2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章復(fù)數(shù)7.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算（教學(xué)用書）教學(xué)實(shí)錄新人教A版必修第二冊(cè)主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容本章節(jié)為“2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章復(fù)數(shù)7.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算”。主要內(nèi)容包括復(fù)數(shù)乘法、除法的概念、法則、性質(zhì)以及應(yīng)用。通過學(xué)習(xí)本節(jié)課，學(xué)生能夠掌握復(fù)數(shù)乘法、除法的計(jì)算方法，能夠進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，并能夠應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決一些實(shí)際問題。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。通過復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠抽象出復(fù)數(shù)運(yùn)算的規(guī)律，發(fā)展邏輯推理能力；通過實(shí)際問題中的應(yīng)用，學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)建模能力；同時(shí)，通過系統(tǒng)的計(jì)算訓(xùn)練，學(xué)生能夠提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的準(zhǔn)確性和效率。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：

學(xué)生在進(jìn)入本節(jié)課之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)的運(yùn)算、二次根式的基本概念和運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的概念。他們能夠進(jìn)行實(shí)數(shù)的加減乘除運(yùn)算，理解二次根式的性質(zhì)，并初步接觸了復(fù)數(shù)的概念，包括復(fù)數(shù)的表示方法和實(shí)部虛部的概念。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科普遍保持一定的興趣，尤其是對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算規(guī)則。他們的學(xué)習(xí)能力因人而異，部分學(xué)生可能具有較強(qiáng)的邏輯思維和抽象思維能力，能夠較快地理解復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的規(guī)律。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，有的學(xué)生偏好通過直觀圖形理解概念，有的則更傾向于通過公式和邏輯推導(dǎo)來掌握知識(shí)。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算時(shí)，學(xué)生可能會(huì)遇到以下困難和挑戰(zhàn)：一是對(duì)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的符號(hào)規(guī)則感到混淆，尤其是在處理虛數(shù)單位i的冪次運(yùn)算時(shí)；二是難以將復(fù)數(shù)運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算進(jìn)行有效區(qū)分，容易在計(jì)算過程中出錯(cuò)；三是對(duì)于復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用不夠熟悉，難以將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問題。此外，部分學(xué)生可能對(duì)復(fù)數(shù)的幾何意義理解不足，影響對(duì)復(fù)數(shù)運(yùn)算的理解和應(yīng)用。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有本節(jié)課所需的新人教A版必修第二冊(cè)《數(shù)學(xué)》教材。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的圖表、動(dòng)畫視頻，以幫助學(xué)生直觀理解復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的規(guī)則和性質(zhì)。

3.教學(xué)工具：準(zhǔn)備計(jì)算器，以便學(xué)生進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算練習(xí)。

4.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，方便學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)和交流；同時(shí)，準(zhǔn)備白板或投影儀，以便展示教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的解題過程。教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課

1.老師站在講臺(tái)前，微笑著向?qū)W生問好：“同學(xué)們，上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念，那么今天我們來繼續(xù)探究復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算?！?/p>

2.老師在黑板上寫下“復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算”幾個(gè)字，引導(dǎo)學(xué)生回顧上節(jié)課的內(nèi)容：“大家還記得復(fù)數(shù)是如何表示的嗎？它是如何與實(shí)數(shù)運(yùn)算聯(lián)系起來的呢？”

3.學(xué)生們紛紛舉手回答：“復(fù)數(shù)是由實(shí)部和虛部組成的，實(shí)部與虛部之間用加號(hào)連接，虛部前面有一個(gè)虛數(shù)單位i。”

4.老師點(diǎn)頭稱贊：“很好，同學(xué)們記得很清楚。那么，今天我們就來學(xué)習(xí)如何進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算?！?/p>

二、新課講授

1.復(fù)數(shù)乘法

a.老師在黑板上列出復(fù)數(shù)乘法的公式：“(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。”

b.老師引導(dǎo)學(xué)生觀察公式，提問：“大家看看這個(gè)公式，它與實(shí)數(shù)乘法有什么不同？”

c.學(xué)生回答：“實(shí)數(shù)乘法只關(guān)注實(shí)數(shù)部分，而復(fù)數(shù)乘法要考慮實(shí)部和虛部。”

d.老師繼續(xù)提問：“那么，我們?nèi)绾卫眠@個(gè)公式進(jìn)行復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算呢？”

e.老師示范進(jìn)行復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算：“比如，計(jì)算(2+i)(3+4i)?！?/p>

f.學(xué)生跟隨老師一起計(jì)算，并總結(jié)出復(fù)數(shù)乘法的步驟。

2.復(fù)數(shù)除法

a.老師在黑板上列出復(fù)數(shù)除法的公式：“(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)+(bc-ad)i)/(c^2+d^2)。”

b.老師引導(dǎo)學(xué)生觀察公式，提問：“大家看看這個(gè)公式，它與實(shí)數(shù)除法有什么不同？”

c.學(xué)生回答：“實(shí)數(shù)除法只關(guān)注實(shí)數(shù)部分，而復(fù)數(shù)除法要考慮實(shí)部和虛部?！?/p>

d.老師繼續(xù)提問：“那么，我們?nèi)绾卫眠@個(gè)公式進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算呢？”

e.老師示范進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算：“比如，計(jì)算(2+i)/(3+4i)?！?/p>

f.學(xué)生跟隨老師一起計(jì)算，并總結(jié)出復(fù)數(shù)除法的步驟。

3.課堂練習(xí)

a.老師在黑板上給出幾道復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的練習(xí)題，讓學(xué)生獨(dú)立完成。

b.學(xué)生完成練習(xí)后，老師逐一檢查學(xué)生的答案，并進(jìn)行講解。

4.小組討論

a.老師將學(xué)生分成若干小組，每組討論一個(gè)與復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算相關(guān)的問題。

b.學(xué)生在小組內(nèi)交流討論，分享自己的解題思路。

c.每組選派一名代表向全班同學(xué)匯報(bào)討論成果。

三、課堂小結(jié)

1.老師在黑板上總結(jié)本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容：“今天我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，包括乘法和除法的公式、步驟以及注意事項(xiàng)?！?/p>

2.老師提問：“大家覺得復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算有什么特點(diǎn)？”

a.學(xué)生回答：“復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算要考慮實(shí)部和虛部，運(yùn)算過程較為復(fù)雜?！?/p>

b.老師補(bǔ)充：“是的，復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算確實(shí)比較復(fù)雜，但只要掌握了方法和技巧，就可以輕松應(yīng)對(duì)。”

3.老師強(qiáng)調(diào)：“希望大家在課后認(rèn)真復(fù)習(xí)，多做練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)?！?/p>

四、布置作業(yè)

1.老師在黑板上布置幾道與復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算相關(guān)的作業(yè)題，要求學(xué)生在課后完成。

2.老師提醒：“作業(yè)題要獨(dú)立完成，遇到困難可以請(qǐng)教同學(xué)或老師?！?/p>

3.學(xué)生認(rèn)真記錄作業(yè)內(nèi)容，準(zhǔn)備課后完成。

五、課后反思

1.老師在課后進(jìn)行自我反思，總結(jié)本節(jié)課的教學(xué)效果。

2.老師思考如何改進(jìn)教學(xué)方法，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和效果。

3.老師記錄下學(xué)生的反饋意見，為今后的教學(xué)提供參考。拓展與延伸一、提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料

1.**復(fù)數(shù)的幾何意義**：推薦閱讀《復(fù)數(shù)在幾何中的應(yīng)用》一文，探討復(fù)數(shù)在平面幾何中的應(yīng)用，如通過復(fù)數(shù)表示點(diǎn)在復(fù)平面上的位置，以及利用復(fù)數(shù)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、縮放等幾何變換。

2.**復(fù)數(shù)的物理應(yīng)用**：《復(fù)數(shù)在物理科學(xué)中的應(yīng)用》介紹了復(fù)數(shù)在波動(dòng)理論、電磁學(xué)等領(lǐng)域的重要性，如波動(dòng)方程的解可以用復(fù)數(shù)表示，有助于簡(jiǎn)化物理問題的分析和計(jì)算。

3.**復(fù)數(shù)的代數(shù)性質(zhì)**：《復(fù)數(shù)代數(shù)性質(zhì)探討》一文深入分析了復(fù)數(shù)的代數(shù)性質(zhì)，包括復(fù)數(shù)的乘法、除法、冪運(yùn)算等，有助于學(xué)生更全面地理解復(fù)數(shù)的代數(shù)特性。

4.**復(fù)數(shù)與極坐標(biāo)的關(guān)系**：《復(fù)數(shù)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換與應(yīng)用》詳細(xì)講解了復(fù)數(shù)與極坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，以及如何在復(fù)數(shù)和極坐標(biāo)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，這對(duì)于理解復(fù)數(shù)在工程和物理中的應(yīng)用非常有幫助。

二、鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究

1.**探究復(fù)數(shù)的性質(zhì)**：引導(dǎo)學(xué)生思考復(fù)數(shù)的性質(zhì)，如復(fù)數(shù)的平方、立方、四次冪等，以及這些性質(zhì)在復(fù)數(shù)運(yùn)算中的應(yīng)用。

2.**復(fù)數(shù)在方程中的應(yīng)用**：讓學(xué)生嘗試解決一些涉及復(fù)數(shù)的方程問題，如解復(fù)系數(shù)的二次方程，探討復(fù)數(shù)根的性質(zhì)。

3.**復(fù)數(shù)在三角函數(shù)中的應(yīng)用**：鼓勵(lì)學(xué)生探究復(fù)數(shù)在三角函數(shù)中的應(yīng)用，如復(fù)數(shù)表示的三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱性。

4.**復(fù)數(shù)在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的應(yīng)用**：介紹復(fù)數(shù)在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的角色，如復(fù)數(shù)用于生成圖形的旋轉(zhuǎn)、縮放和映射。

5.**復(fù)數(shù)在量子力學(xué)中的應(yīng)用**：簡(jiǎn)要介紹復(fù)數(shù)在量子力學(xué)中的基本概念和方程，如薛定諤方程，激發(fā)學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)在科學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用的興趣。典型例題講解例題1：計(jì)算復(fù)數(shù)乘法(3+2i)(4-5i)。

解答：根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的公式，我們有：

(3+2i)(4-5i)=(3*4-2*5)+(3*(-5)+2*4)i

=(12-10)+(-15+8)i

=2-7i。

例題2：計(jì)算復(fù)數(shù)除法(5+12i)/(2+3i)。

解答：首先，我們需要將分母實(shí)部化，即乘以共軛復(fù)數(shù)：

(5+12i)/(2+3i)=(5+12i)(2-3i)/(2+3i)(2-3i)

=(10-15i+24i-36i^2)/(4-9i^2)

=(10+9i+36)/(4+9)

=(46+9i)/13

=46/13+9/13i。

例題3：求復(fù)數(shù)方程z^2-5z+6=0的解。

解答：這是一個(gè)二次方程，我們可以通過因式分解來解它：

z^2-5z+6=(z-2)(z-3)=0

因此，z=2或z=3。

例題4：求復(fù)數(shù)方程2z^2+3z+1=0的解。

解答：同樣地，我們使用求根公式來解這個(gè)二次方程：

z=[-b±sqrt(b^2-4ac)]/(2a)

這里，a=2,b=3,c=1，所以：

z=[-3±sqrt(3^2-4*2*1)]/(2*2)

z=[-3±sqrt(9-8)]/4

z=[-3±sqrt(1)]/4

z=[-3±1]/4

所以，z=(-3+1)/4=-1/2或z=(-3-1)/4=-1。

例題5：計(jì)算復(fù)數(shù)冪(2+i)^5。

解答：我們可以通過二項(xiàng)式定理來計(jì)算這個(gè)冪，或者直接使用乘法來逐步計(jì)算：

(2+i)^2=4+4i+i^2=4+4i-1=3+4i

(2+i)^3=(3+4i)(2+i)=6+12i+4i+4i^2=6+16i-4=2+16i

(2+i)^4=(2+16i)(2+i)=4+32i+16i+16i^2=4+48i-16=-12+48i

(2+i)^5=(-12+48i)(2+i)=-24-12i+96i+48i^2=-24+84i-48=-72+84i。作業(yè)布置與反饋?zhàn)鳂I(yè)布置：

1.完成教材中“復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算”部分的所有練習(xí)題，確保理解并能夠獨(dú)立完成。

2.選擇以下題目進(jìn)行深入練習(xí)：

a.計(jì)算以下復(fù)數(shù)的乘法：(3+4i)(2-3i)和(5+2i)(-1+i)。

b.計(jì)算以下復(fù)數(shù)的除法：(4+3i)/(2-i)和(7-5i)/(1+2i)。

c.解以下復(fù)數(shù)方程：z^2-4z+5=0和z^2+2z-3=0。

3.嘗試將復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算應(yīng)用于解決實(shí)際問題，如計(jì)算電路中的復(fù)數(shù)電流和電壓。

4.回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的性質(zhì)，嘗試證明至少一個(gè)性質(zhì)。

作業(yè)反饋：

1.作業(yè)批改：在學(xué)生提交作業(yè)后的第二天，進(jìn)行作業(yè)批改。確保每份作業(yè)都得到及時(shí)的反饋。

2.個(gè)體反饋：對(duì)于每份作業(yè)，給出詳細(xì)的評(píng)分和反饋。對(duì)于每個(gè)學(xué)生的作業(yè)，指出他們?cè)趶?fù)數(shù)乘除運(yùn)算中的強(qiáng)項(xiàng)和需要改進(jìn)的地方。

3.共性問題：總結(jié)作業(yè)