專題十七解直角三角形（講義）——中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考合集考情分析命題點(diǎn)命題形式命題熱度命題特點(diǎn)銳角三角函數(shù)1.三角函數(shù)值的確定☆☆本專題從銳角三角函數(shù)的定義命題，多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，解答題要求學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的核心素養(yǎng)2.特殊角的三角函數(shù)值☆解直角三角形3.解直角三角形☆☆☆解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用4.俯角仰角問(wèn)題☆☆☆5.坡度坡角問(wèn)題☆☆6.方向角問(wèn)題☆☆7.實(shí)物模型☆☆講解一：銳角三角函數(shù)一、正弦、余弦、正切名稱定義符號(hào)語(yǔ)言圖示正弦在中，，的對(duì)邊與斜邊的比叫做的正弦，記作，即.在中，，余弦在中，，的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦，記作，即.在中，，正切在中，，的對(duì)邊與鄰邊的比叫做的正切，記作，即.在中，，【注意】正弦、余弦、正切都是一個(gè)比，是兩條線段長(zhǎng)度的比，它們只與銳角的大小有關(guān)，而與三角形的大小無(wú)關(guān).銳角三角函數(shù)：的正弦、余弦、正切都是的銳角三角函數(shù). 【重點(diǎn)】（1）由于直角三角形的斜邊大于直角邊，且各邊的邊長(zhǎng)均為正數(shù)，所以銳角三角函數(shù)值都是正實(shí)數(shù)，且，，.（2），和都是以銳角為自變量的函數(shù)，一旦的度數(shù)確定，它們的值就唯一確定，即銳角三角函數(shù)值隨角度的變化而變化.（3）當(dāng)銳角用一個(gè)大寫(xiě)字母或一個(gè)小寫(xiě)希臘字母表示時(shí)，習(xí)慣上省略角的符號(hào)“”，如，，，，，等；當(dāng)銳角用三個(gè)大寫(xiě)字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字表示時(shí)，角的符號(hào)“”不能省略，如不能寫(xiě)成，不能寫(xiě)成等.二、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（1）同一銳角的三角函數(shù)之間的關(guān)系：.（2）互余兩角的三角函數(shù)之間的關(guān)系：任意一個(gè)銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，即或.（3）任意銳角的正切值與它的余角的正切值互為倒數(shù)，即.三、特殊角的三角函數(shù)值1.銳角三角函數(shù)的定義和直角三角形的有關(guān)性質(zhì)，可得到角的三角函數(shù)值.列表如下：1【說(shuō)明】要熟記特殊角的三角函數(shù)值.已知特殊角的度數(shù)，可求出相應(yīng)的三角函數(shù)值；反之，已知一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，也可求出這個(gè)角的度數(shù).【注意】銳角三角函數(shù)值隨角度變化的規(guī)律：當(dāng)角度在之間變化時(shí)，正弦值、正切值隨著角度的增大而增大，余弦值隨著角度的增大而減小.2.角的三角函數(shù)值的記憶方法（1）圖形記憶法：如圖所示，由三角函數(shù)的定義可得角的三角函數(shù)值.（2）口訣記憶法：1,2,3；3,2,1,；3,9,27；弦比2，切比3，分子根號(hào)別忘添.（3）特殊值記憶法：①角的正弦值依次為；②角的余弦值依次為；③（為銳角）的值隨角的增大而增大，角的正切值依次為命題精練命題形式1三角函數(shù)值的確定1.（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上兩點(diǎn)，且，連接與相交于點(diǎn)，連接．若，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A解析：∵矩形，，，，∴，，∴，，∴，∴過(guò)點(diǎn)作，則：，∴，∴，∴，，∴，∴，∴；故選A．2．（2024·云南·中考真題）在中，，已知，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C解析：如圖：在中，，，，，故選：C．3.（2024·四川雅安·中考真題）如圖，把矩形紙片沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，與交于點(diǎn)F，若，，則的值是.【答案】解析：∵折疊，，∵四邊形是矩形，，，，，，在中，，，解得，，故答案為：．4.（2024·江西·中考真題）將圖所示的七巧板，拼成圖所示的四邊形，連接，則．【答案】/解析：如圖，設(shè)等腰直角的直角邊為，則，小正方形的邊長(zhǎng)為，∴，∴，∴，∴，如圖，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，，由圖（）可得，，，∴，，∴，∴，故答案為：．5.（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，在菱形中，，是的中點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C解析：延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)E作延長(zhǎng)線的垂線，垂足為點(diǎn)H，∵四邊形是菱形，∴，，∴，設(shè)，∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．命題形式2特殊角的三角函數(shù)值1．（2024·天津·中考真題）的值等于（）A． B． C． D．【答案】A解析：.【題型分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵；根據(jù)代入即可求解.2.（2023·浙江杭州·中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)．若，則（）A． B． C． D．【答案】D解析：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，故D正確．故選：D．3.（2024·江蘇南通·中考真題）若菱形的周長(zhǎng)為，且有一個(gè)內(nèi)角為，則該菱形的高為．【答案】解析：如圖，菱形的周長(zhǎng)為，∴，過(guò)作于，而，∴，故答案為：4.（2024·廣西·中考真題）如圖，兩張寬度均為的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為，則重合部分構(gòu)成的四邊形的周長(zhǎng)為．【答案】解析：過(guò)點(diǎn)作于，于，則，∵兩張紙條的對(duì)邊平行，∴，，∴四邊形是平行四邊形，又∵兩張紙條的寬度相等，∴，∵，∴，∴四邊形是菱形，在中，，，∴，∴四邊形的周長(zhǎng)為，故答案為：．講解二：解直角三角形一、解直角三角形的概念及直角三角形中的邊角關(guān)系1.解直角三角形：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形.【注意】在沒(méi)有特殊說(shuō)明的情況下，“解直角三角形”不包括求周長(zhǎng)和面積.2.直角三角形中的邊角關(guān)系如圖所示，在中，，所對(duì)的邊分別為，那么除直角外的五個(gè)元素之間有如下關(guān)系.（1）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理）.（2）兩銳角之間的關(guān)系：.（3）邊角之間的關(guān)系：，，.【注意】（1）在直角三角形中，除直角外的五個(gè)元素中，已知其中的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊），可求出其余的未知元素（知二求三）.（2）在解直角三角形時(shí)，一般是先畫(huà)出一個(gè)直角三角形，按題意表明哪些元素使已知的，哪些元素是未知的，然后確定銳角，再確定它的對(duì)邊和鄰邊.二、解直角三角形的基本類型及解法圖形已知條件解法兩邊兩直角邊由，求斜邊、一直角邊（如）由，求一邊和一銳角一直角邊和一銳角一銳角與鄰邊（如）；一銳角與對(duì)邊（如）；一銳角與斜邊（如）；【解題通法】（一）已知兩邊解直角三角形的方法（1）已知斜邊和一直角邊：通常先根據(jù)勾股定理求出另一條直角邊，然后利用已知直角邊與斜邊的比得到一個(gè)銳角的正弦（或余弦）值，求出這個(gè)銳角，再利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余求出另一個(gè)銳角.（2）已知兩直角邊：通常先根據(jù)勾股定理求出斜邊，然后利用兩條直角邊的比得到其中一個(gè)銳角的正切值，求出該銳角，再利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余求出另一個(gè)銳角.（二）已知一銳角和一邊解直角三角形的方法（1）已知一銳角和一直角邊：通常先利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余求出另一個(gè)銳角，再利用已知角的正切求出另一條直角邊.當(dāng)已知直角邊是已知銳角的對(duì)邊時(shí)，利用這個(gè)角的正弦求斜邊；當(dāng)已知直角邊是已知銳角的鄰邊時(shí)，利用這個(gè)角的余弦求斜邊（求出兩條邊后，也可利用勾股定理求第三條邊）.（2）已知一銳角和斜邊：通常先利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余求出另一個(gè)銳角，再利用已知角的正弦和余弦求出兩條直角邊.（三）構(gòu)造直角三角形解斜三角形問(wèn)題的方法先通過(guò)作垂線（高），將斜三角形分割（或補(bǔ)）成兩個(gè)直角三角形，然后利用解直角三角形求邊或角.在作垂線時(shí)，要充分利用已知條件，一般在等腰三角形中作底邊上的高，或過(guò)特殊角的一邊上的點(diǎn)作這個(gè)角的另一邊的垂線，從而構(gòu)造含特殊角的直角三角形，利用解直角三角形的相關(guān)知識(shí)求解.三、非直角三角形的解法類別圖示輔助線解題思路三邊過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D設(shè)，則，在和中，根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)，即可解直角三角形兩角及一角的對(duì)邊過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D先由三角形的內(nèi)角和定理求，在和中，設(shè)，用含x的代數(shù)式表示出BD，再由，求出CD的長(zhǎng)，即可解直角三角形兩邊及夾角過(guò)點(diǎn)B作交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D在中，解直角三角形求出AD，BD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CD的長(zhǎng)，在中，即可解直角三角形兩角及夾邊過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D先由三角形的內(nèi)角和求出，在中，解直角三角形求出CD，BD的長(zhǎng)，在中，即可解直角三角形【提示】非直角三角形的解題思路是選取適當(dāng)?shù)姆椒ㄗ鞔咕€，構(gòu)造直角三角形，使特殊角（15°，30°，45°，60°，75°，90°，120°，135°，150°）、特殊線段（含，等）盡量多地包含在所作的直角三角形中，再利用特殊角的三角函數(shù)值求解即可.命題精練命題形式3解直角三角形1．（2024·海南·中考真題）如圖，在中，，以點(diǎn)D為圓心作弧，交于點(diǎn)M、N，分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F，作直線交于點(diǎn)E，若，則四邊形的周長(zhǎng)是（）A．22 B．21 C．20 D．18【答案】A解析：∵，，∴，由作圖知，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，作于點(diǎn)，則，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴四邊形的周長(zhǎng)是，故選：A．2．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，菱形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，垂足為，交于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】C【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了解三角形，菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半．先由菱形性質(zhì)可得對(duì)角線與交于點(diǎn)O，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得，進(jìn)而由菱形對(duì)角線求出邊長(zhǎng)，由解三角形即可求出，．解析：連接，如圖，∵菱形中，與互相垂直平分，又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴A、O、C三點(diǎn)在同一直線上，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴∴，∴，∴，∴，故選：C．3.（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在中，，，則的長(zhǎng)是（）A．3 B．6 C．8 D．9【答案】B解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D．∵，∴．在中，，∴，∴，∴．故選B．4.（2024·浙江·中考真題）如圖，在中，，是邊上的中線，．(1)求的長(zhǎng)；(2)求的值．【答案】(1)14(2)解析：（1）在中，，∴，在中，，∴，∴；（2）∵是邊上的中線，∴，∴，∴，∴．5.（2024·北京·中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，于點(diǎn)，于點(diǎn)．若，，則的面積為.【答案】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正方形的性質(zhì)，得，，得到，結(jié)合，得到,，，求得的長(zhǎng)，解答即可.本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，熟練掌握解直角三角形的相關(guān)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.解析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，得，，∴，∵，∴,，，∴，∴，∴，∴的面積為；故答案為：．講解三：利用解直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題1.利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟（1）將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫(huà)出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題）；（2）根據(jù)問(wèn)題中的條件，選用合適的銳角三角函數(shù)解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案；（4）得到實(shí)際問(wèn)題的答案.【注意】（1）當(dāng)實(shí)際問(wèn)題中涉及的圖形可以直接轉(zhuǎn)化為直角三角形時(shí)，可利用解直角三角形的知識(shí)直接求解.（2）數(shù)學(xué)問(wèn)題的解符合實(shí)際意義才可以成為實(shí)際問(wèn)題的解.【重點(diǎn)】在實(shí)際問(wèn)題中，常見(jiàn)的基本圖形及相應(yīng)的關(guān)系式圖形關(guān)系式圖形關(guān)系式2.解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用中涉及的有關(guān)概念（1）仰角、俯角名稱定義圖示仰角在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的是仰角.俯角在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的是俯角.（2）坡角、坡度名稱定義表示方法關(guān)系舉例坡角坡面與水平面的夾角叫做坡角一般用字母表示坡度等于坡角的正切值，即；坡度越大，則坡角越大，山坡就越陡當(dāng)時(shí)，坡度，坡角為坡度坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡面的坡度（或坡比）通常用表示，即（3）方向角名稱定義舉例方向角指北或指南的方向線與目標(biāo)線所成的小于的角叫做方向角.如右圖所示，目標(biāo)方向線的方向角分別可以表示為北偏東、南偏東、北偏西，其中南偏東習(xí)慣上又叫做東南方向，北偏西習(xí)慣上又叫做西北方向.命題精練命題形式4俯角仰角問(wèn)題1.（2024·西藏·中考真題）在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，次仁和格桑自主設(shè)計(jì)了“測(cè)量家附近的一座小山高度”的探究作業(yè)．如圖，次仁在A處測(cè)得山頂C的仰角為；格桑在B處測(cè)得山頂C的仰角為．已知兩人所處位置的水平距離米，A處距地面的垂直高度米，B處距地面的垂直高度米，點(diǎn)M，F(xiàn)，N在同一條直線上，求小山的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】米解析：根據(jù)題意可得：，，∴四邊形和四邊形為矩形，∴米，米，，，∴（米），設(shè)，則米，∵，，∴，∵，，∴，∴，，∵米，∴，解得：，∴米．命題形式5坡度坡角問(wèn)題1．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹(shù)，當(dāng)太陽(yáng)光與水平面的夾角為時(shí)，大樹(shù)在斜坡上的影子長(zhǎng)為10米，則大樹(shù)的高為米．【答案】/解析：如圖，過(guò)點(diǎn)作水平地面的平行線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，在中，，設(shè)米，米，，，米，米，，（米），（米），答：大樹(shù)的高度為米．故答案為：．2．（2023·湖北·中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長(zhǎng)度為20米，，求斜坡的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】斜坡的長(zhǎng)約為10米解析：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，在中，，．∴．∵，∴在中，（米）．答：斜坡的長(zhǎng)約為10米．【點(diǎn)睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．命題形式6方向角問(wèn)題1．（2024·四川·中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔100海里的處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔的南偏東方向上的處．這時(shí)，處距離處有多遠(yuǎn)？（參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】處距離處有140海里．解析：過(guò)作于，在中，，海里，（海里），（海里），在中，，（海里），（海里），答：處距離處有140海里．2．（2024·重慶·中考真題）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時(shí)從港出發(fā)，分別向，兩港運(yùn)送物資，最后到達(dá)港正東方向的港裝運(yùn)新的物資．甲貨輪沿港的東南方向航行海里后到達(dá)港，再沿北偏東方向航行一定距離到達(dá)港．乙貨輪沿港的北偏東方向航行一定距離到達(dá)港，再沿南偏東方向航行一定距離到達(dá)港．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求，兩港之間的距離（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；(2)若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（停靠、兩港的時(shí)間相同），哪艘貨輪先到達(dá)港？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．【答案】(1)