6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第六章計數(shù)原理2025/4/1高二數(shù)學備課組引

入汽車號牌的所有可能的序號數(shù)計數(shù)問題玩具的數(shù)量班際籃球比賽場數(shù)紅、黃、綠三面旗幟組成航海信號數(shù)量很多分類加法計數(shù)原理最基本、最重要的方法：分步乘法計數(shù)原理排列數(shù)公式應(yīng)用二項式定理計數(shù)公式：組合數(shù)公式如何提高效率呢？列舉引

入當問題中的數(shù)量很大時，如何巧妙設(shè)計“數(shù)法”，以提高效率呢？下面先分析一個簡單的問題，并嘗試從中得出巧妙的計數(shù)方法.問題1用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數(shù)字給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼?因為英文字母共有26個，阿拉伯數(shù)字共有10個，所以總共可以編出26+10=36種不同的號碼.引

入問題2

你能說一說這個問題的特征嗎?

首先，這里要完成的事情是“給一個座位編號”；其次是“或”字的出現(xiàn):一個座位編號用一個英文字母或一個阿拉伯數(shù)字表示.因為英文字母與阿拉伯數(shù)字互不相同，所以用英文字母編出的號碼與用阿拉伯數(shù)字編出的號碼也互不相同.這兩類號碼數(shù)相加就得到號碼的總數(shù).這里的“或”代表分類.上述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：(1)確定分類標準，根據(jù)問題條件分為字母號碼和數(shù)字號碼兩類；(2)分別計算各類號碼的個數(shù)；

(3)各類號碼的個數(shù)相加，得出所有號碼的個數(shù).我們把這種計數(shù)方法稱為分類加法計數(shù)原理.從特殊到一般的思想探究新知一般地，如果完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有

N＝m＋n種不同的方法.兩類不同方案中的方法互不相同1.分類加法計數(shù)原理：分類加法計數(shù)流程：分類計數(shù)結(jié)論將完成這件事的方法分幾類求出每一類的方法數(shù)將每一類的方法數(shù)相加得出結(jié)果例題講解例1在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A，B兩所大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，如下表.如果這名同學只能只能選一專業(yè)，那么他共有多少種選擇？A大學B大學生物學數(shù)學化學會計學醫(yī)學信息技術(shù)學物理學法學工程學

解：這名同學可以選擇A，B兩所大學中的一所.在A大學中有5種專業(yè)選擇方法，在B大學中有4種專業(yè)選擇方法.因為沒有一個強項專業(yè)是兩所大學共有的，所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這名同學可能的專業(yè)選擇種數(shù)為課堂練習2.在例1中，如果數(shù)學也是A大學的強項專業(yè)，那么A大學共有6個專業(yè)可以選擇，B大學共有4個專業(yè)可以選擇，應(yīng)用分類加法計數(shù)原理，得到這名同學可能的專業(yè)選擇種數(shù)為6+4=10.這種算法有什么問題？A大學B大學生物學數(shù)學化學會計學醫(yī)學信息技術(shù)學物理學法學工程學數(shù)學

解：這種算法有問題，因為問題強調(diào)的是這名同學的專業(yè)選擇，故并不需要考慮學校的差異，所以這名同學可能的專業(yè)選擇種數(shù)應(yīng)當為探究新知問題3

如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法?追問：如果完成一件事有n類不同方案，在每一類方案中都有若干種不同的方法，那么應(yīng)當如何計數(shù)呢?N=m1+m2+m3分類加法計數(shù)原理推廣：

完成一件事,如果有n類方案,第1類方案中有m1種不同的方法,第2類方案中有m2種不同的方法，……，第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.各類不同方案中的方法互不相同類比的思想探究新知正確理解分類加法計數(shù)原理：①分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，②完成一件事要分為若干類，③各類的方法相互獨立，④各類中的各種方法也相對獨立，⑤用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事.探究新知問題4

用前6個大寫英文字母和1~9這9個阿拉伯數(shù)字，以A1,A2,???,A9,B1,B2,???的方式給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼?這里仍然是“給一個座位編號”，但與前一問題的要求不同.與前一問題不同，這個問題中，號碼必須由一個英文字母和一個作為下標的阿拉伯數(shù)字組成，即得到一個號碼要經(jīng)過先確定一個英文字母，后確定一個阿拉伯數(shù)字這樣兩個步驟.A19423數(shù)字5768字母得到的號碼A1A2A3A4A5A6A7A8A9樹狀圖追問1：能用樹狀圖列出所有可能的號碼嗎?

用右圖所示的方法可以列出所有可能的號碼.由于前6個英文字母中的任意一個都能與9個數(shù)字中的任意一個組成一個號碼，而且它們互不相同，問題4

用前6個大寫英文字母和1~9這9個阿拉伯數(shù)字，以A1,A2,???,A9,B1,B2,???的方式給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼?探究新知A19423數(shù)字5768字母得到的號碼A1A2A3A4A5A6A7A8A9樹狀圖我們把上述這種計數(shù)方法稱為分步乘法計數(shù)原理.由此編出的不同號碼共有

9×6=54種.追問1：你能說一說這個問題的特征嗎?上述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：（1）“和”字的出現(xiàn)，可確定完成編號要分為先確定一個英文字母，后確定一個阿拉伯數(shù)字兩個步驟；（2）分別計算各步號碼的個數(shù)；（3）將各步號碼的個數(shù)相乘，得出所有號碼的個數(shù).探究新知2.分步乘法計數(shù)原理：一般地，完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有

N＝m×n種不同的方法.②各步驟相互依存,只有各步驟都完成了,這件事才算完成,將各個步驟的方法數(shù)相乘得到完成這件事的方法總數(shù),又稱乘法原理.注意：①無論第1步采用哪種方法，與之對應(yīng)的第2步都有相同的方法數(shù).例題講解例2某班有男生30名、女生24名，從中任選男生和女生各1名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法?解：第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選法；

第2步，從24名女生中選出1人，有24種不同選法.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有不同選法的種數(shù)為

N＝30×24=720.探究新知

如果完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法.問題5

如果完成一件事有三個步驟,做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法?N＝m1×m2×m3追問：

如果完成一件事需要有n個步驟,

做每一步中都有若干種不同方法,那么應(yīng)當如何計數(shù)呢?分步乘法計數(shù)原理推廣探究新知正確理解分步乘法計數(shù)原理：①分步計數(shù)原理針對的是“分步”問題，②完成一件事要分為若干步，③各個步驟相互依存，④完成任何其中的一步都不能完成該件事，⑤只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事.例題講解例3書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.

(1)從書架上任取1本書，有多少種不同取法?

(2)從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法?解：(1)根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為

N＝4＋3＋2＝9.(2)根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為

N＝4×3×2=24.探究新知注意：確定分步標準時要確保每一步都不能獨立地完成這件事.分步乘法計數(shù)流程：分步計數(shù)結(jié)論將完成一件事的過程分成若干步求出每一步中的方法數(shù)將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果探究新知問題6：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的相同點和不同點是什么?分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點不同點注意點用來計算完成一件事的方法種數(shù)每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨立完成這件事）相加相乘類類獨立步步關(guān)聯(lián)不重不漏缺一不可分類、分步、課堂練習1.填空題(1)一項工作可以用2種方法完成，有5人只會用第1種方法完成，另有4人只會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這項工作，不同選法的種數(shù)是________；

(2)從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B村去C村，不同路線的條數(shù)是_________.96課堂練習3.書架上層放有6本不同的數(shù)學書，下層放有5本不同的語文書.

(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法?

(2)從書架上任取數(shù)學書和語文書各1本，有多少種不同的取法?4.現(xiàn)有高一年級的學生3名，高二年級的學生5名，高三年級的學生4名.

(1)從三個年級的學生中任選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法?

(2)從三個年級的學生中各選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法?解：(1)11種；(2)30種.解：(1)12種；(2)60種.課堂小結(jié)一、兩個計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理二、兩種