第60講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

知識(shí)梳理

一．直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交

二．直線與圓的位置關(guān)系判斷

（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）

|AaBbC|

圓心(a,b)到直線AxByC0的距離，則d：

A2B2

22

dr直線與圓相交，交于兩點(diǎn)P,Q，|PQ|2rd；

dr直線與圓相切；

dr直線與圓相離

（2）代數(shù)方法（幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題即交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根個(gè)數(shù)）

AxByC0

由222，

(xa)(yb)r

消元得到一元二次方程px2qxt0，px2qxt0判別式為，則：

0直線與圓相交；

0直線與圓相切；

0直線與圓相離．

三．兩圓位置關(guān)系的判斷

用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：

設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：

O1,O2R,rRrd

dRr兩圓相交；

dRr兩圓外切；

RrdRr兩圓相離

dRr兩圓內(nèi)切；

0dRr兩圓內(nèi)含（d0時(shí)兩圓為同心圓）

設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為R，r，Rr，圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來(lái)表示：

位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

幾何特征dRrdRrRrdRrdRrdRr

代數(shù)特征無(wú)實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無(wú)實(shí)數(shù)解

公切線條數(shù)43210

【解題方法總結(jié)】

關(guān)于圓的切線的幾個(gè)重要結(jié)論

（）過(guò)圓222上一點(diǎn)的圓的切線方程為2．

1xyrP(x0,y0)x0xy0yr

（）過(guò)圓222上一點(diǎn)的圓的切線方程為

2(xa)(yb)rP(x0,y0)

2

(x0a)(xa)(y0b)(yb)r

（）過(guò)圓22上一點(diǎn)的圓的切線方程為

3xyDxEyF0P(x0,y0)

xxyy

xxyyD0E0F0

0022

（）求過(guò)圓222外一點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)注意理解：

4xyrP(x0,y0)

①所求切線一定有兩條；

②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對(duì)所求直線的斜率是否存在加以討論．設(shè)切線方程為

，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于的方程，求出值．若求出

yy0k(xx0)kk

的k值有兩個(gè)，則說(shuō)明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的k值只有一個(gè)，則說(shuō)明斜率

不存在的情形符合題意．

必考題型全歸納

題型一：直線與圓的位置關(guān)系的判斷

xy

例1．（2024·四川成都·成都七中?？家荒＃﹫AC：(x1)2(y1)21與直線l：1

43

的位置關(guān)系為（）

A．相切B．相交C．相離D．無(wú)法確定

例2．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若直線axby1與圓x2y21相交，則點(diǎn)Pa,b（）

A．在圓上B．在圓外C．在圓內(nèi)D．以上都有可能

22

例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)Px0,y0為圓C:xy2上的動(dòng)點(diǎn)，則直線

l:x0xy0y2與圓C的位置關(guān)系為（）

A．相交B．相離C．相切D．相切或相交

22

變式1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線l:xmy1m0與圓C:x1y29

的位置關(guān)系是（）

A．相交B．相切C．相離D．無(wú)法確定

變式2．（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）直線l：xcosysin1R與曲線C：x2y21

的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A．0B．1C．2D．無(wú)法確定

變式3．（2024·寧夏銀川·銀川一中校考二模）直線kxy14k0kR與圓

(x1)2(y2)225的位置關(guān)系為（）

A．相離B．相切C．相交D．不能確定

【解題方法總結(jié)】

判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法

（1）幾何法：利用d與r的關(guān)系．

（2）代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．

（3）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．

題型二：弦長(zhǎng)與面積問(wèn)題

例4．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知直線l：3xy50與圓C：

22

xy2x6y60交于A，B兩點(diǎn)，則AB．

1

例5．（2024·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓C:x2y26x50，直線yx1與圓

3

C相交于M，N兩點(diǎn)，則MN．

2

例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線l:xmy10與C:x1y24交于A，

8

B兩點(diǎn)，寫(xiě)出滿足“ABC面積為”的m的一個(gè)值．

5

變式4．（2024·江西南昌·高三南昌市八一中學(xué)校考階段練習(xí)）圓心在直線y2x上，與x

軸相切，且被直線xy0截得的弦長(zhǎng)為14的圓的方程為.

變式5．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考三模）寫(xiě)出經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)且被圓x2y22x2y10截得的

弦長(zhǎng)為2的一條直線的方程．

變式6．（2024·廣東深圳·?？级＃┻^(guò)點(diǎn)(1,1)且被圓x2y24x4y40所截得的弦

長(zhǎng)為22的直線的方程為.

變式7．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？既＃┮阎本€l：kxy2k20被圓

C：x2(y1)216所截得的弦長(zhǎng)為整數(shù)，則滿足條件的直線l有條.

22

變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知A，B分別為圓x1y21與圓x2y24

上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB面積的最大值為.

變式9．（2024·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線l:xy50與

22

圓C:xy2x4y40交于A，B兩點(diǎn)，若M是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則△MAB面積的最大

值是.

變式10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C的方程為(x3)2(y4)225，若直線

l:3x4y50與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，則ABC的面積為.

變式11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)A(0,3)的直線l

6

與圓C:x2(y2)29相交于M，N兩點(diǎn)，若SS，則直線l的斜率為.

△AON5△ACM

變式12．（2024·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在圓x2y22x6y0內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E0,3的最

長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為．

【解題方法總結(jié)】

弦長(zhǎng)問(wèn)題

l

①利用垂徑定理：半徑r，圓心到直線的距離d，弦長(zhǎng)l具有的關(guān)系r2d2()2，這

2

也是求弦長(zhǎng)最常用的方法．

②利用交點(diǎn)坐標(biāo)：若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間的距

離公式計(jì)算弦長(zhǎng)．

③利用弦長(zhǎng)公式：設(shè)直線，與圓的兩交點(diǎn)，，，，將直線方程

l:ykxb(x1y1)(x2y2)

代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)關(guān)系得弦長(zhǎng)：

l1k2|xx|(1k2)[(xx)24xx](1k2)．

121212A

題型三：切線問(wèn)題、切線長(zhǎng)問(wèn)題

例7．（2024·遼寧錦州·?？家荒＃?xiě)出一條與圓x2y21和曲線yx25都相切的直線

的方程：.

22

例8．（2024·河南開(kāi)封·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)A(1,0)，B(2,0)，經(jīng)過(guò)B作圓x3y25

的切線與y軸交于點(diǎn)P，則tanAPB．

例9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,0且與圓x2y24x2y30相切的直線方

程為．

變式13．（2024·福建寧德·?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓C：x2y22x2y0，直線l的橫縱

截距相等且與圓C相切﹐則直線l的方程為．

變式14．（2024·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）寫(xiě)出經(jīng)過(guò)拋物線y28x的焦點(diǎn)且和圓

2

x2y14相切的一條直線的方程.

變式15．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)P3,2且與圓C：x2y22x4y10相

切的直線方程為

變式16．（2024·湖北·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知過(guò)點(diǎn)P3,3作圓O:x2y22的切線，

則切線長(zhǎng)為.

變式17．（2024·江蘇無(wú)錫·校聯(lián)考三模）已如P3,3，M是拋物線y24x上的動(dòng)點(diǎn)（異

22

于頂點(diǎn)），過(guò)M作圓C:x2y4的切線，切點(diǎn)為A，則MAMP的最小值為.

變式18．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）由直線xy60上一點(diǎn)P

22

向圓C:x3y54引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為．

變式19．（2024·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）若在圓C：x2y2r2r0

22

上存在一點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P作圓M：x2y1的切線長(zhǎng)為2，則r的取值范圍

為．

變式20．（2024·天津?yàn)I海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知圓

M:x2y22ay0(a0)與直線xy0相交所得圓的弦長(zhǎng)是22，若過(guò)點(diǎn)A3,6作圓M

的切線，則切線長(zhǎng)為.

2

變式21．（2024·天津南開(kāi)·統(tǒng)考二模）若直線kxy2k30與圓x2y14相切，

則k.

變式．（·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知e22，

222024O1:xy21

e22，過(guò)軸上一點(diǎn)分別作兩圓的切線，切點(diǎn)分別是，，當(dāng)

O2:x3y69xPMN

PMPN取到最小值時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為.

【解題方法總結(jié)】

（1）圓的切線方程的求法

①點(diǎn)，在圓上，

M(x0y0)

法一：利用切線的斜率與圓心和該點(diǎn)連線的斜率的乘積等于，即．

klkOM1kOMkl1

法二：圓心O到直線l的距離等于半徑r．

②點(diǎn)，在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：

M(x0y0)yy0k(xx0)

，因?yàn)榕c圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．

kxyy0kx00k

注意：因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個(gè)根，若方程只有一

個(gè)根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上．

（2）常見(jiàn)圓的切線方程

過(guò)圓222上一點(diǎn)，的切線方程是2；

xyrP(x0y0)x0xy0yr

過(guò)圓222上一點(diǎn)，的切線方程是

(xa)(yb)rP(x0y0)

2．

(x0a)(xa)(y0b)(yb)r

題型四：切點(diǎn)弦問(wèn)題

2

例10．（2024·浙江·高三浙江省富陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）從拋物線y4xy0上一點(diǎn)

22

P作圓C：x5y1得兩條切線，切點(diǎn)為A,B，則當(dāng)四邊形PACB面積最小時(shí)直線AB方

程為.

例11．（2024·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓C:x2y22y0，過(guò)直線

l:xy10上任意一點(diǎn)P，作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B兩點(diǎn)，則AB的最小值

為.

x2y2

例12．（2024·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）如圖，過(guò)橢圓1上一點(diǎn)M作圓x2y22的

94

兩條切線，過(guò)切點(diǎn)的直線與坐標(biāo)軸于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△POQ面積的最小值

為（）

123

A．B．C．D．前三個(gè)答案都不對(duì)

234

變式23．（2024·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線l:mxym10(m0)與圓

22

C:xy4x2y40，過(guò)直線l上的任意一點(diǎn)P向圓C引切線，設(shè)切點(diǎn)為A,B，若線段

AB長(zhǎng)度的最小值為3，則實(shí)數(shù)m的值是（）

121277

A．B．C．D．

5555

變式24．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P在直線l:3x4y330上，過(guò)點(diǎn)P作圓

C:(x1)2y24的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B，則圓心C到直線AB的距離的最大值為（）

124

A．B．C．1D．

333

變式25．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若圓C:x2(y2)216關(guān)于直線axby120對(duì)

稱，動(dòng)點(diǎn)P在直線yb0上，過(guò)點(diǎn)P引圓C的兩條切線PM、PN，切點(diǎn)分別為M、N，

則直線MN恒過(guò)定點(diǎn)Q，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）

A．(1,1)B．(1,1)C．(0,0)D．(0,12)

變式26．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C：(x3)2y24，點(diǎn)M在拋

2MPQ

物線T：y4x上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)引直線l1,l2與圓C相切，切點(diǎn)分別為P,Q，則下列選項(xiàng)中

能取到的值有（）

A．2B．22C．23D．25

2

變式27．（2024·江蘇南京·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）過(guò)拋物線y8x上一點(diǎn)P作圓

22

C:x2y1的切線，切點(diǎn)為A、B，則當(dāng)四邊形PACB的面積最小時(shí)，直線AB的方程

為（）

A．2x10B．x10C．2x30D．4x70

【解題方法總結(jié)】

過(guò)圓222外一點(diǎn)，作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為

xyrP(x0y0)

2

x0xy0yr

過(guò)曲線上，，做曲線的切線，只需把2替換為，2替換為，x替換

P(x0y0)xx0xyy0y

xxyy

為0，y替換為0即可，因此可得到上面的結(jié)論．

22

題型五：圓上的點(diǎn)到直線距離個(gè)數(shù)問(wèn)題

例13．（2024·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中校考期末）若圓C:x2y212x10y250上有

四個(gè)不同的點(diǎn)到直線l:3x4yc0的距離為3，則c的取值范圍是（）

A．,17B．17,13C．13,17D．12,18

例14．（2024·陜西咸陽(yáng)·高三武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）圓C：

2

x2y2R2R0上恰好存在2個(gè)點(diǎn)，它到直線y3x2的距離為1，則R的一個(gè)取

值可能為（）

A．1B．2C．3D．4

例15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等

于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，則a的取值范圍為()

A．32,32B．,3232,

C．22,22D．,2222,

222

變式28．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若圓C1:(x1)(y2)r(r0)上恰有2個(gè)點(diǎn)到

直線l:4x3y100的距離為1，則實(shí)數(shù)r的取值范圍為（）

223222

A．(3,5)B．(4,6)C．,D．,6

555

變式29．（1991·全國(guó)·高考真題）圓x22xy24y30上到直線xy10的距離為2的

點(diǎn)共有

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

變式30．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若圓x2y2r2r0上僅有4個(gè)點(diǎn)到直線xy20

的距離為1，則實(shí)數(shù)r的取值范圍為（）

A．21,B．21,21C．0,21D．0,21

【解題方法總結(jié)】

臨界法

題型六：直線與圓位置關(guān)系中的最值（范圍）問(wèn)題

22

例16．（2024·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P在圓O:xy1運(yùn)動(dòng)，若對(duì)任意點(diǎn)P，在直

π

線l:xy40上均存在兩點(diǎn)A,B，使得APB恒成立，則線段AB長(zhǎng)度的最小值是（）

2

A．21B．21C．221D．422

例17．（2024·河南洛陽(yáng)·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓

22

M:x5y516，點(diǎn)N在直線l:3x4y50上，過(guò)點(diǎn)N作直線NP與圓M相切于

點(diǎn)P，則△MNP的周長(zhǎng)的最小值為.

例18．（2024·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是邊

AB上的一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)GEC交EC于點(diǎn)P，且直線FG平分正方形ABCD的周長(zhǎng)，當(dāng)線段BP的

長(zhǎng)度最小時(shí)，點(diǎn)A到直線BP的距離為.

變式31．（2024·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線xy20分別與x

1

軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x2)2(y1)2上，則ABP面積的取值范圍

2

是.

變式32．（2024·上海徐匯·高三上海民辦南模中學(xué)校考階段練習(xí)）若x2y24，則

22

x2y1x1的最小值為.

變式33．（2024·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓O:x2y2r2與直線

相切，函數(shù)過(guò)定點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條互相垂直

3x4y100fxloga2x12O

的弦AC,BD，則四邊形ABCD面積的最大值為.

變式34．（2024·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知a,b,c是平面內(nèi)的三個(gè)單位

向量，若ab，則a2c3a2b2c的最小值是．

變式35．（2024·安徽池州·高三池州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知

22

M:xy2x2y10，直線l:x2y20,P為l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作M的切線

PA,PB，切點(diǎn)為A,B，當(dāng)PMAB最小時(shí)，直線AB的方程為.

變式36．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知C:(x1)2(y1)23，點(diǎn)A為直線l:y1

上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線與C相切于點(diǎn)P，若Q(2,0)，則|AP||AQ|的最小值

為.

變式37．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測(cè)）若直線l1:xmy20

22

與l2:mxy20(mR)相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作圓C:(x2)(y2)1的切線，切點(diǎn)為M，

則|PM|的最大值為．

變式38．（2024·河南·高三信陽(yáng)高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fxalnx11aR

22

的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，圓O:xy4上兩點(diǎn)Px1,y1，Qx2,y2滿足PAAQR，則

2x1y172x2y27的最小值為．

2

變式39．（2024·四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓C：x1y29與直線l：

13x1y240(R)交與A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|最小值時(shí)，直線l的一般式方程

是.

變式40．（2024·北京西城·高三北京市回民學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知圓

C:x2y24x4y40與直線l:kxyk10相交于A,B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值是.

變式41．（2024·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知M,N分別是圓

2222

C1:xy4x4y70，圓C2:xy2x0上動(dòng)點(diǎn)，P是直線xy10上的動(dòng)點(diǎn)，

則PMPN的最小值為．

變式42．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足：(x2)2(y1)21，則

12

xy

的取值范圍是．

變式43．（2024·福建福州·高三福建省福州格致中學(xué)?？计谥校┮阎狝x1,y1,Bx2,y2是

22π

圓O:xy1上兩點(diǎn)，若AOB，則x1y11x2y21的最大值為.

2

變式44．（2024·廣東廣州·高三廣州市白云中學(xué)?？计谥校┮阎狿是直線3x4y80上

的動(dòng)點(diǎn)，PA,PB是圓x2y22x2y10的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，那么四

邊形PACB面積的最小值為．

變式45．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)A2，0，B2，0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足

22

PA|PB|16，若直線kxy60上存在點(diǎn)Q使得PQO，則實(shí)數(shù)k的取值范圍

6

為（）

，，，

A．4242B．4242

，55，5，5

C．D．

2222

變式46．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出

最大視角問(wèn)題，這一問(wèn)題一般的描述是：已知點(diǎn)A，B是MON的ON邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，C是

OM邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)C在何處時(shí)，ACB最大？問(wèn)題的答案是：當(dāng)且僅當(dāng)ABC的外接

圓與邊OM相切于點(diǎn)C時(shí)最大，人們稱這一命題為米勒定理.已知點(diǎn)D，E的坐標(biāo)分別是0,1，

π

0,m，F(xiàn)是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn).若DFE的最大值為，則實(shí)數(shù)m的值為（）

6

1

A．2B．3C．或mD．2或4

m33

變式47．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）已知直線l:x2y40與x軸和y軸分別交于

A，B兩點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓與x軸的交點(diǎn)為M（在點(diǎn)A右側(cè)），點(diǎn)P在圓上，

當(dāng)MBP最大時(shí)，△MPB的面積為（）

3648

A．B．8C．2210D．

55

22

變式48．（2024·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓C：x1y25，圓C是以圓

x2y21上任意一點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓．圓C與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)ACB最

大時(shí)，CC（）

A．1B．2C．3D．2

變式49．（2024·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)P在圓

22

x5y516上，點(diǎn)A4,0，B0,2，則錯(cuò)誤的是（）

A．點(diǎn)P到直線AB的距離小于10B．點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

C．當(dāng)PBA最小時(shí)，PB32D．當(dāng)PBA最大時(shí)，PB32

變式50．（2024·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械谝恢袑W(xué)?？计谀┑聡?guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出過(guò)如下

的“最大視角原理”：對(duì)定點(diǎn)A、B和在直線l上的動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)l與△APB的外接圓相切時(shí)，

APB最大．若A(0,2)，B(0,8)，P是x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P對(duì)線段AB的視角最大時(shí)，

△APB的外接圓的方程為（）

A．(x4)2(y4)225B．(x4)2(y5)216

C．(x5)2(y4)216D．(x4)2(y5)225

【解題方法總結(jié)】

直線上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最近或最遠(yuǎn)距離問(wèn)題，這樣的題目往往要轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)與

圓心距離的最近和最遠(yuǎn)距離再加減半徑長(zhǎng)的問(wèn)題．

題型七：圓與圓的位置關(guān)系

例19．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線l:xcosysin102π與圓

22

C:x2y54相切，則滿足條件的直線l的條數(shù)為（）

A．2B．3C．4D．5

22

例20．（2024·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知直線l是圓C:x2y11的切線，并且

點(diǎn)B3,4到直線l的距離是2，這樣的直線l有（）

A．1條B．2條C．3條D．4條

2222

例21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C1：xy2x0，圓C2：x3y14，

則C1與C2的位置關(guān)系是（）

A．外切B．內(nèi)切C．相交D．外離

22

變式51．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓C1：xy6x10y20與圓C2：

x2y24x14y40公切線的條數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

222

變式52．（2024·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓C1：xyaaa0的圓心到直

22

線xy20的距離為22，則圓C1與圓C2：xy2x4y40的公切線共有（）

A．0條B．1條C．2條D．3條

變式53．（2024·甘肅蘭州·蘭州五十九中?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知

圓C：x2＋y2－4x＝0及點(diǎn)A(－1,0)，B(1,2)，在圓C上存在點(diǎn)P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，則

點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

變式54．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)O0,0，A3,4

到直線l的距離分別是1與4，則滿足條件的直線l共有（）

A．1條B．2條C．3條D．4條

變式55．（2024·湖南常德·常德市一中?？级＃┮阎獔AC:(x4)2(y3)24和兩點(diǎn)

A(a,0),B(a,0)(a0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得APB90，則a的最小值為（）

A．6B．5C．4D．3

2222

變式56．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C1：x＋y＋4ax＋4a－4＝0和圓C2：x＋

11

y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為（）

a2b2

A．3B．8C．4D．9

【解題方法總結(jié)】

已知兩圓半徑分別為，兩圓的圓心距為，則：

r1,r2d

（）兩圓外離；

1r1r2d

（）兩圓外切；

2r1r2d

（）兩圓相交；

3|r1r2|dr1r2

（）兩圓內(nèi)切