專題07直線和圓的方程(填空題)

一、填空題

1.已知直線x+ay-1=0和直線ox+4y+2=0互相平行，則a的值為.

【試題來源】北京五十七中2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試題

【答案】2

【分析】根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a滿足的等式與不等式，由此可解得實(shí)數(shù)。的值.

/=4

【解析】由于直線工+到一1=。和直線分+4y+2=?；ハ嗥叫校瑒t〈，解得。=2.

。。一2

故答案為2.

2.過點(diǎn)M(2,—2)的直線與x軸、軸分別交于產(chǎn)、。兩點(diǎn)，若M恰為線段PQ的中點(diǎn),

則直線PQ的方程為?

【試題來源】安徽省合肥一中2019-2020學(xué)年高二(±)期中(理)

【答案】x-y-4=0

【分析】根據(jù)條件以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得P(4,0),即可求解.

【解析】過點(diǎn)M(2,—2)的宜線與x軸、，軸分別交于尸、Q兩點(diǎn)，M恰為線段PQ的中

點(diǎn)，則P(4,0),所以PQ方程為y=x—4,即x-y—4=0.故答案為了一丁一4=0.

3.點(diǎn)P(-5,7)到直線12x+5y-1=0的距離為.

【試題來源】山東省濟(jì)寧市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考

【答案】2

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，直接求解，即可得出結(jié)果.

/、|12x(-5)+5x7-l|

［解析】點(diǎn)尸(-5,7)到直線12x+5y—1=0的距離為d=>一\>—?=2.

A/122+52

故答案為2.

4.一束光線從點(diǎn)A(-2,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C：(x—2)2+(y—2)2=l上，光線的最短路

程是.

【試題來源】廣東省佛山市2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期統(tǒng)考模擬

【答案】4

【分析】求出點(diǎn)A關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)A,則最短路徑的長為|AC|-r(圓的半彳仝)，訂算求

得結(jié)果.

【解析】由題意可得圓心C（2,2）,半徑r=l,點(diǎn)A（-4）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)4（一2,—1）,

如圖：所以|AC|=J（2+2）?+（2+l）「=5,

因此最短路徑的長|4。一==5—1=4.故答案為4.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查反射定理的應(yīng)用，求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的方法，體現(xiàn)r轉(zhuǎn)

化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題.

4

5.直線y=§x-l的單位法向量是

【試題來源】上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期9月月考

4_343

【答案】或

5，-5555

4,a

【分析】由直線＞可得法向量。=（4,一3）,可得其單位法向量為±口.

【解析】由直線y=§x-1可得法向量a=（4,-3）,因此其單位法向量為土口二土仁廠5

喉用或「浦?故答案為母-0或1浦

6.若〃=（一1,6）是直線/的一個(gè)法向量，貝心的傾斜角大小為.

【試題來源】上海市上海交通大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試

【答案】J

【分析】根據(jù)直線的法向量求出直線的方向向量，然后求出直線的斜率,從而可求出傾斜角.

【解析】因?yàn)椤?（—1,6）是直線/的一個(gè)法向量，所以直線/的一個(gè)方向向量為（6,1）,

所以直線I的斜率為3,所以直線/的傾斜角a的正切值tana=—.

633

又ae[0,7）,所以a=^.故答案為

66

7.平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)（1,2）到直線2x+y+l=0的距離為

【試題來源】四川省琪縣中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)9月月考

【答案】

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)為（1,2）,直線為2x+y+l=。，

所以點(diǎn)到直線的距離為d[2曰=也.故答案為、石.

V22+l2

【名師點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，難度較易.己知點(diǎn)尸（工,％）,直線

IAx。+By。+Cl

Ax+By+C=0,則點(diǎn)P到直線的距離為d=[「一

VA2+B2

8.己知直線3x+y+4=0與直線4：x+畋=0垂直，則根的值為

【試題來源】重慶市廣益中學(xué)校2019-2020學(xué)年高二上期期末復(fù)習(xí)

【答案】-3

【分析】由兩直線垂直的充要條件可得3xl+lxm=0,從而可求得由的值.

【解析】因?yàn)樗?xl+lxm=0=加=—3.故答案為一3.

9.如果直線or+2y+2=0與直線版一）-2=0平行，則a的值為

【試題來源】安徽省合肥一中2019-2020學(xué)年高二（上）期中（文）

【答案】一6.

【分析】根據(jù)它們的斜率相等，可得-]=3,解方程求a的值

【解析】因?yàn)橹本€ax+2y+2=0與直線3x-y=0平行，

所以它們的斜率相等，所以-j=3,所以a=-6.故答案為-6.

10.設(shè)P（毛,%）為直線x+y=l與圓/+丁2=3的交點(diǎn)，則與%=

【試題來源】重慶市重慶八中2021屆高三上學(xué)期九月份適應(yīng)性月考

【答案】-1

【分析】將P坐標(biāo)代入直線和圓的方程，消去%（；+%2可得跖%的值.

【解析】因?yàn)槭ㄊ?為）為直線x+y=l與圓幺+：/=3的交點(diǎn)，

將尸（改）,為）坐標(biāo)代入直線和圓的方程得，/+%=1①，/2+%2=3②

將①2-②得(k+請”1—3,得易為=-1,故答案為一1

II.過點(diǎn)(3,1)作圓(X—1)2+產(chǎn)=/的切線有且只有一條，則該切線的方程為.

【試題來源】湖北省武漢市鋼城第四中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期9月月考

【答案】2x+y-7=0

【分析】過一點(diǎn)作圓的切線只有一條，說明點(diǎn)在圓上，根據(jù)垂直關(guān)系即可求該切線方程.

【解析】因?yàn)檫^點(diǎn)(3,1)作圓(x—l)2+y2=戶的切線有且只有一條，所以點(diǎn)(3,1)在圓(x—1A

1-01

+爐=戶上，因?yàn)閳A心與切點(diǎn)連線的斜率k=三1=5,所以切線的斜率為一2,

則圓的切線方程為)，-1=一2。-3),即2x+y—7=0.故答案為2x+y-7=0

12.過圓/+9=5上一點(diǎn)M(2,-1)作圓的切線，則該切線的方程為.

【試題來源】浙江省金華市江南中學(xué)2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期12月月考

【答案】2x-y-5=0

【分析】求得圓心。的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線?！钡男甭?，從而求得過M點(diǎn)的圓的切線的斜

率，由此求得切線方程.

【解析】依題意圓心為0(0,0),故尢加=弓，所以過〃點(diǎn)的圓的切線的斜率為2,由點(diǎn)

斜式得切線方程為＞一(-1)=2(%-2),即2x-y-5=0.故答案為2x-y-5=0.

13.已知直線/一方+2y—3=0和直線］：(1—a)x—y+l=0.若《12,則《與6的

距離為.

【試題來源】湖北省宜昌市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期元月調(diào)研考試(文)

【答案】旦

4

【分析】根據(jù)4/2求得。，再根據(jù)平行線間的距離公式求解即可.

【解析】因?yàn)?12,故小(一1)一2(1-a)=0=a=2.故直線h2x+2y-3=()和直線

A,：lx+2y—2=0.故4與人的距離為d=-；====^=――-故答案為

44

1—cosn1

14.已知直線/的傾斜角a滿足方程———=則直線/的斜率為__________.

sina2

【試題來源】湖北省武漢市五校聯(lián)合體2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末

4

【答案】j

【分析】轉(zhuǎn)化條件得sina=2—2cosa,再由同角三角函數(shù)的關(guān)系即可得tana,即可求

得斜率.

1—cosa1

【解析】因?yàn)?-------二一，所以sina=2—2cosa,

sina2

3

所以sin?6Z+cos2a=（2-2cos2+cos2a=1,解得cosa=—或cosa=1,

當(dāng)cosa=l時(shí)，sina=2-2cosa=0,不合題意；

34sina4

當(dāng)cosa=一時(shí)，sina=2-2cosa=—,所以tanau^------=一,

55cosa3

44

所以直線/的斜率為二.故答案為；.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用及直線斜率的求解，考查了運(yùn)算求解能力,

屬于基礎(chǔ)題.

15.已知實(shí)數(shù)X，，滿足方程（x-2『+y2=i,則?的取值范圍是.

【試題來源】重慶市縉云教育聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期10月月考

【答案】g當(dāng)

33_

【分析】設(shè)？=%,數(shù)形結(jié)合以及點(diǎn)到直線的距離即可求解.

X

【解析】（x-2『+:/=1,圓心為（2,0）,r=1,設(shè)上=左，：.y=日，

I；**.<*..(66

所以上的取值范圍是百V3

.故答案為一3一，7

33

16.已知4(—2,1)、8(1,2),點(diǎn)C為直線y=$上的一動(dòng)點(diǎn)，則|AC|+忸C|的最小值為

【試題來源】重慶市縉云教育聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期10月月考

【答案】26

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱求出A關(guān)于直線y=：x的對稱點(diǎn)M的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)C為直線

8M和直線y=gx的交點(diǎn)時(shí)，距離最小，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式即可求解.

【解析】由題意A、8兩點(diǎn)在直線y=的同側(cè).設(shè)A關(guān)于直線y=；x的對稱點(diǎn)M的坐標(biāo)

b-\1

?—=-1

為(a,b),則3解得。=一1,b=-2,,A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)M的坐標(biāo)為

'，1_L1A+Z?1_c1_a/-2

232

(-1,-2),

故當(dāng)點(diǎn)C為直線BM和直線y=gx的交點(diǎn)時(shí)，|A同取得最小值

\BM\=J(l+1)2+(2+2)2=275.故答案為2#)■

17.對任意實(shí)數(shù)公圓c：f+y2—6x—8y+i2=0與直線/：丘—y—4k+3=0的位置

關(guān)系是.

【試題來源】江西省南昌市第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考(理)

【答案】相交

【分析】先求直線/所過定點(diǎn)尸(4,3),再求圓。的圓心C(3,4),半徑廠=舊，最后求圓

心C(3,4)到定點(diǎn)尸(4,3)的距離并判斷直線與圓的位置關(guān)系.

【解析】因?yàn)橹本€/的方程點(diǎn)一了一4攵+3=0,整理得Mx—4)—y+3=0,所以直線/過

定點(diǎn)尸(4,,因?yàn)閳A。的方程為x2+y2-6x-8y+12=0,整理得

(%—3)2+(y—4)2=13,所以圓。的圓心C(3,4),半徑廠=工，所以圓心C(3,4)到定

點(diǎn)P(4,3)的距離為d=J(3—4了+(4—3)2=&<r,所以直線與圓的位置關(guān)系是相交，

故答案為相交.

【名師點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、求直線所過定點(diǎn)、兩點(diǎn)間距離公式、由圓的方

程確定圓心與半徑，是基礎(chǔ)題

18.函數(shù)/(x)=Nx2-2x+5+Rx2-6x+18的最小值為.

【試題來源】江西省南昌市第十中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考

【答案】^29

【分析】根據(jù)題意，其幾何意義為點(diǎn)尸(人,0)到點(diǎn)A。,2),8(3,3)兩點(diǎn)的距離之和，故

y=|PA|+|冏=|pq+|/科學(xué)忸q,再根據(jù)距離公式求解即可.

【解析】因?yàn)?(x)=ylx2-2x+5+VX2-6X+18=辰-1)2+4+J(x-3)，9，

幾何意義為點(diǎn)P(x,0)到點(diǎn)A(l,2),8(3,3)兩點(diǎn)的距離之和，

A(l,2)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C(l,-2),

y=|M|+|PB|=|PC|+|PB|>|5C|=J(37)2+(3+2)2=亞，

當(dāng)且僅當(dāng)3,P,C三點(diǎn)共線時(shí)y的值最小為忸c|=V29,故答案為V29

19.在ABC中，A(4,D、8(7,5)、CM,7),則/A的平分線所在直線的一般式方程是

【試題來源】上海市上海交通大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試

【答案】7x+y—29=0

【分析】先利用向量AB，AC寫出NA的平分線的一個(gè)方向向量，再根據(jù)方向向量設(shè)直線

方程，點(diǎn)代入求得參數(shù)，即得一般式方程.

【解析】向量AB=(3,4),AC=(-8,6),

ABAC(34

故NA的平分線的一個(gè)方向向量為

GL4B+GAC=I,J

71

故NA的平分線所在直線的方程可設(shè)為gx+-y+m^0,

297129

將A(4,l)代入方程得力=一行，故直線方程為-歹=0,即7x+y-29=0.

故答案為7x+y-29=0.

20.已知直線(3a+2)x+(l—4a)y+8=0與(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直，則實(shí)數(shù)a=

【試題來源】上海市上海交通大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試

【答案】0或1

【解析】兩直線互相垂直，滿足（弘+2修〃-2）+（1-北）匕+4）=0,整理為/_&=（），

解得a=0或a=1.

21.點(diǎn)（2,-3）關(guān)于直線y=0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【試題來源】四川省綿陽南山中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考數(shù)學(xué)（文）

【答案】（-3,2）.

【分析】設(shè)尸（2,-3）關(guān)于宜線％—y=0的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為Q（a力）,再根據(jù)PQ中點(diǎn)在直線

x-y=0上，且P。與直線x-y=0垂直求解即可.

【解析】設(shè)尸（2,-3）關(guān)于直線x-y=0的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為。（人人），則PQ中點(diǎn)為

'a+2b-3、則（等，號在直線?。上，故等等

KF,①，

乂尸Q與直線x—y=0垂直有"口=-1②,

a-2

聯(lián)立①②可得。=-3/=2,故Q（—3,2）.故答案為（一3,2）.

22.經(jīng)過兩條直線2x+y+2=0和3x+4y-2=0的交點(diǎn)，且垂直于直線3x-2y+4=O的

直線的一般式方程為.

【試題來源】山東省德州市夏津縣笫-中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考（10月）

【答案】2x+3y—2=0

【分析】首先聯(lián)立方程求兩直線的交點(diǎn)，再利用兩直線垂直斜率之積為-1,可求得所求直線

斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線方程.

[3x+4y-2=0/一、

【解析】由方程組｛c-C，得交點(diǎn)坐標(biāo)為（一2,2）,

2x+y+2=0''

2

因?yàn)樗笾本€垂直于直線3x-2y+4=0,故所求直線的斜率上=-§,

2

由點(diǎn)斜式得所求直線方程為y-2=—§（x+2）,即2x+3y-2=0.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查從直線的一般方程求斜率，考

查兩條直線垂直斜率之積為-1,考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

23.當(dāng)點(diǎn)P（3,2）到直線一y+1-2根=0的距離最大值時(shí)，”的值為.

【試題來源】湖北省黃石市重點(diǎn)高中2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期第二次聯(lián)考

【答案】-1

【解析】直線m-y+1—2機(jī)=。可化為y-1=-2）,由點(diǎn)斜式方程可知直線恒過定

點(diǎn)（2,1）,且斜率為根，結(jié)合圖象可知當(dāng)PQ與直線皿-y+l-2m=0垂直時(shí)，點(diǎn)到直線

距離最大，此時(shí)，m-------=-1,解得機(jī)=-1.

3-2

24.已知4,仇。是兩兩不等的實(shí)數(shù)，點(diǎn)P（b力+c）,點(diǎn)Q（a,c+a）,則直線P。的傾斜角

為.

【試題來源】安徽省合肥市肥東縣高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考（文）

【答案】45

【解析】因?yàn)橹本€經(jīng)過產(chǎn)（〃加上點(diǎn)。（q價(jià)）兩點(diǎn)，所以直線A3的斜率

k=c+a-（b+c）所以直線AS的傾斜角為a=45.

a-b

25.在平面直角坐標(biāo)系中，直線x+Jjy—3=0的傾斜角是.

【試題來源】安徽省合肥市肥東縣高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考（文）

【答案】150°

【解析】直線為y=—立x+G，傾斜角tan，=—*，6=150°.

26.兩條平行直線4x+3y+3=0與8x+6y-9=0的距離是.

【試題來源】山西省運(yùn)城市景勝中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期10月月考（理）

3

【答案】-

2

9

【分析】將直線8x+6y-9=0化為4x+3y-耳=0,再根據(jù)平行線間距離公式即可求解.

9

【解析】可將直線8x+6y-9=0化為4龍+3>-5=0,

所以兩條平行直線間的距離為3一1一2）=3.故答案為

V42+32-=2

27.直線x-4y+Z=0在兩坐軸上截距之和為5,則“=

【試題來源】重慶市廣益中學(xué)校2019-2020學(xué)年高二上期期末復(fù)習(xí)

20

【答案】-彳

【分析】根據(jù)方程求解直線x-4y+k=0在兩坐軸上截距，再相加等于5求解即可.

kk20

【解析】易得工一4丁+女二0兩坐軸上截距分別為（一攵,0）,（0,―）.故一&+二=5=＞氏=-丁

443

20

故答案為——

28.已知直線/的斜率為J且和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3,則直線/的方程為

【試題來源】廣西興安縣第三中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期開學(xué)適應(yīng)性檢測

［答案］x-6y+6=0或x—6y-6=0

【分析】設(shè)直線方程為2+與=1,根據(jù)題設(shè)條件得到關(guān)于a,b的方程組，解方程組后可得

ab

所求的直線方程.

v11I1fa=6［—6

【解析】設(shè)直線/的方程為一x+；=1，則T聞=3,且b解得匕，或者a匕—,，

ab211a6［b=-l［。=1

所以直線/的方程為±+)=1或二+工=1,即x-6y+6=0或x-6y—6=0.

6-1-61

故答案為x-6y+6=0或x-6y-6=0.

【名師點(diǎn)睛】本題考查直線方程的求法，注意根據(jù)問題的特征假設(shè)直線方程的形式，從而可

簡化計(jì)算過程.

29.直線2m=0恒過定點(diǎn).

【試題來源】浙江省金華市江南中學(xué)2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期12月月考

【答案】（］,1）

2

【分析】直線方程對機(jī)整理，令機(jī)的系數(shù)為o,從而得到關(guān)于陽丁的方程組，解出羽丁的

值，得到答案.

【解析】直線2小+廣"?-1=0,可化為（2x-l）ni+（）＞-1）=0,

2x—l=0x--11

由《，八，解得《2,所以直線過定點(diǎn)（一,1）.故答案為（一,1）.

y-l=0,22

1[y=1

30.兩條平行直線3x+4y-12=0與方+8），+11=0間的距離是

【試題來源】福建省廈門第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二分班摸底練習(xí)

7

【答案】-

2

3x8=4xa

【分析】根據(jù)兩直線3x+4y-12=0與雙+8y+ll=0平行，由，，，口解得小

3xll#-12x?

然后再利用平行線間的距離公式求解.

3X8=4X?

【解析】因?yàn)閮芍本€3x+4yT2=0與6+8y+ll=0平行，所以',,_解得

3x11#一12xa

a=6,又直線3x+4y—12=0可化為直線6x+8y—24=0,所以直線6x+8.y-24=0與

’..111-（-24）177

直線6x+8y+11=。間的距離為d=—.————,故答案為一

22

31.已知直線4：y=ctx+3與4關(guān)于直線y=x對稱，4與4：x+2y-l=0垂直，則。=

【試題來源】江西省南昌外國語學(xué)校2019-2020學(xué)年高二10月月考?

【答案】

【分析】由題意利用兩條直.線關(guān)于宜線＞=x對稱的性質(zhì)得到4的方程為了=紗+3,兩條

直線垂直斜率之積為-1,計(jì)算可得，

【解析】直線4：y=or+3與&關(guān)于直線y=x對稱，；./2的方程為》=?+3,它的斜

率為L4與4：x+2y-l=0垂直，-x（——）——1,則“=二，故答案為

aa222

32.若過點(diǎn)（2,1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x-y-3=0的距離為.

【試題來源】黑龍江省雙鴨山一中2020-2021學(xué)年高二（10月分）第…次月考（理）

【答案】坡

5

【分析】由已知設(shè)圓方程為(x—a)2+(y—a)2=q2,(2,1)代入，能求出圓的方程，再代入

點(diǎn)到直線的距離公式即可.

【解析】由題意可得所求的圓在第一象限，設(shè)圓心為(。,。)，則半徑為a,?>0.

即圓的方程為(x—。了+⑶―。)2=〃2,再把點(diǎn)(2,1)代入，得。=5或1,

所以圓的方程為(x—5)2+"-5)2=25或+(y-l)2=1,對應(yīng)圓心為(5,5)或(1,1)；

由點(diǎn)線距離公式，圓心到直線2x—y-3=0的距離d」2X；-5：3|=攣或

V22+l25

|2xl-l-3|咨故答案為竽.

V？TF

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法,求出圓心坐標(biāo)和半徑的值，

是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

33.已知圓C：x2+y2-lx-2y-6=0.直線/過點(diǎn)(0,3),且與圓C交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=4,

則直線I的方程.

【試題來源】天津市濱海七校2020屆高三下學(xué)期畢業(yè)班聯(lián)考

【答案】尸3或產(chǎn)白+3

【分析】根據(jù)題意，分析圓C的圓心以及半徑，由直線與圓的位置關(guān)系可得點(diǎn)C到直線/

的距離公2,分直線/的斜率是否存在2種情況討論，求出直線的方程，綜合即可得答案.

【解析】根據(jù)題意，圓C：x2+y2-2x-2v-6=0即(r-1)2+(y-1)2=8,圓心C(l,1),半徑r=2

拉，又由直線/與圓C交于A、B兩點(diǎn)，14陰=4,則點(diǎn)C到直線/的距離

d=卜—(L詈J=2,若直線I的斜率不存在，直線/的方程為k0,點(diǎn)C到直線/的

距離”1,不符合題意；若直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為產(chǎn)氣+3,即依-y+3=0,

則有d=)?=2,解可得2=0或不；故直線/的方程為>=3或y=：x+3.

yj\+k233

34.若直線x=3與圓/+;/一2%一4=0相切，則。=.

【試題來源】北京市朝陽區(qū)2020屆高三年級學(xué)業(yè)水平等級性考試練習(xí)二(二模)

【答案】3

【分析】由題意結(jié)合圓的方程“得該圓圓心為(1,0)，半徑為而T，再利用圓心到直線的

距離等于半徑即可得解.

【解析】由題意圓的方程V+y2-2%一4=0可轉(zhuǎn)化為(x7『+y2=a+i,

所以該圓圓心為(1,0),半徑為而T，所以圓心到直線x=3的距離d=3—1=5/工TT，

解得。=3.故答案為3.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了圓的方程的應(yīng)用，考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用以及運(yùn)算求解

能力，屬于基礎(chǔ)題.

35.若直線/過4(0,5),且被圓C：d+y2+4x—i2y+24=0截得的弦長為46，則直

線/方程為.

【試題來源】黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2020-2021學(xué)年度上學(xué)期高二學(xué)年10月階段性測

試數(shù)學(xué)(理)試卷

【答案】3x-4y+20=0或x=0

【分析】將圓化為(x+2y+(y-6)2=16,求出圓心C(—2,6),半徑r=4,討論直線的

斜率存在或不存在，分別利用圓心到直線的距離d=2,利用點(diǎn)到直線的距離即可求解.

【解析】圓C：x2+y2+4x-12^+24=0,即C:(x+2y+(y-6丫=16,

即圓心C(—2,6),半徑r=4,當(dāng)宜線的斜率不存在時(shí)，直線x=0，

此時(shí)弦心距d=2,弦長為2jl6—4=4>/5,滿足條件；

當(dāng)所求直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為丁=履+5,即依-y+5=0,

由弦長公式可得弦心距d=J16-(2g『=2，

\—lk—6+5l3

再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得?,?=2,解得％==,

vF+14

故此直線方程為3x-4y+20=0,

綜上可得，滿足條件的直線方程為3》一4丁+20=0或、=0.

故答案為3x-4y+20=0或x=0.

36.圓心在直線x-2y+7=0上的圓。與x軸交于兩點(diǎn)A(-2,0),仇T,0),則圓。的方程

為.

【試題來源】四川省成都石室中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)(理)

【答案】(x+3)2+(y-2)2=5

【解析】先由條件求得圓心c的坐標(biāo)，再求出半徑r=|AC|,從而得到圓C的方程.

因?yàn)橹本€AB的中垂線方程為x=-3,代入直線x-2y+7=0,得y=2,

故圓心的坐標(biāo)為C(-3,2),再由兩點(diǎn)間的距離公式求得半徑m|AC六追

所以圓C的方程為(x+3)2+(y—2>=5.故答案為(x+3>+(y—2了=5.

2222

37.兩圓x+y-2x+2y-2=0和x+y+4x=5的公共弦長為.

【試題來源】江西省南昌市第十中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考

【答案】巫

2

【分析】兩圓方程作差得到公共弦方程，再求出圓心到直線的距離，從而求出弦長；

【解析】f+y2—2x+2y—2=0即(x—l『+(y+l)2=4①圓心為(1,—1),半徑r=2；

x2+y2+4x=5@,①一②得-6x+2y+3=0,即兩圓公共弦方程為6x-2y—3=0,圓

|6+2-|3_V10

心到直線6x—a-3的距離△=,所以公共弦長為

荷+(-2)-4

故答案為偵

/=2,2?—

I4J22

38.過點(diǎn)尸(0,2)的直線/與圓。：/+3；2=9相交于知，N兩點(diǎn)，且圓上一點(diǎn)。到/的距

離的最大值為4,則直線MN的方程為.

【試題來源】云南師大附中2020屆高三(下)月考(理)(八)

【答案】>一小-2=0或>+岳一2=0.

【分析】畫出圖形，確定點(diǎn)。是過圓心。且與MN垂直的直線與圓的交點(diǎn)，設(shè)出直線MN

的方程，利用圓心到直線的距離為1,求出用N的斜率即可

【解析】如圖，易知MN的斜率存在，設(shè)直線的方程為丁=丘+2,

過圓心。作易得當(dāng)Q位于HO的延長線上時(shí)距離最大，即“。=4,

所以“。=1由點(diǎn)到直線的距離公式可得d

所以Z=±6，直線的方程為y—百x—2=0或y+JIr-2=0

故答案為y+&-2=0或y—Gx-2=0.

39.已知過點(diǎn)P（2,2）的直線與圓（x-iy+V=5相切，且與直線以—y+l=0垂直，貝小=

【試題來源】2020屆廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三年級月考（三）數(shù)學(xué)（理）

【答案】2

【解析】設(shè)切線為x+ay+加=0,因?yàn)檫^尸（2,2，故加=—2—2a,所以切線為

|1-2-2?|二

x+ay-2-2a=0,又圓心到它的距離為d=!—,\=r=<5,解得。=2,故填2.

yja2+i

40.若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)（4,0）,且與直線y=l相切，則圓C的方程是.

【試題來源】重慶市廣益中學(xué)校2019-2020學(xué)年高二上期期末復(fù)習(xí)

325

【答案】（X—2）2+。+5）2=7

【解析】設(shè)圓的圓心坐標(biāo)（。力），半徑為r,因?yàn)閳AC經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)（4,0）,且與直線

'a2+b2=r2a=2

所以，，解得.3

j=l相切,<(a-4)2+/=b--,所求圓的方程為

2

=r

5

2

2

(x-2)2+fy+|?，故答案為（x—2）2+[y+g

4

41.已知直線/：米+y—2=0（2eR）是圓C：X?+V-6x+2y+6=0的一條對稱軸，過

點(diǎn)A（0,Z）作圓。的一條切線，切點(diǎn)為B,則線段AB的長度為.

【試題來源】福建省廈門第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二分班摸底練習(xí)

【答案】3

【分析】根據(jù)直線/：米+丁一2=0（ZeR）是圓。：/+9-6、+2），+6=0的一條對稱軸,

得到圓心在直線/上，解得左=1,得到A（0,l）,然后再利用切線長公式4?=AC2-R2

求解.

【解析】圓C：Y+y2—6x+2y+6=0的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x—3『+(y+l)2=4,圓心為

C(3,-1),因?yàn)橹本€/：西+y—2=0(ZwR)是圓c：V+V-6x+2y+6=0的條對稱

軸，所以圓心在直線/上，所以3&—1—2=0,解得左=1,所以A(0,I),

AB=7AC2-R2=40-3f+(1+1)2-4=3，故答案為3.

42.設(shè)機(jī)e/?,過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+〃zy=0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線〃優(yōu)—y-〃?+3=0交于

點(diǎn)P(x,y)，則|Q4|尸耳的最大值是.

【試題來源】江西省南昌市第十中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考

【答案】5

22

【解析】易得40,0),8(1,3).設(shè)尸(工,加，則消去加得：x+y-x-3y=0,所以點(diǎn)P

在以AB為直徑的圓上，PALP,所以怛*+|PIA2|S,

|PA|x|PB歸粵=5?

Xv

43.已知。，BeR,直線--------+-----------=1與

sina+sin/?sina+cosp

xv

-------—-------:——-=i的交點(diǎn)在直線y=-x上，則

cosa+sinpcosa+cosp

sina+cosa+sin/?+cos/?=.

【試題來源】上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期9月月考

【答案】0

【分析】聯(lián)立方程求交點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)在在直線》=一％匕得到三角關(guān)系式，化簡得到答案.

——+——=1

sina+sin夕sina+cos(3

<

xy.

【解析】---------+-----二——-=1

cosa+sinpcosa+cosp

=(——-----------------)y=0

sina+sin(5cosa+sin/3sina+cos(3cosa+cos/3

交點(diǎn)在直線》二一次匕

1111

=-----------------------------------

sina+sin/3cosa+sin-----sina+cos/3cosa+cos夕

1111

----------1-----------=-----------1-----------

sina+sin/?cosa4-cos/?cosa+sin/?sina+cos(3

=sincir+cosa+sin/?+cos(3_sina+cos+sin/?+cosp

(sina+sin/7)(cosa+cosJ3)(cosa+sin夕)(sina+cos/3)

觀察分母(sina+sin/?)(cosa+cos/3)和(cosor4-sin/?)(sina+cos4)不是恒相等

故5訪。+85。+5巾/?+854=0,故答案為0

44.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且

重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線，已知

ABC的頂點(diǎn)A(2,0),3(0,4),若其歐拉線方程為x-y+2=0,則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)

【試題來源】上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期9月月考

【答案】(-4,0)

【分析】設(shè)C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求重心，代入歐拉線得方程，求出AB的垂直平分線，

聯(lián)立歐拉線方程得三角形外心，外心到三角形兩頂點(diǎn)距離相等可得另一方程，兩方程聯(lián)立求

得C點(diǎn)的坐標(biāo).

2+/774+〃\

(I,

2+7724+/?

代入歐拉線方程得：—-----—+2=0,整理得：加一〃+4=0①

AB的中點(diǎn)為(1,2),心8=把=-2,A3的中垂線方程為y—2=：(x—l),

()—22

x_2y+3-0x——1

即x—2y+3=0.聯(lián)立《,解得《....AABC的外心為(一1,1).

x—y+2=0[y=l

則(加+1)~—=3?+「，整理得：田+〃2+2〃?_2〃=8②

聯(lián)立①②得：加=一4,〃=0或陽=0,〃=4.當(dāng)加=0,〃=4時(shí)8,C重合，舍去.

所以頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(Y,0).

45.已知等腰三角形的底邊所在直線過點(diǎn)尸(2,1),兩腰所在的直線為x+y-2=0與

7x-y+4=0,則底邊所在的直線方程是.

【試題來源】上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期9月月考

【答案】3x+y—7=O或x-3y+l=O

【分析】在等腰三角形頂角角平分線上任取一點(diǎn)M(x,y)，利用點(diǎn)M到兩腰所在直線的距

離相等可求得頂角角平分線方程，再由底邊所在直線過點(diǎn)尸且與頂角角平分線垂直可求得所

求直線的方程.

【解析】在等腰三角形頂角角平分線上任取一點(diǎn)M(x,y)，

則點(diǎn)M到直線x+y-2=0與7x—y+4=0的距離相等,

由題意可得『智

所以，|7x_y+4|=5|x+y_2|.

所以，7x-y+4=5（x+y-2）j?K7x-y+4=—5（x+y-2）,

所以，該等腰三角形頂角角平分線所在直線的方程為x—3y+7=O或6x+2y-3=0.

由于底邊與頂角角平分線垂直.

當(dāng)?shù)走吪c直線x—3y+7=0垂直時(shí)，且直線x-3y+7=0的斜率為:，

此時(shí)底邊所在直線方程為y—1=—3(x—2),即3x+y-7=0；

當(dāng)?shù)走吪c直線6x+2y-3=0垂直時(shí)，且直線6尤+2y—3=0的斜率為—3,

此時(shí)底邊所在直線方程為y-1=；(x—2),即x-3y+\=0.

故答案為3x+丁-7=0或%—3y+1=0.

【名師點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形底邊所在直線方程的求解，考查了等腰三角形三線合一的

性質(zhì)以及點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

46.已知三條直線《：4x+y-4=0,/2:mx+y=0,Z,：2%-3陽-4=0不能圍成三角

形，則〃?=.

【試題來源】上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期9月月考

【答案】4或—1或一!或1?

【分析】首先根據(jù)三條直線不能構(gòu)成三角形，得到三條直線的位置關(guān)系，根據(jù)位置關(guān)系列式

求根.

【解析】若三條直線不能圍成三角形，則存在兩條直線平行，或是三條直線交于同一點(diǎn)，

41411

當(dāng)時(shí)，一=一，即加=4