第第頁(yè)子數(shù)列與增減項(xiàng)的問題子數(shù)列問題(包括數(shù)列中的奇偶項(xiàng)、公共項(xiàng)數(shù)列以及分段數(shù)列)與數(shù)列的增減項(xiàng)問題是近幾年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，一般方法是構(gòu)造新數(shù)列，利用新數(shù)列的特征(等差、等比或其他特征)求解原數(shù)列.子數(shù)列問題典例1(1)(2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷)將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為.(2)記由數(shù)列{an}和{bn}的公共項(xiàng)組成的數(shù)列為{cn}，已知an=3n-2，bn=2n，若{cn}為遞增數(shù)列，且c5=bm=at，則m+t=.方法總結(jié)：1.解答數(shù)列中公共項(xiàng)問題的關(guān)鍵在于觀察這些公共項(xiàng)的規(guī)律，判斷其是否構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列.2.兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)是等差數(shù)列，公差是兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)；兩個(gè)等比數(shù)列的公共項(xiàng)是等比數(shù)列，公比是兩個(gè)等比數(shù)列公比的最小公倍數(shù).1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學(xué)問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，把所有被3除余2的正整數(shù)從小到大排列組成數(shù)列{an}，把所有被5除余3的正整數(shù)從小到大排列組成數(shù)列{bn}，把{an}與{bn}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{cn}，則下列說法正確的是().A.a1+b2=c2 B.b8-a2=c4C.b23=c8 D.a6b2=c92.將數(shù)列{2n-1}與{n2}的公共項(xiàng)按照從小到大的順序排列得到一個(gè)新數(shù)列{an}，則新數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.增減項(xiàng)問題典例2已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an+1=2Sn+2(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這(n+2)個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為dn的等差數(shù)列，在數(shù)列{dn}中是否存在3項(xiàng)dm，dk，dp(其中m，k，p成等差數(shù)列，且m≠k≠p)成等比數(shù)列?若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.方法總結(jié)：解答數(shù)列中的增減項(xiàng)問題時(shí)，先觀察增加或減少以后的數(shù)列是等差數(shù)列，等比數(shù)列，還是局部具有等差或等比特征的數(shù)列，然后按照各自的性質(zhì)進(jìn)行求解.已知數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足4an=an+12-an2-4，且a1=2，b1=1，(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)若從{an}中去掉與數(shù)列{bn}相同的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原來的順序組成數(shù)列{cn}，設(shè)T100=c1+c2+c3+…+c100，求T100.

參考答案微專題01子數(shù)列與增減項(xiàng)的問題考向1子數(shù)列問題典例1(1)3n2-2n(2)352【解析】(1)因?yàn)閿?shù)列{2n-1}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列{3n-2}是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，所以{an}的前n項(xiàng)和為n·1+n(n-1)2·6=3n(2)由已知得c1=b2=a2=4，設(shè)cn=bm=at，即cn=2m=3t-2，則bm+1=2m+1=2(3t-2)，由bm+1=3t'-2，得t'=6t因?yàn)閠'不是正整數(shù)，所以bm+1不是公共項(xiàng).同理，由bm+2=2m+2=4(3t-2)=3t'-2，得t'=4t-2，故cn+1=bm+2=a4t-2.因?yàn)閏1=b2=a2=4，所以c2=b4=a6，c3=b6=a22，c4=b8=a86，c5=b10=a342，故當(dāng)n=5時(shí)，m=10，t=342，故m+t=352.培優(yōu)精練1.C【解析】根據(jù)題意可知，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，所以an=2+3(n-1)=3n-1，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公差為5的等差數(shù)列，所以bn=3+5(n-1)=5n-2，數(shù)列{an}與{bn}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{cn}，故數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為8，公差為15的等差數(shù)列，cn=8+15(n-1)=15n-7.對(duì)于A，a1+b2=2+2×5-2=10，c2=15×2-7=23，a1+b2≠c2，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，b8-a2=5×8-2-3×2+1=33，c4=15×4-7=53，b8-a2≠c4，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，b23=5×23-2=113，c8=15×8-7=113，b23=c8，故C正確；對(duì)于D，a6b2=(3×6-1)×(5×2-2)=136，c9=15×9-7=128，a6b2≠c9，故D錯(cuò)誤.故選C.2.an=(2n-1)2【解析】{2n-1}中的項(xiàng)為全體正奇數(shù)，對(duì)于數(shù)列{n2}，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，n2為偶數(shù)，當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，n2為正奇數(shù)，所以數(shù)列{2n-1}與{n2}的公共項(xiàng)按照從小到大的順序排列得到的新數(shù)列為12，32，52，…，所以新數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(2n-1)2.考向2增減項(xiàng)問題典例2【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由題意知當(dāng)n=1時(shí)，a1q=2a1+2，①當(dāng)n=2時(shí)，a1q2=2(a1+a1q)+2，②由①②解得a1=2，q=3，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2×3n-1.(2)不存在.理由如下：由(1)知an=2×3n-1，則an+1=2×3n，所以an+1=an+(n+2-1)dn，所以dn=an+1-假設(shè)數(shù)列{dn}中存在3項(xiàng)dm，dk，dp(其中m，k，p成等差數(shù)列，且m≠k≠p)成等比數(shù)列，則dk2=dm·d所以4×3k-1k+12=4×即4×3k-1k+12又因?yàn)閙，k，p成等差數(shù)列，所以2k=m+p，所以(k+1)2=(m+1)(p+1)，化簡(jiǎn)得k2+2k=mp+m+p，所以k2=mp，又2k=m+p，所以k=m=p，這與已知矛盾.所以在數(shù)列{dn}中不存在3項(xiàng)dm，dk，dp(其中m，k，p成等差數(shù)列，且m≠k≠p)成等比數(shù)列.培優(yōu)精練【解析】(1)因?yàn)?an=an+12-a所以an+12=(an+2)2，又an所以an+1=an+2，即an+1-an=2，又a1=2，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，所以an=2+(n-1)·2=2n.設(shè){bn}的公比為q，因?yàn)閎4=a4=8，b1=1，所以q3=8，解得q=2，所以bn=2n-1.綜上，數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=2n，bn=2n-1.(2)由(1)知b1=1，b2=2=a1，b3=4=a2，b