專題23拋物線

第一部分真題分類

1.（2021?全國(guó)高考真題）拋物線V=2px（〃>0）的焦點(diǎn)到宜線產(chǎn)工+1的距離為及，貝”=（）

A.1B.2C.272D.4

【答案】B

【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為9o，

4-0+1

其到直線“—y+i=o的距離：2

a一=&'

Vf+T

解得：〃=2（〃=-6舍去）.

故選：B.

2.（2020?北京高考真題）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為0,焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/.尸是拋物線上異于。的一點(diǎn)，過(guò)

尸作PQ_L/于。，則線段尸。的垂直平分線（）.

A.經(jīng)過(guò)點(diǎn)OB.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P

垂直于直線OP

因?yàn)榫€段尸。的垂直平分線上的點(diǎn)到尸，。的距離相等，又點(diǎn)尸在拋物線上，根據(jù)定義可知，|pQ|=|pq,

所以線段FQ的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.

故選：B.

3.⑵電全國(guó)高考真題（文））若拋物線收“⑺。）的焦點(diǎn)是橢圓小小的一個(gè)焦點(diǎn)’則"

A.2B.3

C.4D.8

【答案】D

【解析】因?yàn)閽佄锞€y=2px（p>0）的焦點(diǎn)（與,0）是橢圓三+2=1的一個(gè)焦點(diǎn)，所以3〃-〃=（小，解得

23Pp2

〃=8,故選D.

i

4.(2021?北京高考真題)已知拋物線。:9=以，焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M為拋物線。上的點(diǎn)，且|產(chǎn)M|=6,則

”的橫坐標(biāo)是______;作MN_Lx軸于N,則5.衲=_

【答案】5475

【解析】因?yàn)閽佄锞€的方程為9=4”，故0=2且尸(1,0).

因?yàn)閨Mr|=6,xM+-^=6,解得%=5,故為=±2不，

所以S/MV=?(5-1)X2正=4。，

故答案為：5,4^5.

5.(2021?全國(guó)高考真題(文))拋物線。的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)0.焦點(diǎn)在*軸上，直線/：x=l交。于

P,0兩點(diǎn)，且OP_LOQ.已知點(diǎn)M(2,0),且0M與/相切.

(1)求C,0M的方程；

(2)設(shè)A，4,4是。上的三個(gè)點(diǎn)，直線A4，44均與0M相切.判斷直線44與QM的位置關(guān)系，并

說(shuō)明理由.

【答案】(1)拋物線。：丁二廠，0M方程為。-2)2+)，2=1；(2)相切，理由見(jiàn)解析

【解析】⑴依題意設(shè)拋物線C：y2=2*p>0),P(l,y°),Q(-y0),

\OPLOQ,..OPOQ=\-yl=\-2p=0,:.2p=lt

所以拋物線。的方程為丁=以

M(0,2),G)M與工=1相切，所以半徑為1,

所以O(shè)M的方程為3-2)2+y2=i；

(2)設(shè)4(為m)，4(“2，)’2)，4(巧，月)

若A4斜率不存在，則A4方程為x=l或工=3,

若A4方程為工=1,根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)A?！?，

則過(guò)4與圓M相切的另一條直線方程為y=i,

此時(shí)該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在A，不合題意;

若A4方程為x=3,根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)A(3,6)，4(3,-G),

則過(guò)A與圓M相切的直線AA3為丁-石=乎。-3),

=江&=_!_=」=05=0

大一天y+必石+必3

“3=0,4(0,0),此時(shí)直線AA3,A2A3關(guān)于/軸對(duì)稱,

所以直線44與圓M相切;

2

若直線A4，AA3，&A斜率均存在，

,111

則&'

所以直線44方程為y-y二一二（工一”），

y十%

整理得工一（y+%仃+凹%=°，

同理直線AA.3的方程為%-（乂+%），+%）'3=°，

直線44的方程為1一（必+為）/+%%=°，

\2+y.y1

MA?與圓M相切，”+?+/2■=]

整理得（丁；-1）貨+2y/+3—y；=0,

AA與圓”相切,同理（y；T）￡+2yM+3-y：=0

所以為，力為方程（y：T）y2+2“y+3-療=0的兩根,

M到直線44的距離為:

油+（%+%），+（__^1-）2

|才+||一K+1一

向-心”；4+1，

所以直線4A3與圓M相切；

綜上若直線A4,A4與圓例相切，則直線44與圓河相切.

6.（2021?浙江高考真題）如圖，已知尸是拋物線V=2px（〃>0）的焦點(diǎn)，力是拋物線的準(zhǔn)線與*軸的交

點(diǎn)，且|M尸|=2,

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)尸的直線交拋物線與兩點(diǎn)，斜率為2的直線/與直線蛆"8,48,x軸依次交于點(diǎn)月

3

0,R,N,且|RN|2=|PNHQN|,求直線，在x軸上截距的范圍.

【答案】(1)/=4x；(2)(-OO,-7-4V3]U[-7+4X/3,1)U(1,+OO).

【解析】(1)因?yàn)閨“q=2,故p=2,故拋物線的方程為：)，2=4乩

(2)設(shè)A8:x=(y+1,A(%,y),雙"方)，N(〃,0),

所以直線/：>>〃'由題設(shè)可得"1且，小

x=ry+1,,

{y2_4x可得y_奶,_4=0,故：^…，凹+%=今，

因?yàn)閨RN『=|PN|.|QM，

又MA:y=，(x+1),

2(〃+1)以

同理y=

Q2々+2_/

x=ty+\

2(〃-1)

由\=上+〃可得”

,"22-1

所以I-2("一叮=2(〃+1)%%2(〃+l)X,

2f-12X2+2-y22%1+2-y

整理得到(一丫=(力-1)2-~-7,

+(2x2+2-y2)(2xl+2-yl)

4(2/-I)2

__________________4(21)2________________(21)2

竽+(必+yJ2-必M-xy%-2(y2+x)+43+4/

士/〃+1丫_3+4/

故Ui卜即，

s+1

令s=2/-l,貝打-且SHO,

4

(空14即,

W2+14W+1>0

故\n-\"1

〃土1

解得”<-7-46或-7+4限〃<1或〃>1.

故直線/在x軸上的截距的范圍為〃W-7-4后或一7+464〃<1或〃>1.

2

7.(2020?浙江高考真題)如圖，已知橢圓q：5+y2=i,拋物線(72：丁2=23(“>0),點(diǎn)力是橢圓。廠與

拋物線。2的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)力的直線/交橢圓G于點(diǎn)笈交拋物線G于"(笈M不同于冷.

(I)若〃=4，求拋物線G的焦點(diǎn)坐標(biāo);

(II)若存在不過(guò)原點(diǎn)的直線/使必為線段47的中點(diǎn)，求夕的最大值.

【答案】(I)￡,0)；(II)—

3240

【解析】(1)當(dāng)夕=人時(shí)，。2的方程為丁=卜，故拋物線G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)；

16832

(II)設(shè)A(x，yj,8(電,y2bM(%為)，I-x=Ay+mt

由'+2y2n(2+42)#+2%犯+加一2=0,

[x=Zy+m

-2A/w-Am,2m

「J田=辦'。+加=。'

22m24pmA2/n

由M在拋物線上，所以區(qū)了/=了匚/=啜二F=4〃，

又.'P'=>y2=2p(Ay+m)=>y2-2pA,y-2pm=0,

\x=A,y+m

2

：.y+y0=2pA,二X]+%=+tn+Ay0+/?=2pA+2m,

x=2nA2+2m------

112+22

IX+2-]

由｛2+)_=A：2+4px=2,：即/+4〃4_2=0

\y2=2px

5

n-2p+J4P2+2=2pA2+Itn-+=2pA2+^y+8p>16P?

所以"4p2+2N18〃,P?*擊,p4鳴,

所以，〃的最大值為吟，此時(shí)A(半lg).

法2：設(shè)直線1:x=/ny+f(/nH0,"0。,A(%,%).

2

將直線/的方程代入橢圓C:5+丁=1得：(M+2)V+2m0,+產(chǎn)—2=0,

所以點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為為=~

m+2

22

將直線I的方程代入拋物線C2:y=2px得：y-2pmy-2pt=0,

所以為%=-2小.，解得+2),因此2Pg2+2廠,

mm2

由無(wú)+蘇=1解得口=4(m+2]+21+勺..160,

2p-Vm)Itn)

所以當(dāng)m==?時(shí)，P取到最大值為典.

540

8.(2019?北京高考真題(理))已知拋物線G義=之”經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-1).

(I)求拋物線。的方程及其準(zhǔn)線方程；

(II)設(shè)。為原點(diǎn)，過(guò)拋物線。的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線/交拋物線。于兩點(diǎn)MM直線*T分別交

直線〃加〃”于點(diǎn)力和點(diǎn)笈求證：以月8為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).

【答案】(I)x2=-4.y,y=l；

(II)見(jiàn)解析.

【解析】(I)將點(diǎn)(2,—1)代入拋物線方程：22=2〃x(-l)可得：p=2,

故拋物線方程為：r=-4y,其準(zhǔn)線方程為：y=l.

(II)很明顯直線/的斜率存在，焦點(diǎn)坐標(biāo)為

設(shè)直線方程為y=丘-1,與拋物線方程聯(lián)立可得：丁+46-4=0.

故：+x2=-4k,xix2=-4.

設(shè)M11,-a,N彳2,-李-?則eM=-今，

直線0”的方程為尸-5,與y=T聯(lián)立可得：AC，-I],同理可得從

4(X))

6

易知以月3為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為:-+-,-1，圓的半徑為:

X9）

且：2+2=2(^+馬)=2左,2__2=2x&4中2=2環(huán),

X1&J^XJX9

則圓的方程為：（工一2%）2+（y+l）2=4（公+i）,

令x=0整理可得：y2+2y-3=0,解得：y=—3,必=1，

即以四為直徑的圓經(jīng)過(guò)〃軸上的兩個(gè)定點(diǎn)（0,-3）,（0,1）.

第二部分模擬訓(xùn)練

過(guò)F的直線/與拋物線相交于A，B兩點(diǎn),尸（6一,）?若

1.已知拋物線d=4y的焦點(diǎn)為產(chǎn),

PB工AB，則|A月=().

35

A.-B.2C.—D.3

22

【答案】D

,尸（0,1）,設(shè)H.手）

【解析】由題意可知

則+,BF

42

因?yàn)槭褹，B，尸三點(diǎn)共線，則由福?麗=0可得際.而=0,

所以一W2+(,+g

=0,即％24+26/2-56=0,

解得％2=2或/2=-28（舍），所以七=±JE.

設(shè)直線4B的方程為y=^+L與拋物線方程聯(lián)立,

y=kx+\、，l

得|［一4，消去y得X一4日一4=°，則//2=-4,所以百=±20.

貝Ijy「今—2.

所以|AF|=y+5=2+l=3.

故選：D.

11I9

2.已知拋物線。：丁二10%的焦點(diǎn)為尸，若點(diǎn)加在拋物線C上，且|"日=不，則點(diǎn)M到軸的距離為

7

A.2B.2石C.4D.2>/10

【答案】A-

【解析】根據(jù)拋物線的定義，得至川孫=%+勺如+:=，解得"2,

即點(diǎn)M到了軸的距離為2.

故選：A.

3.已知拋物線y2=2px（，>0）的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,過(guò)點(diǎn)尸的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A

作準(zhǔn)線/的垂線，垂足為E，當(dāng)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3行,％）時(shí)，9為正三角形，則此時(shí)△OAB的面積為

（）

A.4行B.3百

C.56D.6G

【答案】A

【解析】由拋物線定義得：國(guó)二|4日=36+《，?

由AAE尸為正三角形知，直線A8的傾舜■角為60°,|EF|=2p,

故3>/^+*^=2〃，p-2>/3>

直線A3的方程為y=6卜一相），A（3百,6）

拋物線方程為：y2=4yf3x,

y=y/3（x-y/3}

聯(lián)立，'），得：3/一106+9=0，

y?=4瓜

所以點(diǎn)5的坐標(biāo)為（孝,一2,

所以百X|6+2|=4G.

故選：A.

3.已知以圓C：（工一1）2+尸=4的圓心為焦點(diǎn)的拋物線G與圓在第一象限交于A點(diǎn)，8點(diǎn)是拋物線

C2：d=8y上任意一點(diǎn)，8M與直線>=一2垂直，垂足為M，5MI8M|-|A8|的最大值為（）

A.1B.2C.-1D.8

8

【答案】A

【解析】因?yàn)镃:（x-l『+y2=4的圓心（1,0）

所以以（1,0）為焦點(diǎn)的拋物線方程為V=4x,

y1=4x

由、2,，解得A（l,2）,

（X-1）24-/=4\）

拋物線。2：1=8），的焦點(diǎn)為尸（0,2）,準(zhǔn)線方程為y=-2,如圖,

即有怛閘一|網(wǎng)=忸尸卜|幽4|明=1,

當(dāng)且僅當(dāng)AB,尸（A在民尸之間）三點(diǎn)共線，可得最大值1，

故選：A

4.已知拋物線C：y2=2〃x（〃>0）的焦點(diǎn)為尸，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為拋物線C上兩點(diǎn),

\AO\=\AF|,且|4/|+|B尸|二"，則45的斜率不可能是（）

4

A.一半B.-272C.2y[2D.[

【答案】D

【解析】因?yàn)镕為拋物線C：y2=2pR（P>0）的焦點(diǎn)，所以尸（5,0）,

又|AO|=|W，即尸為等腰三角形，所以5=（,又點(diǎn)A在拋物線y2=2px上，

所以婷=2嶗=。,則乃=±孕…書(shū)，土與）

所以由拋物線的焦半徑公式可得：+]=（〃，

又IW+|"|=￥，所以|3尸|=好即修十齊號(hào)，所以4=〃，

則yj=2〃2,即%=±同,所以8（p,士五p）；

9

&P42p

2V2

當(dāng)A￡3（p,&p）時(shí)，48的斜率為原8=——~2~

4P_—

4

一夜〃一也

P_

當(dāng)AB（p,一尤p）時(shí)，AB的斜率為kAB=-------------2_=-2V2；

42

P-4

V2p+&p

當(dāng)AP_,網(wǎng)p,&p）時(shí)，AB的斜率為L(zhǎng)=上-----=26；

P_

P-

4

-五p十-------

P_2V2

當(dāng)A時(shí)，4B的斜率為&A82

4~P_"T"

P-4

故ABC都能取到，D不能取到.

故選：D.

5.已知A。,。），8（3,0）為4M。的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)。在拋物線工2=4》上，且到焦點(diǎn)的距離為13,則

△A6C的面積為（）

A.12B.13C.14D.15

【答案】A

【解析】解:因?yàn)辄c(diǎn)。在拋物線X2=4），上,設(shè)。（天,％）,

拋物線x2=4y的準(zhǔn)線方程為y=-l,

根據(jù)拋物線的性質(zhì)，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離.

由%+1=13,得%=12,

所以以.席=3*|4卻?%=3乂（3-1）乂12=12.

故選:A

6.若物物線V=8x的準(zhǔn)線與曲線三+?=1（丁之0）只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。滿足的條件是

【答案】（F,0）U[4,M）

【解析】拋物線V=8x的準(zhǔn)線為工=-2,

10

r2v2、

當(dāng)a>0時(shí)，一+;=l(yNO)表示橢圓在X軸上方部分以及左右頂點(diǎn)

所以一&<X<y/a，

r22,

若％二—2與曲線亍+》v=1()，20)只有一個(gè)交點(diǎn)，

則一右工一2，解得aN4,

22

當(dāng)avO時(shí)，工+看=1(),20)表示雙曲線的在入軸上方部分即上支，

此時(shí)X?YO,+OO),

r22

此時(shí)滿足x=—2與曲線二+￡v=1()，NO)只有一個(gè)交點(diǎn)，所以"0，

綜上所述：實(shí)數(shù)。滿足的條件是。<0或。之4,

故答案為：(F,0)U[4,+8)

7.過(guò)拋物線y2=2〃x(〃>0)焦點(diǎn)/的直線/交拋物線于A、B兩點(diǎn)、,其中點(diǎn)A(3,y),且|AF|=4,

則|朋=.

【答案】，

3

【解析】因?yàn)閽佄锞€丁=2川的準(zhǔn)線為4?二一§,點(diǎn)A(3,yJ在拋物線上，所以|A月=3+§=4,解得

P=2,所以拋物線的方程為V=4x.

設(shè)8(與,%)，由點(diǎn)A(3,yJ在拋物線上，可得y=±2g,

由拋物線的對(duì)稱性不妨設(shè)人卜,26)，

又尸(1,0),所以直線AR的斜率A=*=6，

所以直線A尸的方程為y=G(x-1),

代入拋物線方程y2=4x得3f—iOx+3=O，所以西+々=y

所以|A8|=X+X2+p=-y.

故答案為：—

3

11

8.已知拋物線C：V=8x上的點(diǎn)A到。的焦點(diǎn)戶的距離為10,點(diǎn)A在直線工二一2上的射影為4,點(diǎn)

產(chǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為6,則四邊形耳產(chǎn)的周長(zhǎng)為.

【答案】32

【解析】由拋物線的方程V=8x可知，焦點(diǎn)尸（2,0）,直線工=-2為拋物線的準(zhǔn)線，

所以|明|=4,四邊形⑨耳尸為直角梯形.

因?yàn)閨AF|=10,所以根據(jù)拋物線的定義，得|朋|二10,

過(guò)點(diǎn)A作AB_1_X軸于點(diǎn)B,

則忸耳=10-4=6.在尸中,

由勾股定理得|的=8,所以周=8,

所以四邊形明耳尸的周長(zhǎng)為10+10+8+4=32.

故答案為:32.

9.已知雙曲線，營(yíng)=K"℃°）的一條漸近線方程為y=gx，且一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線上版的準(zhǔn)

線上，則該雙曲線的方程為

2

【答案】--/=1

3

【解析】解：?.?雙曲線的一條漸近線方程為y=-^-x-?，①

3a3

???拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程為x=-2,

該雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線丁=8x的準(zhǔn)線上，

二。=2,而°=,.?.。2+從=4，②

由①②，得々2=3，及=1，

???雙曲線的方程為｛一9=].

3

2

故答案為：——y2=\.

3

10.已知拋物線C:Y=2py（p>0）的焦點(diǎn)為R點(diǎn)P（x0,3）為拋物線。上一點(diǎn)，月尸|=4,過(guò)點(diǎn)

A（〃,0）作拋物線C的切線4V（斜率不為0）,設(shè)切點(diǎn)為“

（1）求拋物線。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求證：以用,為直徑的圓過(guò)點(diǎn)4

12

【答案】(1)d=4y；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】(1)因?yàn)槭?%,3)為拋物線上一點(diǎn)，

所以儼目的長(zhǎng)等于P到拋物線準(zhǔn)線丫=_\的距離，

即1尸產(chǎn)|二力+畀3+勺4,解得p=2,

所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2=4y.

(2)直線斜率不存在時(shí)，直線％=。不是拋物線的切線，

所以可設(shè)切線4V的方程為：y=k{x-a},2工0,

fx2=4y.

聯(lián)立直線與拋物線方程得{iz/、，消去y可得/一4奴+43=0，

[y=k(x-a)

因?yàn)橹本€與拋物線相切，???△=16妨2-16必=0，解得

x2-4ar+4?2=0=>x=2a?

所以切點(diǎn)N(2。,/),尸(0,1),A(?0),

222

?,?而=(-〃4)，AN=(a9a),.\AF.AN=-a+a=O-

:?/FAN=90。,以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)力.

11.己知?jiǎng)狱c(diǎn)M到直線x+2=0的距離比到點(diǎn)尸(1,0)的距離大1.

(1)求動(dòng)點(diǎn)〃所在的曲線C的方程；

(2)已知點(diǎn)尸(1,2),48是曲線。上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線A4的斜率與直線尸3的斜率互為相反數(shù)，

證明宜線A6的斜率為定值，并求出這個(gè)定值；

(3)已知點(diǎn)P(l,2),A、B是曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線的斜率與直線的斜率之和為2,證

明：直線A3過(guò)定點(diǎn).

【答案】