8.6空間直線、平面的垂直8.6.1

直線與直線垂直情境

·思考兩條直線是什么關(guān)系?觀

察：如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D

中，直線

A'C'與直線AB,直線A'D'與直線AB都是異面直線，直線

A'C'與A'D'相對于直線AB的位置相同嗎?如果不同，如何表示這種差異呢?不同課標(biāo)要求1.理解異面直線所成的角，會(huì)求異面直線所成的角.2.掌握直線與直線垂直.

素養(yǎng)目標(biāo)直觀想象：求作異面直線所成角的問題.體會(huì)課堂探究的樂趣，

汲取新知識(shí)的營養(yǎng)，讓我們一起走

進(jìn)

課

堂

吧

!探究

·

導(dǎo)學(xué)我們知道，平面內(nèi)兩條直線相交形成4個(gè)角，其中不大于90度的角稱為這兩條直線所成的角(或夾角),它刻畫了一條

直線相對于另一條直線傾斜的程度，類似的我們也可以用異面

直線所成的角來刻畫兩條異面直線的位置關(guān)系.探

究

點(diǎn)1兩條異面直線所成的角異面直線所成角的定義：如圖，已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O

作直線a'lla,b'//b,則

把a(bǔ)'與b'所成的銳角(或直角)叫做異面直線所成的角(或夾角).(1)將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形(2)異面直線夾角轉(zhuǎn)化為相交直

線的夾角思考：這個(gè)角的大小與O

點(diǎn)的位置有關(guān)嗎?即O

點(diǎn)位置不同時(shí)，這一角的大小是否改變?平

移如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直，直線a

與直線b垂直，記作a⊥b.當(dāng)兩條直線a,b互相平行時(shí)，我們規(guī)定它們所成的角為0°,所以空間兩條直線所成角α的取值范圍是0°<a≤90°【

即時(shí)訓(xùn)練

】空間任意兩個(gè)角α,β,且α與β的兩邊對應(yīng)平行，α=60°,則β為

(

D

)A.60°B.120°C.30°D.60°

或120°例1

如圖，已知正方體ABCD-A'B'C'D'.(1)哪些棱所在的直線與直線AA'

垂

直

?(2)求直線BA'

與CC'所成的角大小。(3)求直線BA'

與AC

所成的角大小。解：(1)直線

AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A

'所在直線分別與AA'垂直.(2)由

BB'//CC'可知，∠B'BA'為異面直線

BA'與

CC

'

的夾角，

∠B'BA'=45°所以，直線

BA'與CC

'的夾角為45°.(3)如圖，連接A'C',

因

為ABCD-A'B'C'D'

是正方體，所以AA'/CC',

從而四邊形AA'C'C

是平

行四邊形，所以AC||A'C'。

于是∠BA'C

'

為

異

面直線BA'

與AC所成的角。連接BC',易知△A'BC′是等邊三角形，所以∠BA'C'=60°

.例1

如圖，已知正方體ABCD-A'B'C'D'.(1)哪些棱所在的直線與直線AA'垂直?(2)求直線BA'

與CC′所成的角大小。(3)求直線BA'

與AC所成的角大小。從而異面直線BA'

與AC所成的角等于60°.(1)哪些棱所在直線與直線BA'是異面直線?(2)哪些棱所在的直線與直線AA'垂直?解：(1)由異面直線的定義可知，與直線BA'成異面直線的有直線B'C′,AD,CC',DD',DC,D'C'

.例2

如圖，已知正方體ABCD-A'B'C'D'.(2)直線AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A'分別與直線

AA

'垂直.【

提升總結(jié)

】(1)求兩異面直線所成的角的一般步驟：①作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線

所成的角；②證：證明作出的角就是要求的角；③計(jì)算：求角的值，常利用解三角形.

可用“一作二證三計(jì)算”來概括.(2)平移直線得出的角有可能是兩條異面直線所成角

的補(bǔ)角，要注意識(shí)別這種情況.例2如圖，在正方體ABCD-A?B?C?D?中，0?為底面A?B?C?D?的中心.求證AO?⊥BD.分析：要證明A0?

⊥BD,

應(yīng)先構(gòu)造直線A0?與BD所成的角，若能證明這個(gè)角是直角，即得A0?

⊥BD.證

明：

如圖

，

連

接B?D?.

∵ABCD-A?B?C?D?是

正

方

體，∴

BB?//DD?

,∴四邊形BB?D?D

是

平

行

四

邊

形

，∴B?D?//BD,∴

直線AO?與

B?D?所成的角即為

直線AO?

與

BD所

成的角，

連

接AB?,AD?

,易

證AB?=AD?,又0?底

面

A?B?C?D?

的中

心.

∴0

?為

B?D?中點(diǎn)，∴AO?⊥B?D?,∴A0?⊥BD.【即時(shí)訓(xùn)練】分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是(

D)A.異面

B.

平行

C.相交

D.以上都有可能解析：當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，這兩條直線的位置關(guān)系為平行或異面，當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，這兩條直線的位置關(guān)系有可能相

交或異面或平行.異面直線所成的角直線與直線垂直異面直線所成的角的求法(1)作：利用中位線、長方體、平行

四邊形等性質(zhì)平移至一個(gè)三角形，并說明為異面直線所成的角或補(bǔ)角.(2)求：利用余弦定理求角(如果是特殊三角形),或利用三角形的性質(zhì)

求

角

。課堂小結(jié)核

心知識(shí)直觀想象：求作

異面直線所成角的問題求異面直線所成的角時(shí)注意的范圍直線與直線垂直求異面直線所成的角易錯(cuò)提醒方法總結(jié)核心素養(yǎng)1.

如圖，在正方體ABCD-A?B?C?D?中

，E、F、G、H分別為AA?

、AB

、BB?

、B?C?的中點(diǎn)，則異面直線

EF與GH

所成的角等于(

B

)A.45°B.60°

C.90°D.120°解析：取

A?B?中

點(diǎn)

I,

連接

IG、IH,

則

EF//IG.易知

IG,IH,

HG

相等，則△HGI

為等邊三角形，則IG

與

GH所成的角為60°,即

EF

與

GH所成的角為60°

.訓(xùn)練

·評價(jià)2.如圖，正方體ABCD-A?B?C?D?中，AC

與

BC?

所成角的大小是

60°

C?=CD?,C?∴∠CAD?=60°,即AC

與

BC?

所成的角為60°.解析：連接

AD,

則

AD?//BC?

.

∴∠CAD?(或其補(bǔ)角)就是

與BC?所成的角，連接

CD?,在正方體ABCD-A

?B?C?D?

中

，AC=AD?3.

如圖，在四棱錐P-ABCD

中

，PA⊥AB,

底

面ABCD

是平行四邊形，則PA

與

CD

所成的角是

90°∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB//CD,∴∠PAB

是

PA

與

CD

所成的角.又∵PA⊥AB,

∴∠PAB=90°.4.

如圖，已知長方體ABCD-EFGH中

，AB=2√3,AD=2√3,AE=2.(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?解：(1)因?yàn)镚F//BC,所以∠EGF

(或其補(bǔ)角)為所求

.