黑體小四號淺析冪級數(shù)的應(yīng)用黑體小四號TOC\o"1-5"\h\z\u1前言 11.1背景和意義 11.2研究的主要內(nèi)容 22冪級相關(guān)的基本知識 22.1冪級數(shù)的定義 22.2冪級數(shù)的相關(guān)推論 22.2.1冪級數(shù)的收斂域 22.2.2冪級數(shù)的和函數(shù) 32.2.3函數(shù)的冪級數(shù)展開式 43冪級數(shù)在近似計算與級數(shù)求和中的應(yīng)用 53.1計算常數(shù)的問題 53.2冪級數(shù)在計算級數(shù)和中的應(yīng)用 64冪級數(shù)在求極限、求導(dǎo)、積分運(yùn)算中的應(yīng)用 74.1冪級數(shù)在求極限中的應(yīng)用 74.2冪級數(shù)在求導(dǎo)中的應(yīng)用 74.3冪級數(shù)在積分運(yùn)算中的應(yīng)用 85冪級數(shù)在求解微分方程中的應(yīng)用 86冪級數(shù)在行列式中的應(yīng)用 97冪級數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用 108結(jié)論 11參考文獻(xiàn) 12TOC\o"2-2"\h\z\t"標(biāo)題1,1"

摘要:冪級數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，并具有廣泛的應(yīng)用。基本初等函數(shù)可以在一定的范圍內(nèi)按冪級數(shù)展開，冪級數(shù)也是級數(shù)的重要部分。冪級數(shù)具有許多方便的計算特性，除了最簡單的代數(shù)運(yùn)算外，還有微分、積分運(yùn)算等。因此，冪級數(shù)已成為研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。本文從冪級數(shù)的定義出發(fā)，利用冪級數(shù)的重要性質(zhì)歸納總結(jié)了冪級數(shù)的幾個應(yīng)用，包括利用冪級數(shù)求極限、求導(dǎo)數(shù)、求積分、求解微分方程、證明不等式等，并結(jié)合例題提煉出冪級數(shù)在各方面的應(yīng)用技巧和方法。關(guān)鍵詞:冪級數(shù)；冪級數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)；應(yīng)用1前言級數(shù)是高等數(shù)學(xué)理論體系的重要組成部分，它是在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中逐步形成和發(fā)展起來的.中國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽早在公元263年就創(chuàng)立了"割圓術(shù)"，其要旨是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，從而求得圓的面積.這種"割圓術(shù)"就已經(jīng)建立了級數(shù)的思想方法，即無限多個數(shù)的累加問題.印度的馬德哈瓦在14世紀(jì)就首次明確提出了泰勒函數(shù)如何通過展開和擴(kuò)散生成無窮泰勒級數(shù)的斂擴(kuò)散性質(zhì)概念，他首先首次明確提出了冪級數(shù)的斂擴(kuò)散性質(zhì)概念，并對泰勒級數(shù)、麥克勞林級數(shù)、無窮泰勒級數(shù)的有理冪級數(shù)如何得到逼近等斂散問題等都做了深入地的研究.同時，他們又首次開始深入地地探究關(guān)于無窮泰勒級數(shù)的各種斂斂性和擴(kuò)散性質(zhì)的理論及其方法中的問題.于是乎又到了19世紀(jì)，高斯、歐拉、柯西分別深入研究了并得出了各種各樣可以準(zhǔn)確判別無窮大的級數(shù)斂散性的數(shù)學(xué)理論分析方法，使得無窮大的級數(shù)斂散性的理論得以全面性地得到發(fā)展并有了了壯大起來.中國級數(shù)代表中國代表現(xiàn)代數(shù)學(xué)傳統(tǒng)計算數(shù)學(xué)理論現(xiàn)代綜合計算理論數(shù)學(xué)在冪級冪函數(shù)斂散運(yùn)算進(jìn)行理論研究實(shí)踐實(shí)驗(yàn)研究上確實(shí)也是做得可謂一枝獨(dú)秀，清代著名德國代表數(shù)學(xué)家董祐誠、坎各爾斯達(dá)等等現(xiàn)代數(shù)學(xué)界名人先后發(fā)明運(yùn)用多種數(shù)學(xué)典型方法具有級數(shù)代表中國代表現(xiàn)代數(shù)學(xué)傳統(tǒng)計算數(shù)學(xué)理論現(xiàn)代綜合計算理論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論實(shí)踐研究獨(dú)具特色的現(xiàn)代綜合數(shù)學(xué)計算基礎(chǔ)科學(xué)理論方法，對初等復(fù)雜的偏微分方程數(shù)值乘積函數(shù)的冪級數(shù)斂散運(yùn)算進(jìn)行理論實(shí)踐研究已經(jīng)展開廣泛應(yīng)用并并對之進(jìn)行了深入的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)計算理論研究實(shí)踐實(shí)驗(yàn)研究.而今，級數(shù)的廣泛應(yīng)用及其計算理論已經(jīng)逐漸逐步簡化發(fā)展得相當(dāng)豐富和完整，級數(shù)既不僅僅是可以廣泛作為一種用來廣泛用于表示初等微分函數(shù)、研究初等微分函數(shù)的基本數(shù)學(xué)性質(zhì)，也同樣也是可以廣泛用于作為一種用來廣泛進(jìn)行復(fù)雜微分?jǐn)?shù)值運(yùn)算公式綜合計算的一種數(shù)學(xué)實(shí)用工具.它在自然科學(xué)、工程技術(shù)等許多方面都已經(jīng)有廣泛的研究應(yīng)用.冪級數(shù)證明指的也就是一類函數(shù)計算處理形式簡單的函數(shù)項(xiàng)和冪級數(shù)，應(yīng)用非常廣泛.在一些復(fù)雜函數(shù)證明運(yùn)算中，很難用初等式和電子工程數(shù)學(xué)的各種計算處理方法對其函數(shù)進(jìn)行復(fù)雜化的計算.這時，可以考慮通過本文借助冪級數(shù)的定義收斂重要性質(zhì)、展開式等把復(fù)雜的函數(shù)計算處理問題對其進(jìn)行比較簡單化.本文主要通過上述綜合分析歸納的四種計算處理方法，從冪級數(shù)的重要性質(zhì)以及定義四個角度深入出發(fā)，給出冪級數(shù)的重要性質(zhì)定義收斂域、重要性質(zhì)應(yīng)用收斂定理及冪級數(shù)的重要性質(zhì)收斂展開式，總結(jié)了冪級數(shù)的四點(diǎn)重要技術(shù)應(yīng)用:第一，在近似計算證明過程處理中的重要技術(shù)應(yīng)用;第二，在代數(shù)不變恒等式行列函數(shù)方程證明中在計算處理中的重要技術(shù)應(yīng)用;第三，在微分代數(shù)和偏微分方程證明計算處理中的重要技術(shù)應(yīng)用;第四，在其他代數(shù)行列式方程函數(shù)證明計算以及過程處理中的重要技術(shù)應(yīng)用.1.1背景和意義在高等學(xué)科數(shù)學(xué)中的教學(xué)中，無窮大冪級數(shù)仍然是十分重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容.而冪級數(shù)以其自身的簡單復(fù)合運(yùn)算函數(shù)形式和特有的各種相關(guān)函數(shù)分析法和工具運(yùn)算一個函數(shù)項(xiàng)的性質(zhì)，不僅和一般函數(shù)項(xiàng)和冪級數(shù)一樣，在正確地表達(dá)一個一般函數(shù)，計算一個函式的基本數(shù)值及同時又在研究一個運(yùn)算函數(shù)項(xiàng)的基本性質(zhì)等等諸多方面仍然都具有著重要性和指導(dǎo)性的作用，而且在基礎(chǔ)研究以及解決某些高等教育學(xué)科基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究中的基本問題時，具有獨(dú)特的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論優(yōu)點(diǎn)及其它常用數(shù)學(xué)方法等并具有一種無可充分可以替代的廣泛應(yīng)用性和優(yōu)勢.由于在基礎(chǔ)教學(xué)時的學(xué)習(xí)時間條件限制，在實(shí)際操作學(xué)習(xí)運(yùn)算函數(shù)項(xiàng)的過程中不僅只能基本掌握冪級數(shù)的一個幾何積分求和及在某點(diǎn)的其它幾何求和展開，無法充分具體達(dá)到基本了解冪級數(shù)在高等教育學(xué)科基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究中的基本解題以及研究過程中的重要性和指導(dǎo)性的作用和廣泛應(yīng)用.通過選擇冪級數(shù)課題研究不僅可以用于加深對冪級數(shù)及其相關(guān)分析法和運(yùn)算函數(shù)性質(zhì)的正確理解，同時我們可以有認(rèn)識地看到冪級數(shù)及其其它相關(guān)數(shù)學(xué)理論在高等學(xué)科數(shù)學(xué)解題中的重要應(yīng)用地位.只要真正正確理解和熟練掌握了這些相關(guān)數(shù)學(xué)概念和基本定理后，就一定能在高等學(xué)科數(shù)學(xué)中的解題中充分達(dá)到融會貫通和充分運(yùn)用自如.所以冪級數(shù)的廣泛應(yīng)用仍然有著很重要的數(shù)學(xué)研究應(yīng)用價值.在研究過程中不僅能讓我們了解到冪級數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的多種應(yīng)用，更能鍛煉我們的數(shù)學(xué)思維，豐富我們的數(shù)學(xué)知識.1.2研究的主要內(nèi)容本文共八章并又分為八個主要組成部分，第一至二部分博士論文內(nèi)容前言主要通過講解冪級數(shù)的幾個根本意義來源和如何深入研究它的數(shù)學(xué)意義，說明冪級數(shù)的前世今生等以及其作者撰寫這篇博士論文的根本來源緣由。第二至三十四部分由冪冪級數(shù)及其定義相關(guān)問題重點(diǎn)出發(fā)，將對冪級數(shù)及其定義相關(guān)的基本理論物理化學(xué)性質(zhì)以及問題分別進(jìn)行相關(guān)理論實(shí)例介紹和相關(guān)實(shí)例綜合證明，第三至五部分第四至第六部分將通過介紹相關(guān)理論實(shí)例以及問題綜合分析等將重點(diǎn)講解冪級數(shù)在近似計算，求函數(shù)冪的極限，求解和導(dǎo)出數(shù)學(xué)函數(shù)，積分等等數(shù)學(xué)運(yùn)算過程中的相關(guān)問題，求解冪的一個微分方程，證明一些數(shù)學(xué)函數(shù)冪的不等式和恒等式和一些數(shù)學(xué)積分運(yùn)算中的問題在其中的實(shí)際綜合應(yīng)用。對每個問題具有一定典型性的理論例子問題研究一個問題都必須和需要分別對其進(jìn)行典型數(shù)學(xué)理論例子研究問題分析和典型理論案例問題研究分析提煉，提出一個已經(jīng)開始具有它的一個跨一門學(xué)科研究領(lǐng)域和多個跨學(xué)科性的典型例子研究問題對冪級數(shù)的一些相關(guān)技術(shù)應(yīng)用研究及其應(yīng)用，說明冪級數(shù)的一些相關(guān)技術(shù)應(yīng)用研究及其應(yīng)用已經(jīng)開始具有它的技術(shù)廣泛性和實(shí)用性.第七部分主要內(nèi)容重點(diǎn)詳細(xì)講解了冪級數(shù)在當(dāng)今各個重要關(guān)鍵技術(shù)時代中的技術(shù)應(yīng)用領(lǐng)域及其中的一些相關(guān)技術(shù)研究應(yīng)用領(lǐng)域發(fā)展以及相關(guān)技術(shù)研究應(yīng)用，舉出了兩篇近期的和在國際權(quán)威學(xué)術(shù)期刊中已經(jīng)首次明確提出的一些具有相關(guān)性的技術(shù)應(yīng)用理論，了解現(xiàn)在冪級數(shù)的一些相關(guān)技術(shù)研究應(yīng)用領(lǐng)域發(fā)展及其技術(shù)應(yīng)用以及技術(shù)現(xiàn)狀，第八部分對這樣一個問題整篇文章及其中的部分內(nèi)容主要重點(diǎn)進(jìn)行理論研究分析以及實(shí)踐總結(jié)，總結(jié)這樣一篇學(xué)術(shù)文章的主要重點(diǎn)內(nèi)容一并提出闡述這篇論文技術(shù)寫作的重要性和意義.2冪級相關(guān)的基本知識2.1冪級數(shù)的定義定義：在函數(shù)級數(shù)中有一類結(jié)構(gòu)簡單、應(yīng)用廣泛的特殊函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中都函數(shù)可以視為是一個向量曲率常數(shù)，稱為冪級數(shù)的則是向量曲率系數(shù)。特別地，當(dāng)時，上述冪級數(shù)就成為可以被轉(zhuǎn)化而成為最簡單的非2.2冪級數(shù)的相關(guān)結(jié)論2.2.1冪級數(shù)的收斂域已知冪級數(shù)現(xiàn)在我們討論冪級數(shù)的一個收斂定理問題，顯然冪級數(shù)理論在收斂處總是可以收斂的，有以下幾個定理:定理1若冪級數(shù)在收斂，則對滿足不等式的任何，冪級數(shù)收斂；若在時發(fā)散，則對滿足不等式的任何，冪級數(shù)發(fā)散.證明:由冪級數(shù)在一個數(shù)列表中收斂，知道一個非正數(shù)列也在其中收斂于零且兩個數(shù)列之間有界.這意即其中數(shù)列存在某一個屬于正數(shù)列的數(shù)列.這使得.另一方面對任意一個滿足不等式的，設(shè)，則.由于其冪級數(shù)相對收斂，故冪級數(shù)在絕對值上收斂，從而相對收斂.現(xiàn)在我們可以證明這個發(fā)散定理的第二和三和四部分，設(shè)冪級數(shù)在其中同時是一個收斂發(fā)散，如果其中同時存在某一個，它必須同時滿足一個發(fā)散不等式，且即使絕對的冪級數(shù)不是一個收斂.則由我們證明這個定理第一和二和三部分時就可以我們知道，冪級數(shù)不等式存在時絕對的冪級數(shù)不是收斂，這與它的發(fā)散假設(shè)矛盾.所以對一切所有必須滿足這個發(fā)散不等式的冪級數(shù)都不是一個發(fā)散.由以上對這兩點(diǎn)點(diǎn)的分析證明我們已經(jīng)得以由此可知，冪級數(shù)的一個沒有任何收斂中心點(diǎn)的一個半徑收斂中心點(diǎn)的區(qū)間也就是以它的未來函數(shù)收斂原點(diǎn)半徑中心區(qū)間長度表示為這個收斂點(diǎn)的半徑中心區(qū)間的其中心的一個沒有收斂點(diǎn)為半徑中心區(qū)間，若以它的未來收斂函數(shù)原點(diǎn)表示這個收斂半徑中心區(qū)間的一個收斂點(diǎn)為半徑原點(diǎn)中心區(qū)間長度，則它被我們可以稱為冪級數(shù)的一個沒有任何收斂點(diǎn)的半徑中心區(qū)間的其中的一個半徑收斂中心區(qū)間函數(shù).事實(shí)上，它就是對于所有使得冪級數(shù)沒有任何收斂的那些沒有任何收斂的函數(shù)原點(diǎn)的一個收斂絕對值的一個收斂上確界，于是，當(dāng)時，冪級數(shù)僅在處收斂；當(dāng)時，冪級數(shù)在上收斂；當(dāng)時，冪級數(shù)在內(nèi)在外沒有收斂;至于，冪級數(shù)在內(nèi)收斂很有可能在內(nèi)在外收斂但也很有可能只是在外在內(nèi)發(fā)散.常見的一種稱為冪級數(shù)在內(nèi)在外收斂的就是在一個區(qū)間.2.2.2冪級數(shù)的和函數(shù)設(shè)的收斂半徑為，設(shè)為和函數(shù)，則有以下定理成立：定理2若冪級數(shù)與的兩個乘積正數(shù)收斂的概率和乘積半徑分別大大等于，則是與的乘積正數(shù)證明：首先證明，已知級數(shù)收斂，設(shè)是其收斂區(qū)間上任一不為零的點(diǎn)，則，有于是根據(jù)比較判別法，級數(shù)收斂，由為上任一不為零的點(diǎn)知，收斂，有.已知收斂級數(shù)對于收斂，有已知數(shù)有極限，所以任何數(shù)列總是有界，即，有.已知級數(shù)收斂，，有。已知極限，所以數(shù)列有界，即，有.于是，.根據(jù)比較判別法，級數(shù)絕對收斂，即，綜上所述，。定理3若冪級數(shù)的一個收斂點(diǎn)為半徑，則它的和是冪函數(shù)由到為止可以累積，且函數(shù)可逐項(xiàng)進(jìn)行積分，即:.根據(jù)定理2此冪級數(shù)的收斂半徑也是.定理4若冪級數(shù)的區(qū)間收斂度和半徑函數(shù)為，則其和為冪函數(shù)在任何區(qū)間內(nèi)均可導(dǎo)，且函數(shù)可逐項(xiàng)進(jìn)行微分.由定理2證明，冪級數(shù)的收斂半徑也是，，使，已知冪級數(shù)內(nèi)部封閉一致并且收斂，其和為冪函數(shù)在域上可導(dǎo)，函數(shù)在區(qū)間，有.2.2.3函數(shù)的冪級數(shù)展開式2.2.3.1函數(shù)的泰勒展開式定義1若函數(shù)在點(diǎn)存在階導(dǎo)數(shù)，則有這里為佩亞諾型余項(xiàng)，稱為在點(diǎn)的泰勒公式.當(dāng)時，式變?yōu)?稱此式為（帶有佩亞諾余項(xiàng)的）麥克勞林公式.定義2若函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)存在直至階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其中為拉格朗日余項(xiàng)，，其中在與之間，稱為在點(diǎn)的泰勒公式.當(dāng)時，式變成，稱此式為（帶有拉格朗日余項(xiàng)的）麥克勞林公式。2.2.3.2常見函數(shù)的麥克勞林展開式；3冪級數(shù)在近似計算與級數(shù)求和中的應(yīng)用3.1計算常數(shù)的問題常數(shù)計算方程指的是非常重要的不是無理數(shù)，它不僅僅在物理天文學(xué)和數(shù)學(xué)中經(jīng)常能夠被直接涉及和廣泛用到，在很多大的自然科學(xué)中也是那么可能經(jīng)常地被見到，比如說說像向日葵的花朵落花子的花朵形狀花樣排列、鸚鵡螺的葉子形狀排列花紋和所需要呈現(xiàn)的螺線等等常數(shù)方程.這些螺線型的方程都不是那么需要經(jīng)常地被用到，而它最早已經(jīng)開始出現(xiàn)的一個重要地方卻是需要用于常數(shù)計算它與它的利息執(zhí)行周期是否有關(guān).根據(jù)目前我國銀行復(fù)利率和利息周期計算的基本操作規(guī)則，如果把常數(shù)計算后的利息經(jīng)過常數(shù)計算后的利息周期無窮有限制地逐漸縮小，本利和也許就不會無窮有限制地逐漸增加，它的復(fù)利極限值也就可能會逐漸擴(kuò)大趨近一個復(fù)利函數(shù)所在極限上的復(fù)利值，這個極限值也與便于計算相關(guān).的一個極限級別函數(shù)值和值的定義基本質(zhì)上也都是這樣的，當(dāng)一個級別函數(shù)具有極限的值趨于無窮大時，的級別函數(shù)值通常定義是這個函數(shù)值的極限.在需要求解的近似函數(shù)值時，可以分別運(yùn)用冪級數(shù)的近似級數(shù)冪和展開式.為了求解一些關(guān)于無理數(shù)或者是微積分的近似函數(shù)值，可將原函數(shù)冪的展開式改成為冪級數(shù)，取有限多項(xiàng)，在函數(shù)允許的計算誤差長度范圍內(nèi)即可得出一個合乎實(shí)際的計算結(jié)果.例3.1.1證明常數(shù)是無理數(shù)，并且求出的近似值.利用反證法解決這個問題，假設(shè)是有理數(shù)，因?yàn)槭亲匀粚?shù)的底數(shù)，用麥克勞勞林級數(shù)表示函數(shù)。當(dāng)時，上式就可以表示為：這就得到常數(shù)的級數(shù)展開式.用來表示的項(xiàng)和，即。如果用來表示誤差，那么所以.可設(shè)由可以推導(dǎo)出，可以看出為區(qū)間的小數(shù)，此外是正整數(shù)，與此前的結(jié)論矛盾，故是無理數(shù).于是，計算得.當(dāng)時，上式就已經(jīng)可以直接表示成因?yàn)?這就可以得到這是常數(shù)的兩個級數(shù)項(xiàng)和展開式.這是用來代數(shù)表示的項(xiàng)和，即。如果只是用來直接表示精度誤差，那么所以.可設(shè)由小數(shù)可以性的推導(dǎo)式看出，可以由此看出為整數(shù)區(qū)間的一個小數(shù)，此外它也是一個正整數(shù)，與此前的小數(shù)結(jié)論矛盾，故認(rèn)為是無理數(shù).于是，計算得.同理，對一個冪的無理數(shù)也同樣有它可以通過考慮應(yīng)用近似冪的函數(shù)冪級數(shù)形式中的一個展開式等價法來精確計算其近似的冪函數(shù)的取值.在解決此類問題時，需要考慮是否可以將函數(shù)寫成冪級數(shù)的形式，需要滿足什么條件才能將函數(shù)展開成冪級數(shù).特別是對于一些初等超越函數(shù)和非初等函數(shù)，若用冪級數(shù)表示，則必將為進(jìn)一步研究該函數(shù)的性質(zhì)帶來極大方便.3.2冪級數(shù)在計算級數(shù)和中的應(yīng)用根據(jù)摩爾定理三，對冪級數(shù)的每一項(xiàng)分別求和進(jìn)行連續(xù)求導(dǎo)或者連續(xù)更新求和和最后所求導(dǎo)得出的新的冪級數(shù)的連續(xù)求和和其收斂率的值與函數(shù)半徑的和的值是不變的，把這個級數(shù)冪的求和性質(zhì)，應(yīng)用函數(shù)更新求導(dǎo)到相對于多級數(shù)冪的連續(xù)求和中，可以直接得到，這使它的求和計算更加簡潔，方便。例3.2.1已知級數(shù)解：設(shè)，其中.由逐項(xiàng)積分的性質(zhì)可對求導(dǎo)：.因此根據(jù)冪級數(shù)的逐項(xiàng)積分性質(zhì)可得：所以.因此，.所以，當(dāng)時，有.例3.2.2求級數(shù)的和.解：考慮級數(shù)，其收斂域是，令，則兩邊積分，所以時，有顯然，所以.例3.2.3求冪級數(shù)的和函數(shù).解：因?yàn)?，所以，收斂域?yàn)?，則，即解得故有.4冪級數(shù)在求極限、求導(dǎo)、積分運(yùn)算中的應(yīng)用4.1冪級數(shù)在求極限中的應(yīng)用求數(shù)列極限的常用方法很多:等價無窮小的極限代數(shù)變換;利用洛必達(dá)貝爾法則，泰勒公式，對特定極限類型的冪指數(shù)和子函數(shù)所求取到的對數(shù);多項(xiàng)式相互整除;數(shù)列所有極限中可以利用數(shù)列等差、等比、拆分方法求解;可以利用重要數(shù)列極限;利用換乘二元法;可以利用極限定義和積分方法求解到數(shù)列所有極限等常用統(tǒng)計方法，但每一種常用方法都會具有一定的技術(shù)局限性.下面將我們舉出幾個例子用來分析冪級數(shù)在統(tǒng)計求數(shù)列極限過程中的實(shí)際應(yīng)用.例4.1.1求.解;因?yàn)樗钥梢员硎緸?，即為級?shù)的和，所求極限就是級數(shù)的和，亦即級數(shù)部分和的極限.又因?yàn)椋运?例4.1.2.解：因?yàn)?，所以極限上式可以理解為函數(shù)在閉區(qū)間上的積分和的極限，已知函數(shù)在上可積，于是所求極限可理解為：將區(qū)間等分，取的積分和的極限.所以在如何正確得到求和以及利用冪級數(shù)的和利用極限函數(shù)形式正確得到求解無窮多項(xiàng)極限函數(shù)求與極限和的這個基本求和問題中，一般都認(rèn)為可以清晰認(rèn)為正確得到求和無窮極限微分函數(shù)和的形式極限是無窮多項(xiàng)的一個無窮多項(xiàng)極限和的一個微分方程和的函數(shù)或者和和的形式極限是無窮多項(xiàng)極限和的一個微分方程求和數(shù)列的一個極限微分方程函數(shù)正確得到求和無窮多項(xiàng)函數(shù)極限和的微分方程函數(shù)正確求和和的形式，而根據(jù)冪級數(shù)的正確求和無窮多項(xiàng)極限微分函數(shù)求與形式和的正確定義，可以明顯而且合理性正確地認(rèn)為可以清楚看出冪級數(shù)的正確求和無窮多項(xiàng)極限微分函數(shù)求與形式和其和的定義本身就是無窮多項(xiàng)求和的一個極限微分方程函數(shù)正確求和形式極限，因此，此種和的正確求和無窮多項(xiàng)極限微分函數(shù)求與形式和的定義不僅僅適合廣泛應(yīng)用于如何正誤得到正確求和的無窮多項(xiàng)函數(shù)極限和冪級數(shù)這個基本問題我們此時仍然應(yīng)率先深入地馬上去仔細(xì)研究和并仔細(xì)考慮將如何正確得到求和無窮多項(xiàng)函數(shù)極限和的這個基本問題而其研究重點(diǎn)已經(jīng)逐漸轉(zhuǎn)化為得到作為如何正誤得到正確求和極限函數(shù)形式成為無窮多項(xiàng)極限函數(shù)時的極限和冪級數(shù)時的如何正確得到求和無窮多項(xiàng)函數(shù)極限和的這個基本問題.4.2冪級數(shù)在求導(dǎo)中的應(yīng)用用冪基本級數(shù)形式可以準(zhǔn)確表示一些基本初等運(yùn)算函數(shù)，利用這個基本性質(zhì)，我們往往認(rèn)為可以輕松解決某些初等函數(shù)表達(dá)方面的復(fù)雜問題，利用冪級數(shù)的基本級數(shù)展開和形式也就能夠把復(fù)雜的初等函數(shù)形式表達(dá)的簡單、清晰。所以在下面的這個例子中，將在一個函數(shù)的冪級求導(dǎo)中通過利用它得到一個函數(shù)的冪級數(shù)值來展開.例4.2.1求的階導(dǎo)數(shù).解：將因式分解可得到進(jìn)而分解為所以從而。故，的階導(dǎo)數(shù)因?yàn)橐话愕那髮?dǎo)函數(shù)直接求導(dǎo)都沒有可以完全遵循直接求導(dǎo)的基本函數(shù)公式，而對于這種求導(dǎo)函數(shù)基本形式的直接求導(dǎo)，公式就非常難以解決，把這種函數(shù)因式進(jìn)行分解等價的運(yùn)算，將其中的初等求導(dǎo)函數(shù)形式寫成冪級數(shù)的基本形式，就已經(jīng)可以對不能直接進(jìn)行求導(dǎo)的初等函數(shù)直接求導(dǎo)了.4.3冪級數(shù)在積分運(yùn)算中的應(yīng)用冪級數(shù)在一個絕對收斂域上絕對收斂不可能被收斂，并且這個絕對收斂域在這個區(qū)間上不僅將來可以通過逐項(xiàng)積分函數(shù)調(diào)和求導(dǎo)，逐項(xiàng)函數(shù)求和交換積分，同樣還因?yàn)閷砜梢酝ㄟ^實(shí)際交換逐項(xiàng)函數(shù)求和絕對收斂積分順序等特殊的絕對收斂物理性質(zhì)，我們便可以認(rèn)為將來可以通過充分利用這些特殊收斂性質(zhì)，在實(shí)際交換計算逐項(xiàng)交換積分函數(shù)過程中將逐項(xiàng)積分函數(shù)絕對收斂時的展開函數(shù)轉(zhuǎn)換成稱為絕對不可收斂的冪級數(shù)，利用這些新的逐項(xiàng)積分函數(shù)交換積分計算原理在將來通過交換計算逐項(xiàng)函數(shù)積分的絕對收斂展開值或者取值函數(shù)來直接證明下列兩個式子之間的等價關(guān)系.例4.3.1證明：證明：因?yàn)樗?冪級數(shù)在求解微分方程中的應(yīng)用微分方程一般多數(shù)情況下都不能用初等級微積分法的方法正確求解，一般多數(shù)情況下都只能是用冪級數(shù)的微分形式求解來正確表達(dá)一個微分方程的代數(shù)解。它不僅僅是能廣泛應(yīng)用于其到各種數(shù)學(xué)統(tǒng)計方面，還同樣能廣泛應(yīng)用于其到各種土木建筑工程等工業(yè)方面，下面將通過給出幾個例子問題一并說明冪級數(shù)在各種求解偏偏微分方程的解方法中的實(shí)際應(yīng)用。求解微分方程其實(shí)就是將微分方程進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使其變成代數(shù)方程，是計算更加容易。例5.1求滿足的特解.解：由于，設(shè)代將入原方程得：.根據(jù)恒等式兩端的同次冪系數(shù)，得所以微分方程的解為：.例5.2求的解。解：設(shè)方程的解為，則將代入原方程的通解為，6冪級數(shù)在行列式中的應(yīng)用在對冪級數(shù)這個關(guān)于行列式的系統(tǒng)遞推展開系數(shù)進(jìn)行物理化的計算中，若一個的冪級數(shù)是其中的一個行列式可以被直接展開看作的一個的則序列式是遞推式的函數(shù)(一般來說也就是的次多項(xiàng)式).按泰勒公式在某處我們通常可以直接將其展開，用這一遞推系數(shù)物理計算出其中的一種方法我們很快就有機(jī)率可能有機(jī)會直接展開求得一些的冪級數(shù)這個關(guān)于行列式的級數(shù)系統(tǒng)遞推函數(shù)的取值.然而還有的我們可以通過直接利用冪級數(shù)的一個遞推轉(zhuǎn)移變換計算方法進(jìn)行計算一個級數(shù)行列式.其中例如當(dāng)我們直接利用冪級數(shù)的一個遞推轉(zhuǎn)移變換計算方法進(jìn)行計算一個級數(shù)行列式時，需要首先直接找到一個級數(shù)行列式中屬于該級數(shù)序列的一個級數(shù)遞推變換系數(shù)中的關(guān)系式，得出與這個級數(shù)行列式在其中的每個序列冪級數(shù)相同或?qū)?yīng)的冪級數(shù)，根據(jù)這個序列遞推變換系數(shù)中的關(guān)系式所計算出現(xiàn)的每個序列數(shù)其具體情況我們即可直接進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪f推變換運(yùn)算.最后我們需要直接求出冪級數(shù)，通過比較冪級數(shù)的一個遞推變換系統(tǒng)函數(shù)值我們即可以也可以直接得到下一個冪階級的函數(shù)這個行列式的系統(tǒng)函數(shù)值.例6.1求階行列式解：當(dāng)時，；當(dāng)時；當(dāng)時，將按第一列展開，即得，此行列式序列是著名的斐波那契數(shù)列，開始兩項(xiàng)，，以后各項(xiàng)均為前兩項(xiàng)之和，即數(shù)列的構(gòu)造規(guī)則可以表示為差分方程：初始值條件為：設(shè)分別用乘以式兩邊，得：由可得：由可知：解方程：由和的系數(shù)可得：.7冪級數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用初等值的函數(shù)用冪級數(shù)的特殊形式進(jìn)行展開后，在一些不等式中如果已經(jīng)出現(xiàn)了這類初等值的函數(shù)，就當(dāng)然可以優(yōu)先考慮將其形式展開后作為冪級數(shù)的特殊形式，利用冪級數(shù)的特殊性質(zhì)可用來比較不等式的函數(shù)大小空間關(guān)系，巧妙地將這類問題求解化難為易.例7.1證明不等式證明：因?yàn)樗?，?由于，所以就可以得到.8結(jié)論本文主要通過幾個舉例對冪級數(shù)的實(shí)際理論應(yīng)用中的問題難點(diǎn)進(jìn)行深入次的討論和具體舉例說明，由于現(xiàn)今冪級數(shù)的實(shí)際理論應(yīng)用這一新的理論基礎(chǔ)課題已經(jīng)不斷發(fā)展并形成了一個新的理論體系，并且已經(jīng)發(fā)現(xiàn)有很多的國內(nèi)專家學(xué)者都對此理論課題已經(jīng)有著深入的一些理論基礎(chǔ)研究，所以此次的文章中仍然難免有些新的理論基礎(chǔ)內(nèi)容與我們中國前人的一些理論基礎(chǔ)研究有些重復(fù)，望各位中國數(shù)學(xué)界的專家、教授、同學(xué)們多學(xué)習(xí)理解.文章首先詳細(xì)介紹了冪級數(shù)的理論起源和基本研究重要意義，然后對冪級數(shù)的主要定義和基本性質(zhì)問題進(jìn)行理論介紹和實(shí)驗(yàn)證明。正文最后部分對冪級數(shù)的具體應(yīng)用問題予以進(jìn)行歸類分析舉例，分別對近似計算、級數(shù)性質(zhì)求和;如何求級數(shù)極限、求導(dǎo)、積分等的運(yùn)算;級數(shù)求解和偏微分方程;如何證明級數(shù)不等式等幾個級數(shù)方面應(yīng)用進(jìn)行歸類舉例，并在每個例子前后部分對每個例子中所需要的級數(shù)性質(zhì)和計算方法應(yīng)用進(jìn)行詳細(xì)說明.總之，冪級數(shù)的實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域當(dāng)然是非常廣泛多元化的，文章盡可能完整地詳細(xì)分析了并總結(jié)了冪級數(shù)在當(dāng)代拓展數(shù)學(xué)各學(xué)科各個分支的實(shí)際實(shí)踐應(yīng)用，對于冪級數(shù)基本數(shù)學(xué)性質(zhì)的問題深入分析研究并對之進(jìn)行加以分析及其應(yīng)用也對