第55講立體幾何中的壓軸小題

必考題型全歸納

題型一：球與截面面積問題

例1．（2024·湖南長沙·高二長郡中學?？奸_學考試）已知三棱錐PABC的四個頂點在球O

的球面上，PAPBPC，ABC是邊長為62的正三角形，PA3PE，BA3BF，

CEF90，過點E作球O的截面，截面面積最小值為（）

A．8πB．16πC．27πD．40π

例2．（2024·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校?？茧A段練習）四面體ABCD的四個頂點

都在球O的球面上，ABBCCDDA4，ACBD22，點E，F(xiàn)，G分別為棱BC，

CD，AD的中點，現(xiàn)有如下結(jié)論：①過點E，F(xiàn)，G作四面體ABCD的截面，則該截面的面

163

積為2；②四面體ABCD的體積為；③過E作球O的截面，則截面面積的最大值與最

3

小值的比為5：4.則上述說法正確的個數(shù)是（）

A．0B．1C．2D．3

例3．（2024·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學?？寄M預測）已知球O是正三棱錐ABCD

（底面是正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球，BC3，AB2，點E

是線段AB的中點，過點E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（）

πππ

A．B．C．D．

2346

變式1．（2024·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）2022年第三十二屆足球世界杯在卡塔爾舉行，第一

屆世界杯是1930年舉辦的，而早在戰(zhàn)國中期，中國就有過類似的體育運動項目：蹴鞠，又

名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠

的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似于今日的足球．2006年5月

20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準已列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．已

知半徑為3的某鞠（球）的表面上有四個點A，B，C，P，ACBC，ACBC4，PC6，

則該鞠（球）被平面PAB所截的截面圓面積為（）

2325

A．7πB．πC．8πD．π

33

變式2．（2024·全國·高三專題練習）在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2,M,N分別為

AD,BC的中點，該正方體的外接球為球O，則平面A1MN截球O得到的截面圓的面積為（）

6π7π12π14π

A．B．C．D．

5555

變式3．（2024·四川遂寧·射洪中學?？寄M預測）已知球O內(nèi)切于正方體ABCDA1B1C1D1，

P，Q，M，N分別是B1C1,C1D1,CD,BC的中點，則該正方體及其內(nèi)切球被平面MNPQ所截

得的截面面積之比為（）

A．42:πB．22:πC．32:πD．4:π

變式4．（2024·河南洛陽·高三校聯(lián)考階段練習）已知三棱錐P-ABC的棱長均為6，且四個頂

uuur1uuur

點均在球心為O的球面上，點E在AB上，AEAB，過點E作球O的截面，則截面面

3

積的最小值為（）

A．8πB．10πC．16πD．24π

題型二：體積、面積、周長、角度、距離定值問題

例4．（2024·福建三明·高一校考階段練習）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，

M，N分別為A1D1，B1C1的中點，E，F(xiàn)分別為棱AB，CD上的動點，則三棱錐MNEF

的體積（）

82

A．存在最大值，最大值為B．存在最小值，最小值為

33

4

C．為定值D．不確定，與E，F(xiàn)的位置有關(guān)

3

例5．（2024·四川成都·?？寄M預測）如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為

正方形，AA1底面ABCD，AA12AB，M?N分別是棱BB1?DD1上的動點，且DNB1M，

則下列結(jié)論中正確的是（）

A．直線A1C與直線MN可能異面

B．三棱錐A1C1MN的體積保持不變

C．直線AC與直線MN所成角的大小與點M的位置有關(guān)

π

D．直線AD與直線MN所成角的最大值為

3

例6．（多選題）（2024·福建三明·統(tǒng)考三模）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，點

E是AA1的中點，點F是側(cè)面ABB1A1內(nèi)一動點，則下列結(jié)論正確的為（）

A．當F在A1B上時，三棱錐FCD1E的體積為定值

2

B．CE與BF所成角正弦的最小值為

3

C．過D1作垂直于CE的平面截正方體ABCDA1B1C1D1所得截面圖形的周長為62

25

D．當D1FCE時，△BCF面積的最小值為

5

變式5．（多選題）（2024·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，O1

為四邊形A1B1C1D1的中心，P為線段AO1上的一個動點，Q為線段CD1上一點，若三棱錐

QPBD的體積為定值，則（）

A．DQ2QC1B．DQQC1

C．O1Q2D．O1Q3

變式6．（多選題）（2024·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱

長為2，線段B1D1上有兩個動點E,F，且EF2，以下結(jié)論正確的有（）

A．EFAB2

B．A1CAE

C．正方體ABCDA1B1C1D1的體積是三棱錐ABEF的體積的12倍

D．異面直線AE,BF所成的角為定值

變式7．（多選題）（2024·廣東深圳·高三紅嶺中學校考期末）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的

底面邊長為1，AA1=1，點P滿足BPBCBB1，其中λ∈[0,1],μ∈[0,1]，下列選項正確

的是（）

A．當λ=1時，△AB1P的周長為定值

B．當μ=1時，三棱錐P﹣A1BC的體積為定值

1

C．當時，有且僅有兩個點P，使得A1P⊥BP

2

1

D．當時，有且僅有一個點P，使得A1B⊥平面AB1P

2

變式8．（多選題）（2024·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在棱長為1的正方體

中，點滿足，其中，則（）

ABCDA1B1C1D1PBPBCBB10,1,0,1

A．AP3

1

B．當時，有且僅有一個點P，使得AP平面A1BD

2

1

C．當時，有且僅有一個點P，使得AP∥AB

21

1

D．當時，三棱錐PABD的體積為定值

21

變式9．（多選題）（2024·湖南·校聯(lián)考模擬預測）如圖，ABCDABCD為正方體.任作平

面與對角線AC垂直，使得與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的

面積為S，周長為l.則（）

A．S為定值B．S不為定值C．l為定值D．l不為定值

變式10．（多選題）（2024·重慶沙坪壩·重慶南開中學?？寄M預測）已知三棱錐PABC，

PABC2,PBACPCAB3，D為棱PC上一點，且PDDC，過點D作平行于

直線PA和BC的平面，分別交棱PB,AB,AC于E,F,G．下列說法正確的是（）

A．四邊形DEFG為矩形

B．四邊形DEFG的周長為定值

C．四邊形的DEFG面積為定值

D．當1時，平面分三棱錐PABC所得的兩部分體積相等

變式11．（多選題）（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預測）在正方體ABCDA1B1C1D1中，點P滿足

BPBCBB1，其中0,1，0,1，則下列說法正確的是（）

A．當時，A1P∥平面ACD1

B．當1時，三棱錐PA1BC的體積為定值

C．當1時，△PBD的面積為定值

D．當1時，直線AD與DP所成角的取值范圍為,

1132

題型三：體積、面積、周長、距離最值與范圍問題

例7．（2024·福建福州·福州四中?？寄M預測）在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架

ABCD,ABEF的邊長均為2，活動彈子N在線段AB上移動（包含端點），彈子M,O分別固

定在線段EF,AC的中點處，且MO平面ABCD，則當MNO取最大值時，多面體

MBCON的體積為（）

333323

A．B．C．D．

2233

例8．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期中）已知正四棱錐的各頂點都在同一個球面上，球的體積

為36π，則該正四棱錐的體積最大值為（）

6481

A．18B．C．D．27

34

例9．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學校考模擬預測）已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱

26

長為22,P是正方形BB1C1C（含邊界）內(nèi)的動點，點P到平面A1BD的距離等于，則D,P

3

兩點間距離的最大值為（）

A．23B．3C．32D．26

變式12．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預測）點P是圓柱上底面圓周上一動點，ABC是圓柱下

底面圓的內(nèi)接三角形，已知在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若c2，

2

C60，三棱錐PABC的體積最大值為3，則該三棱錐外接球的表面積為（）

3

19285343

A．πB．πC．πD．π

3393

變式13．（2024·貴州畢節(jié)·?？寄M預測）如圖，AB是半球的直徑，O為球心，AB2,P為

此半球大圓弧上的任意一點（異于A,B),P在水平大圓面AOB內(nèi)的射影為Q，過Q作

QRAB于R，連接PR,OP，若二面角PABQ的大小為，則三棱錐POQR的體積

3

的最大值為（）

1133

A．B．C．D．

36244248

變式14．（2024·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）圓錐OO1的底面半徑為1，母線長為2，OAB是圓

錐OO1的軸截面，F(xiàn)是OA的中點，E為底面圓周上的一個動點（異于A、B兩點），則下列

說法正確的是（）

A．存在點E，使得EFEBB．存在點E，使得EF//OB

33

C．三棱錐FABE體積最大值為D．三棱錐FAO1E體積最大值為

66

變式15．（2024·全國·高三專題練習）已知圓錐SO（O是底面圓的圓心，S是圓錐的頂點）

的母線長為5，高為1，P?Q為底面圓周上任意兩點．有以下三個結(jié)論：

①三角形SPQ面積的最大值為2；

2

②三棱錐OSPQ體積的最大值為；

3

③四面體SOPQ外接球表面積的最小值為9π．

以上所有正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A．0B．1C．2D．3

變式16．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預測）在正四面體PABC中，O為PB的中點，點D在以O(shè)

為球心的球上運動，PB2OD，且恒有PDBD，已知三棱錐DABC的體積的最大值為

18236，則正四面體PABC外接球的體積為（）

A．1083πB．1242πC．1322πD．1443π

變式17．（2024·湖北恩施·?？寄M預測）如圖，矩形ABCD中，E、F分別為BC、AD的

中點，且BC2AB2，現(xiàn)將ABE沿AE向上翻折，使B點移到P點，則在翻折過程中，

下列結(jié)論不正確的是（）

A．存在點P，使得PE∥CF

B．存在點P，使得PEED

2

C．三棱錐PAED的體積最大值為

6

D．當三棱錐PAED的體積達到最大值時，三棱錐PAED外接球表面積為4π

變式18．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中學校考模擬預測）如圖，圓臺O1O2的上、下

底面圓半徑分別為1、2，高O1O222，點S、A分別為其上、下底面圓周上一點，則下列

說法中錯誤的是（）

142π

A．該圓臺的體積為

3

π

B．直線SA與直線O1O2所成角最大值為

3

C．該圓臺有內(nèi)切球，且半徑為2

2

D．直線AO1與平面SO1O2所成角正切值的最大值為

2

變式19．（2024·山東·山東省實驗中學?？级＃┱睦庵鵄BCDA1B1C1D1中，AB2，P

為底面的中心，是棱的中點，正四棱柱的高，點到平面

A1B1C1D1MABh2,22MPCD

的距離的最大值為（）

2684232

A．B．C．D．

3339

205

變式20．（2024·湖南長沙·長沙一中校考模擬預測）已知A，B，C，D是體積為π的球

3

體表面上四點，若AB4，AC2，BC23，且三棱錐A－BCD的體積為23，則線段

CD長度的最大值為（）

A．23B．32C．13D．25

變式21．（2024·全國·高三專題練習）如圖，正方形EFGH的中心為正方形ABCD的中心，

AB22，截去如圖所示的陰影部分后，翻折得到正四棱錐PEFGH（A，B，C，D四

點重合于點P），則此四棱錐的體積的最大值為（）

12861285415

A．B．C．D．

37537533

變式22．（2024·安徽黃山·統(tǒng)考二模）如圖1，將一塊邊長為20的正方形紙片ABCD剪去四

個全等的等腰三角形PEE1，PFF1,PGG1,PHH1，再將剩下的部分沿虛線折成一個正四

棱錐PEFGH，使E與E1重合，F(xiàn)與F1重合，G與G1重合，H與H1重合，點A,B,C,D重

合于點O，如圖2.則正四棱錐PEFGH體積的最大值為（）

321064101281025610

A．B．C．D．

3333

變式23．（2024·全國·高三專題練習）如圖所示，圓形紙片的圓心為O，半徑為5，該紙片

上的正方形ABCD的中心為O．E，F(xiàn)，G，H為圓O上的點，ABE，△BCF，△DCG，

ADH分別是以AB，BC，CD，DA為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以AB，BC，

CD，DA為折痕折起，使得E，F(xiàn)，G，H重合于一點，記為O，得到四棱錐OABCD．當

底面ABCD的邊長變化時，四棱錐OABCD的體積的最大值為（）

85165

A．33B．C．35D．

33

題型四：立體幾何中的交線問題

例10．（2024·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知正方體ABCDA1B1C1D1是半徑為3的球O的

內(nèi)接正方體（八個頂點全部在球面上），則正方體六個面所在的平面與球面的交線總長度是

（）

A．6B．62C．12D．122

例11．（2024·上?！じ呷龑ｎ}練習）直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA11，AB4，BC3，

ABC90，設(shè)平面A1BC1與平面ABC的交線為l，則A1C1與l的距離為（）．

A．1B．10C．17D．2.6

例12．（2024·浙江·校聯(lián)考三模）正四面體ABCD，E為棱AD的中點，過點A作平面BCE的

平行平面，該平面與平面ABC、平面ACD的交線分別為l1,l2，則l1,l2所成角的正弦值為（）

6312

A．B．C．D．

3332

變式24．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M,P,Q

分別是棱A1D1，AB,BC的中點若經(jīng)過點M,P,Q的平面與平面CDD1C1的交線為l，則l與直

線QB1所成角的余弦值為（）

31053

A．B．C．D．

3542

變式25．（2024·全國·高三專題練習）在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R

分別是AB，AD，B1C1的中點，設(shè)過P，Q，R的截面與面ADD1A1，以及面ABB1A1的交線

分別為l，m，則l，m所成的角為（）

A．90B．30C．45D．60

變式26．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預測）在正方體ABCDA1B1C1D1中，E

為B1C1中點，過A,D1,E的截面與平面AA1B1B的交線為l，則異面直線l與B1C所成角的余

弦值為（）

1051015

A．B．C．D．

10555

變式27．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在圓臺OO1中，OO13，點C是底面圓周上

異于A、B的一點，AC2，點D是BC的中點，l為平面O1AC與平面O1OD的交線，則交

線l與平面O1BC所成角的大小為（）

ππππ

A．B．C．D．

2364

變式28．（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習）在正三棱錐P-ABC中，PA63，BC＝6，M，

N，Q，D分別是AP，BC，AC，PC的中點，平面MQN與平面PBC的交線為l，則直線QD

與直線l所成角的正弦值為（）

25113

A．B．C．D．

2662

變式29．（2024·四川成都·高三校聯(lián)考期末）在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為線段AD的

中點，設(shè)平面A1BC1與平面CC1E的交線為m，則直線m與AC所成角的余弦值為（）

131025

A．B．C．D．

2255

變式30．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BCCD，

AB//CD，BC3，AA1ABAD2，點P?Q分別為棱BB1?CC1的中點，則平面APQ與

直四棱柱各側(cè)面矩形的交線所圍成的圖形的面積為（）

156315

A．B．

24

315352317

C．D．

22

題型五：空間線段以及線段之和最值問題

例13．（2024·全國·高三專題練習）已知正三棱錐SABC的底面邊長為2，外接球表面積

為3，SA2，點M，N分別是線段AB，AC的中點，點P，Q分別是線段SN和平面SCM

上的動點，則APPQ的最小值為（）

26262322

A．B．C．D．

4442

例14．（2024·全國·高三專題練習）已知，如圖正三棱錐PABC中，側(cè)棱長為2，底面邊

長為2，D為AC中點，E為AB中點，M是PD上的動點，N是平面PCE上的動點，則AMMN

最小值是（）

261363

A．B．C．D．

4242

例15．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在棱長為1的正方體ABCDABCD中，點P是

線段AD上的動點，E是AC上的動點，F(xiàn)是BD上的動點，則PEPF長度的最小值為（）

63

A．1B．2C．D．1

23

變式31．（2024·遼寧·高一遼寧實驗中學校聯(lián)考期末）如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

1

棱柱的側(cè)面均為矩形，AA11，ABBC3，cosABC，P是線段A1B上的一動點，

3

則APPC1最小值為（）

A．6B．7C．13D．25

變式32．（2024·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學?？寄M預測）在三棱錐PABC中，

ABBC，P在底面ABC上的投影為AC的中點D，DPDC1.有下列結(jié)論：

①三棱錐PABC的三條側(cè)棱長均相等；

②PAB的取值范圍是,；

42

2

③若三棱錐的四個頂點都在球O的表面上，則球O的體積為；

3

62

④若ABBC，E是線段PC上一動點，則DEBE的最小值為.

2

其中所有正確結(jié)論的編號是（）

A．①②B．②③C．①②④D．①③④

變式33．（2024·全國·高一專題練習）在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD

為正方形，PAAB1．點E,F,G分別為平面PAB，平面PAD和平面ABCD內(nèi)的動點，點

Q為棱PC上的動點，則QE2QF2QG2的最小值為（）

123

A．B．C．D．1

234

變式34．（2024·全國·高三專題練習）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

BAC,ABAC2,CC2，且E,M分別為CC1和BC的中點，P為線段AM（包括

211

端點）上一動點，F(xiàn)為側(cè)面AA1B1B上一動點，則PEPF的最小值為（）

62333263

A．B．

1010

62333263

C．D．

55

題型六：空間角問題

-

例16．（2024·全國·高三專題練習）如圖，斜三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是正三角形，

E,F,G分別是側(cè)棱AA1,BB1,CC1上的點，且AECGBF，設(shè)直線CA,CB與平面EFG所成

的角分別為,，平面EFG與底面ABC所成的銳二面角為，則（）

A．sinsinsin,coscoscos

B．sinsinsin,coscoscos

C．sinsinsin,coscoscos

D．sinsinsin,coscoscos

例17．（2024·浙江·高考真題）設(shè)三棱錐VABC的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是

棱VA上的點（不含端點），記直線PB與直線AC所成角為，直線PB與平面ABC所成角為

，二面角PACB的平面角為，則

A．,B．,

C．,D．,

例18．（2024·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1,ACAA1，E，F(xiàn)分別

是棱BC,A1C1上的點．記EF與AA1所成的角為，EF與平面ABC所成的角為，二面角

FBCA的平面角為，則（）

A．B．C．D．

變式35．（2024·浙江溫州·高二溫州中學校考期末）斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是

正三角形，側(cè)面ABB1A1是矩形，M是線段AB上的動點，記直線A1M與直線AC所成的角

為，直線A1M與平面ABC所成的角為，二面角A1ACB的平面角為，則（）

A．，B．，

C．，D．，

變式36．（2024·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是正三角形，

側(cè)面ABB1A1是矩形，且2AA13AB，M是AB的中點，記直線A1M與直線BC所成的角為

，直線A1M與平面ABC所成的角為，二面角A1ACB的平面角為，則（）

A．，B．，

C．，D．，

變式37．（2024·全國·高三專題練習）已知等邊ABC，點E,F分別是邊AB,AC上的動點，

且滿足EF∥BC，將△AEF沿著EF翻折至P點處，如圖所示，記二面角PEFB的平面

角為，二面角PFCB的平面角為，直線PF與平面EFCB所成角為，則（）

A．B．C．D．

變式38．（2024·江蘇·高一專題練習）正四面體SABC中，M是側(cè)棱SA上（端點除外）的

一點，若異面直線MB與直線AC所成的角為，直線MB與平面ABC所成的角為，二面

角MBCA的平面角為，則（）

A．B．

C．D．

變式39．（2024·全國·高三專題練習）在三棱錐PABC中，頂點P在底面的射影為ABC的

垂心O（O在ABC內(nèi)部），且PO中點為M，過AM作平行于BC的截面，過BM作平行

于AC的截面，記，與底面ABC所成的銳二面角分別為1，2，若PAMPBM，

則下列說法錯誤的是（）

A．若12，則ACBC

1

B．若，則tantan

12122

C．可能值為

6

D．當取值最大時，12

變式40．（2024·全國·高三專題練習）已知點P是正方體ABCDABCD上底面ABCD上

的一個動點，記面ADP與面BCP所成的銳二面角為，面ABP與面CDP所成的銳二面角

為，若，則下列敘述正確的是（）

A．APCBPDB．APCBPD

C．maxAPD,BPCmaxAPB,CPD

D．minAPD,BPCminAPB,CPD

變式41．（2024·浙江金華·統(tǒng)考模擬預測）已知四面體ABCD中，棱AD，BC所在直線所成

角為60，且AD1，BC2，ACD60，面BAD和面ACD所成的銳二面角為，面

BAC和面ACD所成的銳二面角為，當四面體ABCD的體積取得最大值時（）.

A．B．C．D．不能確定

變式42．（2024·浙江·校聯(lián)考二模）已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均相等，側(cè)棱AA1

平面ABC，過AB1作平面與BC1平行，設(shè)平面與平面ACC1A1的交線為l，記直線l與直

線AB,BC,CA所成銳角分別為，，，則這三個角的大小關(guān)系為

A．B．

C．D．

題型七：立體幾何裝液體問題

例19．（2024·全國·高三專題練習）已知一個放置在水平桌面上的密閉直三棱柱ABC-A1B1C1

容器，如圖1，ABC為正三角形，AB2，AA13，里面裝有體積為23的液體，現(xiàn)將

該棱柱繞BC旋轉(zhuǎn)至圖2.在旋轉(zhuǎn)過程中，以下命題中正確的個數(shù)是（）

①液面剛好同時經(jīng)過A，B1，C1三點；

②當平面ABC與液面成直二面角時，液面與水平桌面的距離為31；

33

③當液面與水平桌面的距離為時，AB與液面所成角的正弦值為.

2