專題05解析幾何解答題鞏固練習二1．（2023·全國·河南省實驗中學?？寄M預測）已知橢圓的左右焦點分別為是橢圓的中心，點為其上的一點滿足．(1)求橢圓的方程；(2)設定點，過點的直線交橢圓于兩點，若在上存在一點，使得直線的斜率與直線的斜率之和為定值，求的范圍．【答案】(1)；(2)或【解析】（1）設，在中，設，，，，，所以橢圓的方程為：（2）設，直線的方程為，，，，設，若為常數(shù)，則，即，而此時，又，即或，綜上所述，或，存在點，使得直線的斜率與直線的斜率之和為定值2．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在直角坐標平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；【解析】（1）由得直線是拋物線的一條切線．所以，所以橢圓（2）

當直線與軸平行時，以為直徑的圓方程為當直線與軸重合時，以為直徑的圓方程為所以兩圓的交點為點猜想：所求的點為點．證明如下．當直線與軸垂直時，以為直徑的圓過點當直線與軸不垂直時，可設直線為：由得，設，則則所以，即以為直徑的圓過點所以存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點．3．（2023·河南洛陽·模擬預測）已知橢圓：的離心率為，右焦點為，，分別為橢圓的左、右頂點.(1)求橢圓的方程；(2)過點作斜率不為的直線，直線與橢圓交于，兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；(3)在（2）的條件下，直線與直線交于點，求證：點在定直線上.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析【解析】（1）依題可得，解得，所以，所以橢圓的方程為．（2）設，，因為直線過點且斜率不為，所以可設的方程為，代入橢圓方程得，其判別式，所以，.兩式相除得，即．因為分別為橢圓的左、右頂點，所以點的坐標為，點的坐標為，所以，．從而．（3）由（1）知，設，則，所以直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以直線與直線的交點的坐標為，所以點在定直線上.4．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）設雙曲線的左、右焦點分別為，，且E的漸近線方程為．(1)求E的方程；(2)過作兩條相互垂直的直線和，與E的右支分別交于A，C兩點和B，D兩點，求四邊形ABCD面積的最小值．【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意，得的漸近線方程為，因為雙曲線的漸近線方程為，所以，即，又因為，所以，則，故的方程為．（2）根據(jù)題意，直線，的斜率都存在且不為0，設直線，，其中，因為，均與的右支有兩個交點，所以，，所以，將的方程與聯(lián)立，可得，設，則，，所以，用替換，可得，所以．令，所以，則，當，即時，等號成立，故四邊形面積的最小值為．

5．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為.(1)求的方程；(2)過雙曲線的右焦點作互相垂直的兩條弦（斜率均存在）、.兩條弦的中點分別為、，那么直線是否過定點?若不過定點，請說明原因；若過定點，請求出定點坐標.【答案】(1)(2)直線過定點【解析】（1）設雙曲線的焦點坐標為，依題意漸近線方程為，