2024-2025學年第二學期七年級數(shù)學期中壓軸題專練（考試時間：120分鐘試卷滿分：100分）一、單項選擇題（本題共10小題，每小題2分，共20分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．（3分）（2024春?宜興市期中）已知3a＝2，3b＝7，3c＝392，則34b﹣2c+6a的值為（）A．1 B．3 C．729 D．92．（3分）（2024春?梁溪區(qū)校級期中）若a＝8131，b＝2741，c＝961，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b3．（3分）（2024春?天寧區(qū)校級期中）從前，一位莊園主把一塊長為a米，寬為b米（a＞b＞100）的長方形土地租給租戶張老漢，第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的長增加10米，寬減少10米，繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”如果這樣，你覺得張老漢的租地面積會（）A．變小了 B．變大了 C．沒有變化 D．無法確定4．（3分）（2024春?興化市期中）若無論x取何值時，關(guān)于x的方程（x+m）（x+n）＝x2﹣2mnx+4總成立，則m2+n2的值是（）A．46 B．56 C．72 D．815．（3分）（2024春?泗陽縣期中）若2024＝2nmk，其中m、n、k均為正整數(shù)，則m+n+k的最大值與最小值的差是（）A．1768 B．455 C．252 D．7576．（3分）（2024春?儀征市期中）小剛把（2025x+2022）2展開后得到ax2+bx+c，把（2024x+2023）2展開后得到mx2+nx+q，則a﹣m的值為（）A．1 B．﹣1 C．4049 D．﹣40497．（3分）（2024春?句容市期中）有兩個正方形A、B，將A、B并列放置后構(gòu)造新的圖形，分別得到長方形圖甲與正方形圖乙．若圖甲、圖乙中陰影的面積分別為12與30，則正方形B的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．68．（3分）（2023春?吳江區(qū)期中）南宋數(shù)學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（a+b）n（n為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律如下，后人也將其稱為“楊輝三角”．則（a+b）10展開式中所有項的系數(shù)和是（）A．2048 B．1024 C．512 D．2569．（3分）（2023春?興化市期中）在數(shù)學中，為了書寫簡便，18世紀數(shù)學家歐拉就引進了求和符號“∑”．如記k=1nk＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，k=3n(x+k)=（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知k=2n[(x+k)(x-k+1)]A．40 B．﹣70 C．﹣40 D．﹣2010．（3分）（2024春?西峽縣期末）如圖，在銳角△ABC中，∠BAC＝54°，將△ABC沿著射線BC方向平移得到△A′B′C′（平移后點A，B，C的對應點分別是點A′，B′，C′），連接CA′，若在整個平移過程中，∠ACA′和∠CA′B′的度數(shù)之間存在2倍關(guān)系，則∠ACA′不可能的值為（）A．18° B．36° C．72° D．108°二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2024春?姑蘇區(qū)校級期中）已知2x+5y﹣3＝0，則44x+y?8y﹣2x＝．12．（3分）（2024春?新吳區(qū)校級期中）已知x﹣y＝4，xy+z2﹣2z+5＝0，則4x+2y×8z＝．13．（3分）（2024春?鼓樓區(qū)校級月考）課本上，公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2是由公式（a+b）2＝a2+2ab+b2推導得出的．已知（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，則（a﹣b）4＝．14．（3分）（2023春?江都區(qū)期中）已知a2+ab+b2＝7，a2﹣ab+b2＝9，則（a+b）2＝．15．（3分）（2023春?泗陽縣期中）由完全平方公式：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab可得a2+b2≥2ab，若a2+b2＝4，則（a﹣b）2的最小值為．16．（3分）（2024春?亭湖區(qū)校級期中）在數(shù)學學習中，完全平方公式是比較熟悉的，例如（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．如圖，兩個正方形ABCD和EFGH重疊放置，兩條邊的交點分別為M、N．AB的延長線與FG交于點Q，CB的延長線與EF交于點P，已知AM＝3，CN＝1，陰影部分的兩個正方形EPBM和BQGN的面積之和為20，則正方形ABCD和EFGH的重疊部分的長方形BMHN的面積為．三．解答題（共8小題，滿分72分）17．（8分）（2024春?東臺市期中）在冪的運算中規(guī)定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x、y是正整數(shù)），則x＝y(tǒng)．利用上面結(jié)論解答下列問題：（1）若9x＝36，求x的值；（2）若3x+2﹣3x+1＝18，求x的值；（3）若m＝2x+1，n＝4x+2x，用含m的代數(shù)式表示n．18．（8分）（2024春?建湖縣期中）如果xn＝y(tǒng)，那么我們規(guī)定[x，y]＝n．例如：因為32＝9，所以[3，9]＝2．（1）[﹣3，81]＝；若[2，y]＝6，則y＝；（2）已知[3，60]＝a，[3，4]＝b，[3，m]＝c，若a﹣b＝c，則m＝；（3）若[4，28]＝x，[7，28]＝y(tǒng)，令t=x+y2xy．①求49y619．（8分）（2024春?秦淮區(qū)期中）通過計算幾何圖形的面積可以驗證一些代數(shù)恒等式．（1）如圖①是一個大正方形被分割成了邊長分別為a和b的兩個正方形，長寬分別為a和b的兩個長方形，利用這個圖形可以驗證公式，這種驗證思路體現(xiàn)了下列哪一個數(shù)學思想（）A．數(shù)形結(jié)合B．分類討論C．類比推理D．轉(zhuǎn)化利用上述公式解決問題：【直接應用】（2）若xy＝4，x+y＝6，則x2+y2＝；【類比應用】（3）若（x﹣2024）2+（2025﹣x）2＝2026，求（x﹣2024）（2025﹣x）的值；【知識遷移】（4）如圖②，在線段CE上取一點D，分別以CD、DE為邊作正方形ABCD、DEFG，連接BG、CG、EG．若陰影部分的面積和為11，△CDG的面積為7，則CE的長度為．20．（8分）（2024春?江都區(qū)校級期中）王老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運用后，要求同學們運用所學知識求代數(shù)式x2+4x+5的最小值．同學們經(jīng)過交流討論，最后總結(jié)出如下解答方法：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因為（x+2）2≥0，所以當x＝﹣2時，（x+2）2的值最小，最小值是0．所以（x+2）2+1≥1．所以當（x+2）2＝0時，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．所以x2+4x+5的最小值是1．依據(jù)上述方法，解決下列問題（1）當x＝時，x2+6x﹣15有最小值是（2）多項式﹣x2+2x+18有最（填“大”或“小”）值，該值為（3）已知﹣x2+5x+y+20＝0，求y+x的最值（4）已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，求△ABC的周長．21．（10分）（2024春?沭陽縣校級期中）從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗證的等式是；（請選擇正確的一個）A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）（2）應用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值；②計算：(1-122．（10分）（2024春?江都區(qū)校級期中）閱讀：在計算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的過程中，我們可以先從簡單的、特殊的情形入手，再到復雜的、一般的問題，通過觀察、歸納、總結(jié)，形成解決一類問題的一般方法，數(shù)學中把這樣的過程叫做特殊到一般．如下所示：[觀察]①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；……（1）[歸納]由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+．．．+x+1）＝（2）[應用]請運用上面的結(jié)論，解決下列問題：計算：22024+22023+22022+22021+…+2+1＝（3）計算：220﹣219+218﹣217+…﹣23+22﹣2+123．（10分）（2024春?新吳區(qū)校級期中）數(shù)學課上，張老師準備了圖①中A、B、C三種型號的卡片做拼圖游戲，其中A型卡片是邊長為a的正方形，B型卡片是長為a、寬為b（b＜a）的長方形，C型卡片是邊長為b的正方形．（1）選取1張A型卡片，4張C型卡片，則應選取張B型卡片，才能用它們拼成一個新的正方形，新的正方形邊長為（用含a，b的代數(shù)式表示）；（2）選取4張B型卡片，按圖②的方式拼圖，則中間正方形作為第四種D型卡片，由此可驗證的等量關(guān)系為．（3）現(xiàn)有A，B，C型號卡片各8張，且a＝4b，從中選取x張拼正方形，每種卡片至少選一張，當所拼正方形邊長最大時，x的最大值為；（4）選取1張圖②中的D型卡片，3張B型卡片，不重疊的放在長方形MNPQ內(nèi)（如圖③），當NP的長度不變，MN的長度變化時，兩塊陰影部分（均為長方形）的面積差S始終為定值，探索a與b的關(guān)系，并說明理由．24．（10分）（2024春?淮安區(qū)校級期中）【問題情境】我們知道對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積可以得到一個數(shù)學等式．例如：由圖1可得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．【活動猜想】（1）寫出由圖2所表示的數(shù)學等式：；【類比探究】（2）①根據(jù)上面的等式，如果將a﹣b看成a+（﹣b），則(n-1②若n2+1【拓展運用】（3）已知實數(shù)a、b、c滿足以下條件：a2+b2+4c2+2ab﹣4bc﹣4ac＝0，a2+4b2+c2﹣4ab﹣4bc+2ac＝0，且a﹣b＝2k+1，求k的值．一、單項選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．（3分）（2024春?宜興市期中）已知3a＝2，3b＝7，3c＝392，則34b﹣2c+6a的值為（）A．1 B．3 C．729 D．9【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法法則、冪的乘方與積的乘方法則進行解題即可．【解答】解：34b﹣2c+6a＝34b÷32c×36a＝（3b）4÷（3c）2×（3a）6＝74÷3922×26＝492×82÷3922＝（49×8）2÷3922＝3922÷3922＝1．故選：A．2．（3分）（2024春?梁溪區(qū)校級期中）若a＝8131，b＝2741，c＝961，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b【分析】先把81，27，9轉(zhuǎn)化為底數(shù)為3的冪，再根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘化簡．然后根據(jù)指數(shù)的大小即可比較大?。窘獯稹拷猓骸遖＝8131＝（34）31＝3124b＝2741＝（33）41＝3123；c＝961＝（32）61＝3122．則a＞b＞c．故選：A．3．（3分）（2024春?天寧區(qū)校級期中）從前，一位莊園主把一塊長為a米，寬為b米（a＞b＞100）的長方形土地租給租戶張老漢，第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的長增加10米，寬減少10米，繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”如果這樣，你覺得張老漢的租地面積會（）A．變小了 B．變大了 C．沒有變化 D．無法確定【分析】原面積可列式為ab，第二年按照莊園主的想法則面積變?yōu)椋╝+10）（b﹣10），又a＞b，通過計算可知租地面積變小了．【解答】解：由題意可知：原面積為ab（平方米），第二年按照莊園主的想法則面積變?yōu)椋╝+10）（b﹣10）＝ab﹣10a+10b﹣100＝[ab﹣10（a﹣b）﹣100]平方米，∵a＞b，∴ab﹣10（a﹣b）﹣100＜ab，∴面積變小了，故選：A．4．（3分）（2024春?興化市期中）若無論x取何值時，關(guān)于x的方程（x+m）（x+n）＝x2﹣2mnx+4總成立，則m2+n2的值是（）A．46 B．56 C．72 D．81【分析】將方程坐標展開，對比兩邊各項的系數(shù)，得出關(guān)于m，n的等式，利用整體思想即可解決問題．【解答】解：由題知，因為（x+m）（x+n）＝x2﹣2mnx+4，所以x2+（m+n）x+mn＝x2﹣2mnx+4，則m+n＝﹣2mn，mn＝4．所以m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝4（mn）2﹣mn＝4×42﹣2×4＝56．故選：B．5．（3分）（2024春?泗陽縣期中）若2024＝2nmk，其中m、n、k均為正整數(shù)，則m+n+k的最大值與最小值的差是（）A．1768 B．455 C．252 D．757【分析】將2024寫成冪的乘積的形式后，求得m+n+k的最大值與最小值即可得出結(jié)論．【解答】解：∵2024＝23×2531，∴此時m+n+k取得最小值為253+1+1＝257；∵2024＝21×10121，∴m+n+k取得最大值為1+1012+1＝1014，∵1014﹣257＝757，∴m+n+k的最大值與最小值的差是757．故選：D．6．（3分）（2024春?儀征市期中）小剛把（2025x+2022）2展開后得到ax2+bx+c，把（2024x+2023）2展開后得到mx2+nx+q，則a﹣m的值為（）A．1 B．﹣1 C．4049 D．﹣4049【分析】根據(jù)完全平方公式分別展開，即可求出a、m的值，然后根據(jù)平方差公式計算即可．【解答】解：（2025x+2022）2＝20252x2+2×2025x×2022+20222，∵（2025x+2022）2展開后得到ax2+bx+c，∴a＝20252，（2024x+2023）2＝20242x2+2×2024x×2023+20232，∵（2024x+2023）2展開后得到mx2+nx+q，∴m＝20242，∴a﹣m＝20252﹣20242＝（2025+2024）×（2025﹣2024）＝4049×1＝4049，故選：C．7．（3分）（2024春?句容市期中）有兩個正方形A、B，將A、B并列放置后構(gòu)造新的圖形，分別得到長方形圖甲與正方形圖乙．若圖甲、圖乙中陰影的面積分別為12與30，則正方形B的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】設正方形A的邊長為a，正方形B的邊長為b，用代數(shù)式表示圖甲、圖乙中陰影部分的面積，整體代入即可得出b2，即正方形B的面積．【解答】解：設正方形A的邊長為a，正方形B的邊長為b，由題意得，a（a+b）﹣a2﹣b2＝12，（a+b）2﹣a2﹣b2＝30，即ab﹣b2＝12，ab＝15，∴b2＝15﹣12＝3，即正方形B的面積為3，故選：A．8．（3分）（2023春?吳江區(qū)期中）南宋數(shù)學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（a+b）n（n為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律如下，后人也將其稱為“楊輝三角”．則（a+b）10展開式中所有項的系數(shù)和是（）A．2048 B．1024 C．512 D．256【分析】根據(jù)“楊輝三角”展開式中所有項的系數(shù)和規(guī)律確定出（a+b）n（n為非負整數(shù)）展開式的項系數(shù)和為2n，求出系數(shù)之和即可．【解答】解：當n＝0時，展開式中所有項的系數(shù)和為1＝20，當n＝1時，展開式中所有項的系數(shù)和為2＝21，當n＝2時，展開式中所有項的系數(shù)和為4＝22，當n＝3時，展開式中所有項的系數(shù)和為8＝23…由此可知（a+b）n展開式的各項系數(shù)之和為2n，則（a+b）10展開式中所有項的系數(shù)和是210＝1024，故選：B．9．（3分）（2023春?興化市期中）在數(shù)學中，為了書寫簡便，18世紀數(shù)學家歐拉就引進了求和符號“∑”．如記k=1nk＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，k=3n(x+k)=（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知k=2n[(x+k)(x-k+1)]A．40 B．﹣70 C．﹣40 D．﹣20【分析】由x2項的系數(shù)可知n＝5，然后列出算式進行計算，再根據(jù)常數(shù)項相等解答．【解答】解：∵x2項的系數(shù)是4，∴n＝5，∴（x+2）（x﹣1）+（x+3）（x﹣2）+（x+4）（x﹣3）+（x+5）（x﹣4）＝（x2+x﹣2）+（x2+x﹣6）+（x2+x﹣12）+（x2+x﹣20）＝4x2+4x﹣40，∵k=2n[（x+k）（x﹣k+1）]＝4x2+4x+∴m＝﹣40．故選：C．10．（3分）（2024春?西峽縣期末）如圖，在銳角△ABC中，∠BAC＝54°，將△ABC沿著射線BC方向平移得到△A′B′C′（平移后點A，B，C的對應點分別是點A′，B′，C′），連接CA′，若在整個平移過程中，∠ACA′和∠CA′B′的度數(shù)之間存在2倍關(guān)系，則∠ACA′不可能的值為（）A．18° B．36° C．72° D．108°【分析】根據(jù)△ABC的平移過程，分點B在BC上和點B在BC外兩種情況，根據(jù)平移的性質(zhì)得到AB∥A′B′，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ACA′和∠CA′B′和∠BAC之間的等量關(guān)系，列出方程求解即可．【解答】解：第一種情況：如圖，當點B′在BC上時，過點C作CG∥AB，∵△A′B′C′由△ABC平移得到，∴AB∥A′B′，∵CG∥AB，AB∥A′B′，∴CG∥A′B′，①當∠ACA′＝2∠CA′B′時，∴設∠CA′B′＝x，則∠ACA′＝2x，∴∠ACG＝∠BAC＝54°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x，∵∠ACA′＝∠ACA′+∠A′CG，∴2x+x＝54°，解得：x＝18°，∴∠ACA′＝2x＝36°，②當∠CA′B′＝2∠ACA′時，∴設∠CA′B′＝x，則∠ACA′=12∴∠ACG＝∠BAC＝54°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x，∵∠ACA′＝∠ACA′+∠A′CG，∴x+12x＝54解得：x＝36°，∴∠ACA′=12x＝18第二種情況：當點B′在△ABC外時，過點C作CG∥AB，∵△A′B′C′由△ABC平移得到，∴AB∥A′B′，∵CG∥AB，AB∥A′B′，∴CG∥A′B′，①當∠ACA′＝2∠CA′B′時，設∠CA′B′＝x，則∠ACA′＝2x，∴∠ACG＝∠BAC＝54°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x，∵∠ACA′＝∠ACG+∠A′1CG，∴2x＝x+54°，解得：x＝54°，∴∠ACA′＝2x＝108°，②當∠CA′B′＝2∠ACA′時，由圖可知，∠CA′B′＜∠ACA′，故不存在這種情況，綜上所述，∠ACA′＝18°或36°或108°，故選：C．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2024春?姑蘇區(qū)校級期中）已知2x+5y﹣3＝0，則44x+y?8y﹣2x＝8．【分析】將原式變形為28x+2y×23y﹣6x，再根據(jù)同底冪的乘法法則計算，最后代入求值即可．【解答】解：∵2x+5y﹣3＝0，∴2x+5y＝3，∴44x+y?8y﹣2x＝（22）4x+y?（23）y﹣2x＝28x+2y×23y﹣6x＝22x+5y＝23＝8，故答案為：8．12．（3分）（2024春?新吳區(qū)校級期中）已知x﹣y＝4，xy+z2﹣2z+5＝0，則4x+2y×8z＝18．【分析】根據(jù)已知可得（y+2）2+（z﹣1）2＝0，根據(jù)非負數(shù)性質(zhì)得到y(tǒng)＝﹣2，z＝1，x＝2代入所求代數(shù)式計算即可．【解答】解：∵x﹣y＝4，∴x＝4+y，∴y（4+y）+z2﹣2z+5＝0，∴y2+4y+4+z2﹣2z+1＝0，∴（y+2）2+（z﹣1）2＝0，∴y＝﹣2，z＝1，x＝2，∴4x+2y×8z＝42+2﹣2×8＝16+1故答案為：18．13．（3分）（2024春?鼓樓區(qū)校級月考）課本上，公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2是由公式（a+b）2＝a2+2ab+b2推導得出的．已知（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，則（a﹣b）4＝a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4．【分析】先變成加法，再根據(jù)（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4求出即可．【解答】解：∵（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，∴（a﹣b）4＝[a+（﹣b）]4＝a4+4a3（﹣b）+6a2（﹣b）2+4a（﹣b）3+（﹣b）4＝a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4，故答案為：a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4．14．（3分）（2023春?江都區(qū)期中）已知a2+ab+b2＝7，a2﹣ab+b2＝9，則（a+b）2＝6．【分析】已知兩等式相加減求出a2+b2與ab的值，原式利用完全平方公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．【解答】解：∵a2+ab+b2＝7①，a2﹣ab+b2＝9②，∴①+②得：2（a2+b2）＝16，即a2+b2＝8，①﹣②得：2ab＝﹣2，即ab＝﹣1，則原式＝a2+b2+2ab＝8﹣2＝6，故答案為：615．（3分）（2023春?泗陽縣期中）由完全平方公式：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab可得a2+b2≥2ab，若a2+b2＝4，則（a﹣b）2的最小值為0．【分析】根據(jù)偶次方的非負性以及完全平方公式解決此題．【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab≥0，∴a2+b2≥2ab．∴4≥2ab．∴ab≤2．∴﹣ab≥﹣2．∴﹣2ab≥﹣4．a(chǎn)2+b2≥2ab∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4﹣2ab≥0．∴（a﹣b）2的最小值為0．故答案為：0．16．（3分）（2024春?亭湖區(qū)校級期中）在數(shù)學學習中，完全平方公式是比較熟悉的，例如（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．如圖，兩個正方形ABCD和EFGH重疊放置，兩條邊的交點分別為M、N．AB的延長線與FG交于點Q，CB的延長線與EF交于點P，已知AM＝3，CN＝1，陰影部分的兩個正方形EPBM和BQGN的面積之和為20，則正方形ABCD和EFGH的重疊部分的長方形BMHN的面積為8．【分析】設BN＝a，BM＝b，則得a2+b2＝20，由正方形的邊長相等得：a+1＝b+3，得a﹣b＝2；由完全平方公式即可求得ab的值，從而求解．【解答】解：設BN＝a，BM＝b，由于陰影部分的兩個正方形EPBM和BQGN的面積之和為20，即a2+b2＝20，∵BC＝BN+CN＝a+1，AB＝BM+AM＝b+3，且四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC，即a+1＝b+3，得a﹣b＝2，即（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝4，∴2ab＝a2+b2﹣4＝16，∴ab＝8，即S長方形BMHN＝BN?BM＝ab＝8；故答案為：8．三．解答題（共8小題，滿分72分）17．（8分）（2024春?東臺市期中）在冪的運算中規(guī)定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x、y是正整數(shù)），則x＝y(tǒng)．利用上面結(jié)論解答下列問題：（1）若9x＝36，求x的值；（2）若3x+2﹣3x+1＝18，求x的值；（3）若m＝2x+1，n＝4x+2x，用含m的代數(shù)式表示n．【分析】（1）利用冪的乘方的法則進行運算即可；（2）利用同底數(shù)冪的乘法的法則進行運算即可；（3）利用冪的乘方的法則進行運算即可．【解答】解：（1）∵9x＝36，∴32x＝36，∴2x＝6，解得：x＝3；（2）∵3x+2﹣3x+1＝18，∴3x+1×3﹣3x+1＝18，2×3x+1＝2×32，∴x+1＝2，解得：x＝1；（3）∵m＝2x+1，n＝4x+2x，∴n＝（2x）2+2x＝2x（2x+1）＝m2x＝m（m﹣1）＝m2﹣m．18．（8分）（2024春?建湖縣期中）如果xn＝y(tǒng)，那么我們規(guī)定[x，y]＝n．例如：因為32＝9，所以[3，9]＝2．（1）[﹣3，81]＝4；若[2，y]＝6，則y＝64；（2）已知[3，60]＝a，[3，4]＝b，[3，m]＝c，若a﹣b＝c，則m＝15；（3）若[4，28]＝x，[7，28]＝y(tǒng)，令t=x+y2xy．①求49y6【分析】（1）根據(jù)已知條件中的新定義，求出答案即可；（2）根據(jù)已知條件中的新定義，把m表示出來，再利用同底數(shù)冪相除法則求出3a﹣b，3c的值，從而求出答案；（3）①根據(jù)已知條件中的新定義，把49寫成72，64寫成43，逆用冪的乘方法則求出答案即可；②根據(jù)已知條件逆用同底數(shù)冪相乘法則把28x+y寫成28x?28y的形式，然后把28寫成7y，4x的形式，通過計算得到x+y與xy的關(guān)系，然后進行約分即可．【解答】解：（1）∵34＝81，∴[3，81]＝4，∵[2，y]＝6，∴y＝26＝64，故答案為：4，64；（2）∵[3，60]＝a，[3，4]＝b，[3，m]＝c，∴3a＝60，3b＝4，3c＝m，∴3a÷3b＝60÷4＝15，3a﹣b＝15，∵a﹣b＝c，∴3c＝15，∴m＝15，故答案為：15；（3）①∵[4，28]＝x，[7，28]＝y(tǒng)，∴4x＝7y＝28，∴4=(=(=2=1②∵由①得：4x＝7y＝28，∴28x+y＝28x?28y＝（7y）x?（4x）y＝7xy?4xy＝（7×4）xy＝28xy，∴x+y＝xy，∴t=x+y19．（8分）（2024春?秦淮區(qū)期中）通過計算幾何圖形的面積可以驗證一些代數(shù)恒等式．（1）如圖①是一個大正方形被分割成了邊長分別為a和b的兩個正方形，長寬分別為a和b的兩個長方形，利用這個圖形可以驗證公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，這種驗證思路體現(xiàn)了下列哪一個數(shù)學思想（A）A．數(shù)形結(jié)合B．分類討論C．類比推理D．轉(zhuǎn)化利用上述公式解決問題：【直接應用】（2）若xy＝4，x+y＝6，則x2+y2＝28；【類比應用】（3）若（x﹣2024）2+（2025﹣x）2＝2026，求（x﹣2024）（2025﹣x）的值；【知識遷移】（4）如圖②，在線段CE上取一點D，分別以CD、DE為邊作正方形ABCD、DEFG，連接BG、CG、EG．若陰影部分的面積和為11，△CDG的面積為7，則CE的長度為8．【分析】（1）圖①中大正方形的面積可用“邊長的平方”和“各部分面積之和”兩種不同的方法來表示，通過數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想驗證一個乘法公式；（2）根據(jù)（1）中得到的等式計算即可；（3）設x﹣2024＝m，2025﹣x＝n，則m+n＝1，m2+n2＝2026，（x﹣2024）（2025﹣x）＝mn，根據(jù)（1）中得到的等式計算mn的值即可；（4）設正方形ABCD的邊長為a，正方形DEFG的邊長為b，則CE＝a+b．根據(jù)陰影部分的面積得a2﹣ab+b2＝22，根據(jù)△CDG的面積得ab＝14，計算出（a+b）2，從而求出a+b的值．【解答】解：（1）圖①中大正方形的面積用“邊長的平方”表示為（a+b）2，用“各部分面積之和”表示為a2+2ab+b2，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想驗證了公式（a+b）2＝a2+2ab+b2．故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2，A．（2）∵xy＝4，x+y＝6，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝36，即x2+y2+8＝36，∴x2+y2＝28．故答案為：28．（3）設x﹣2024＝m，2025﹣x＝n，則m+n＝1，m2+n2＝2026，（x﹣2024）（2025﹣x）＝mn，∴（m+n）2＝m2+2mn+n2＝1，即2026+2mn＝1，∴mn=-2025∴（x﹣2024）（2025﹣x）=-2025（4）設正方形ABCD的邊長為a，正方形DEFG的邊長為b，則CE＝a+b．∵S△ABG=12AG?AB=12（a﹣b）a，S△EFG=12EF∴S陰影＝S△ABG+S△EFG=12（a﹣b）a+12b2＝11，經(jīng)整理，得a2﹣ab∵S△CDG=12CD?DG=∴ab＝14，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝a2﹣ab+b2+3ab＝22+3×14＝64，∴a+b＝8或﹣8（舍去），∴CE＝8．故答案為：8．20．（8分）（2024春?江都區(qū)校級期中）王老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運用后，要求同學們運用所學知識求代數(shù)式x2+4x+5的最小值．同學們經(jīng)過交流討論，最后總結(jié)出如下解答方法：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因為（x+2）2≥0，所以當x＝﹣2時，（x+2）2的值最小，最小值是0．所以（x+2）2+1≥1．所以當（x+2）2＝0時，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．所以x2+4x+5的最小值是1．依據(jù)上述方法，解決下列問題（1）當x＝﹣3時，x2+6x﹣15有最小值是﹣24（2）多項式﹣x2+2x+18有最大（填“大”或“小”）值，該值為19（3）已知﹣x2+5x+y+20＝0，求y+x的最值（4）已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，求△ABC的周長．【分析】（1）化成完全平方公式和的形式計算即可；（2）化成完全平方公式和的形式計算即可；（3）把原式化成y＝x2﹣5x﹣20再利用完全平方公式計算y+x即可；（4）化成完全平方公式和的形式計算出a、b的值，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷即可．【解答】解：（1）x2+6x﹣15＝（x+3）2﹣24，∵（x+3）2≥0，∴當x＝﹣3時，（x+3）2的值最小，最小值是0，∴（x+3）2﹣24≥﹣24，∴當（x+3）2＝0時，（x+3）2﹣24的值最小，最小值是﹣24，∴x2+6x﹣15的最小值是﹣24；故答案為：﹣3，﹣24；（2）﹣x2+2x+18＝﹣（x﹣1）2+19，∵（x﹣1）2≥0，∴當x＝1時，﹣（x﹣1）2的值最大，最大值是0，∴﹣（x﹣1）2+19≤19，∴當（x﹣1）2＝0時，﹣（x﹣1）2+19的值最大，最大值是19；故答案為：大，19；（3）∵﹣x2+5x+y+20＝0，∴y＝x2﹣5x﹣20，∴y+x＝x2﹣5x﹣20+x＝x2﹣4x﹣20＝（x﹣2）2﹣24，∵（x﹣2）2≥0，∴當x＝2時，（x﹣2）2的值最小，最小值是0，∴（x﹣2）2﹣24≥﹣24，∴當（x﹣2）2＝0時，（x﹣2）2﹣24的值最小，最小值是﹣24；∴y+x的最小值是﹣24；（4）∵a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，∴（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0，∴a＝1，b＝4，∴邊長c的范圍為4﹣1＜c＜4+1．∵a，b，c都是正整數(shù)，∴邊長c的值為4，∴△ABC的周長為1+4+4＝9．21．（10分）（2024春?沭陽縣校級期中）從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗證的等式是B；（請選擇正確的一個）A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）（2）應用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值；②計算：(1-1【分析】（1）分別用代數(shù)式表示圖1、圖2陰影部分的面積即可；（2）①根據(jù)平方差公式將x2﹣4y2＝12化為（x+2y）（x﹣2y）＝12，再整體代入計算即可；②利用平方差公式將原式化為（1-12）（1+12）（1-13）（1+13）（1-14）（1+14）【解答】解：圖1陰影部分可以看作兩個正方形的面積差，即a2﹣b2，拼成的圖2是長為（a+b），寬為（a﹣b）的長方形，因此面積為（a+b）（a﹣b），所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：B；（2）①∵x2﹣4y2＝12，∴（x+2y）（x﹣2y）＝12，又∵x+2y＝4，∴x﹣2y＝12÷4＝3，答：x﹣2y的值為3；②原式＝（1-12）（1+12）（1-13）（1+13）（1-14）（1+1=1=12×22．（10分）（2024春?江都區(qū)校級期中）閱讀：在計算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的過程中，我們可以先從簡單的、特殊的情形入手，再到復雜的、一般的問題，通過觀察、歸納、總結(jié)，形成解決一類問題的一般方法，數(shù)學中把這樣的過程叫做特殊到一般．如下所示：[觀察]①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；……（1）[歸納]由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+．．．+x+1）＝xn+1﹣1（2）[應用]請運用上面的結(jié)論，解決下列問題：計算：22024+22023+22022+22021+…+2+1＝22025﹣1（3）計算：220﹣219+218﹣217+…﹣23+22﹣2+1【分析】（1）根據(jù)題意得到規(guī)律即可；（2）由（2﹣1）（22024+22023+22022+22021+…+2+1）＝22025﹣1即可得到答案；（3）設S＝220﹣219+218﹣217+…﹣23+22﹣2+1①，則2S＝221﹣220+219﹣218+…﹣24+23﹣22+2②，①+②后即可得到答案．【解答】解：（1）由題意可得，（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+．．．+x+1）＝xn+1﹣1故答案為：xn+1﹣1；（2）由題意可得，（2﹣1）（22024+22023+22022+22021+…+2+1）＝22025﹣1，∴22024+22023+22022+22021+…+2+1＝22025﹣1故答案為：22025﹣1；（3）設S＝220﹣219+218﹣217+…﹣23+22﹣2+1①則2S＝221﹣220+219﹣218+…﹣24+23﹣22+2②①+②得，3S＝221+1∴S=223．（10分）（2024春?新吳區(qū)校級期中）數(shù)學課上，張老師準備了圖①中A、B、C三種型號的卡片做拼圖游戲，其中A型卡片是邊長為a的正方形，B型卡片是長為a、寬為b（b＜a）的長方形，C型卡片是邊長為b的正方形．（1）選取1張A型卡片，4張C型卡片，則應選取4張B型卡片，才能用它們拼成一個新的正方形，新的正方形邊長為a+2b（用含a，b的代數(shù)式表示）；（2）選取4張B型卡片，按圖②的方式拼圖，則中間正方形作為第四種D型卡片，由此可驗證的等量關(guān)系為（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；．（3）現(xiàn)有A，B，C型號卡片各8張，且a＝4b，從中選取x張拼正方形，每種卡片至少選一張，當所拼正方形邊長最大時，x的最大值為，21；（4）選取1張圖②中的D型卡片，3張B型卡片，不重疊的放在長方形MNPQ內(nèi)（如圖③），當NP的長度不變，MN的長度變化時，兩塊陰影部分（均為長方形）的面積差S始終為定值，探索a與b的關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)多項式與多項式相乘的法則即可進行計算；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)即可解決問題；（3）利用正方形的面積即可解