6.2.4向量的數量積

【學習目標】

素養(yǎng)目標學科素養(yǎng)

1.理解平面向量數量積的含義并會計算。（重點）

1.數學運算；

2.理解a在6上的投影向量的概念。（重點）

2.數學抽象；

3.理解平面向量夾角、模的定義，并會求向量的夾角和模。（難點）

3.邏輯推理。

4.掌握平面向量數量積的性質及其運算律，并會應用。

【自主學習】

—.兩向量的夾角

1.定義：已知兩個非零向量a,b,。是平面上的任意一點，作灑=a,OB=b,則N/如=〃（0

W“）叫做向量a與b的夾角.

注意：①當。=0時，向量a與8；

_JT?

②當。=萬時，向量a與b,記作a_L8；

③當J=JT時，向量a與力_______.

注意：只有兩個向量的起點重合時所對應的角才是兩向量的夾角，如圖所示，/C

N胡。不是向量冷與范的夾角.作位）=游，則N%〃才是向量方與益的夾角..?/-------

二.向量的數量積

已知兩個向量a與b,我們把數量|a||引cos，叫做向量a與6的（或—）,

記作a?6,即a?b=a||引cos。（〃為a,6的夾角）.

規(guī)定：零向量與任一向量的數量積為.

注意：（1）“?”是數量積的運算符號，既不能省略不寫，也不能寫成“X”；

（2）數量積的結果為數量，不再是向量;

⑶向量數量積的正負由兩個向量的夾角〃決定：當〃是銳角時，數量積為正；當〃是鈍角時，

數量積為負；當。是直角時，數量積等于零.

三.投影向量

若與人方向相同的單位向量為e,a與，的夾角為，，則向量a在向量b上的投影向量為

a|cos0e.

當〃=0時，投影向量為；當時，投影向量為；當。=n時，投影向量

為.

四.向量數量積的性質

設a,8是非零向量，它們的夾角是，，e是與b方向相同的單位向量，則

（1）a,e=e,a=.

（2）aJ_Zx=>.

（3）當a與8同向時，a?b=；當a與b反向時，a*b=.特別地，a*a=或

i

=y]a>a.

⑷|a?b|W|a||b|.

a,?h

(5)cos0=,其中〃是非零向量a與力的夾角.

Ia\b

數量積的性質的應用：

性質(2)可用于解決與兩個非零向量垂直有關的問題；

性質(3)表明：當兩個向量相等時，這兩個向量的數量積等于向量長度的平方，因此可用于求

向量的模；

性質⑷可以解決有關“向量不等式”的問題；

性質(5)的實質是平面向量數量積的逆用，可用于求兩向量的夾角，也稱為夾角公式.

五.向量數量積的運算律

已知向量a,b,c和實數兒，則

(1)交換律:；

(2)數乘結合律：；

(3)分配律：.

注意：(1)向量的數量積不滿足消去律；若a,b,c均為非零向量，且a但得不到a

=b.

⑵(a?Z?),cWa?(b?c),因為a?b,b?c是數量積，是實數，不是向量，所以(a?6)?c

與向量c共線，a?(力?c)與向量a共線，因此，(a?力)?c=a?(。?c)在一般情況下不成立.

(3)推論:(a+b)2=a+2a,Z>+Z>2.

【小試牛刀】

思維辨析(對的打“v”，錯的打“X”)

(1)兩個向量的數量積仍然是向量.()

(2)若a?6=0,則a與b至少有一個為零向量.()

(3)若a?/>>(),則a與b的夾角為銳角.()

(4)若a?c=b?c(cWO),貝Ua=b.()

⑸對于任意向量a,都有()

(6)a,6共線b\.()

【經典例題】

題型一求平面向量的數量積

點撥：求向量的數量積時，需明確兩個關鍵點：模和夾角.若相關向量是兩個或兩個以上向量

的線性運算，則需先利用向量數量積的運算律及多項式乘法的相關公式進行化簡.

例1已知|a=5,|引=4,a與b的夾角為120°,試求：

⑴a,b；

(2)(a+8)?(a—6)；

(3)(2a-b)*(a+32>).

2

【跟蹤訓練】1如圖，在口力5(力中，|宓|=4,|沏=3,ZDAB=QQ°,求:DC

(1)AB-反I；(2)AC-BD.

A-----------

題型二求向量的模

點撥：求模問題一般轉化為求模的平方，靈活應用&?&=&2=上『或|司=4/

例2已知平面向量a與。的夾角為60°,a\=2,b\=l,則|a+26|=

【跟蹤訓練】2已知向量a與8的夾角為45°,且|a|=l,|2a+6|=MI5,則b=.

題型三求兩向量的夾角

a.?h

點撥：求向量a與6夾角的關鍵是計算a及a\b\,利用cosS=~~下訂，0G[0,n],

a\b\

求出J的值.

在個別含有IH，I引與a?力的等量關系中，常利用消元思想計算cos〃的值.

例3(1)已知|a|=6,力|=4,(a+2b)?(a-3b)=-72,則a與b的夾角為；

(2)已知非零向量a,6滿足|a|=2|6,且(a—力?,則a與力的夾角為.

【跟蹤訓練】3已知單位向量e”62的夾角為才，求向量a=&+ez,8=ez—2?的夾角.

O

題型四利用向量垂直求參數

點撥：常用向量數量積的性質3_1g2?6=0解決向量垂直問題，應熟練掌握.

例4已知a=2,引=3,則當A為何值時，向量3a+2,與4a—b互相垂直?

3

【跟蹤訓練】4已知向量a與6的夾角是?，且|a|=l,b=2,若（小a+46）_La,則實數

O

4=.

【當堂達標】

1.下列命題正確的是()

A.\a*b\=a\b\B.a?a|+)|WO

C.a,6=0=ab=0D.(a+b)?c=a,c+b?c

2.在△45。中，AB-AC<0,則△/8。是（C）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等邊三角形

3.已知平面向量a,8滿足a?（a+6）=3且a=2,b\=\,則向量a與6的夾角為（）

JT

A-T

4.已知向量a與8的夾角為120°,且|a|=4,|力=2,則|a+6|=,|3a—48=____.

5.已知|a|=3,|b|=5,a,b=—12,且e是與力方向相同的單位向量，則a在人上的投影向

量為.

6.已知向量a,6的夾角為60°,且a\=2,\b\=\,若c=2a—b,d=a+2b,求：

⑴c?d；⑵|c+2H.

【課堂小結】

L兩向量a與8的數量積是一個實數，不是一個向量，其值可以為正（當aNO,

4

JIJIJI

時），也可以為負（當于V“時），還可以為（當或或于時）.

3乙aWO"WO,乙OW08=06=06=乙

2.兩非零向量a,b,&_!_%"?6=0,求向量模時要靈活運用公式Ia|

a?b

3.求兩個非零向量a,力的夾角，或其余弦值一般采用夾角公式cosJ=G7E，根據題中條

件分別求出㈤，力|和a確定，時要注意。e[0,n].

【參考答案】

【自主學習】

一.同向垂直反向

二.非零數量積內積0

三.aeQ-ae

四.|a|cos0a,Z>=0|a\b\—\a\ba

五.a,b=b*a(4a)?b=4(a?8)=a?(t>)(a+b)?c=a,c+b,c

【小試牛刀】

⑴X(2)X(3)X(4)X(5)V(6)X

【經典例題】

例1解⑴a\\b\cosl20°=5X4X(―；)=-40.

(2)(a+b)?(a—Z>)=a—a?b+a,2>—￡>'=a'—Z>'=Iab2=25—16=9.

(3)(2a-A)?(a+3b)=2，+6a?b~a?Z>-3Z>2=2|a|2+5a?Z>-3|/>|2=2X25-5X10-3X16

=-48.

【跟蹤訓練】1解（1）因為曬質的夾角為60°,所以葩與方的夾角為120°,

所以葩?而=|荔||應|?cos120°=4*3*（一；）=-6.

（2）因為范三麗就BD=AD-AB,所以范?詼=（油+沏?（矗一疵=瘋一宓=9-16=一

7.

例22小解：|a+26|=g（a+2b）,8+44=#|a|°+41a|引cos60°+4|引?

=^j4+4X2Xlx1+4=2^3.

【跟蹤訓練】2/解：因為12a+引=亞，所以（2a+6）2=10,所以4，+4a?8+斤=10,

又因為向量a與6的夾角為45°且|a|=l,所以4XF+4X1*|引X^+|引=口

整理得|2m|-6=0,解得|引=隹或|引=一3?。ㄉ崛ィ?

、JIJI

例3⑴彳⑵丁

OO

解析(1)設a與6的夾角為0,(a+26)?(a—3Z?)=a,a—3a?b+2b?a—6b?b

5

=|a\~—a*b—6\b\1=\a\~^\a\b\cos。-61引'=6'—6X4Xcos〃-6X4'=-72,

所以24cos，=36+72-96=12,所以cos又因為夕w[。，兀],所以

乙0

(2)設a與b的夾角為0,由(a—b)_Lb,得(a—b)?b=0,所以a9b=b~,所以cos0=-

又因為㈤=2|引，所以cos.又因為〃e[0,所以。=?.

乙b4a

【跟蹤訓練】3解：???2,當為單位向量且夾角為？，

兀1

ei?e=1X1Xcos-=7.

2o乙

I3

■:a*b=M+e》?(e?-2?)=-2—??a+l=-2—g+l=-

2JT2n

又???夕￡[0,冗],，。==-,???a與力的夾角為up

oo

例4解：因為3a+2。與尬一6互相垂直，

所以(3a+26)?(旅-6)=0,所以34a?+(24-3)a?6-2斤=0.

3

因為所以a?6=0,又|a|=2,b=3,所以124—18=0,k—~

【跟蹤訓練】4f解析：根據題意得a-b=a\?\bcos?=1,因為(小a+

o

所以(ma+兒b),a=y[3^+Aa,b=y[3+A=0,所以兒=—十.

【當堂達標】

1.D解析：選項D是分配律，正確，A、B、C不正確.

—?―?—?—?

2.C解析：???加?47=|力血〃Clcos水0,「.cos水0,，力是鈍角，則是鈍角三角形.

3.C解析：選C.因為a?(a+6)=/+a?6=4+2cos〈a,b}=3,所以cos〈26〉

9n

又因為〈a,b)G[0,n],所以{a,b)=—.