第9講圓的方程

考點(diǎn)分析

考點(diǎn)一：圓的定義：在平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓

考點(diǎn)二：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

設(shè)圓心的坐標(biāo)C(a,6),半徑為r,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-a)2+(y-fe)2=r2

考點(diǎn)三：圓的一般方程

圓的一般方程為x2+y2+0x+或+尸=(),圓心坐標(biāo)：(—2,一與,半徑：r=-ylD2+E2-4F

222

注意：①的系數(shù)相同，方程中無(wú)犯項(xiàng)

②對(duì)于力、E、F的取值要求：D2+E2-4F>0

當(dāng)加+￡一4尸=0時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解x=—=D，yE=—它表示一個(gè)點(diǎn)(一D三，一：E)

2222

當(dāng)。?+片-4/<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形.

'4=C*0

③二元二次方程Ar'+firy+Cy+反+4+尸=(),表示圓的充要條件是，8=0

D2+E2-4A尸>0

考點(diǎn)四：以A(3,y),B?,必)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-x)(x-w)+(y-y)(y-y2)=0

考點(diǎn)五：阿波羅尼斯圓

IpaI

設(shè)4,8為平面上相異兩定點(diǎn)，且|AB|=2a(a>0),尸為平面上異于4,8—?jiǎng)狱c(diǎn)且扁=/1(彳>0且；1*1)

則P點(diǎn)軌跡為圓；特別的當(dāng)2=1,P軌跡為4?中垂線；

題型目錄

題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

題型二：圓的一般方程

題型三：由圓的定義及方程求參數(shù)

題型四：阿波羅尼斯圓(阿氏圓)

題型五：二次函數(shù)與圓的交匯問(wèn)題

典型例題

題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【例1】(浙江高二期末)圓1)2+丁=3的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()

A.(-1,0),3B.(1,0),3

C.(-1,0),73D.(1,0),73

【答案】D

【解析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，(x-l『+y2=3的圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑為行，故選：D.

【例2】(2022?貴州?高二學(xué)業(yè)考試)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.x2+y2=lB.x2+y2=4

C.(x+l)2+(y+l)2=3D.(x+l)2+(y+l)2=6

【答案】B

【分析】直接寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得到答案.

【詳解】圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為d+y2=4.

故選：B

【例3】(2020?北京十五中高二期中)經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)A(0,0),B(2Q,0),C(0,-2)的圓的方程為()

A.1-可+(y+lp=2B.(x->/3)2+(y-l)2=2

C.(x-G)+(y+l)~=4D.(x-6)+(y-l)2=4

【答案】C

【分析】根據(jù)三點(diǎn)在坐標(biāo)系的位置，確定出aABC是直角三角形，其中是斜邊，則有過(guò)三點(diǎn)的圓的半徑

為8c的一半，圓心坐標(biāo)為BC的中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.

【詳解】由已知得，A(0,0),B(26,0),C(0,-2)分別在原點(diǎn)、x軸、一軸上,

ABLAC,

???經(jīng)過(guò)三點(diǎn)圓的半徑為r==gj(2石-0丫+(0+2)2=2,

圓心坐標(biāo)為8c的中點(diǎn)(2年2,9)，Bp(^-l),

；?圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1-百)2+(y+l『=4.

故選：C.

【例4】(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知圓(x+l)?+(y+2)2=4關(guān)于直線or+外+1=0(a>0,b>0)對(duì)

12

稱，則上+3的最小值為()

ab

A.-B.9C.4D.8

2

【答案】B

【分析】由題可得。+?=1(。>(),%>()),然后利用基本不等式即得.

【詳解】圓(x+lY+(y+2)2=4的圓心為(―1,一2),依題意，點(diǎn)(—1,—2)在直線6+切+1=0上，

因止匕一。一2Z?+1=0,即?=,

,12f12\7、=2b2d-.12b2a八

ab\ab)abyab

當(dāng)且僅當(dāng)絲=孕，即0=6=1時(shí)取“=”，

ab3

所以11?的最小值為9.

ab

故選：B.

【例5】(2022.北京.高考真題)若直線2x+y-1=0是圓(x-〃)2+y2=i的一條對(duì)稱軸，則〃=()

A.；B.—C.1D.—1

22

【答案】A

【分析】若直線是圓的對(duì)稱軸，則直線過(guò)圓心，將圓心代入直線計(jì)算求解.

【詳解】由題可知圓心為(。,0),因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，即2a+()-l=0,解得a=g.

故選：A.

【例6X2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))過(guò)點(diǎn)A(l,l),B(-3,5),且圓心在直線2x+y+2=0上的圓的方程為

【答案】(x+2)2+(y-2)2=10

【分析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-0)2=/,根據(jù)題意列出方程組，求得。力/的值，即可求解.

【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-"+(y-B)三產(chǎn),

因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)41』),8(-3,5),且圓心在直線2x+y+2=0上，

(l-tz)2+(1-/>)2=/

則有，(-3-a)-+(5-。)一=/,解得a=—2,b=2,/■=V10,

2a+b+2=0

所以所求圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=10.

故答案為：(x+2)2+(y-2)2=10.

【例7】(2021.福建寧德?高二期中)蘇州有很多圓拱的懸索拱橋(如寒山橋)，經(jīng)測(cè)得某圓拱索橋(如圖)

的跨度|AB|=100米，拱高10pl=10米，在建造圓拱橋時(shí)每隔5米需用一根支柱支撐，則與OP相距30米的支

柱MN的高度是()米.(注意：710-3.162)

A.B.C.D.

【答案】A

［解析】以0為原點(diǎn)，以AB所在直線為*軸，以O(shè)P所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

2(10-a)'=r2

可設(shè)圓拱所在圓的方程為—。)2=產(chǎn),由題意可得：/

(-50)~+/=/

解得：6Z=-120,r2=16900.

所以所求圓的方程為/+()，+120)2=16900.

將x=-30代入圓方程，得：900+(y+120『=16900,

因?yàn)閥>0,所以。=40函-120a40x3.162-120=6.48.

故選：A.

【題型專練】

1.(2022?廣西?高二學(xué)業(yè)考試)已知圓的方程為/+產(chǎn)=4,那么這個(gè)圓的面積等于()

A.2B.3C.兀D.4兀

【答案】D

【分析】根據(jù)圓的半徑求得圓的面積.

【詳解】圓/+尸=4的半徑為2,所以面積為仆22=4兀.

故選:D

2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（文））已知圓（x+iy+（y+2）2=4關(guān)于直線or+勿+2=0（“＞0,。＞0）對(duì)稱，則

工1+■2的最小值為（）

ab

A.-B.-C.4D.8

22

【答案】B

【分析】求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求出。，〃的關(guān)系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答.

【詳解】圓（x+l）2+（y+2）2=4的圓心為（一1,—2）,依題意，點(diǎn)（—L—2）在直線ar+by+2=O上，

因止匕一。一4+2=0,即“+?=2（。＞0,6＞0）,

12112、/12h2a、、ly.12b2”、9,...2b2a,2…，，

一+—=—（一+—）（〃+2b）=—（5+—+—）＞—（5+2./---------）=—,當(dāng)lz且僅n當(dāng)一=—,即rllI〃=/?=一時(shí)=,

ab2ab2ab2\ab2ab3

所以±1+?［的最小值為9

ab2

故選：B

3.（2022?江蘇?高二）圓（x-2y+y2=5,則（）

A.關(guān)于點(diǎn)（2,0）對(duì)稱B.關(guān)于直線y=0對(duì)稱

C.關(guān)于直線x+3y—2=0對(duì)稱D.關(guān)于直線x-y+2=0對(duì)稱

【答案】ABC

【分析】由圓的方程可確定圓心，由圓心位置和直線是否過(guò)圓心可確定各個(gè)選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于A,由圓的方程知其圓心為（2,0）,則圓關(guān)于點(diǎn)（2,0）對(duì)稱，A正確；

對(duì)于B,由A知其圓心在“軸上，則圓關(guān)于了軸對(duì)稱，即關(guān)于y=。對(duì)稱，B正確；

對(duì)于C,x+3y—2=0過(guò)圓心（2,0）,.,?圓關(guān)于直線x+3y-2=0對(duì)稱，C正確；

對(duì)于D,x-y+2=0不過(guò)圓心（2,0）,.?.圓不關(guān)于直線x-y+2=0對(duì)稱，D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

4.（2022?上海市第三女子中學(xué)高二期末）圓（》+2），（丫-1）2=5關(guān)于直線了-,=0對(duì)稱的圓的方程為.

【答案】(x-l)?+(y+2)2=5

【分析】先求圓心關(guān)于直線x-y=O的對(duì)稱點(diǎn)，半徑不變，可得圓的方程.

【詳解】圓(x+2)2+(y—l)2=5的圓心為(一2,1),半徑為石；

圓心(-2,1)關(guān)于直線x—y=0對(duì)稱的點(diǎn)為(1,一2),

所以所求圓的方程為(x—l)?+(y+2)2=5.

故答案為:(x-l)2+(y+2)2=5.

5.(2022?全國(guó)?高考真題(文))設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y-l=0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在M上,則M的方程

為.

【答案】(x-l)2+(y+l)2=5

【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用(3,0)和(0,1)均在0M上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.

【詳解】解：???點(diǎn)M在直線2x+y-l=0上，

，設(shè)點(diǎn)M為31-2a),乂因?yàn)辄c(diǎn)(3,0)和(0,1)均在二M上，

.?.點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R,

J(a-3.+(1-2.)2=y］a2+(-2a)2=R,

“2-6。+9+4。2-4。+1=5。2,解得a=l,

R=5

M的方程為(x-lf+(y+l)2=5.

故答案為:(x-l)2+(y+l)2=5

6.(新疆烏蘇市第一中學(xué))過(guò)點(diǎn)A(l,-1),8(—1,1),且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程

［答案］(x_l)2+(y_l『二4

【解析】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)所以線段4B的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),須8=［上"=一1，

-1—1

所以線段A8的中垂線的斜率為攵=1,所以線段A8的中垂線的方程為丁=龍，

x+y-2=0fx=l

又因?yàn)閳A心在直線x+y-2=0上，所以〈,解得〈，

y=x［y=i

所以圓心為(1,1),r=J(l_l)2+(l+l)2=2所以圓的方程為(x—l)2+(y_l)2=4.故選:C

7.(內(nèi)蒙古包頭市.高二月考(理))二AO3頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,0),3(0,4),0(0,0).則AAOB外接

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

［答案］(x—l)2+(y_2)2=5

【解析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(工一4+(>一匕)2=/，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)4(2,0),8(0,4),0(0,0)

(2-?！?(。-6)2=/卜=i

所以.(0—a)2+(4—6)2=產(chǎn)解得"=2

(0-<z)2+(0-/?)2=r21/=5

則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-l)2+(y-2)2=5

故答案為：(x-iy+(y-2)2=5

題型二：圓的一般方程

［例1］(北京高二期末)圓C:/+2x+y2—i=o的圓心c的坐標(biāo)為()

A.(1,0)B.(-1,0)C.(2,0)D.(-2,0)

【答案】B

【解析】由圓。：/+2彳+：/-1=0可得(x+iy+y2=2,故圓心坐標(biāo)為(-1,0),故選：B

【例2】(廣東肇慶市)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0,1),(0,2),(1,3)的圓的方程為.

【答案】x2+y2-3x-3y+2=0

【解析】設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,

\+E+F=Q,D=-3,

因?yàn)閳A過(guò)(0,1),(0,2),(1,3)三點(diǎn)，所以44+2E+F=0,

得＜E=-3,

l+9+O+3E+F=0,[F=2,

2

所以圓的方程為V+y2一3x—3丁+2=0.故答案為：%+/-3x-3y+2=0

【例3】(2022.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))已知圓。:/+尸+8x-4.丫=0與以原點(diǎn)為圓心的圓C'關(guān)于直線丘—丫+。=0

對(duì)稱，則。=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】分別求得圓C和原點(diǎn)為圓心的圓的圓心坐標(biāo)，求得直線CC'的斜率為七c=-g，即CC'的中點(diǎn)坐

標(biāo)為結(jié)合題意，求得直線2x-y+h=o的方程，代入中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解.

【詳解】由題意，圓C:x2+V+8x-4y=0,可得圓心坐標(biāo)為C(T2),

以原點(diǎn)為圓心的圓的圓心坐標(biāo)為C'(0,0),

可得直線CC的斜率為kcc=葺義=,且C,C'的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,1),

因?yàn)閳AC與以原點(diǎn)為圓心的圓C'關(guān)于直線區(qū)-y+b=0對(duì)稱，

所以k=2,BP2x-y+h=O,

將點(diǎn)(-2,1)代入直線2x-y+0=0,可得6=5.

故選：A.

【例4】(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))與圓工2+丫2-2犬+4.丫+3=0同圓心，且過(guò)點(diǎn)(1,-1)的圓的方程是()

A.x2+y2-2x+4y-4=0B.x2+y2-2x+4y+4=0

C.x2+y2+2x-4y-4=0D.x?+y?+2x-4y+4=0

【答案】B

【分析】根據(jù)同圓心，可設(shè)圓的一般式方程為丁+;/-2犬+43?+機(jī)=0,代入點(diǎn)即可求解.

【詳解】設(shè)所求圓的方程為/+丁-2天+”+優(yōu)=0,由該圓過(guò)點(diǎn)得,”=4,

所以所求圓的方程為/+V-2x+4y+4=0.

故選：B

[例5](2022全國(guó)卷乙卷)過(guò)四點(diǎn)(0,0),(4,0),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為.

【答案】x2+y2-4x-2y=0W4x2+y2-4x-6y=0B￡X2+y2y=0SKx2+y2=0(答

案不唯一，填其中一個(gè)即可)

【解析】設(shè)圓的方程為爐+/+以+￡>+尸=0

F=0[D=-4

若圓過(guò)(0,0),(4,0),(4,2)三點(diǎn)，則16+4O+F=0,解得,E=-2,故圓的方程為

20+4D+2E+尸=0[f=0

x2+y2—4x—2y=0；

尸=0D=-4

若圓過(guò)(0,0),(4,0),(-1,1)三點(diǎn)，則.16+4。+尸=0，解得<E=-6,故圓的方程為J+y2-4x-6y=0；

2-￡>+E+F=0F=0

2

F=03

廠14

若圓過(guò)(0,0)，(-U)，(4,2)三點(diǎn)，則■2-D+E+F=0,解得」E=----,故圓的方程為

3

20+4D+2E+尸=0

F=0

%=0;

x2+y2--x-

33

16+40+尸=05

若圓過(guò)(4,0)，(-M).(4,2)三點(diǎn)，則.2-D+E+F=0,解得，E=-2,故圓的方程為

20+4O+2E+/=0「16

r=----

5

【題型專練】

1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知圓方程x2+y2-2x+4)，-l=0的圓心為()

A.(-2,4)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(2,T)

【答案】C

【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)；

【詳解】解：因?yàn)閒+>2_2犬+”—1=0,即(x-iy+(y+2)2=6,

所以圓心坐標(biāo)為。，-2)；

故選：C

2.(2022?江蘇?高二)圓/+丁+2*-4丫-6=0的圓心和半徑分別是()

A.(-1,-2),11B.(—1,2),11C.(-1,-2),5/nD.(—1,2),

【答案】D

【分析】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求圓心半徑即可.

【詳解】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得(x+iy+()，-2)2=11,故圓心為(T,2),半徑為而.

故選：D.

3.(2021?河北唐山?高二期中)點(diǎn)M,N是圓/+>2+依+2),-4=0上的不同兩點(diǎn)，且點(diǎn)N關(guān)于直線x

—y+l=O對(duì)稱，則該圓的半徑等于()

A.242B.72C.3D.9

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得：直線/：x—y+l=O經(jīng)過(guò)圓心(一!，-1),代入運(yùn)算解得k=4,再代入r=15+￡

2V4

求圓的半徑.

【詳解】圓/+/+丘+2/-4=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+1)2=5+',

則圓心坐標(biāo)為(—2，-1),半徑為r=、5+￡

2V4

因?yàn)辄c(diǎn)例，N在圓/+>2+履+2〉-4=0上，且點(diǎn)M,N關(guān)于直線/：x-y+l=O對(duì)稱,

所以直線/：x-y+l=O經(jīng)過(guò)圓心,

所以一七+1+1=0,k=4.

2

所以圓的方程為：x2+/+4x+2y-4=0,圓的半徑「=卜§=3.

故選：C.

4.(2022?陜西咸陽(yáng)?高一期末)過(guò)四點(diǎn)(—1,0),(-4,4),(0,1),(1,0)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為.

qiQI94ai

222

［答案］x+y+—x-—y-i--=0^(lx-i-y~--y-l=0

或/+J一1=。或12+>2+35+31丁-32=0

【分析】設(shè)圓的一般方程為/+丫2+以+切+/=0,將3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，利用待定系數(shù)法即可求出結(jié)

果.

【詳解】設(shè)圓的一般方程為爐+八6+4+尸=0,

若圓過(guò)(TO)，(T,4),(0,1)三點(diǎn),

1一。+尸=0

則《32—4O+4E+尸=0,解得。=乙31，E=-3—1,F=2—4,

777

l+￡+F=O

此時(shí)圓的一般方程為f+y2+》Q1］_Q,1y+］74=0；

若圓過(guò)(T0)，(-4,4),(l,0)三點(diǎn)，

1-D+F=O

31

則《32—4O+4E+尸=0,解得。=0,E=--fF=-\.

4

1+。+尸=0

此時(shí)圓的一般方程為f+y2—y_l=O；

4

若圓過(guò)(-LO)，(0,1)，(1,0)三點(diǎn),

1-D+F=O

則T+E+尸=0,解得+=0,E=0,F=—1,

1+D+F=O

此時(shí)圓的?般方程為/+丁-1=0；

若圓過(guò)(-4,4),(0,1),(1,0)三點(diǎn),

’32—4。+4七+尸=0

則,1+七+/=0,解得。=31,石=31,/=—32,

1+D+F=O

此時(shí)圓的一般方程為Y+y2+31x+31y-32=0；

京依汨口22313124231

故答案為：r+y+-x-—y+—=O^x-+y--y-\=0

nJcx2+y-l=0s￡x24-y2+31x4-31y-32=0

5.(青銅峽市高級(jí)中學(xué))經(jīng)過(guò)圓/一2%+丁=0的圓心且與直線%+2y=0平行的直線方程

是-

【答案】x+2y-l=0

【解析】圓的方程化簡(jiǎn)為(x—iy+y2=i,圓心(1,0),半徑r=1，

由條件可知設(shè)直線方程：x+2y+c=0,直線過(guò)點(diǎn)(1,0),

代入直線方程l+c=O=c=—1，所以直線方程是x+2y-1=0.故選：B

題型三：由圓的定義及方程求參數(shù)

【例1】(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)甲：實(shí)數(shù)a<3：乙：方程f+V-x+3y+〃=0是圓，則甲是乙的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】由方程表示圓可構(gòu)造不等式求得。的范圍，根據(jù)推出關(guān)系可得結(jié)論.

【詳解】若方程J+y2-x+3y+o=0表示圓，貝ij(一1)?+32—44=10—4。>0,解得：a<-|；

Va<3ia<|,a<|na<3,,???甲是乙的必要不充分條件.

故選：B.

【例2】（全國(guó)高二單元測(cè)試）當(dāng)方程/+y2+依+2^+〃=0所表示的圓的面積最大時(shí);直線

y=（a—l）x+2的傾斜角為（）.

71-3兀八3九?5TI

A.-B.—C.—D.—

4424

【答案】B

/\2

【解析】方程無(wú)2+丁+辦+2丁+/=0可化為x+0+（丁+1）2=_±。2+],

\2y4

2

設(shè)圓的半徑為r（r>0）,則/=1一一a9

4

???當(dāng)。=0時(shí)，產(chǎn)取得最大值，從而圓的面積最大.

3兀

此時(shí)，直線方程為y=-x+2,斜率左=一1,傾斜角為一，故選：B

4

【例3】（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）當(dāng)。取不同的實(shí)數(shù)時(shí)，由方程f+y2+2ax+2ay—1=0可以得到不同的圓,

則（）

A.這些圓的圓心都在直線丁=%上

B.這些圓的圓心都在直線）'=一％上

C.這些圓的圓心都在直線y=*或丁=一》上

D.這些圓的圓心不在同一條直線上

【答案】A

【解析】由題意知,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x+a）2+（y+a『=2a2+i,圓心（—a,-a）,圓心都在直線y=x上.

故選:A

【例4】（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知方程x?+丁+2"?x+4y+2/?^-3"?=0表示一個(gè)圓.

（1）求實(shí)數(shù)，"的取值范圍；

（2）求圓的周長(zhǎng)的最大值.

【答案】⑴（T,4）,（2）5兀

【分析】（1）根據(jù)圓的一般式與標(biāo)準(zhǔn)式的轉(zhuǎn)化，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)式即可求解.

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求解半徑的最大值，進(jìn)而可求圓周長(zhǎng)的最大值.

（1）原方程可化為（*+/+（>+2）2=-nr+3瓶+4,

若方程表示一個(gè)圓，則一根2+3加+4>0,解得T<mv4,

即實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是（-1,4）.

（2）圓的半徑"=,一加2+3〃?+4=一（=一3丫+竺4』,當(dāng)且僅當(dāng)m=?時(shí)，半徑r取得最大值:，所以閱

VI2）4222

的周長(zhǎng)的最大值為57r.

【題型專練】

1.（2022?全國(guó)?高二）已知'是"x?+y?+Gx-詬y+,"=0”表示圓的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)，的取值

范圍是（）

A.（-1,4-00）B.[l,+oo）C.（-00,1）D.

【答案】B

【分析】求出Y+y2+6x-J/y+m=0表示圓的充要條件，然后可判斷出答案.

【詳解】若表示圓，則（若>+（-詬）2-4m>0,

解得小<1.

Wf"是"x?+y2++機(jī)=0”表示圓的必要不充分條件，

所以實(shí)數(shù)r的取值范圍是.

故選：B

2.（2022?吉林?吉化第一高級(jí)中學(xué)校高二期末）若曲線f+y2+2x+,町，+2=0表示圓，則機(jī)的取值范圍是（）

A.（2,+00）B.[2,+oo）

C.（-oo,-2）u（2,+oo）D.（Y,-2]U[2,+OO）

【答案】C

（分析】按照?qǐng)A的一般方程滿足的條件獷+E2-4F>0求解即可.

【詳解】22+--8>0,機(jī)<-2或帆>2.

故選：C.

3.（2021?江蘇?高二專題練習(xí)）已知方程Y+y2-2（r+3）x+2（l-4/）y+16尸+9=0表示一個(gè)圓.求：

（1）圓半徑最大時(shí)/的值；

（2）圓心的軌跡方程.

【答案】(嗚3；(2)y=4(x-3)2-l,(20y<x<4).

【分析】(1)利用方程表示圓的條件。2+￡-4尸>0,建立不等式，求出實(shí)數(shù)，的取值范圍，利用圓的半徑

r=gj4(_7/+6f+l),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出該圓半徑/"的取值范圍；

(2)根據(jù)V+y2—2(f+3)x+2(l-4產(chǎn))y+16/+9=0,確定圓的圓心坐標(biāo)，再消去參數(shù)，根據(jù)(1)中實(shí)數(shù)

f的取值范圍，可求得圓心的軌跡方程.

⑴在圓的方程/+產(chǎn)+m+份+尸=0中，有￡>2+后2_4/>0，

所以4(/+3)2+4(1—4產(chǎn))2—4(16/+9)=4(-7/+6/+1)>0,

所以一7r+6r+l>0,即一:<t<L

而r=以4(_7/+6/+1)=^-7(f-1)2+y,

二當(dāng)f==時(shí)，/?取得最大值勺豆.

77

(2)設(shè)圓心坐標(biāo)為(x,y),則｛工:

由①得：f=X-3,代入②消去f得：y=4(x-3>-l.

由1-則m20<x<4，即軌跡為拋物線的一段，

???圓心的軌跡方程為y=4(x-3)2-l,(寧<x<4).

4.(全國(guó)高二專題練習(xí))已知圓C:(x—2)2+(y+m—4)2=1,當(dāng)m變化時(shí)，圓C上的點(diǎn)與原點(diǎn)的最短距

離是.

【答案】1

【解析】圓C：(%-2)2+(y+〃?-4)2=1表示圓心為C(-2,-〃?+4),半徑R=1的圓，

求得IOC]=^4+(-m+4)2-

，加=4時(shí),QC1的最小值為2

故當(dāng)冽變化時(shí)，圓C上的點(diǎn)與原點(diǎn)的最短距離是(|OC|的最小值)-R=2-1=1,

故答案為1.

題型四：阿波羅尼斯圓(阿氏圓)

【例1】(2022.四川成都.高二開學(xué)考試(理))若兩定點(diǎn)A(l,0),3(4,0),動(dòng)點(diǎn)M滿足21M4|=|朋8|,則動(dòng)

點(diǎn)”的軌跡圍成區(qū)域的面積為（）.

A.2乃B.5萬(wàn)C.3萬(wàn)D.4兀

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，再確定軌跡即可計(jì)算作答.

【詳解】設(shè)M（x,y）,依題意，2j（x-l），+y2=J（x-4）2+y2,化筒整理得：x2+/=4,

因此，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為4萬(wàn).

故選：D

【例2】（2022?陜西?模擬預(yù)測(cè)）阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過(guò)這樣一個(gè)命題：在平面內(nèi)到兩定

點(diǎn)距離之比為常數(shù)底&>0Mxl）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B間的距

離為2,動(dòng)點(diǎn)P滿足需=應(yīng)，則△PA8面積的最大值是（）

A.72B.2C.2夜D.4

【答案】C

【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,3的直線為x軸，48的方向?yàn)閤軸正方向，線段48的垂直平分線為），軸，線段

的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系廁A（-1,0）,3（1,0）.

兩邊平方并整理得x2+y2-6x+l=0,BP（x-3）2+y2=8.

要使的面積最大，只需點(diǎn)P到AB（x軸）的距離最大時(shí),

此時(shí)面積為葭2x20=2上.

2

故選：C.

【例3】(2022?全國(guó)?高二單元測(cè)試)古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)4,8的距離之比

為定值/的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-2,0),B

\PA\i

(4,0),點(diǎn)P滿足謁=3?設(shè)點(diǎn)尸的軌跡為C,則下列結(jié)論正確的是()

A.軌跡C的方程為(x+4)2+/=9

B.在x軸上存在異于A,8的兩點(diǎn)。，E使得言=：

C.當(dāng)A,B,P三點(diǎn)不共線時(shí)，射線PO是24P8的平分線

D.在C上存在點(diǎn)M,使得21MAi

【答案】BC

【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式逐一判斷即可.

【詳解】在平面直角坐標(biāo)系地丫中，4(-2,0),8(4,0),點(diǎn)尸滿足￡=3，設(shè)尸(羽丫)，則^^^^=；,

化簡(jiǎn)得(x+4)2+y2=]6,所以A錯(cuò)誤；

假設(shè)在x軸上存在異于4B的兩點(diǎn)使得前=],設(shè)ZXm,0),E5,0),則而不式=2口二^

化簡(jiǎn)得3/+3y一(8〃?一2〃)/+4,%2一/=0,由軌跡C的方程為12+尸+81=0,可得86—2〃=—24,4〃於

―/=0,

\PD1

解得加=—6,〃=—12或團(tuán)=—2,〃=4(舍去)，即在x軸上存在異于A,8的兩點(diǎn)￡),后使匕三=7，所

\PE2

以B正確；

OA\1PA

當(dāng)4,B,P三點(diǎn)不共線時(shí)，焉=;二;3，

可得射線P。是NAP8的平分線，所以C正確；

若在C上存在點(diǎn)M,使得|MO|=2|M4|,可設(shè)M(x,y),

則有7^7=2J(x+2)2+)，2,化簡(jiǎn)得*2+/+爭(zhēng)+與=0,與/+y+8x=0聯(lián)立，方程組無(wú)解，故不

存在點(diǎn)M,所以D錯(cuò)誤.

故選：BC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式是解題的關(guān)鍵.

【題型專練】

1.（2022.河北保定.高二期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,8的距離之比為

定值2（2>0,且?guī)?1）的點(diǎn)所形成的圖形是圓，后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯

3（2,0）,點(diǎn)P滿足局=2,

圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,則點(diǎn)P的軌跡的

圓心坐標(biāo)為（）

A.（4,0）B.（0,4）C.（T,0）D.（2,0）

【答案】A

【解析】令P（x,y）,則J（x+4『+y2=2而-2）2+），,兩邊平方并整理得：（X-4）2+V=16,

二圓心為（4,0）.故選:A.

2.（2022.河南.新蔡縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））若兩定點(diǎn)A（l,0）,8（4,0）,動(dòng)點(diǎn)時(shí)滿足|加4|=2附用，

則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為（）.

A.冗B.5萬(wàn)C.34D.4萬(wàn)

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，再確定軌跡即可計(jì)算作答.

【詳解】設(shè)M（x，y）,依題意，y/（x-l）2+y2=2y/（x-4）2+y2,化簡(jiǎn)整理得：（x-5）?+丁=4,

因此，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以（5,0）為圓心，2為半徑的圓，

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面枳為4萬(wàn).

故選：D

3.（2022.寧夏.銀川二中高一期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)。（0,0）,3（3,0）的距離滿足|八例=4"。|,

則在O,A,M三點(diǎn)所能構(gòu)成的三角形中面積的最大值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】設(shè)M（x,y）,求出航點(diǎn)軌跡方程得其軌跡，由面積公式轉(zhuǎn)化為￡MOA=35,“。"，由三角形面積公式易

得最大值.

【詳解】設(shè)M(x,y),則|M4|=2|MO|得。-3)2+>2=4(/+>2),

化簡(jiǎn)整理得(x+l>+y2=4,所以M點(diǎn)軌跡是以3(-1,0)為圓心，2為半徑的圓，如圖,

\OB\=l,|O^=3|OB|

S,MOA=3S,MOH=3xgx忸M|x|B(?|sinZ.MBO=3sinZMBO,

易知AMBO=90°時(shí)，取得最大值3.

故選：C.

4.(2022?四川南充?三模(理))正方形ABC。邊長(zhǎng)為3,尸為正方形ABC。邊界及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，且|咫=2|尸4|,

則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為.

【答案】y

[分析詵求出尸點(diǎn)的軌跡，又因?yàn)镻為正方形A8CD邊界及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為圓弧MN,

求出圓弧MN對(duì)應(yīng)的圓心角，由弧長(zhǎng)公式即可求出答案.

【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則4(0,0)建(3,0),設(shè)尸(x,y),又因?yàn)閨「網(wǎng)=2|啊,所以

7(X-3)2+J2=2y]x2+y2,化簡(jiǎn)為：x2+r+2x-3=0BP(x+l)2+y2=4,所以P點(diǎn)的軌跡是以。(-1,0)為

圓心，半徑為2的圓.

又因?yàn)镻為正方形ABCO邊界及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，所以動(dòng)點(diǎn)P與>軸正半軸的交點(diǎn)為加(0,石)，動(dòng)點(diǎn)PHx軸

正半軸的交點(diǎn)為N(l,0),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為圓弧MN,

在二角形QMA中，AM=6,QA=2,所以sinNMQ4=3=^,ZMQA=^,所以圓弧腦7=[*2==.

MQ2333

故答案為：y.

y

5.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)(文))阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將

圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為

常數(shù)左(&>0且&R1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有aABC,3C=6,sin8=JsinC,

當(dāng)一A3C的面積最大時(shí)，則AC的長(zhǎng)為.

【答案】2^5

【分析】利用正弦定理將角化邊，即可求得點(diǎn)A的軌跡方程，然后確定三角形面積的最大值和點(diǎn)A的坐標(biāo)，

最后求解AC的長(zhǎng)度即可.

【詳解】解：因?yàn)閟inB=[sinC,由正弦定理可得b=[c,即c=?,因?yàn)锽C=6,不妨令B(-3,0),C(3,0),

22

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(x,y)(yxO),點(diǎn)A的軌跡方程滿足：J(x+3)2+f=2j(x—3產(chǎn)+/,

整理可得：(X-5)2+/=16,(>/0),

即點(diǎn)A的軌跡是以(5,0)為圓心，4為半徑的圓(除與x軸兩交點(diǎn)外)，

當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)45,4)或4(5,T)時(shí)三角形的面積最大，其最大值為5=1x6x4=12,

ill勾股定理可得AC=722+42=2亞.

故答案為：2亞.

6.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)(文))古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯(.ApolloniusofPerga,約公元前262?190年)

發(fā)現(xiàn)：平面上兩定點(diǎn)A,B,則滿足絲=〃兀=1)的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯

MB

圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.在直角坐標(biāo)系X。)，中，已知A(4,0),8(1,0),C(l,-4),動(dòng)點(diǎn)例滿足絲=2,則4c面積的

MB

最大值為.

【答案】13

【分析】根據(jù)題意求點(diǎn)M的方程與邊AC,利用圓上的點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)距離為圓心到直線的距離加上半徑，

即可求出邊AC的高，進(jìn)而求出AVtAC面積的最大值.

【詳解】設(shè)點(diǎn)M(x,y),MA=7(X-4)2+/,MB=^(x-\)2+y2

MA?

-----=2

MB

:.MA=2MB

J(x-4)2+y2=2j(x-l)2+y2

x2+y2=4,故點(diǎn)A7的方程為V+y2=4.

直線4c的方程為4x-3y-16=0

1616

圓心(0,0)到直線AC的距離d=l-l

#+(-3)2T'

設(shè)點(diǎn)M到邊AC的高為力，hnm=—+2=—

\AC\="(4-1)2+(0+4)2=5

SMAC的最大值為:X5X1=13.

故答案為：13.

題型五：二次函數(shù)與圓的交匯問(wèn)題

【例1】（2021?江蘇?蘇州中學(xué)高二）己知二次函數(shù)y=Y-交X軸于A,8兩點(diǎn)（4,8不重合）,

交）'軸于點(diǎn)C.圓M過(guò)A,8,C三點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是（）

A.圓心M在直線x=l上B.加的取值范圍是（0,1）

C.圓M半徑的最小值為1D.存在定點(diǎn)N,使得圓/恒過(guò)點(diǎn)N

【答案】AD

【分析】由圓心在48中垂線上可知A正確；根據(jù)A>0可求得，〃范圍，知B錯(cuò)誤；

求得AC坐標(biāo)后，代入圓的方程可表示出產(chǎn)，結(jié)合m范圍可求得廠>1,知C錯(cuò)誤；

將圓的方程整理為（1-丫）加+任-2》+9一耳=0,由此可求得定點(diǎn)，知D正確.

【詳解】對(duì)于A,7=工2-2%+加（加片0）對(duì)稱軸為x=l,.?.過(guò)AB兩點(diǎn)的圓的圓心必在A8中垂線，即x=l

上，A正確；

對(duì)于B,丁二%2-21+〃2（加工0）與不軸交于43兩點(diǎn)，/.△=4一4帆>0,解得：