第39講復數(shù)

知識梳理

知識點一、復數(shù)的概念

（1）i叫虛數(shù)單位，滿足i21，當kZ時，i4k1,i4k1i,i4k21,i4k3i．

（2）形如abi(a,bR)的數(shù)叫復數(shù)，記作abiC．

①復數(shù)zabi(a,bR)與復平面上的點Z(a,b)一一對應，a叫z的實部，b叫z的虛

部；b0zR,Z點組成實軸；b0,z叫虛數(shù)；b0且a0，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對應

點組成虛軸（不包括原點）．兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復數(shù)互為共軛復數(shù)．

ac

②兩個復數(shù)abi,cdi(a,b,c,dR)相等（兩復數(shù)對應同一點）

bd

③復數(shù)的模：復數(shù)abi(a,bR)的模，也就是向量OZ的模，即有向線段OZ的長度，

其計算公式為|z||abi|a2b2，顯然，|z||abi|a2b2,zza2b2．

知識點二、復數(shù)的加、減、乘、除的運算法則

1、復數(shù)運算

（1）(abi)(cdi)(ac)(bd)i

（2）(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i

(abi)(abi)zza2b2|z|2

(注意z2|z|2)

zz2a

22

其中|z|ab，叫z的模；zabi是zabi的共軛復數(shù)(a,bR)．

abi(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i

（3）(c2d20)．

cdi(cdi)(cdi)c2d2

實數(shù)的全部運算律（加法和乘法的交換律、結合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運算法則）都

適用于復數(shù)．

注意：復數(shù)加、減法的幾何意義

以復數(shù)分別對應的向量為鄰邊作平行四邊形，對角線表示的

z1,z2OZ1,OZ2OZ1ZZ2OZ

向量就是復數(shù)所對應的向量．對應的向量是．

OZz1z2z1z2Z2Z1

2、復數(shù)的幾何意義

（1）復數(shù)zabi(a,bR)對應平面內的點z(a,b)；

（2）復數(shù)zabi(a,bR)對應平面向量OZ；

（3）復平面內實軸上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點表示虛數(shù)，各象限內的點都

表示復數(shù)．

（4）復數(shù)zabi(a,bR)的模|z|表示復平面內的點z(a,b)到原點的距離．

3、復數(shù)的三角形式

（1）復數(shù)的三角表示式

一般地，任何一個復數(shù)zabi都可以表示成r(cosisin)形式，其中r是復數(shù)z的

模；是以x軸的非負半軸為始邊，向量OZ所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復數(shù)

zabi的輻角．r(cosisin)叫做復數(shù)zabi的三角表示式，簡稱三角形式．

（2）輻角的主值

任何一個不為零的復數(shù)的輻角有無限多個值，且這些值相差2的整數(shù)倍．規(guī)定在

02范圍內的輻角的值為輻角的主值．通常記作argz，即0argz2．復數(shù)的代

數(shù)形式可以轉化為三角形式，三角形式也可以轉化為代數(shù)形式．

（3）三角形式下的兩個復數(shù)相等

兩個非零復數(shù)相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等．

（4）復數(shù)三角形式的乘法運算

①兩個復數(shù)相乘，積的模等于各復數(shù)的模的積，積的輻角等于各復數(shù)的輻角的和，即

r(cosisin)r(cosisin)rrcos()isin()

111222121212．

②復數(shù)乘法運算的三角表示的幾何意義

復數(shù)對應的向量為，把向量繞點按逆時針方向旋轉角（如果

z1,z2OZ1,OZ2OZ1O2

，就要把繞點按順時針方向旋轉角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?，得到?/p>

20OZ1O2r2

量，表示的復數(shù)就是積．

OZOZz1z2

（5）復數(shù)三角形式的除法運算

兩個復數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的

輻角減去除數(shù)的輻角所得的差，即r1(cos1isin1)r1．

cos(12)isin(12)

r2(cos2isin2)r2

必考題型全歸納

題型一：復數(shù)的概念

例1．（2024·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知12iai的實部與虛部互為相反數(shù)，則實數(shù)a（）

1111

A．B．C．D．

3322

例2．（2024·浙江紹興·統(tǒng)考二模）已知復數(shù)z滿足z3i2i，其中i為虛數(shù)單位，則z的

虛部為（）

3313

A．B．iC．D．

2222

例3．（2024·海南?？凇ばＢ?lián)考一模）若復數(shù)za24a2i為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為（）

A．2B．2或2C．2D．4

35i

例4．（多選題）（2024·河南安陽·安陽一中?？寄M預測）若復數(shù)z，則（）

1i

A．z17B．z的實部與虛部之差為3

C．z4iD．z在復平面內對應的點位于第四象限

2

例5．（2024·遼寧·校聯(lián)考一模）若z是純虛數(shù)，z1，則的實部為______.

1z

【解題方法總結】

無論是復數(shù)模、共軛復數(shù)、復數(shù)相等或代數(shù)運算都要認清復數(shù)包括實部和虛部兩部分，

所以在解決復數(shù)有關問題時要將復數(shù)的實部和虛部都認識清楚．

題型二：復數(shù)的運算

1i

例6．（2024·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）已知復數(shù)z，則zz（）

1i

A．1iB．1C．1iD．i

例7．（2024·河北衡水·模擬預測）若i1z2i2i，則z（）

1111

A．iB．i

2222

1131

C．iD．i

2222

例8．（2024·陜西榆林·高三綏德中學校考階段練習）已知復數(shù)z滿足(z2i)i3i，則z（）

A．1iB．3iC．15iD．13i

例9．（2024·全國·模擬預測）已知復數(shù)z滿足3zi14iz，則|z|（）

4222

A．2B．C．D．

2555

【解題方法總結】

設，則

z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)

（）

1z1z2ac(bd)i

（）

2z1z2acbd(adbc)i

zacbdbcad

（）1

32222i(z20)

z2cdcd

題型三：復數(shù)的幾何意義

3i

例10．（2024·河南鄭州·三模）復平面內，復數(shù)對應的點位于（）

1i2023

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

例11．（2024·全國·高三專題練習）已知復數(shù)z1與z3i在復平面內對應的點關于實軸對稱，

z

則1（）

2i

A．1iB．1iC．1iD．1i

例12．（2024·湖北·校聯(lián)考三模）如圖，正方形OABC中，點A對應的復數(shù)是35i，則頂點

B對應的復數(shù)是（）

A．28iB．28iC．17iD．27i

例13．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預測）在復平面內，設復數(shù)，z1,z2對應的點分別為Z1(0,2)，

z1

Z2(1,1)，則（）

z2

A．2B．3C．2D．1

【解題方法總結】

復數(shù)的幾何意義在于復數(shù)的實質是復平面上的點，其實部、虛部分別是該點的橫坐標、

縱坐標，這是研究復數(shù)幾何意義的最重要的出發(fā)點．

題型四：復數(shù)的相等與共軛復數(shù)

例14．（2024·湖北·黃岡中學校聯(lián)考模擬預測）已知2i（i是虛數(shù)單位）是關于x的方程

x2bxc0(b,cR)的一個根，則bc（）

A．9B．1C．7D．2i5

例15．（2024·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預測）已知z1a2i，z22bi，a,bR，若

z1z1z2z2i413i，則（）

A．a2，b3B．a2，b3

C．a2，b3D．a2，b3

例16．（2024·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知復數(shù)z34i，且zaz94i，其中a是實數(shù)，

則（）

A．a2B．a2C．a1D．a3

例17．（2024·湖北·模擬預測）已知復數(shù)z滿足zz24i，則z的共軛復數(shù)的虛部為（）

A．2B．4C．4D．2

例18．（2024·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知復數(shù)z34i，且zazbi9，其中a，b是實

數(shù)，則（）

A．a2，b3B．a2，b4

C．a1，b2D．a2，b4

【解題方法總結】

復數(shù)相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)

共軛復數(shù)：abicdiac且bd(a，b，c，dR)．

題型五：復數(shù)的模

例19．（2024·河南·統(tǒng)考二模）若i1z12，則|z1|_______．

例20．（2024·上海浦東新·統(tǒng)考三模）已知復數(shù)z滿足z2z2，則z3__________．

例21．（2024·遼寧鐵嶺·校聯(lián)考模擬預測）設復數(shù)z1，z2滿足|z1|=|z2|=2，z1z23i，則

|z1z2|=__________.

【解題方法總結】

|z|a2b2

題型六：復數(shù)的三角形式

例22．（2024·四川成都·成都七中統(tǒng)考模擬預測）1748年，瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了復指數(shù)函

數(shù)和三角函數(shù)的關系，并寫出以下公式eixcosxisinx（x∈R，i為虛數(shù)單位），這個公式在

復變論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”．根據(jù)此公式，下面四個結果中不成

立的是（）

2022

13

．iπ．

Ae10Bi1

22

ixix

C．ee2D．2eixeix2

例23．（2024·全國·高三專題練習）任何一個復數(shù)zabi(a,bR)都可以表示成

zr(cosisin)(r0,R)的形式，通常稱之為復數(shù)的三角形式．法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)

現(xiàn)：[r(cosisin)]nrn(cosnisinn)(nZ)，我們稱這個結論為棣莫弗定理．則

(13i)2022（）

A．1B．22022C．22022D．i

例24．（2024·河南·統(tǒng)考模擬預測）歐拉公式eicosisin把自然對數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單

i

位i、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美．若復數(shù)z滿足eiz1，則z的

虛部為（）

11

A．B．C．1D．1

22

例25．（2024·全國·高三專題練習）棣莫弗公式(cosxisinx)ncosnxisinnx（其中i為虛數(shù)單

位）是由法國數(shù)學家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復數(shù)

2023

cosisin在復平面內所對應的點位于（）

66

A．第一象限B．第二象限