8.5.2直線與平面平行的判定（一）直線與平面平行的判定定理

如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行。符號表示：

由于直線在否平面內(nèi)一般是自明的，所以尋找線線平行關(guān)系式我們證明線面平行的重點(diǎn)。

回顧我們初中學(xué)過的證明線線平行的辦法，主要有以下幾種：通過與其它直線所成的角度（同位角或同旁內(nèi)角等）；通過平行關(guān)系的傳遞；通過三角形（或梯形）的中位線；通過平行四邊形；通過三角形的相似。

由于求空間中直線成角的難度比平面內(nèi)要大很多，所以后幾種證明平行的方式即為我們證明空間中線線平行的主要手段。而線面平行的證明是建立在線線平行的基礎(chǔ)之上的，所以這幾種證明方式也是我們在學(xué)習(xí)面面平行之前的主要手段。我們把這類通過在平面內(nèi)找到直線和已知直線平行的線面平行判定方法稱為“第一類方法”。“平行關(guān)系的傳遞”ABCNMEFD例1：如圖，在五面體FE-ABCD中，四邊形CDEF是矩形，M，N分別是BF，BC的中點(diǎn)，則MN與平面ADE的位置關(guān)系是

.“平行關(guān)系的傳遞”ABCNMEFD

通過平行關(guān)系的傳遞，我們在平面ADE內(nèi)找到了與直線MN平行的直線。例2：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，判斷BD1與平面AEC的位置關(guān)系，并說明理由。ABCDB1D1C1A1E“中位線或平行四邊形”ABCDB1D1C1A1E我們想要在平面ACE內(nèi)找到一條和直線BD1平行的直線，可以構(gòu)造一個(gè)包含直線BD1且和平面ACE有交集的三角形（或四邊形），很容易發(fā)現(xiàn)DBD1即為所求，于是連接BD。“中位線或平行四邊形”ABCDB1D1C1A1E將BD連接之后，其與AC的交點(diǎn)O馬上進(jìn)入了我們的視野。由于E為DD1的中點(diǎn)，而O為平行四邊形ABCD的對角線交點(diǎn)，即為DB的中點(diǎn)，于是在三角形DBD1中，由兩個(gè)鄰邊中點(diǎn)連接而成的中位線就形成了。O“中位線或平行四邊形”ABCDB1D1C1A1EO證明：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE“中位線或平行四邊形”

上述構(gòu)造三角形（或四邊形）的方法有一定的嘗試性，隨著立體幾何學(xué)習(xí)的深入，空間感的提升，我們還可以采用目的性更強(qiáng)的“平移法”來尋找平面內(nèi)的目標(biāo)直線。“中位線或平行四邊形”ABCDB1D1C1A1E“平移法”在原來靜態(tài)證明的基礎(chǔ)上加入了動(dòng)態(tài)感觀。由于我們要在平面ACE內(nèi)尋找一條和已知直線BD1平行的直線，所以我們可以通過將直線BD1平移至平面ACE來達(dá)成目標(biāo)。“中位線或平行四邊形”ABCDB1D1C1A1E可以看到，我們的平移也不是無目的的隨意平移，而是指向性較強(qiáng)的“沿線”（沿D1D)平移，并且這個(gè)過程在我們平時(shí)做題時(shí)通過直尺的平移就可以模擬實(shí)現(xiàn)。當(dāng)直線進(jìn)入目標(biāo)平面后，我們的關(guān)注點(diǎn)主要是該直線與與構(gòu)成該平面形象的三角形（或四邊形）的邊的交點(diǎn)（O）上。O“中位線或平行四邊形”ABCDB1D1C1A1EO

由于E點(diǎn)為DD1的中點(diǎn)，所以很容易想到O為DB中點(diǎn)，于是連接BD，就建立起了與題設(shè)中四邊形ABCD為平行四邊形的呼應(yīng)。中位線OE一旦形成，線線平行關(guān)系得到，線面平行的證明也就結(jié)束了。

“中位線或平行四邊形”“中位線或平行四邊形”就例2而言，我們采取了兩種不同的方式去尋找平面內(nèi)和已知直線平行的直線，但總結(jié)起來，兩種方法其實(shí)是統(tǒng)一的，都經(jīng)歷了“尋點(diǎn)-連線-證明”的過程，區(qū)別只在于用什么樣的方法去尋找那個(gè)關(guān)鍵的“點(diǎn)”。“中位線或平行四邊形”ABCMNPD例3：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，P是平面ABCD外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn).求證：“中位線或平行四邊形”ABCMNPDQ采用“平移法”將MN沿AB移至平面PAD，就找到了關(guān)鍵點(diǎn)“Q”，連接QN，QA，一個(gè)平行四邊形（□AMNQ）的形象就出現(xiàn)了。證明過程略。ABCB1A1D1C1DO練習(xí)1：如圖，O是長方體ABCD-A1B1C1D1底面對角線AC與BD的交點(diǎn)，求證：ABCDB1A1C1E思