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養(yǎng)殖量/千只3456791012月利潤/十萬元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數(shù)/只293749537798126145類型二過“圖表關(guān)”——會轉(zhuǎn)換信息，思解題方法【例2】

(2021年北京模擬)某調(diào)研機(jī)構(gòu)就該市工薪階層對“樓市限購令”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，抽調(diào)了5000名市民，他們月收入人數(shù)分布表和對“樓市限購令”贊成人數(shù)如表：月收入/百元[30,50)[50,70)[70,90)[90，110)[110，130)[130，150)調(diào)查人數(shù)500100015001000500500贊成人數(shù)40080012004149987(1)若從抽調(diào)的5000名市民中隨機(jī)選取一名市民，求該市民贊成“樓市限購令”的概率；(2)依據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，若從該市工薪階層隨機(jī)選取兩人進(jìn)行調(diào)查，記贊成“樓市限購令”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)若從抽調(diào)的收入在[30,50)(百元)的市民中隨機(jī)抽取兩名，記贊成“樓市限購令”的人數(shù)為X1，期望記作E(X1)；若從抽調(diào)的收入在[50,90)(百元)的市民中隨機(jī)抽取兩名，記贊成“樓市限購令”的人數(shù)為X2，期望記作E(X2)，比較E(X1)與E(X2)的大小關(guān)系(直接寫出結(jié)論即可)．【解題技巧】處理表格數(shù)據(jù)的關(guān)鍵是搞清表格中各行、各列數(shù)的意義，解決問題的關(guān)鍵是把頻率視為概率，用樣本估計總體．【變式探究】2．(2021年?？谀M)2020年10月，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時代學(xué)校體育工作的意見》，某地積極開展中小學(xué)健康促進(jìn)行動，決定在2021年體育中考中再增加一定的分?jǐn)?shù)，規(guī)定：考生須參加游泳、長跑、一分鐘跳繩三項測試，其中一分鐘跳繩滿分20分，某校在初三上學(xué)期開始要掌握全年級學(xué)生一分鐘跳繩情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測試，得到如圖所示頻率分布直方圖，且規(guī)定計分規(guī)則如表：每分鐘跳繩個數(shù)[155,165)[165,175)[175,185)[185，＋∞)得分17181920(1)現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中任意選取2人，求2人得分之和不大于35分的概率；(2)根據(jù)往年經(jīng)驗，該校初三年級學(xué)生經(jīng)過一年的訓(xùn)練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進(jìn)步，整體成績差異略有變化．假設(shè)今年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學(xué)期開始時個數(shù)增加10個，方差為169，且該校初三年級所有學(xué)生正式測試時每分鐘的跳繩個數(shù)X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，用樣本數(shù)據(jù)的期望和方差估計總體的期望和方差(各組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點值代替)．(i)若在全年級所有學(xué)生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳195個以上的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望；(ii)判斷該校初三年級所有學(xué)生正式測試時的滿分率是否能達(dá)到85%，說明理由．附：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9973.類型三過“計算關(guān)”——明算理，精計算，防失分【例3】

(2020年濱州三模)近年來，我國大力發(fā)展新能源汽車工業(yè)，新能源汽車(含電動汽車)銷量已躍居全球首位．某電動汽車廠新開發(fā)了一款電動汽車，并對該電動汽車的電池使用情況進(jìn)行了測試，其中剩余電量y與行駛時間x(單位：小時)的測試數(shù)據(jù)如表：x12345678910y2.7721.921.361.121.090.740.680.530.45根據(jù)電池放電的特點，剩余電量y與行駛時間x之間滿足經(jīng)驗關(guān)系式：y＝aebx，通過散點圖可以發(fā)現(xiàn)y與x之間具有相關(guān)性，設(shè)ω＝lny.(1)利用表格中的前8組數(shù)據(jù)求相關(guān)系數(shù)r，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為x與ω之間具有線性相關(guān)關(guān)系(當(dāng)相關(guān)系數(shù)r滿足|r|＞0.789時，則認(rèn)為有99%的把握認(rèn)為兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系)；(2)利用x與ω的相關(guān)性及表格中前8組數(shù)據(jù)求出y與x之間的回歸方程(結(jié)果保留兩位小數(shù))；(3)如果剩余電量不足0.8，電池就需要充電．從表格中的10組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選出8組，設(shè)X表示需要充電的數(shù)據(jù)組數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解題技巧】1．提煉題干信息(1)求出相關(guān)系數(shù)，然后判斷是否有99%的把握認(rèn)為兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系．(2)對y＝aebx兩邊取對數(shù)，轉(zhuǎn)化為求回歸直線方程的形式．(3)求出X的所有可能取值，分別求出它們的概率，得到分布列，最后求解數(shù)學(xué)期望．2．解決此類題型的注意點(1)利用最小二乘法求線性回歸方程時，應(yīng)注意避免計算出錯．(2)計算隨機(jī)變量的概率，往往涉及排列組合計算，容易出錯，應(yīng)特別細(xì)心．【變式探究】3．(2020年佛山質(zhì)檢)為了解某校學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的情況，采用按