第64講橢圓及其性質

知識梳理

知識點一：橢圓的定義

平面內與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數2a（2a|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓，

這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作2c，定義用集合語言表

示為：P||PF1||PF2|2a(2a|F1F2|2c0)

注意：當2a2c時，點的軌跡是線段；

當2a2c時，點的軌跡不存在．

知識點二：橢圓的方程、圖形與性質

橢圓的方程、圖形與性質所示．

焦點的位

焦點在x軸上焦點在y軸上

置

圖形

x2y2y2x2

標準方程1ab01ab0

a2b2a2b2

統(tǒng)一方程mx2ny21(m0,n0,mn)

xacosxacos

參數方程,為參數（[0,2]）,為參數（[0,2]）

ybsinybsin

到兩定點、的距離之和等于常數，即（）

第一定義F1F22a|MF1||MF2|2a2a|F1F2|

范圍axa且bybbxb且aya

1a,0、2a,010,a、20,a

頂點

10,b、20,b1b,0、2b,0

軸長長軸長2a，短軸長2b長軸長2a，短軸長2b

對稱性關于x軸、y軸對稱，關于原點中心對稱

、、

焦點F1c,0F2c,0F10,cF20,c

222

焦距F1F22c(cab)

cc2a2b2b2

離心率e1(0e1)

aa2a2a2

a2

準線方程x

c

點和橢圓1外1外

x2y2y2x2

00點在橢圓上00點在橢圓上

221(x0,y0)221(x0,y0)

abab

的關系1內1內

xxyyyyxx

001（(x,y)為切點）001（(x,y)為切點）

a2b200a2b200

切線方程對于過橢圓上一點的切線方程，只需將橢圓方程中2換為，2換為

(x0,y0)xx0xyy0y

可得

切點弦所

xxyyyyxx

在的直線001(點(x,y)在橢圓外）001(點(x,y)在橢圓外）

a2b200a2b200

方程

2

①2b，（為短軸的端點）

cos1,maxF1BF2B

r1r2

焦點在軸上

12c|y0|,x

焦點三角②Srrsinbtan(FPF)

PF1F212焦點在軸上12

22c|x0|,y

形面積

當點在長軸端點時,（）2

Pr1r2min=b

③

當點在短軸端點時,（）2

Pr1r2max=a

焦點三角形中一般要用到的關系是

（）

|MF1||MF2|2a2a2c

1

S|PF||PF|sinFPF)

PF1F21212

2

222

|F1F2||PF1||PF2|2|PF1||PF2|cosF1PF2

左焦半徑：上焦半徑：

MF1aex0MF1aey0

又焦半徑：下焦半徑：

焦半徑MF1aex0MF1aey0

焦半徑最大值ac，最小值ac

b2

通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=2（最短的過焦點的弦）

a

設直線與橢圓的兩個交點為，，，

A(x1,y1)B(x2,y2)kABk

則弦長222

AB1kx1x21k(x1x2)4x1x2

弦長公式

1

1(yy)24yy1k2

k21212|a|

（其中a是消y后關于x的一元二次方程的x2的系數，是判別式）

【解題方法總結】

（1）過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其

2

長為2b．

a

①橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個端

點．

②橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點．

距離的最大值為ac，距離的最小值為ac．

（2）橢圓的切線

x2y2xxyy

①橢圓1(ab0)上一點P(x，y)處的切線方程是001；

a2b200a2b2

x2y2

②過橢圓1(ab0)外一點P(x，y)，所引兩條切線的切點弦方程是

a2b200

xxyy

001；

a2b2

x2y2

③橢圓1(ab0)與直線AxByC0相切的條件是A2a2B2b2c2．

a2b2

必考題型全歸納

題型一：橢圓的定義與標準方程

例1．（2024·高二課時練習）已知橢圓C上任意一點Px,y都滿足關系式

22

x1y2x1y24，則橢圓C的標準方程為.

例2．（2024·山東青島·統(tǒng)考三模）已知橢圓C的長軸長為4，它的一個焦點與拋物線

1

yx2的焦點重合，則橢圓C的標準方程為．

4

x2y2

例3．（2024·全國·高二專題練習）已知橢圓C:1(ab0)的左、右焦點為

a2b2

3

F1(1,0),F2(1,0)，且過點P1,,則橢圓標準方程為．

2

x2y2

變式1．（2024·浙江紹興·紹興一中?？寄M預測）已知橢圓E：1（ab0），

a2b2

F是E的左焦點，過E的上頂點A作AF的垂線交E于點B.若直線AB的斜率為3，△ABF

3

的面積為，則E的標準方程為.

13

x2y2

變式2．（2024·全國·高二專題練習）已知橢圓焦點在x軸，它與橢圓1有相同離心

43

率且經過點2,3，則橢圓標準方程為.

變式3．（2024·北京·高二北大附中?？计谀┡c雙曲線4y23x212有相同焦點，且長軸長

為6的橢圓標準方程為.

變式4．（2024·福建福州·高二福建省福州屏東中學?？计谀┮阎獧E圓E：

x2y2

1ab0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過坐標原點的直線交E于P，Q兩點，

a2b2

12

且PF2F2Q，且Sa，PF2F2Q8，則E的標準方程為.

PF2Q2

x2y2

變式5．（2024·山東青島·高二青島二中?？计谥校┻^點5,3，且與橢圓1有

259

相同的焦點的橢圓標準方程是．

變式6．（2024·浙江麗水·高三?？计谥校┪覀儼呀裹c在同一條坐標軸上，且離心率相同的橢

x2y2

圓叫做“相似橢圓”.若橢圓E:1，則以橢圓E的焦點為頂點的相似橢圓F的標準方

1612

程為.

x2y2

變式7．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓C：1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為

a2b2

F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別為M，N，過F2的直線l交C于A，B兩點（異于M、N），△AF1B

2

的周長為43，且直線AM與AN的斜率之積為，則橢圓C的標準方程

3

為.

變式8．（2024·高二課時練習）已知橢圓C的焦點在坐標軸上，且經過A(3，2)和B(23，1)

兩點，則橢圓C的標準方程為.

【解題方法總結】

（1）定義法：根據橢圓定義，確定a2,b2的值，再結合焦點位置，直接寫出橢圓方程.

（2）待定系數法：根據橢圓焦點是在x軸還是y軸上，設出相應形式的標準方程，然

后根據條件列出a,b,c的方程組，解出a2,b2，從而求得標準方程.

注意：①如果橢圓的焦點位置不能確定，可設方程為Ax2By21(A0,B0,AB).

x2y2x2y2

②與橢圓1共焦點的橢圓可設為1(km,kn,mn).

mnmknk

x2y2x2y2

③與橢圓1(ab0)有相同離心率的橢圓，可設為k（k0，焦點

a2b2a2b211

x2y2

在x軸上）或k（k0，焦點在y軸上）.

a2b222

題型二：橢圓方程的充要條件

例4．（2024·全國·高三對口高考）若是任意實數，方程x2siny2cos5表示的曲線不

可能是（）

A．圓B．拋物線C．橢圓D．雙曲線

例5．（2024·上海徐匯·位育中學校考三模）已知mR，則方程2mx2m1y21所表

示的曲線為C，則以下命題中正確的是（）

1

A．當m,2時，曲線C表示焦點在x軸上的橢圓

2

B．當曲線C表示雙曲線時，m的取值范圍是2,

C．當m2時，曲線C表示一條直線

D．存在mR，使得曲線C為等軸雙曲線

例6．（2024·全國·高三專題練習）已知方程Ax2By2CxyDxEyF0，其中

ABCDEF．現(xiàn)有四位同學對該方程進行了判斷，提出了四個命題：

甲：可以是圓的方程；乙：可以是拋物線的方程；

丙：可以是橢圓的標準方程；?。嚎梢允请p曲線的標準方程．

其中，真命題有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

變式9．（2024·全國·高三專題練習）“0a1，0b1”是“方程ax21by2表示的曲線為

橢圓”的（）

A．充要條件B．必要不充分條件

C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件

x2y2

變式10．（2024·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知曲線C:1，則“a0”是“曲線C

4a3a2

是橢圓”的（）

A．充要條件B．充分不必要條件

C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件

y2

變式11．（2024·全國·高三專題練習）設a為實數，則曲線C：x21不可能是（）

1a2

A．拋物線B．雙曲線C．圓D．橢圓

x2y2

變式12．（2024·廣西欽州·高三?？茧A段練習）“1k5”是方程“1表示橢圓”

k15k

的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分又不必要條

【解題方法總結】

x2y2

1表示橢圓的充要條件為：m0,n0,mn；

mn

x2y2

1表示雙曲線方程的充要條件為：mn0；

mn

x2y2

1表示圓方程的充要條件為：mn0.

mn

題型三：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題

x2y2

例7．（2024·貴州黔東南·高三?？茧A段練習）已知點A，B是橢圓C:1上關于原點

94

對稱的兩點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點，若AF12，則BF1（）

A．1B．2C．4D．5

x2y2

例8．（2024·北京·高三強基計劃）如圖，過橢圓1的右焦點F2作一條直線，交橢圓

43

于A，B兩點，則F1AB的內切圓面積可能是（）

A．1B．2C．3D．4

x2

例9．（2024·江西·高三統(tǒng)考階段練習）已知橢圓C:y21(a1),F,F為兩個焦點，P為

a212

橢圓C上一點，若△PF1F2的周長為4，則a（）

35

A．2B．3C．D．

24

x2y2

變式13．（2024·河南·高三階段練習）已知F1,F2分別為橢圓C:1(a23)的兩個

a212

1

焦點，且C的離心率為,P為橢圓C上的一點，則△PFF的周長為（）

212

A．6B．9C．12D．15

x2y2

變式14．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓E:1(ab0)的左頂點為A，上

a2b2

頂點為B，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，延長BF2交橢圓E于點P．若點A到直線BF2的距離

162

為，△PF1F2的周長為16，則橢圓E的標準方程為（）

3

x2y2x2y2

A．1B．1

25163632

x2y2x2y2

C．1D．1

494810064

x2y2

變式15．（2024·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知橢圓C:1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，

95

△

過點F2的直線l與橢圓C的一個交點為A，若AF24，則AF1F2的面積為（）

A．23B．13C．4D．15

x2y2

變式16．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中?？奸_學考試）橢圓E:1(ab0)的

43

，

兩焦點分別為F1F2，A是橢圓E上一點，當F1AF2的面積取得最大值時，F(xiàn)1AF2（）

2

A．B．C．D．

6233

x2y2

變式17．（2024·河南開封·統(tǒng)考三模）已知點P是橢圓1上一點，橢圓的左、右焦

259

1

點分別為F、F，且cosFPF，則△PFF的面積為（）

1212312

92

A．6B．12C．D．22

2

2

x2

變式18．（2024·全國·高三專題練習）設F1,F2為橢圓C:y1的兩個焦點，點P在C上，

5

若PF1PF20，則PF1PF2（）

A．1B．2C．4D．5

x2y2

變式19．（2024·全國·高三專題練習）設O為坐標原點，F(xiàn)1,F2為橢圓C:1的兩個

96

3

焦點，點P在C上，cosFPF，則|OP|（）

125

13301435

A．B．C．D．

5252

x2y2

變式20．（2024·湖南長沙·長郡中學校考模擬預測）若橢圓C:1ab0的離心率

a2b2

1

為，兩個焦點分別為F1c,0，F(xiàn)c,0c0，M為橢圓C上異于頂點的任意一點，點P

22

PM

△

是MF1F2的內心，連接MP并延長交F1F2于點Q，則（）

PQ

11

A．2B．C．4D．

24

x2y2

變式21．（2024·云南昆明·昆明一中?？寄M預測）已知橢圓C:1的左、右焦點分

259

別為F1，F(xiàn)2，直線ykx與橢圓C交于A，B兩點，若ABF1F2，則ABF1的面積等于

（）

A．18B．10C．9D．6

x2y2

變式22．（2024·貴州黔西·校考一模）設橢圓C:1ab0的左、右焦點分別為F1，

a2b2

2△

F2，離心率為．P是C上一點，且F1PF2P．若PF1F2的面積為2，則a（）

2

A．1B．2C．2D．4

x2y2

變式23．（2024·云南昆明·昆明市第三中學?？寄M預測）已知橢圓C:1(0b3)

9b2

的左、右焦點分別為F1,F2,P為橢圓上一點，且F1PF260，若F1關于F1PF2平分線的對

稱點在橢圓C上，則△F1PF2的面積為（）

A．63B．33C．23D．3

變式24．（2024·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校?？茧A段練習）在橢圓中，已知焦距

為2，橢圓上的一點P與兩個焦點F1,F2的距離的和等于4，且PF1F2120，則△PF1F2的

面積為（）

33233333

A．B．C．D．

7545

x2

變式25．（2024·河北唐山·統(tǒng)考三模）已知橢圓C:y21的兩個焦點分別為F,F，點M為

212

MF2

C上異于長軸端點的任意一點，F(xiàn)1MF2的角平分線交線段F1F2于點N，則（）

F2N

1102

A．B．C．D．2

552

【解題方法總結】

焦點三角形的問題常用定義與解三角形的知識來解決，對于涉及橢圓上點到橢圓兩焦點

將距離問題常用定義，即|PF1||PF2|2a.

題型四：橢圓上兩點距離的最值問題

x2y2

例10．（2024·湖南·校聯(lián)考二模）已知F1,F2分別為橢圓C:1的兩個焦點，P為橢圓

62

上一點，則22的最大值為（）

PF1PF22PF1PF2

A．64B．16C．8D．4

x2y2

例11．（2024·云南·高三校聯(lián)考階段練習）已知A(3,0),B(3,0)，P是橢圓1上的任

2516

意一點，則|PA||PB|的最大值為（）

A．9B．16C．25D．50

x2y2

例12．（2024·河南·高三期末）已知P是橢圓C:1上的動點，且與C的四個頂點不

1612

重合，F(xiàn)1,F2分別是橢圓的左、右焦點，若點M在F1PF2的平分線上，且MF1MP0，則OM

的取值范圍是（）

A．0,2B．0,23C．0,423D．0,1

x2y2

變式26．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習）已知F1,F2是橢圓C:1的

43

22

兩個焦點，點P在C上，則PF1PF2的取值范圍是（）

A．1,16B．4,10C．8,10D．8,16

x2y2

變式27．（2024·全國·高三專題練習）若橢圓C：1，則該橢圓上的點到焦點距離

43

的最大值為（）

A．3B．2＋3

C．2D．3＋1

x2y2

變式28．（2024·全國·高三專題練習）已知點M在橢圓1上運動，點N在圓

189

2

x2y11上運動，則MN的最大值為（）

A．119B．125C．5D．6

【解題方法總結】

利用幾何意義進行轉化.

題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題

x2y2

例13．（2024·北京·高三強基計劃）設實數x，y滿足1，則

54

x2y22y1x2y22x1的最小值為（）

A．22B．252

C．252D．前三個答案都不對

x2y2

例14．（2024·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓C：1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，

95

A是C上一點，B2,1，則ABAF1的最大值為（）

A．7B．8C．9D．11

x2

例15．（2024·江蘇·統(tǒng)考三模）已知F為橢圓C：y21的右焦點，P為C上一點，Q為

4

2

圓M：x2y31上一點，則PQ＋PF的最大值為（）

A．3B．6

C．423D．523

變式29．（2024·河北·高三河北衡水中學?？茧A段練習）若平面向量a,b,c滿足

|a||b|1,|ab||ab|，若|ca||c3b|4，則cabc3b的取值范圍為（）

A．2,6B．2,4C．4,6D．3,5

x2y2

變式30．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓C:1的左焦點為F,P是C上

167

一點，M3,1，則PMPF的最大值為（）

A．7B．8C．9D．11

x2y2

變式31．（2024·全國·高三專題練習）已知點P為橢圓1上任意一點，點M、N分

43

22

別為x1y21和x1y21上的點，則PMPN的最大值為（）

A．4B．5C．6D．7

2

x2

變式32．（2024·全國·高三專題練習）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C:y1的兩個焦點，P

4

為橢圓上一點，則PF1PF2的最大值為（）

A．2B．23C．4D．43

x2y2

變式33．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓1外一點A(5，6)，l為橢圓的左準線，

2516

3

P為橢圓上動點，點P到l的距離為d，則PAd的最小值為（）

5

A．8B．10C．12D．14

x2y2

變式34．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓C:1的右焦點為F，P為橢圓C上

43

一動點，定點A(2,4)，則|PA||PF|的最小值為（）

A．1B．－1C．17D．17

【解題方法總結】

在解析幾何中，我們會遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義．求解最值問題

的過程中，如果發(fā)現(xiàn)動點P在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃

而解．

題型六：離心率的值及取值范圍

方向1：利用橢圓定義去轉換

例16．（2024·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學?？奸_學考試）如圖，某同

學用兩根木條釘成十字架，制成一個橢圓儀.木條中間挖一道槽，在另一活動木條PAB的P處

鉆一個小孔，可以容納筆尖，A,B各在一條槽內移動，可以放松移動以保證PA與PB的長

度不變，當A,B各在一條槽內移動時，P處筆尖就畫出一個橢圓E.已知PA2AB，且P在

右頂點時，B恰好在O點，則E的離心率為（）

12255

A．B．C．D．

2353

x2y2

例17．（2024·全國·高三專題練習）設橢圓E:1ab0的一個焦點為F2,0，

a2b2

點A2,1為橢圓E內一點，若橢圓E上存在一點P，使得PAPF8，則橢圓E的離心

率的取值范圍是（）

44442222

A．,B．,C．,D．,

97979797

例18．（2024·安徽·高三安徽省宿松中學校聯(lián)考開學考試）已知橢圓C的左右焦點分別為F1，

F2，P，Q為C上兩點，2PF23F2Q，若PF1PF2，則C的離心率為（）

341317

A．B．C．D．

5555

變式35．（2024·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學考試）如圖，已知圓柱底面半徑為2，高為3，

ABCD是軸截面，E,F分別是母線AB,CD上的動點（含端點），過EF與軸截面ABCD垂直

的平面與圓柱側面的交線是圓或橢圓，當此交線是橢圓時，其離心率的取值范圍是（）

3434

A．0,B．0,C．,1D．,1

5555

x2y2

變式36．（2024·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C:1

a2b2

ab0

（）的左，右焦點，M，N是橢圓C上兩點，且MF12F1N，MF2MN0，則

橢圓C的離心率為（）

3257

A．B．C．D．

4334

x2y2

變式37．（2024·重慶巴南·統(tǒng)考一模）橢圓C:1(ab0)的左右焦點為F1，F(xiàn)2，點

a2b2

P為橢圓上不在坐標軸上的一點，點M，N滿足F1MMP，2ONOPOF2，若四邊形MONP

的周長等于4b，則橢圓C的離心率為e（）

1236

A．B．C．D．

2223

變式38．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校?？既＃┮阎狹，N是橢圓

x2y2

1ab0上關于原點O對稱的兩點，P是橢圓C上異于M,N的點，且PMPN

a2b2

1

的最大值是a2，則橢圓C的離心率是（）

2

1123

A．B．C．D．

3223

方向2：利用a與c建立一次二次方程不等式

x2y2

變式39．（2024·四川綿陽·高三鹽亭中學校考階段練習）橢圓:1(ab0)?的左、

a2b2

3

右焦點分別為F1,F2?，焦距為2c?，若直線yxc?與橢圓?的一個交點為M?

3

3

在x?軸上方，滿足FMFMFF?，則該橢圓的離心率為（）

12221

51

A．31?B．?

2

31

C．51?D．?

2

x2y2

變式40．（2024·廣東深圳·高三?？茧A段練習）已知橢圓E：1ab0)的右焦點

a2b2

1

為F，左頂點為A，若E上的點