傾斜角與斜率

[4組基礎(chǔ)鞏固練]

一、選擇題

1.過點(diǎn)4(一小，&)與點(diǎn)3(一也，小)的直線的傾斜角為()

A.45°B.135°

C.45?；?35°D.60°

方一也

[因?yàn)樾甭孰?所以傾斜角為

一小一(一小)一45°.]

2.若圖中直線/2,b的斜率分別為舟,k2f色,則()

A.k\<ki<ki

B.h<k\<k2

C.k3Vk?<ki

D.k\<ky<k2

D[由題圖可知，抬<0,42>0,23>0,且，2比/3的傾斜角大，，人〈43<22]

3.若點(diǎn)A(—l,-2),8(4,8),已知AB的方向向量為(1,k),則實(shí)數(shù)k的值為()

A.3B.-3C.2D.—2

C[A8的方向向量坐標(biāo)為(4+1,8+2),即(5,10).又(1,k)也是AB的方向向量，，攵=

4.設(shè)直線/過坐標(biāo)原點(diǎn)，它的傾斜角為匿如果將/繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。,

得到直線人那么小的傾斜角為()

A.a+45°

B.a-135°

C.1350-a

D.當(dāng)(TWaV135。時，傾斜角為a+45。；當(dāng)135。WaVI80。時，傾斜角為。一135。

D[根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示.

當(dāng)0°WQV135°時，1的傾斜角為a+45。;

當(dāng)135。在。<180°時，八的傾斜角為45。+。-180。=。一135°.]

5.如果直線/過點(diǎn)(1,2),且不通過第四象限，那么/的斜率的取值范圍是()

A.[0,1]B.[0,21

C.[o,1D.(0,3]

B[如困，經(jīng)過(1,2)和(0,0)的斜率左=2,若/不通過第四象限，則0WAW2.故選B.]

(1,2)

二、填空題

6.設(shè)P為x軸上的一點(diǎn)，4—3,8),5(2,14),若直線PA的斜率k積是直線PB的斜率

心8的2倍，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

814

(-5,0)［設(shè)P(x,0),由條件煬=2如，?'!_0_=2X—,解得％=—5,故P(—5,0).］

7.已知點(diǎn)41,2),若在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)P,使直線外的傾斜角為135。，則點(diǎn)P的坐標(biāo)

為?

0—2

(3,0)或(0,3)［由題意知面=一1,若尸點(diǎn)在工軸上，則設(shè)P(/%0),則獲=y=-l,解得

〃一2

機(jī)=3;若P點(diǎn)在y軸上，則設(shè)P(0,〃)，則鼠7=一1，解得〃=3,故P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)或

03).］

8.若經(jīng)過點(diǎn)尸(1一〃/+〃)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為銳角，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

(一8,-2)U(1,+8)［由得或

JI1v4JC*I4

三、解答題

9.求證：A(l,-1),5(-2,-7),C(0,一3)三點(diǎn)共線.

［證明］VA(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3),

??kAB=_?_=2,kAC==2.??KAB=KAC-

???直線AB與直線AC的傾斜角相同且過同一點(diǎn)A,

???直線A8與直線AC為同一直線.

故4,B,C三點(diǎn)共線.

10.已知直線/的傾斜角a的范圍是45?；?在135。，求直線/的斜率女的范圍.

［解］分類討論：當(dāng)Q=90。時，/的斜率不存在；

當(dāng)45°<aV90°時，/的斜率k=1@110￡［1,+?>)：

當(dāng)90°VaW1350時，/的斜率L=tana￡(-8,-1］.

."的斜率不存在或斜率及￡(一8,-|］U［1,4-oo).

［B組素養(yǎng)提升練］

11.(多選題)若兩直線，I，，2的傾斜角分別為內(nèi)，。2,則下列四個命題中錯誤的是()

A.若則兩直線的斜率：kx<ki

B.若%=。2,則兩直線的斜率：ki=k2

C.若兩直線的斜率：k\Vk2,則如<。2

D.若兩直線的斜率：21=依，則。|=。2

ABC［當(dāng)勿=30。，a2=12(r,滿足&Va2,但是兩直線的斜率於>近，選項A說法錯

誤；當(dāng)囚=8=90。時，直線的斜率不存在，無法滿足鬲=公，選項B說法錯誤；若直線的

斜率卜=-1,fe=l,滿足hV22,但是ai=135°,。2=45°,不滿足由<。2,選項C說法錯

誤；若“=心說明斜率一定存在，則必有。］=。2,選項D正確.］

12.將直線，向右平移4個單位，再向下平移5個單位后仍回到原來的位置，則此直線

的斜率為()

5454

A.不B.百C.一wD.一§

C［設(shè)點(diǎn)P(a,力是直線/上的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線/按題中要求平移后，點(diǎn)戶也做同樣

的平移，平移后的坐標(biāo)為3+4,。-5),由題意知，這兩點(diǎn)都在直線/上，，直線/的斜率

b-5-b51

-a+4—44

13.(一題兩空)直線/經(jīng)過點(diǎn)(一1,0),傾斜角為150。，若將直級/繞點(diǎn)(-1,0)逆時針旋

轉(zhuǎn)60。后，得到直線八則直線廠的傾斜角為________,斜率為________.

30°坐[如圖所示.

???直線/的傾斜角為150。，,繞點(diǎn)(一1,0)逆時針旋轉(zhuǎn)60。后，所得直線廣的傾斜角。=

(150o+60°)-180o=30°,斜率k=tana=tan30。=坐.]

14.已知兩點(diǎn)4(-3,4),8(3,2),過點(diǎn)P(2,—1)的直線/與線段A3有公共點(diǎn)，則/的斜

率的取值范圍為.

(-8,-HU[3,+8)[如圖，要使/與線段48有公共點(diǎn)，則直線/的傾斜角介于直

線尸B與直線網(wǎng)的傾斜角之間.當(dāng)直線/的傾斜角為鈍角時，?.?直線%的斜率為;二=

乙I。

-1,???比(-8,-1],

當(dāng)/的傾斜角為銳角時，又直線尸3的斜率為1_：=3,.?/￡[3,+8).故2￡(—8,

-1]U[3,+8).]

[C組思維提升練]

15.已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)A(—1,1),C(2,小+1).

(1)求直線4B.BC,AC的斜率和傾斜角：

(2)若。為△A3C的邊AB上一動點(diǎn)，求直線CD斜率k的取值范圍.

1—1

[解I(1)由斜率?公式得匕8=]_(_])=0,

V3+1—1r-^5+1—1V3

融2_1_73,KAC_2_(_])-3'

傾斜角的取值在區(qū)間[0。，180。)范圍內(nèi)，???tan()o=0,

.?.直線A8的傾斜角為0?！?七1160。=仍，J直線5C的傾斜角為60°.

Vtan30°=^,工直線AC的傾斜角為30°.

(2)如圖，當(dāng)斜率k變化時，直線CD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直線CD由CA逆時針轉(zhuǎn)到CB時，

直線CO與4B恒有交點(diǎn)，即。在線段48上，此時左由依八增大到Acs,所以2的取值范圍

為停同

3

2

1.平面Q的斜線I與它在這個平面上射影r的方向向量分別為a=（l,0,1）,6=（0,1,1）,

則斜線/與平面a所成的角為（C）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

［解析］/與a所成的角即為。與b所成的角（或其補(bǔ)角），因?yàn)閏osQ,b）=就=3

所以Q,b）=60。./與a所成的角為60。.

2.已知向量〃I,〃分別是直線/和平面。的方向向量和法向量，若cos〈/w,=~2f

則/與a所成的角為（A）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

［解析］由已知得直線/的方向向量和平面a的法向量所夾銳角為60。，因此/與a所成

的角為30°.

3.直線人的方向向量。1=（1，-1,1），直線/2的方向向量42=（12，—1），設(shè)直線/|與

/2所成的角為仇則（D）

A.Q應(yīng)n.口應(yīng)

A.sin0=—B.sin

C.cos0=—D.cos3

??/\0色1—2—1—2也

［解析］.cos<??。"一麗=^~=稀=一3?

..cos0=卞.

4.在三棱錐P—ABC中，ABLBC,48=3。=弧，點(diǎn)O,。分別是4C,PC的中點(diǎn)，

OP_L底面ABC,則直線OD與平面PBC所成角的正弦值為_噂_.

f解析］以。為原點(diǎn)，射線OA,OB,。尸為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

設(shè)AB=a,則。尸=塔，歷=（一%,0,乎J,可求得平面P8C的法向量為〃=

(fl,通

所以8s〈歷，加=亞=曙，

\OD\\n\

設(shè)成)與平面PBC所成的角為仇則sin

5.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PB_L底面ABC。，CDLPD,底面48co為直角梯

形，AD//BC,AB.LBC,AB=AD=PB=3.點(diǎn)E在棱上，且PE=2E4.求平面45E與

平面￡)8七夾角的余弦值.

［解析］以8為原點(diǎn)，以直線8C,BA,BP分別為x,>>,z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系.則P(0,0,3),A(0,3,0),0(3,3,0).

設(shè)平面EB。的一個法向量為〃i=(x,y,z),

.—?—?—?—?2~?2->

因f為8E=BP+尸E=8P+?B4=(0,0,3)+1(0,3,—3)=(0,2,1),8。=(3,3,0),

n\BE=O［2y+z=0,

由《t得

g.而=0,出+3產(chǎn)0.

L=i

取z=l,所以<1于是—/1)

［y=~2-

又因?yàn)槠矫鍭BF的一個法向量為改=(1,0,0),

1

所以COS(?1,〃2〉=~^=坐.

設(shè)平面A5E與平面DBE的夾角為0,

則cosJ=|cos<m,〃2〉尸平，故所求夾角的余弦值為平.

A組?素養(yǎng)自測

一、選擇題

1.(多選題)已知彩為直線/的方向向量，小，處分別為平面。，6的法向量3,4不重

合)，則下列選項中，正確的是(AB)

A.n\//n^a//pB.n\Ln^aLp

C.v//n\^l//aD.v±n^l//a

［解析］對于A,平面a,尸不重合，所以平面a,4的法向量平行等價于平面a,4平

行，A正確；對于B,平面如夕不重合，所以平面a,。的法向量垂直等價于平面a,夕垂

直，B正確；對于C,直線的方向向量平行于平面的法向量等價于直線垂直于平面，C錯誤；

對于D.直錢的方向向量垂直于平面的法向量等價于直線,平行于平面或直線在平面內(nèi)，D錯

誤.故選AB.

2.若平面a的一個法向量為m=(1,0,1),平面0的一個法向量是〃2=(-3,1,3),則平

面a與夕所成的角等于(D)

A.30°B.45°

C.60°D.90°

［解析］因?yàn)椤?,1)?(一3,1,3)=0,所以a_L￡,即平面a與￡所成的角等于90。.

3.已知40,1,1),8(2,—1,0),C(3,5,7),￡>(1,2,4),則直線48和直線CO所成角的余

弦值為(A)

嫗_5^22

A.66B，66

2_5^22

22u.22

［解析］AB=(2,—2,—1),8=(—2,—3,—3),

瓶詼55后

而cos(AB,CD)

—麗|西一3X/-66，

故直線AB和CD所成角的余弦值為嘴.

4.已知正方形ABC。所在平面外一點(diǎn)P,以_L平面4BC。，若玄=A8,則平面以8與

平面尸C。的夾角為(B)

A.30°B.45°

C.60°D.90°

［解析］如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)B4=AB=1,

則A(0,0,0),0(0,1,0),P(0,0,l),

.,.AD=(0,1,0).

取PZ)的中點(diǎn)E,

則￡(0,I，￡),

???危=(0,I，1

易知病是平面PAB的一個法向量，能是平面PCD的一個法向量，所以cos(AD,AE)

=4，故平面物B與平面PCO的夾角為45。.

5.在正方體ABCO-AiBiGDi中，M,N分別為AO,GA的中點(diǎn)，O為側(cè)面BCGBi

的中心，則異面直線MN與。。所成角的余弦值為(A)

A.TB.4

64

C.—7D.—7

64

［解析］如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4,DC,。。所在直線為x,y,z軸建立空

間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為2,則M(lQ0),N(0,1,2),0(1,2,1),0)(0,0,2),

，疝=（-1,1,2）,而=（一1,一2,1）.則cos〈而，6b\>=MMODI=J1.

|兩曲|平又乖6

異面直線MN與。。所成角的余弦值為卷，故選A.

二、填空題

6.如圖，在正三棱柱4BC—A/iG中，已知A3=l,點(diǎn)。在棱83上，且80=1,則

AD與平面A4CC所成角的正弦值為_乎_.

［解析］解法一：取AC、4G的中點(diǎn)M、M,連接MM1、BM.過。作。則

容易證明。2_1_平面"|（7］。.連接AM則ND4N就是AD與平面4AGC所成的角.

在RtADAN中，

0L

./八八―也_2_亞

sm/DAN-AD-取-4-

解法二：取AC、4G中點(diǎn)。.E,貝《OBJ_AC,OE_L平面ABC,以0為原點(diǎn)。4、。3、

0E為大軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

在正三角形ABC中，助0=坐48=坐，

o,0）,《0,冬oj,電,孚1），

坐，1），

又平面A46C的法向量為e=（0』,0）,

設(shè)直線AO與平面"CC所成角為仇則

?I?I病「乖

sin6/—|cos\AD,e)|—^—

而閨

解法三：設(shè)枝=b,BC=a,Sb=Cy

由條件知aac=0,bc=O,

又病=麗一麗=c—b,

平面AA\C\C的法向量前=；(°+5).

設(shè)直線4￡>與平面A4CC成角為"則

sin^=|cos(AD,BM}=[",

\AD\\BM\

—*—*1

AD-BM=(c—b>](。+b)

11,1,l,3

=￡℃一呼方f+/c_/Ffl=-

2

\ADf=(c-b)=\cf+\bf-2bc=2f

：.\AD\=y［2t

|砌2=；(0+協(xié)2=,同2+步F+2aM4

/.\BM\=乎,***sin。=乎.

7.在空間中，已知平面a過點(diǎn)(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(diǎn)(0,0,〃)(〃>0),如果平面a

與平面xQy的夾角為45。，則。=_號__.

［解析］平面xOy的一個法向量為〃=(0,0』)，設(shè)平面a的一個法向量為m=(x,y,z),

—3x+4y=0,/7a(aaA

則JcI1c即3x=4y=az,取z=l,則x=］,y=T,7,11.

—3x十a(chǎn)z=0,。，

1'歷

由題意得|cos〈〃，m)|=-/22==o-

12

又因?yàn)閍>0,所以a=/~.

8.如圖，已知在一個二面角的棱上有兩個點(diǎn)A、B,線段AC、80分別在這個二面角的

兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱A3,.48=4cm,AC=6cm,BD=Scm,CD=2y［\lcm,則這

個二面角的度數(shù)為60。一.

［解析］設(shè)〈慶，BD>=仇?.?C4_LAB,AB工BD,

：.ACAB=BDAB=Ot<G4,BD)=180。一仇

.'I麗2=(Q+施+麗)2

=|己|2+1贏F+1麗|2+2|G4||3b|cos(I8O0-6>).

?二(2師)2=62+4?+82+2X6X8X(—cos①，

cos^=2*

因此，所求二面角的度數(shù)為60。.

三、解答題

9.(2020.衡陽市高三聯(lián)考)如圖1,平面四邊形區(qū)4OE中，。為上一點(diǎn)，△川?。和4

QCE均為等邊三角形，EC=2CB=2,M,N分別是EC和。的中點(diǎn)，將四邊形84。七沿

BE向上翻折至四邊形BA'D'E的位置，使二面角-BE-。為直二面角，如圖2所示.

(1)求證4'A〃平面O'MDx

⑵求平面A'A8與平面O'。七所成角的正弦值.

［解析I(1)在等邊△￡>'CE和△OCE中，D'MICE,DMLCE,D'MQDM=M,

所以直線CE_L平面O'MD,即直線BE_L平面D'MD,同理可證直線BE_L平面A'NA,

故平面O'M￡>〃平面A'NA.

又4'AU平面A'NA,從而有A'A〃平面O'MD.

(2)如圖，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，M/),ME,MD'所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系M一孫z,易知M(0,0,0),E(0,l,0),D他,0,0),D'(0,0,?5(0,-2,0),A(田,

—I，0),A'(0,—I，坐).

則而=(o,函=(坐，*o)，

設(shè)平面A'AB的一個法向量為帆=(x,y,z),

m-BA'=0小z=0_

由<得〈/-，令z=l,得x=l,y=一小,所以平面A'48的一

院函=。［小葉尸。

個法向量為m=(l,-<3,1).

/i-ED=0

同理，設(shè)平面O'OE的一個法向量為〃=(xi,yi,zi),由<

n-ED'=0

得產(chǎn)一)，產(chǎn)。，

〔一?+小zi=0

令zi=l,得xi=l,yi=/,

所以平面。'DE的一個法向量為〃=(1,小，1).

從而|cos(/n,/i)l=S=|4|=i

故平面4,48與平面》OE所成角的正弦值為

11-(一g坐.

10.(2020.全國III卷理，19)如圖，在長方體A88一4四。］￡)|中，點(diǎn)E,產(chǎn)分別在棱。。,

BBi上，且2DE=EDi，BF=2FB.

（1）證明：點(diǎn)G在平面AE尸內(nèi)；

（2）若A8=2,4。=1,A4i=3,求二面角A—E尸一4的正弦值.

［解析］設(shè)AB=a,AD=btAAi=c,如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，3?萬的方向?yàn)閤軸正方

向，建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz.

全=（0,b,得證=

因此E4〃GF,即A,EtF,G四點(diǎn)共面,

所以點(diǎn)G在平面AE尸內(nèi).

(2)由已知得4(2,1,3),￡(2,0,2),尸(0,1,1),4(2,1,0),AE=(0,-1,-1),壽=(一2,0,

-2),Ai￡=(0,-1,2),A|F=(-2,0,l).

設(shè)〃i=(x,y,z）為平面4EF的法向量，則

ni-AE=0,—y—z=0,

即

-2x-2z=U,

ii\AF=0,

可取加=（—1,—1,1）.

設(shè)"2為平面AEF的法向量，則

〃2不而=0,（\\

,同理可取〃2=5，2,1）.

因?yàn)閏os（加，於〉=瑞=一坐

所以二面角A—EF-A｝的正弦值為當(dāng)

B組?素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.（2021?福建泉州市普通高口質(zhì)量檢測）正方體ABC。一4囪中，動點(diǎn)M在線段

AC上，E,尸分別為。。1，A。的中點(diǎn).若異面直線E尸與所成的角為仇則。的取值

范圍為（A）

nn

A.[M]B.,4,3.

nn

D.4f2

[解析1以￡＞點(diǎn)為原點(diǎn)，DA,DC,。。所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角

坐標(biāo)系.設(shè)DA=2,易得際=(1,0,-1),^CM=ACAi=(2^,-22,2Z)(0W/tWl),BM=(2A

-2,-2A,2Z),則cos0=|cos〈8M,EF}|,

21

即cos0=

巾N(22—2)2+8產(chǎn)啦，3矣一22+1

=/]‘(04W1),

^V3(A-3)2+3

當(dāng)時，cos。取到最大值筆當(dāng)2=1時，cos。取到最小值看

三石

所以。的取值范圍為_&3_,故選A.

2.如圖，已知四棱錐P—ABC。的底面ABC。是等腰梯形，AB//CD,且4C_L8D,AC

與3。交于O,PO_L底面ABCO,PO=2,AB=2?E,尸分別是AB,AP的中點(diǎn).則平面

FOE與平面OEA夾角的余弦值為(B)

亞

卓

-3

亞

AC.B.亞

D.

-33

I解析I由題意，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC,OP所在直線分另!為工軸，)，軸，Z軸建

AdE=(l,-1,0),OF=(0,-1,1),設(shè)平面OEF的法向量為加=(x,y,z),

m-OE=O[x—v=0,

則彳t即|?八令x=l,可得

除d=o,—y+z=o，

易知平面OAE的一個法向量為〃=(0,0,1),

則cos(/?,n)=j^j裾=去=坐，設(shè)平面FOE與平面OEA夾角為仇則cosJ=|cos

3.正方體ABCO—ASG。中，二面角4一8。一叫的大小為(C)

A.30°B.60°

C.120°D.150°

［解析］如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C—獷，設(shè)正方體的棱長為〃，則A(a,

〃,0).即7,0,0),01(0.a,〃)，

.?.函=(0,6(,0),詬1=(一4,a,4),麗=(0,0,4,

設(shè)平面A8A的法向量為〃=(x,y,z),

則〃BA=(x,ytz)(0,a,0)=ay=0f

n-BD\=(x,y,z)-(—a,a,a)=-ar+ay+az=0,

?.ZWO,/.j=0,x=zt

令z=l,則〃=(1,0,1),

同理平面SB。的法向量加=(—1,—1,0),

/、〃?m1

8s〈…〉=麗=一》

而二面角A-5G—8]為鈍角，故為120。.

4.(多選題)如圖，多面體OABDC中，AB=CD=2,AO=BC=2小，AC=BD=y［i(),

B.球面經(jīng)過點(diǎn)4,B,C,力四點(diǎn)的球的直徑是灰

C.直線OB〃平面48

D.二面角4一。。一。等于30。

［解析］由題意，構(gòu)造長方體，如圖，設(shè)OA=x,OB=y,OC=zt

則￡+，2=4,N+z2=10,)2+Z2=12,

解得x=l,y=y[^,z=3,

對于A,三棱錐。一A8C的體積為:。CX：Q4XO8=坐，故A正確；

對于B,球面經(jīng)過點(diǎn)4,8,C,D四點(diǎn)的球的直徑即為長方體的體對角線長，即為

112+32+(#)2=回,故B正確；

對于C,由于O8〃AE,4E和平面ACD相交，則OB和平面4co相交，故C錯誤；

對于D,因?yàn)樵翺_LOC,DCrOC,所以異面直線CO與OA所成的角大小為二面角A

一0。一。的二面角大小，連接OE,則NAOE即為所求，tanNAOE=AS=巾，所以NAOE

Cz/i

=60。，故D錯誤.

二、填空題

5.已知在長方體A8CO-4向GOi中，AB=\,BC=2,AA}=4,E是側(cè)棱CCi的中點(diǎn)，

則直線AE與平面AiED所成角的正弦值為瑪_.

［解析］在長方體A3CD—A歸Ci。】中，A8=l,BC=2,A4=4,E是側(cè)棱CG的中

點(diǎn)，以。為原點(diǎn)，分別以DA,DC,。。所在直線,為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，4(2,

0,0),￡(0』,2),A)(2,0,4),0(00,0),EA=(2,-1,-2),ZMi=(2,0,4),無=(0,1,2),設(shè)平

面4EQ的法向量為〃=(x,y,z),則〃QAi=2r+4z=0,iiDE=y^-2z=0,取z=l,得〃

=(-2,-2,1),

設(shè)直線4E與平面所成角為仇則

sin6=cos(EA,n)=II=

4

...直線AE與平面4聞所成角的正弦值為泰

6.如圖，四面體ABCO中，E,尸分別為AB,0c上的點(diǎn)，且AE=BE,CF=2DF,

設(shè)游=a,DB=b,DC=c.

(1)以{。，b,c}為基底表示FE,則成=_-5+/+,〃；

⑵若NAOB=N5OC=NAOC=60。，且15Al=4,|麗=3,|麗=3,則|兩=_攣

［解析］(1)如圖所示，連接OE.

因?yàn)榻?歷+函FD=-DF=-{DC,及:*亦+南,

所以產(chǎn)￡=—予:+呼+16.

2

(2)陽2=&+%一92=%+扣+&+%?)—%.c—Jc=(X42+；X32+/X3+1

X4X3x1-|x4X3x1-|x3X3x1=y.

所以曲=邛^.

7.在正方體ABCO-ASGDi中，則4B與平面4BCD所成角的大小為30。.

［解析］解法一:連接8G,設(shè)與8C交于。點(diǎn)，連接40.

'：BCxIRiC,4陽IRCx.4］%n4C=%.：.RCxI平面

???A山在平面AiBiCD內(nèi)的射影為AiO.AZOAiB就是48與平面A^CD所成的角，

設(shè)正方體的棱長為1.

在RtZXAiOB中，45=近，80=當(dāng)，

巫

8021

..sinNOAiB—斗支=^^=5,***/。48=30。.

即48與平面481co所成的角為30°.

解法二：以。為原點(diǎn)，OA、DC、0d分別x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，設(shè)正方體的棱長為1,則4(1,0,1)、C(0,l,0).

?,?晶=(1,0,1)、DC=(0,1,0).

設(shè)平面48iCZ)的一個法向量為〃=(x,y,z),

nDA\=0x+z=0

則.令Z=—1得x=l.

iiDC=0尸0

，〃=(l,0,-1),又8(1,1,0),A/M=(0J,-1),

cos〈〃，A\B)二4田〃=I仁=；.

2

.“I?巾

:.<n,/hB)=60°,???AiB與平面4BC￡>所成的角為30。.

三、解答題

8.如圖，四棱柱ABCO—的所有棱長都相等，4。08。=0,AGG8Qi=0”

四邊形ACCiAi和四邊形B。。山］均為矩形.

(1)證明：OiO_L底面48c。；

(2)若NCB4=60。，求平面CQBi與平面08Q夾角的余弦值.

［解析］(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛CG4和四邊形8OQ］以均為矩形，所以CG_L4C,DD1

1BD,

又CG〃。/)i〃00i,所以O(shè)5_LAC,OOxLBD.

因?yàn)?0080=0,所以0］0_L底面ABCQ.

(2)解：因?yàn)樗睦庵乃欣忾L都相等，所以四邊形力BCD為菱形，ACA.BD.又0］0_L

底面A8CO,所以O(shè)B,0C,001兩兩垂直.如圖，以。為原點(diǎn)，OB,OC,00i所在直線

分別為小y,z軸，建立空間直隹坐標(biāo)系.

億

設(shè)棱長為2,因?yàn)镹CB4=60。，所以08=#，OC=\,

所以0(0,0,0),Bl(小，0,2),C1(O,1,2),

平面BDDIi的一個法向量為n=(0,1,0),

設(shè)平面OGBi的法向量為，〃=(x,ytz),

小x+2z=0,

則由相_L6瓦，mlOCi,所以

y+2z=0,

取z=一小，則x=2,j=2^3,

所以帆=(2,R5,f),

行/、.?||2s2后

所以|cos<m,n>J9?

設(shè)平面GOB1與平面OBiD夾角為0,

則cosO=|cos<m,n)

所以平面C\OB與平面OB】D夾角的余弦值為需.

9.如圖，在四棱錐產(chǎn)一AB。中，B4_L平面ABCO,AD//BC,AO_LCO,且AO=C。

二巾,BC=2yj2,PA=2.

(1)取PC的中點(diǎn)N,求證：ON〃平面以&

(2)求直線AC與PD所成角的余弦值；

(3)在線段PZ)上，是否存在一點(diǎn)M,使得平面MAC與平面4c。的夾角為45。？如果存

在，求出與平面MAC所成角的大??；如果不存在，請說明理由.

I解析I(1)證明：取BC的中點(diǎn)E.連接OE.交AC于點(diǎn)

O,連接ON,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則40,-1,0),B(2,-1,0),C(0,l,0),

D(-1,0,0),P(0,-1,2).

???點(diǎn)N為PC的中點(diǎn)，???MOOD，，痂=(1,0,1).

設(shè)平面附5的一個法向量由〃=(x,y,z),

由崩=(0,0,2),牯=(2,0,0),

可得〃=(0,1,0),：,DNn=0.

又?.?￡)NQ平面力以二.ON〃平面曲反

⑵解：由⑴知戰(zhàn)=(0,2,0),PD=(-1,1,-2).

設(shè)直線AC與P。所成的角為仇

2班

則8so=反訴=大

直線AC與PD所成角的余弦值為興

(3)解:存在.

設(shè)M(x,)，，z),且麗=而,0<2<1,

x=-2,

.*/1=A,A/(—A,A—1,2—2A).

.z-2=-2A,

設(shè)平面ACM的一個法向量為m=(x,y,z),

由元=(0,2,0),Qf=(一九2,2-22),可得利=(2—射，0,2),

由圖知平面4CO的一個法向量為〃=(0,0,1),

..,、?_____________旦

..cos〈機(jī)，n)=-；,==~V>

1心+(2-紗22

2

解得2=§或2=2(舍去).

設(shè)BM與平面M4C所成的角為中,

12

則sin3=|cos(BM,m)|=~2^2=2'??9=30°.

3X2汩

故存在點(diǎn)M,使得平面MAC與平面ACO的夾角為45。，此時8例與平面MAC所成的

角為30°.

第二章2.12.1.1

課堂檢測」同雙基

1.下面選項中，兩點(diǎn)確定的直線的斜率不存在的是(D)

A.(4,2)與(一4,1)B.(0,3)與(3,0)

C.(3,一1)與(2,-1)D.(一2,2)與(一2,5)

［解析］D項，因?yàn)榧?及=一2,所以直線垂直于x軸，傾斜角為90。，斜率不存在.

2.若經(jīng)過A(見3),8(1,2)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為45。，則加等于1A)

A.2B.I

C.-1D.-2

［解析1由題意知，ian45°=;^,得加=2.

1—m

3.己知直線/向上方向與y軸正向所成的角為30。,則直線/的傾斜角為一為?；?20。一.

I解析］有兩種情況：①如圖1,直線/向上方向與工軸正向所成的角為60。，即直線/

的傾斜角為60。.

②如圖2,直線/向上方向與x軸正向所成的角為120。，即直線1的傾斜角為120。.

4.若A（2,3）,仇3,2）,心，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)〃?的值為

f解析］設(shè)直線AB,8C的斜率分別為心小kac,則由斜率公式，得心"=汽=一1,

2—3

m-22

kBc=%-----=—7（w—2）.

2-3

*?A,B,C三點(diǎn)共線，:?kAB=kBC,

2Q

即一1=-解得

5.經(jīng)過A（肛3）,8（1,2）兩點(diǎn)的直線的傾斜角。的取值范圍是一0。<〃忘90。_.（其中心1）

3,~2

［解析］當(dāng)帆=1時，傾斜角a=90。；當(dāng)機(jī)>1時，tana="7［>°，.*.0o<a<90o.故

00<a?90°.

第二章2.12.1.1

素養(yǎng)作業(yè)?提技能

A組?素養(yǎng)自測

一、選擇題

C.?@D.②④

［解析I??中直線的傾斜角為a,故選C.

2.（2020?煙臺高一檢測）若直線的傾斜角為60。，則直線的斜率為（A）

A.3B.一小

C,坐D.一手

［解析］直線的斜率后=tan60o=巾.故選A.

3.若過兩點(diǎn)A（4,y）、BQ,一3）的直線的傾斜角為45。，則y等于（C）

A-@B近

?2o?2

C.-1D.1

［解析］???直線的傾斜角為45。，

，直線的斜率2=團(tuán)145。=1,???/=1，，y=-L

Z—4

4.直線/的傾斜角是斜率為坐的直線的傾斜角的2倍，則/的斜率為(B)

A.1B.小

C.孚D.一小

［解析］:tana=坐,0°<a<180°,，a=30°,

A2a=60°,???k=tan2a=巾.故選B.

二、填空題

5.