高中數(shù)學講義一橢圓標準方程

目錄

1.前言.........................................................................1

2.橢圓的定義的應(yīng)用............................................................2

3.求橢圓的標準方程...........................................................4

4.橢圓的幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用...................................................5

1.前言

《橢圓的標準方程》這節(jié)課在課程標準對這節(jié)課的要求基礎(chǔ)上，對教材進

行加工重組。原來的教學安排是橢圓的定義和標準方程的推導(dǎo)一個課時完成，

而劉老師基于核心素養(yǎng)、學情和課標要求，把這個內(nèi)容分為兩課時完成。在學

生充分理解橢圓定義的基礎(chǔ)上，重新體會坐標法求曲線方程的方法步驟，應(yīng)用

于橢圓標準方程的推導(dǎo)中，通過探究多種推導(dǎo)方法，培養(yǎng)學生的計算能力，初

步建構(gòu)解析思想體系。

一解析思想手中握，建系設(shè)點你做主。學生回顧橢圓的定義，在定義熟練

掌握的基礎(chǔ)上，教師提出如何應(yīng)用坐標法求橢圓的標準方程。問題直接提出

后，學生回顧解析法求曲線方程五個步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡、說明。

學生的思維從幾何定義“走上”代數(shù)方程的轉(zhuǎn)化路程。學生觀察圖形建立坐標

系時，劉老師給學生充分的“自主權(quán)”去建立坐標系并說出自己觀察圖形后的

思考，為學生頭腦中初步建構(gòu)解析思想體系打下堅實的基礎(chǔ)。

二演繹計算多樣化，換元思想來幫忙。教師引導(dǎo)學生借助坐標給圖形“賦

予”了數(shù)，又給學生充足的時間和空間去探究橢圓標準方程。首先把定義中的

幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，而兩個根式相加的方程化簡是本節(jié)課的難點，也是

學生計算的“短板”，為了突破這個難點，劉老師引導(dǎo)學生合作探究，發(fā)散思

維，探尋化簡方法，最后學生展示思維過程，其中有兩名學生計算過程中出現(xiàn)

問題尋求同學和老師的幫助，得到解決。一個學生移項平方后得到本節(jié)課需要

的方程，如果按照常規(guī)設(shè)計，有的老師可能到此處就覺得完成任務(wù)叫停了，但

是劉老師巡視過程中發(fā)現(xiàn)還有其他同學有多種不同的想法，于是鼓勵學生繼續(xù)

展示思維，啟發(fā)其他同學進一步理解數(shù)學計算方法，學生們又分別用直接平方

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及幾種換元方法解決了化簡問題，講解的同學不僅展示自己采用的方法而且說

出自己是如何想到的，生生互動過程中，把數(shù)學思想方法展示得淋漓盡致。因

為學生主動參與學習活動，相互質(zhì)疑，互相學習，突破了復(fù)雜計算這個難點，

培養(yǎng)了數(shù)學計算的核心素養(yǎng)，聽者感覺非常透徹。這樣設(shè)計突破難點方法，教

師必須有足夠的耐心和信心，傾聽學生的思維，拋出關(guān)鍵問題，通過生生互動

師生互動，突破難點，突出重點，為學生建立解決解析幾何計算問題的信心和

決心，這個環(huán)節(jié)在解析幾何教學中必須得到足夠的重視。

三親和詼諧鼓勵多，規(guī)范細節(jié)不放松。本節(jié)課劉老師教態(tài)親和，語言精煉

簡潔，詼諧幽默，板書工整，重點突出，習題和作業(yè)設(shè)計有層次特點。能及時

對學生評價鼓勵，傾聽學生思維展示，抓住學生思維閃光點的同時，精準找到

存在的問題，通過學生互動補充解決問題，能夠看到平時對學生規(guī)范解題的強

調(diào)，注重培養(yǎng)學生思維的邏輯性和嚴密性。學生數(shù)學思維和素養(yǎng)在于平時上課

的點點滴滴，學生在探究數(shù)學奧秘時得到鼓勵和肯定，品嘗成功的喜悅，培養(yǎng)

核心素養(yǎng)同時數(shù)學思維得到升華，培養(yǎng)了學生學會學習的關(guān)鍵能力。

這節(jié)課不是十全十美的，首先由于錄制技術(shù)不專業(yè)，學校的錄播教室設(shè)備

老化不能用，用固定的錄像機錄制，學生探究解決問題的活動錄制不完整，鏡

頭跟蹤沒有，有些學生展示時給的也是背影。其次，學生計算存在問題還有一

些，教師沒有給這些學生提出幫助的機會，后續(xù)老師還要對這些同學予以更多

關(guān)注。第三，對轉(zhuǎn)化思想應(yīng)該進一步強調(diào)，包括幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，圖

形中幾何要素與代數(shù)中字母元素的轉(zhuǎn)化等，為后續(xù)研究橢圓的幾何性質(zhì)奠定基

礎(chǔ)。

數(shù)學之所以有生命力，就在于有趣；數(shù)學之所以有趣，就在于它對思維的

啟迪！希望每一節(jié)數(shù)學課都能看到學生思維升華的美麗！

2.橢圓的定義的應(yīng)用

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1.已知橢圓的長軸長是8,焦距為6,則此橢圓的標準方程

是（）

退

C—4-1

16:

D—-+-=1或料方I

16

解析：

由于%=8.2c=6,則。=4,c=3.Zr=<r-c2=16-9=7,則橢圓

的方程為二+二=1或匯+亡=1，故選B.

167716

2.已知修（-1,0）,&（1,0）是橢圓的兩焦點，過匕的

H線I交橢園于M，、若△M&N的周長為8,則橢網(wǎng)

的方程為（）

22

CT6+15=1D1,匕16+工15~=1

解析：

根據(jù)橢圓的定義有△hFW周長為4?=8,。=2.又c=l.

,b=6焦點在.v軸上，故飾圓的方程為故選A.

41

(2)

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【溫馨提示】

(1)橢圓定義中提到的常數(shù)通常用2a表示，焦距通常用2c表示，2c=

|F1F2|。(1)當2a>2c時，表示橢圓；(2)當2a=2c時,表示線段F1F2；(3)當

2a<2c時，其軌跡不存在。

(2)橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面：一是確認平面內(nèi)與兩定點有關(guān)的

軌跡是否為橢圓；二是當P在橢圓上時，與橢圓的兩焦點Fl,F2組成的三角

形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長；利用定義和余弦定理可求

|PF1|-|PF2|；通過整體代入可求其面積等。

3.求橢圓的標準方程

I.已知圓C：(.r-3)2+/=10()及點4(-3,0)J是制C

上任-點.線段PA的垂宜平?分線I與此相交于。

點.則。點的軌跡方程是)

A?2"B25+fe=I

CT6+i=，D16+9

解析：如圖所示/是PA的垂直平分

線，=L4QI/Q.4I+IQCI=IQCI+

\QP\=10.點Q的軌跡是以I.(：為焦點的

橢圓,且2。=10,c=3,.,.a=5,b=4.故所求

的橢圓方程為為+￡=I.故選A.

士n1O

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焦距等于4,離心率等于駒橢圓的標準方

2.焦點在y軸上,

程是（）

A.F——=1

1612

y2x2

C.-1~=1

1612

加二分+c2,

解析:

設(shè)橢圓方程點,由題意可得2c-4'

g匕c_\l2

a~T9

解得「‘則橢圓的標準方程為:+二L1.故選D.

|^=4,84

【必記結(jié)論】

（1）橢圓方程的一般形式：mx2+ny2=l（m>0,n>0,m黃n）,其焦點位

置有如下規(guī)律，當m<n時，焦點在x軸上；當m>n時，焦點在y軸上.在求

橢圓的標準方程時，有時不知焦點在哪一個坐標軸上，一般可設(shè)所求橢圓的標

準方程為mx2+ny2=l（m>0,n>0,m=n）,不必考慮焦點位置，用待定系數(shù)

法求出m,n的值即可。

（2）求橢圓標準方程的兩個基本方法：

定義法：關(guān)鍵在于充分利用平面幾何知識，并注意畫圖分析，充分挖掘問

題中所隱含的幾何屬性，從而確定動點是否滿足橢圓的定義。

待定系數(shù)法：當已知動點軌跡為橢圓時可以使用待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是確

定橢圓焦點的位置設(shè)出橢圓方程，代入已知條件求得橢圓方程中的系數(shù)。

4.橢圓的幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用

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（2017全國卷川.10）已知橢圓C：4+《=l（〃>/>>

0）的左、右頂點分別為4，（，且以線段①①為宜徑

的園與直線bx-ay+2ab=0相切，則C的離心率為

（）

電n臣c旦

333

A

根據(jù)橢圓方程可求出圓的方程是『+『=蘇，由于直線與圓相

\2ab\

切，根據(jù)點到直線的距離公式可得a,化簡可得3分

'^a-+b-

=標，，3（標一〃）=標，上式兩邊除以標，得3（1一區(qū)）=1,

，e="6,故選A.

.3_______________________________________>

22

2.已知匕，凡分別是橢網(wǎng)與+§=1（。>/>>0）的左、右

焦點，若橢圓上存在點〃,使乙=90。，則橢圓的

離心率e的取值范圍為（）

A.（0,^]