同角三角函數(shù)的基本關系

一、提問：

1.任意角的三角函數(shù)定義：

2.當角a分別在不同的象限時，sina、cos。、tan。的符號分別是怎

樣的？

3.背景：如果sinA=|,A為第一象限的角，如何求角A的其它三角函

數(shù)值；

4.問題：由于a的三角函數(shù)都是由X、y、r表示的，則角a的三個三

角函數(shù)之間有什么關系？

二、講解：

(一)同角三角函數(shù)的基本關系式：

1.由三角函數(shù)的定義，我們可以得到以下關系：

(1)商數(shù)關系：tana=(2)平方關系：sin2a+cos2a=

說明：

①注意“同角”，至于角的形式無關重要，如sir?4a+cos24a=1等；

②對這些關系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運用(正用、反用、變

形用)，如：cosa=±>/1-sin2a,sin2a=1-cos?a,cosa=‘抽。等。

tana

2.例題分析：

一、求值問題

例1.(1)己知sina="，并且a是第二象限角,求cosa,tana.

13

(2)已知cosa=-g,求sina,tana.

例2、已知sina=2cosa，求(1)；沿"^^cosa(2)sin2a+2sinacosa-cos2a.

5sina4-zcosa

二、化簡________

練習1.化簡Jl—sin?440.

1-cos。+1+COS。

練習2.化簡(K<0<-)

1+cos61一cos。2

三、證明恒等式

cosx_1+sinx

例4.求證:

1-sinxcos/

四、課后思考：

1、化簡J1-2sin40cos40。.

2、已知sina+cosa='(0<0<n),求tan。及sin?。一cos?。的值。

3、已知sina=^——,cosa=―—a是第四象限角，求lana的值。

m+5m+5

正弦、余弦函數(shù)的性質（一）

教學過程：

一、復習引入：

1.問題：（1）今天是星期一，則過了七天是星期幾？過了十四天呢？…?

（2）物理中的單擺振動、圓周運動，質點運動的規(guī)律如何呢?

2.觀察正（余）弦函數(shù)的圖象總結規(guī)律：

自變34冗n3/7

一2%一乃0712萬

量X~~~2T

函數(shù)

值010-1010-10

sinx

正弦函數(shù)f（x）=sinx性質如下：

1°正弦函數(shù)的圖象是有規(guī)律不斷重復出現(xiàn)的；

20規(guī)律是：每隔2兀重復出現(xiàn)一次（或者說每隔2k7i,4EZ重復出現(xiàn)）

3°這個規(guī)律由誘導公式sin（2k7t+x）=sinx可以說明

結論：象這樣一種函數(shù)叫做周期函數(shù)。

文字語言：正弦函數(shù)值按照一定的規(guī)律不斷重復地取得；

符號語言：當x增加兼〃（keZ）時，總有

/（%+2k冗）=sin（x+2ki）=sinx=f（x）.

也即：（1）當自變量工增加黎乃時，正弦函數(shù)的值又重復出現(xiàn)；

（2）對于定義域內(nèi)的任意x,sin（x+2A%）=sinx恒成立。

余弦函數(shù)也具有同樣的性質，這種性質我們就稱之為周期性。

二、講解新課：

1.周期函數(shù)定義：對于函數(shù)f（x）,如果存在一個非零常數(shù)T,使得當

練習lo求下列三角函數(shù)的周期：

1°y=sin（x+?2°y=cos2x3°y=3sin（；+*）

說明：（1）一般結論：函數(shù)y=Asin（s+°）及函數(shù)y=4cos（3x+e）,xeR

（其中4,應0為常數(shù),且AHO,0>0）的周期7=紅；

co

（2）若3<0,如：①y=3cos（-x）;②y=sin（-2x）;③y=2sin（-L-為，

26

xeR.則這三個函數(shù)的周期又是什么？

一般結論：函數(shù)y=Asin（5+9）及函數(shù)y=Acos（5+g），xwR的周期

T=—

思考：求函數(shù)的周期：y=|sinx|

正弦、余弦函數(shù)的性質（二）

一、復習引入：偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義，反映在圖象上，說明函數(shù)的

圖象有怎樣的對稱性呢？

二、講解新課：

1.奇偶性

請同學們觀察正、余弦函數(shù)的圖形，說出函數(shù)圖象有怎樣的對稱性？其

特點是什么？

（1）余弦函數(shù)的圖形（2）正弦函數(shù)的圖形

2.單調(diào)性

從丫=55乂，xe］的圖象上可看出：

22

當x￡［—工，巴］時，曲線逐漸，sinx的值由一1增大到L

22

當XW［王，物］時，曲線逐漸，sinx的值由1減小到一1.

22----

結合上述周期性可知：

正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上都是增函數(shù)，其值從

-1增大到L在每一個閉區(qū)間上都是減

函數(shù)，其值從1減小到一1.

余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上都是增函數(shù)，其值從一1增加到

1；在每一個閉區(qū)間上都是減函數(shù)，其值從1減小到一1.

3.有關對稱軸

觀察正、余弦函數(shù)的圖形，可知

y二sinx的對稱軸為y=cosx的對稱軸為

練習1。(1)寫出函數(shù)y=3sin2x的對稱軸；

(2)y=sin(%+馬的一條對稱軸是()

4

(A)x軸，(B)y軸，(C)直線工=巴(D)直線工=-王

44

4.例題講解

例1判斷下列函數(shù)的奇偶性

(1)/(x)=}+SjnXcosx.(2)/(x)=lg(sinx+Vl+sin2x);

例2函數(shù)f(x)=sinx圖象的對稱軸是:對稱中心是

例3不通過求值，指出下列各式大于0還是小于0；

例5求函數(shù)y=2sin(L+C)的單調(diào)遞增區(qū)間;

2j

思考：你能求y=sin(y-^x)2肛2劃的單調(diào)遞增區(qū)間嗎？

正切函數(shù)的性質與圖象

一、復習引入：

問題：1、正弦曲線是怎樣畫的？

下面我們來作正切函數(shù)的圖象.

二、講解新課：

1.正切函數(shù)y=tanx的定義域是什么？2.正切函數(shù)是不是周期函數(shù)?

3.作y=tanx,xe的圖象

說明：（1）正切函數(shù)的最小正周期不能比乃小，正切函數(shù)的最小正周期

是乃；（2）根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖象向左、右擴展，得到正

切函數(shù)尸tanxXER,且心］+就（/z）的圖象，稱“正切曲線二

ox

（3）正切曲線是由被相互平行的直線.既+g（hZ）所隔開的無窮

多支曲線組成的。

4.正切函數(shù)的性質引導學生觀察，共同獲得：

（1）定義域:（2）值域:

觀察：當x從小于2乃+算%匕），x——+時，tanx---->+oo

當x從大于卷+攵乃（左￡Z）,x--->]+%萬時,tanx---->-ooo

(3)周期性：T

（4）奇偶性：由tan（7）=-tanx知，正切函數(shù)是—函數(shù)；

（5）單調(diào)性：在開區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增。

5.講解范例：例1比較.卜啕與tan（一啕的大小.

例2：求下列函數(shù)的周期:

（1）y=3tanfx+y^

(2)y=tan3x--

I6

例3：求函數(shù)），=ta?3x-S|的定義域、值域，指出它的周期性、奇偶性、

單調(diào)性，

練習1:求函數(shù)y=tan（]x+"的定義域、周期性、奇偶性、單調(diào)性。

思考：你能用圖象求函數(shù)），=向二3的定義域嗎?

1.5函數(shù)v=Asin（u）x+6）的圖象（二）

教學目標

（-）知識與技能目標

（1）了解三種變換的有關概念；

（2）能進行三種變換綜合應用；

（3）掌握y二Asin（3x+4））+h的圖像信息.

（-）過程與能力目標

能運用多種變換綜合應用時的圖象信息解題.

（三）情感與態(tài)度目標

滲透函數(shù)應抓住事物的本質的哲學觀點.

教學重點

處理三種變換的綜合應用時的圖象信息.

教學難點

處通三種變換的綜合應用時的圖象信息.

教學過程

一、復習

1.如何由y=sinx的圖象得到函數(shù)）=Asin（皿+。）的圖象.

2.AN"。對函數(shù)y=AsinQzr+o）圖象的影響.

二、函麹，=Asin（Gr+0）,]€[0,+8）（其中4>0,。>0）的物理意義

函數(shù)表示一個振動量時:

A：這個量振動時離開平衡位置的最大距離，稱為“振幅”.

T：T=也往復振動一次所需的時訶，稱為“周期”

CD

千：/=』=：單位時間內(nèi)往返振動瞰數(shù)，稱為“頻率”

T2兀

皈+0：稱為"相位”.

°:x=0時的相位，稱為“初相”.

三、應用

例1、教材P54面的例2。

例2.由右圖所示函數(shù)圖象，求

y=asin（Gr+0）（|0|v4）的表達式

解析：由圖象可知A=2,

丁7萬乃

88

即=冗,.，.0=2.

co

又(-9,0)為五點作圖的第一個點

O

因此2x(-—)+(p=O:.(p=—.

894

因此所求函數(shù)的表達式為y=28in(2x+f).

4

例3.右圖所示的曲線是y=4sin(5+°)(A

求這個函數(shù)的解析式.

解：由函數(shù)圖象可知

4cT4/547T.riri2汽

A=2,T=-(―--)=花即一=汽,

3612co

ty=2

又(5?7T,0)是“五點法”作圖除五個點

o

即2?+(p=2乃,「.(p-

所求函數(shù)的解析式為

乃

y=2sin(2x+y).

思考；下圖為y=AsinM+*)的圖象的一段，求其要析式.

解1：以點N為第一個零點，則4=-6,百1

T=2(---)=^,N、?//?\

6，_Y%s'X

.,.④=2,此時解析式鄭=-6§諂(2X+9)._2L/——

???點N(q,O)|

--x2+(p=0=>(p=—.:.所求解析式沏，=-V3sin(2x+—)

633

解2：以點Afg,O)為第一個零點,則4=后,◎=半=2,

解析式為y=Qsin(2x+°),將點M的坐標代入得2、。+8=0=>°=-g,

.,所求解析式鄭二x/3sin(2x-爭.

例4.函數(shù)y=Asin（以+°）+k（A>0,co>0）在同一周期內(nèi)，

當時，），有最大值為會當戶華時，丁有最小值為-|,

求此而數(shù)的解析式

.3

A+k=-,一

解由匚知3解得.

-A+k=——，k=-.

36

又7=2(---)=4凡即主=4肛

33co

:.co=~.

2

又（裝）為“五點法”作圖得第二個點,則有3,（予）+夕=3「"二一5

???所求函數(shù)的解析式為

四、課堂小結：

求函數(shù)y=Asin（以十°）的表達式：

1.4由圖像中的振幅確定；

2.。由圖像的周期確定；

3.求施用的兩種方法：

⑴平移法

（2）代點法

五、課后作業(yè)

1.閱讀教材第53?55頁;

2.教材第56頁第3、4題.

作業(yè)：《習案》作業(yè)十三。

向量的物理背景與概念及向量的幾何表示

教學思路：

一、情景設置：

如圖，老鼠由A向西北逃竄，貓在B處向東追去，設問：貓能否追

到老鼠？（畫圖）

結論：貓的速度再快也沒用，因為方向錯了.c\

AAD

B

分析：老鼠逃竄的路線AC、貓追逐的路線BD

實際上都是有方向、有長短的量.

引言：請同學指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有

方向？

二、學習：

（-）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量。

（二）后回答：

1、數(shù)量與向量有何區(qū)別？（數(shù)量沒有方向而向量有方向）

2、如何表示向量？

3、有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？

4、長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量？

5、滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？

6、有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關系？

7、如果把一組平行向量的起點全部移到一點0,這是它們是不是平行

向量？這時各向量的終點之間有什么關系？

（三）探究學習巳/B

（終點）

1、數(shù)量與向量的區(qū)別：A（起點）

2.向量的表示方法：

①用有向線段表示；②用字母a、b（黑體，印刷用）等表示;

③用有向線段的起點與終點字母：而；④向量而的大小一長度稱

為向量的模，記作|AB].

3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素：起點、方

向、長度.

向量與有向線段的區(qū)別：

（1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關，只要大小和方向

相同，這兩個向量就是相同的向量；

（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小

和方向相同，也是不同的有向線段.

4、零向量、單位向量概念：

①長度為0的向量叫零向量，記作0.0的方向是任意的.注意0

與0的含義與書寫區(qū)別.

②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.

5、平行向量定義：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我們規(guī)定0與任一向

量平行.

說明；（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義；（2）向量a、b、

c平行，記作a〃b〃c.

（四）理解和鞏固：

例1判斷：

（1）平行向量是否一定方向相同？

（2）與任意向量都平行的向量是什么向量？

（3）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？

相等向量與共線向量

教學思路：

1、有一組向量，它們的方向相同、大小相同，這組向量有什么關

系？2、任一組平行向量都可以移到同一直線上嗎？這組向量有什么關

系？

三、探究學習

1、相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量._七，

說明：（1）向量a與b相等，記作a=b；（2）零向量與零向I"

量相等；（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，

并且與有向線段的起點無關.

2、共線向量與平行向量關系：平行向量就是共線向量，因為任一組平

行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點無關）.

（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關系;

（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關

系.

四、理解和鞏固：

例1.如圖，設0是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量次、

而、無相等的向量.X~

變式一：與向量0A長度相等的向量有多少個？'\~一/

變式二：是否存在與向量長度相等、方向相反的

向量？

變式三：與向量共線的向量有哪些？

例2判斷：

（1）不相等的向量是否一定不平行？

（2）與零向量相等的向量必定是什么向量？

（3）兩個非零向量相等的當且僅當什么？

（4）共線向量一定在同一直線上嗎？

例3下列命題正確的是（）

A.a與b共線，b與c共線，則a與c也共線

B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點

C.向量a與b不共線，則a與b都是非零向量

D.有相同起點的兩個非零向量不平行

課堂練習：

1.判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.

①向量而與無是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；

②單位向量都相等；

③任一向量與它的相反向量不相等；

④四邊形ABCD是平行四邊形當且僅當AB=DC

⑤一個向量方向不確定當且僅當模為0;

⑥共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.

向量的加法運算及其幾何意義

情景設置：

（1）某人從A到B,再從B按原方向到C,則兩次的位移和：

AB+BC=AC

（2）若上題改為從A到B,再從B按反方向到C,則兩次的位

移和：~AB+~BC=~AC

（3）某車從A到B,再從B改變方向到C,則兩次的位移和：

~AB+~BC=AC

二、探索研究:

1、向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.

2、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）

如圖，已知向量a、b.在平面內(nèi)任取一點A,作AS=a,5c=b,

則向量尼叫做a與b的和，記作a+b,即a+b=AB+BC=ACf

規(guī)定：aa+0-=0+a

a>-------------?

一J-------

b

a+b

___________a+6、

探究：（1）兩向量的和與兩個數(shù)的和有什么關系?兩向

量的和仍是一個向量;

（2）當向量7與B不共線時，|3+B|<|3|+|B|；什么時候

\a+b\=\a\+\b\f什么時候|a-^-b\=\a\—\b\f

當向量:與％不共線時,3+B的方向不同向，且向+否|<|々|+共

當〃與否同向時，貝!］〃+］、a>1同向，且|〃+坂|=|a|+|B|,

當Z與5反向時，若|Z|,則"+B的方向與［相同，且|W+B\=\a\-\bI；

若|?|<|BI，則4+g的方向與否相同，且I〃+b|=|1

（3）“向量平移”（自由向量）：使前一

個向量的終點為后一個向量的起點，可以推

廣到n個向量連加。

3.例一、已知向量3、b,求作向量H

作法：在平面內(nèi)取一點，作方=7而=九則麗=2+5.

4.加法的交換律和平行四邊形法則

問題：上題中〃1的結果與1十%是否相同？驗證1

結果相同mJIV

從而得到：1）向量加法的平行四邊形法則（對于兩/]

個向量共線不適應）

2）向量加法的交換律：a+b=b+a

5,你能證明:向量加法的結合律：（"+B）+K+（B+Z）嗎？

6.由以上證明你能得到什么結論？多個向量的加法運算可以按照

任意的次序、任意的組合來進行.

三、應用舉例：

式1、一艘船從A點出發(fā)以2百癡/人的速度向垂直于對岸的方向行駛，

船的實際航行速度的大小為4Z血力，求水流的速度.

式2、一艘船從A點出發(fā)以q的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時

河水的流速為V2,船的實際航行的速度的大小為4的1/人，方向

與水流間的夾角是60。，求。和

向量的減法運算及其幾何意義

一、復習：向量加法的法則：

二、例：在四邊形中，CB-^-BA+AD=.

三、提出課題：

用“相反向量”定義向量的減法

（1）“相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量.

記作-a

(2)規(guī)定；零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.

任一向量與它的相反向量的和是零向量.a+(-a)=0

如果a、b互為相反向量，則a=-b,b=-a,a+b=0

(3)向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與

b的差.即：a-b=a+(-b)求兩個向量差的運算叫做向量的減

法.

1.用加法的逆運算定義向量的減法：向量的減法是向量加

法的逆運算：

若b+x=a,則x叫做a與b的差，記作a-b

1)如果從向量a的終點指向向量b的終點作向量，那么所得

向量是b-a.

2）若合〃>如何作出a-b?

acr-ba-b

0BAB'。BA

b

—e_?afr,、C,

bOA、BB。A

四、例題：

例一、已知向量a、b、CNd,求作向量ab、cd.

例二、平行四邊形ABC。中，AB=a,AD=b,用a、b表示向量尼、

DB.

解：

變式一：當a,b滿足什么條件時，a+b與a-b垂直？

變式二：當a,b滿足什么條件時，|a+b|=|a-b|?

變式三：a+b與a-b可能是相等向量嗎？

例3.如圖，已知一點0到平行四邊形48CD

的三個頂點A、B、。的向量分別為潺、Z

試用向量1、標表示歷.

練習：。在△ABC中，BC=a,CA=b,則A8等于（）

A.a+bB.-a+(-b)C.a-bD.b-a

平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐標表示及運算

教學目的：

(1)了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐標的概念；

(2)理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，

初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法；

(3)能夠在具體問題中適當?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來

表達.

教學重點：平面向量基本定理.

教學難點：平面向量基本定理的理解與應用.向量的坐標表示的理解及

運算的準確性.

教學過程：

一、復習引入：

1.實數(shù)與向量的積：實數(shù)人與向量2的積是一個向量，記作：入2

(1)I入。I=I入II寸I;

(2)X>0時人口與2方向相同；入<0時入2與2方向相反；入二0時入口二。

2.運算定律

結合律：X(Ha)=(Xp)a;分配律：(入+U),二人。+口2,入

(五+B)=人方+入b

3.向量共線定理向量很與非零向量2共線則：有且只有一個非零實數(shù)

入，使B二入鼠

二、講解新課:

1.思考；(1)給定平面內(nèi)兩個向量q,e2,請你作出向量3勺+2e2，-2e2，

(2)同一平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如Kl+L］的向量

表示？

平面向量基本定理：如果或是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，

那么對于這一平面內(nèi)的任一向量心有且只有一對實數(shù)入I，入2使。二

入1,+入2。2.

2.探究：

(1)我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基

底；

(2)基底不惟一，關鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底e1、e2的條件下進行分解；

(4)基底給定時，分解形式惟一.兀，屹是被2,［唯一確定的數(shù)

量

3.講解范例：

例1已知向量［求作向量,

-2.5［+3］

例2如圖，詠而不共線，且0

AP=tAB(teR\用蘇，而表示麗.

本題實質是知°、“、B三點不共線，

若點尸在直線A8上，則而二加與+〃而，且加+〃=1.

4.練習1：

1.設6、6是同一平面內(nèi)的兩個向量，則有（D）

A.e］、e2一定平行B.e1、e2的模相等C.同一平面內(nèi)的任一向量a都

有a=Xei+ge2（X>|i￡R）

D.若ei、e?不共線,則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a=Xei+ue2ueR）

2.已知向量a=6i-2?2,b=2e1+e2,其中e1、e?不共線，貝！Ja+b與c=

6e「2e2的關系（B）

A.不共線B.共線C.相等D.無法確定

3.已知儲>0,入2>0,e1、?2是一'組基底，且a=入向+九2§2,則a與

不共線,a與e2不共線.

（填共線或不共線）.

5,向量的夾角：已知兩個非零向量5、b,作。4=豆，OB=b,則NAOB

=e,叫向量。在的夾角，當。二0。，a.B同向，當。二180。，，、b

反向，當。二90。，2與五垂直，記作方，6。

6.平面向量的坐標表示

（1）正交分解：把向置分解為兩個互相垂直的向量。

（2）思考：在平面直角坐標系中，每一個點都可以用一對有序實數(shù)

表示，平面內(nèi)的每一個向量，如何表示呢？

如圖，在直角坐標系內(nèi)，我們分別取與x軸、），軸方向相同的兩個單位

向量，、"乍為基底.任作一個向量由平面向量基本定理知，有且只

有一對實數(shù)八y，使得。=3+切.......①

我們把(x,y)叫做向量。的(.直角)坐標，記作。=(x,y)........②

其中］叫做a在x軸上的坐標，y叫做。在y軸上的坐標，②式叫做向量

的坐標表示.與?。相?等?的?向??量?的?坐?標?也?為《)，).特別地，i=(LO),

J=(O,1),0=(0,0).

如圖，在直角坐標平面內(nèi)，以原點0為起點作方=〃，則點A的位置由。

唯一確定.

設3=苗+切，則向量次的坐標(%,y)就是點A的坐標；反過來，點A的

坐標(％)，)也就是向量近的坐標.因此，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平

面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示.

7.講解范例：

例2.教材P96面的例2。

8.課堂練習：P100面第3題。

三、小結：(1)平面向量基本定理；

(2)平面向量的坐標的概念;

四、課后作業(yè)：《習案》作業(yè)二十一

2.3.3平面向量的坐標運算

教學目的：

（1）理解平面向量的坐標的概念；

（2）掌握平面向量的坐標運算；

（3）會根據(jù)向量的坐標，判斷向量是否共線.

教學重點：平面向量的坐標運算

教學難點：向量的坐標表示的理解及運算的準確性.

教學過程：

一、復習引入：

1.平面向量基本定理：如果［是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，

那么對于這一平面內(nèi)的任一向量心有且只有一對實數(shù)入I，入2使，二人

1G+入262

⑴我們把不共線向量e-e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基

底；

⑵基底不惟一，關鍵是不共線；

⑶由定理可將任一向量a在給出基底e-e2的條件下進行分解；

（4）基底給定時，分解形式惟一.入2是被心［唯一確定的數(shù)量

二、講解新課:

1.平面向量的坐標運算

思考1：已知：4=（%],為），b=（x2,y2）你能得出石花、ab＞店的

坐標嗎？

設基底為i、j,貝!）。+8=（刈+）"）+&2，+當力=3+Z）i+（M+%））

即4+力=（X]+%2，X+必），同理可得。-8=（$-兀2,居一、2）

（1）若。=（2,必）,b=（x2,y2）,貝lja+b=（^+x2,y（+y2）,

a-b=（x{_々，必-J2）

兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.

（2）若a=（x,y）和實數(shù)2,則〃=（入,&）.

實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.

設基底為i、j,則九r=2（xi+9）=Axi+&/,即%=（灰,心）

實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標。

思考2：已知4（再,%），8*2,當），怎樣求4月的坐標？

（3）若4（2,必），僅馬，％），則A8=（%2-和）2-必）

AB—0B—0A—（X2,丫2）-（Xi,yO—（X2—Xi,y?-yO

一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的

坐標.

思考3：你能標出坐標為3-X1,VLy）的P點嗎？

向量通的坐標與以原點為始點、點P為終點的向量的坐標是相同

的。

三、講解范例:

例1已知.二(2,1),h-(-3,4),求a+B,a-h,3a+4B的坐標.

例2已知平面上三點的坐標分別為A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),

求點D的坐標使這四點構成平行四邊形四個頂點.

解：當平行四邊形為ABCD時，由而=反得D尸⑵2)

當平行四邊形為ACDB時;得口2=(4,6),當平行四邊形為DACB時,

得口3二(—6,0)

例3已知三個力1(3,4),~F2(2,-5),元(x,y)的合力

K+瓦+耳=6,求弓的坐標.

解：由題設與+8+居二。得：⑶4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0)

.(x=

3+2+x=O-5/.F(-5,1)

4—5+y=0[y=13

四、課堂練習：

1.若M(3,-2)N(-5,-1)且MP=-MN,求P點的坐標

2

2.若A(0,1),B(1,2),C(3,4),貝ij而一2前二

3.已知：四點A(5,1),B(3,4),C(1,3),D(5,-3),求

證：四邊形ABCD是梯形.

五、小結：平面向量的坐標運算;

六、課后作業(yè)：《習案》作業(yè)二十

2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義

教學目的：

L掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；

2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質及運算律；

3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理垂直的問題;

4.掌握向量垂直的條件.

教學重點：平面向量的數(shù)量積定義

教學難點：平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積的

應用

教學過程：

一、復習引入:

(1)兩個非零向量夾角的概念：

已知非零向量a與b,作辦=a,5^=b，則NAOB=0(0<0<TC)

叫a與b的夾角.

說明：(1)當9=0時，a與b同向;

(2)當0=兀時，a與b反向;

⑶當歸髀，a與b垂直,記"b；

(4)注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的.范圍

0°<0<180°

(2)兩向量共線的判定

(3)練習

1.若a=(2,3),b=(4,-1+y),且@〃1),則y=(C)

A.6B.5C.7D.8

2.若A(x,?1),B(l,3),C(2,5)三點共線，則x的值為(B)

A.-3B.-lC.lD.3

(4)力做的功：W=|FMs|cos6,。是F與s的夾角.

二、講解新課：

1.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：己知兩個非零向量a與b,它們

的夾角是仇

則數(shù)量|a||b|cos。叫a與b的數(shù)量積，記作a-b,即有ab=

|a||b|cos0,(0<0<n).

并規(guī)定0向量與任何向量的數(shù)量積為0.

?探究：1、向量數(shù)量積是一個向量還是一個數(shù)量？它的符號什么時候為

正？什么時候為負？

2、兩個向量的數(shù)量積與實數(shù)乘向量的積有什么區(qū)別？

(1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cos。的符號所

決定.

(2)兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a.b；今后要學到兩個向量的外

積axb,而a-b是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分.符號〃?〃在向

量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用〃x〃代替.

(3)在實數(shù)中，若aM,且a?b=0,則b=0；但是在數(shù)量積中，若aM,

且a-b=O,不能推出b=0.因為其中cosO有可能為0.

(4)已知實數(shù)a、b>c(b#O),貝!Jab=bc=a=c.但是ab=

be由a=c

如右圖：ab=|a||b|cosp=|b11OA|,b-c=|b||c|cosa

=|b||OA|

=>ab=b-c但awe

⑸在實數(shù)中,W(ab)c=a(bc),但是(ab)cHa(b?c)

顯然，這是因為左瑞是與c共線的向量，而右端是與a共線的

向量，而一般a與c不共線.

2.〃投影〃的概念：作圖

定義：|b|cos。叫做向量b在a方向上的投影,投影也是一個數(shù)量，不

是向量;

當0為銳角時投影為正值;當。為鈍角時投影為負值；當0

為直角時投影為0;

當。=0。時投影為|b|；當。=180。時投影為-|b|.

3.向量的數(shù)量積的幾何意義:

數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos。的乘積.

探究：兩個向量的數(shù)量積的性質：設a、b為兩個非零向量，

a_Lb=ab=O

2、當a與b同向時，a-b=|a||b|；當a與b反向時，ab=

-|a||b|.

特別的aa=|a/或疝^|a-b|<|a||b|

探究：平面向量數(shù)量積的運算律

1.交換律：a-b=b'a

證：設a,b夾角為0,則a?b二|a||b|cos0,b-a=|b11a|cos0

/.a-b=b-a

2.數(shù)乘結合律：(入a〉b二Ma?b)=a?(九b)

證：若九>0,(Xa)-b=k|a||b|cos0,X(ab)=1|a||b|cos0,a(lb)

=X|a||b|cos0,

若兀<0,(Xa)b=|Xa11b|COS(K-0)=-X|a11b|(-cosO)

=X|a||b|cos0,=(ab)=X|a||b|cos0,

a(Xb)=|a||A,b|COS(K-0)=-X|a11b|(-cos0)=X|a||b|cos0.

3.分配律：(a+b)?c=a?c+b-c

在平面內(nèi)取一點O,作了=a,AB=b,OC=c,a+b(即歷)

在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos0=|a|

cosOi+|b|cos02

|c||a+b|cosO=|c||a|cosOi+|c||b|cos02，c(a+b)=ca+cb

即：(a+b)c=ac+be

說明：（1）一般地，（a.b）c，a（b-c）

(2)a-c=b-c,c#0不a=b

(3)有如下常用性質：a2=Ia|2,

(a+b)(c+d)=a-c+a-d+b-c+b-d

三、講解范例：

例1.證明：（a+b）2=i+2a-b+b2

例2.已知|a|=12,|b|=9,。?很=-54&,求五與B的夾角。

例3.已知|a|二6,|b|=4,a與b的夾角為60。求：（l）（a+2b＞（a?3b）.（2）

|a+b|與|a-b|.

（利用\a\=4^）

例4.已知|a|二3,|b|=4,且a與b不共線，k為何值時，向量a+kb與

a-kb互相垂直.

四、課堂練習：

1.P106面1、2、3題。

2.下列敘述不正確的是（）

A.向量的數(shù)量積滿足交換律B.向量的數(shù)量積滿足分配律

C.向量的數(shù)量積滿足結合律D.a.b是一個實數(shù)

3.|a|=3,|b|=4,向量a+^b與a-°b的位置關系為（）

44

A.平行B.垂直C.夾角為?D,不平行也不垂直

4.已知|a|二8,|b|=10,|a+b|=16,求a與b的夾角.

五、小結：

1.平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；

2.平面向量數(shù)量積的重要性質及運算律；

3.向量垂直的條件.

六、作業(yè)：《習案》作業(yè)二十三。

242平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角

教學目的：

1.掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律；

2.能利用數(shù)量積的5個重要性質及數(shù)量積運算規(guī)律解決有關問題；

3.掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及

能解決一些簡單問題.

教學重點：平面向量數(shù)量積及運算規(guī)律.

教學難點：平面向量數(shù)量積的應用

教學過程：

一、復習引入：

1.平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義:

2.兩個向量的數(shù)量積的性質：設a、b為兩個非零向量，e是與b同

向的單位向量.

1°e-a=a-e=|a|cos0；2°a-Lboa?b=0

3°當a與b同向時，ab=|a||b|；當a與b反向時，a-b=-|a||b|.

特別的aa=|a/或

4°cos9=^-；5°|ab|<|a||b|

\a||b|

3.練習：

(1)已知|a|二l,|b|=V2,且(a?b)與a垂直，則a與b的夾角是()

A.60°B.30°C.135°D.45°

(2)已知|a|二2,|b|=l,a與b之間的夾角為與，那么向量m=a-4b的模

為()

A.2B.2V3C.6D.12

二、講解新課：

探究：已知兩個非零向量。=(和兇)，b=(x29y2)f怎樣用4和b的坐

標表示nb?.

1、平面兩向量數(shù)量積的坐標表示

兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和.即

ab=xix2+yiy2

2.平面內(nèi)兩點間的距離公式

(1)設a=(x,y),則la/二設+,2或|〃|=+y?.

(2)如果表示向量。的有向線段的起點和終點的坐標分別為(9以)、

(x2,y2),

那么I。1=＞再一/產(chǎn)+上一%)2(平面內(nèi)兩點間的距離公式)

3.向量垂直的判定

設。=。］,弘),b=(x2,y2),則alb

=不/+必必=0

4.兩向量夾角的余弦(04夕工))

COS0=ab=廣XR”邛

二、講解范例：

例1已知A(l,2),B(2,3),C(-2,5),試判斷△ABC的形狀，并給

出證明.

例2設a=(5,-7),b=(-6,-4),求a-b及a、b間的夾角/精確

到1°)

分析：為求a與b夾角，需先求a-b及IaI?IbI,再結合夾角6的范

圍確定其值.

例3已知a=(1,V3),b=(V3+1,V3-1),則a與b的夾角

是多少？

分析：為求a與b夾角，需先求a?b及IaI.IbI,再結合夾角。的范

圍確定其值.

解：由a=(1,6),b=(A/3+1,V3—1)

有ab=V3+1+V3(V3—1)=4,IaI=2,|bI=2V2.

abV2

記a與b的夾角為，則cos8==XVu<0<7C,

4

評述：已知三角形函數(shù)值求角時，應注重角的范圍的確定.

三、課堂練習：1、P107面1、2、3題

2、已知A(3,2),B(-l,-1),若點P(x,-；)在線段AB的

中垂線上，則x=.

四、小結：1、ab=A1A24-yxy2

22

2、平面內(nèi)兩點間的距離公式\a\=yl(xi-x2)+(yl-y2)

3、向量垂直的判定：

設。=(再,月),b=(x2,y2),則a_L><=>x]x2+y1y2=0

五、課后作業(yè)：《習案》作業(yè)二十四。

思考：

1、如圖，以原點和A(5,2)為頂點作等腰直角△OAB,使NB=90。，求

點B和向量Q的坐標.

解：設B點坐標(x,y),則麗=(x,y),=(x-5,y-2)

丁OB_LABx(x-5)+y(y-2)=0即：x2+y2-5x-2y=0

又,?，|而|二|而I/.x2+y2=(x-5)2+(y-2)2BP：lOx+4y=29

_73

X=-

x2+y2-5x-2y=02

由?23或2

10x+4y=297

??.B點坐標(卜》或(|?；而=(.2或(,|)

2在△ABC中，而=(2,3),AC=(1,k),且△ABC的一個內(nèi)角為直角,

求k值.

3

解：當A=90。時，ABAC=O,2x1+3xk=0k=--

2

=—

當B=90。時，ABBC=O9BCAC—AB—(12,k—3)=(—1,k—3)

?..2x(-1)+3x(k3)=0?-k=T

當C=90。時，ACBC=O,/.-1+k(k-3)=0/.k

2.5.1平面幾何中的向量方法

教學目的：

1.通過平行四邊形這個幾何模型，歸納總結出用向量方法解決平面

幾何的問題的“三步曲"；

2.明確平面幾何圖形中的有關性質，如平移、全等、相似、長度、夾

角等可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示.；

3.讓學生深刻理解向量在處理平面幾何問題中的優(yōu)越性.

教學重點：用向量方法解決實際問題的基本方法：向量法解決幾何問題

的“三步曲”.

教學難點：如何將幾何等實際問題化歸為向量問題.

教學過程:

一、復習引入：

1.兩個向量的數(shù)量積；a$=|a||%|cos，.

2.平面兩向量數(shù)量積的坐標表示：ab=xlx2+yly2.

3.向量平行與垂直的判定：

a//xxy2-x2y1=0.〃_L〃=xtx2+yty2=0.

4.平面內(nèi)兩點間的距離公式：\AB\=J（占一工2）、（弘一必）2

5.求模：

22

|?=H=卜+yH=J（X1-X2）2+（M-必）2

練習

教材P.106練習第1、2、3題.；教材P.107練習第1、2題.

二、講解新課：

例1.已知AC為。0的一條直徑，NABC為圓周角.求證：ZABC=90°.

證明：l^AO=a=OC9OB=b91?|=|^

AB=Ad+OB=a+b,BC=a-b,///\\

,,-----212y0

ABBC=（a+b）（a-b）=a-W=0,1/

.\AB±BC9/./.ABC=90"

例2.如圖，AD,BE,CF是aABC的三條高.求證：AD,BE,CF相交

于」一?八占、、?

例3.平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型?如圖,

AC=Ag+AD,DB=AB-AD,

你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關系嗎？

思考1:

如果不用向量方法，你能證明上述結論嗎?

思考2：

運用向量方法解決平面幾何問題可以分哪幾個步驟？

運用向量方法解決平面幾何問題可以分哪幾個步驟？

“三步曲〃：

⑴建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素,

將平面幾何問題轉化為向量問題；

⑵通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；

⑶把運算結果〃翻譯〃成幾何關系.

例4.如圖，口ABCD中，點E、F分別是AD、DC邊的中點，BE>BF

分別與AC交于R、T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之

AB

課堂小結

用向量方法解決平面幾何的〃三步曲〃：

⑴建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素,

將平面幾何問題轉化為向量問題；

⑵通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；

⑶把運算結果〃翻譯〃成幾何關系.

課后作業(yè)

1.閱讀教材P.109到P.111;2.《習案》作業(yè)二十五.

2.5.2向量在物理中的應用舉例

教學目的：

1.通過力的合成與分解模型、速度的合成與分解模型，掌握利用向

量方法研究物理中相關問題

的步驟，明了向量在物理中應用的基本題型，進一步加深對所學向

量的概念和向量運算的認識；

2.通過對具體問題的探究解決，進一步培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識，

提高應用數(shù)學的能力，體會

數(shù)學在現(xiàn)實生活中的作用.

教學重點：運用向量的有關知識對物理中的力的作用、速度分解進行相

關分析來計算.

教學難點：將物理中有關矢量的問題轉化為數(shù)學中向量的問題.

教學過程：

一、復習引入：

1.講解《習案》作業(yè)二十五的第4題.

已知4(1,0),直線/:y=2x-6,點A是直線/上的一點若位=2萬，求點P的軌跡方程

2.你能掌握物理中的哪些矢量？向量運算的三角形法則與四邊形法則

是什么？

二、講解新課：

例1.在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，

夾角越大越費力；在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力.

你能從數(shù)學的角度解釋這種形象嗎？

探究1:

(DO為何值時，?Ki最小，最小值是多少?

(2)|耳|能等于|8|嗎?為什么？

探究2:

你能總結用向量解決物理問題的一般步驟嗎？

⑴問題的轉化：把物理問題轉化為數(shù)學問題；

⑵模型的建立：建立以向量為主體的數(shù)學模型；

⑶參數(shù)的獲得：求出數(shù)學模型的有關解一一理論參數(shù)值；

⑷問題的答案：回到問題的初始狀態(tài)，解決相關物理現(xiàn)象.

例2.如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m,一艘船從A處出

發(fā)到河對岸,已知船的速度|1|=10km/h,水流速度|彳|=2km/h,問

行駛航程最短時，所用時間是多少(精確到0.1