新結(jié)構(gòu)題型第19題精選100題

1.對(duì)于數(shù)列力：6,a2M3(aeN/=1,2,3),定義"變換將數(shù)列力變換成數(shù)列8：乙也也，

其中4=|%-旬。=1，2),且。=%一聞.這種“T變換”記作8=7(4),繼續(xù)對(duì)數(shù)列8進(jìn)行“T

變換”，得到數(shù)列。2/芻，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時(shí)變換結(jié)束.

(1)寫出數(shù)列力：3,6,5經(jīng)過5次“丁變換”后得到的數(shù)列：

⑵若6MM3不全相等，判斷數(shù)列4外,。2M不斷的“7變換”是否會(huì)結(jié)束，并說明理由；

(3)設(shè)數(shù)列力：2020,2,2D24經(jīng)過R次"變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求左的最小值.

x"=ax+by

2.在平面直角坐標(biāo)系中，利用公式)y=cx+4，①(其中a,b,%"為常數(shù))，將點(diǎn)

P(xj)變換為點(diǎn)P(fj')的坐標(biāo)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換公式，該

-ab\\ah\

變換公式①可由%b,C,"組成的正方形數(shù)表cd唯一確定,我們將cd稱為二階

矩陣，矩陣通常用大寫英文字母A,…表示.

(1)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，將點(diǎn)P(3,4)繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)三得到點(diǎn)/(到原點(diǎn)距離

不變)，求點(diǎn)產(chǎn)的坐標(biāo)；

⑵如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。歹中，將點(diǎn)尸(入h)繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。角得到點(diǎn)戶(；'/')

(到原點(diǎn)距離不變)，求坐標(biāo)變換公式及對(duì)應(yīng)的二階矩陣；

/\

(3)向量麗=(x,y)(稱為行向量形式)，也可以寫成:，這種形式的向量稱為列向量，線

-一(X1/)YxA,

性變換坐標(biāo)x公式①可以表示為：，卜(a』，則稱，是二階矩J陣(ab,}與向量(x}

⑺"d)\y)uJI。d)⑺

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的乘積，設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，慶，萬是平面上的任意兩個(gè)向量，求證：A(m+n)=Am-^An.

3.已知集合力={123「..,〃},其中4,4,…，4都是A的子集且互不相同，記M=4

的元素個(gè)數(shù)，%=(4c%)的元素個(gè)數(shù)(幻e{1,2,…，〃小i<力.

⑴若〃=4,4={1,2},4={1,3}，心=心=1,直接寫出所有滿足條件的集合4;

⑵若〃=5,且對(duì)任意都有為>(),求機(jī)的最大值；

(3)若〃>7M43("1,2,…，機(jī))且對(duì)任意都有％=1,求m的最大值.

4.對(duì)于函數(shù)y=/(x),xsl,若存在/J,使得/(%)=%,則稱％為函數(shù)/*)的一階不

動(dòng)點(diǎn)；若存在使得/(/(%))=.%,則稱。為函數(shù)/(')的二階不動(dòng)點(diǎn)；依此類推，可

以定義函數(shù)/*)的〃階不動(dòng)點(diǎn),其中一階不動(dòng)點(diǎn)簡(jiǎn)稱為“不動(dòng)點(diǎn)”，二階不動(dòng)點(diǎn)簡(jiǎn)稱為“穩(wěn)定

點(diǎn)"，函數(shù)"X)的壞動(dòng)點(diǎn)”和,?穩(wěn)定點(diǎn)”構(gòu)成的集合分別記為A和8,即力=付/(戈)=巾

5={x|7W))=x}.

⑴若/(x)=/(x>0)，證明：集合力={N/(x)=x}中有且僅有一個(gè)元素；

⑵若/(x)=(a+l)x」+駕討論集合8的子集的個(gè)數(shù).

xe

5.我們知道，二維空間(平面)向量可用二元有序數(shù)組(q,%)表示；三維空間向盤可用三

元有序數(shù)組(4,%,%)表示.一般地，〃維空間向量用〃元有序數(shù)組(％,%，…，％)表示，其中

即(k=1.2稱為空間向量的第〃個(gè)分量，*為這個(gè)分量的下標(biāo).對(duì)于〃(〃23)維空間向

量3M2,…M”),定義集合力(〃?)={川4=〃?,太=1,2,….記力(，〃)的元素的個(gè)數(shù)為

(約定空集的元素個(gè)數(shù)為0).

(1)若空間向量師生，。3M4M5，。6，。7,4)=(6,3,2,5,3,7,5,5],求力⑸及何⑸|；

—/、111

(2)對(duì)于空間向量(〃—).若砌+閑+…+匹/〃,求證：乜小{1,2r,〃},

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若j工九則qwQ,；

(3)若空間向量(q,。2M3,…，%)的坐標(biāo)滿足4(4-2+4T)="｝，Q=。2=1,當(dāng)〃23時(shí)，求證:

，+嬉+…+/>2/_[%.

6.帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正

整數(shù)〃?，〃，函數(shù)〃x)在x=0處的上小〃]階帕德近似定義為：…

1+P1X+…

且滿足：/(0)=/?(0),，⑼=*(0),/"(0)=*(0),……，尸)(O)=RE(O),注：

/”(x)=C，〃(x)=[/"(x)]',/⑷3=[廣(川，/⑸(戈)=[/丑)]’,……

已知函數(shù)〃x)=ln(x+l).

⑴求函數(shù)/(x)=ln(x+l)在x=0處的[1』階帕德近似K(x),并求lnl.1的近似數(shù)(精確到

0.001)；

(2)在(1)的條件下：

①求證：77*<1；

ln(x+1)

②若5+1R(x)?l-cosx恒成立，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

IZ/

7.已知集合S"=｛x|x=(x"2,…占)丙w｛0,1｝/=1,2,…,〃)(?>2),對(duì)于力=(6,外,…,％),

4=佃也,…也)eS”，定義A與6之間的距離為"4團(tuán)二七|《W|.

/=1

⑴已知力=(11,1,。)€邑，寫出所有的8eS“使得448)=1；

⑵已知/=(11,…,1)￡S“，若48eS”，并且4(/,彳)=4(/、4)=〃￡〃，求或48)的最大值;

(3)設(shè)集合?？诜?，/>中有個(gè)元素，若尸中任意兩個(gè)元素間的距離的最小值為/,求

證："?工2"-川.

8.(。,與表示正整數(shù)%6的最大公約數(shù)，若｛演,々,…，毛｝口｛1,2,…,〃"伏刈€N'),且

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Vxe"],.,…(x,m)=l,則將々的最大值記為8(加)，例如：9⑴=1,*(5)=4.

⑴求8(2),奴3),e(6)；

(2)已知(加,〃)=1時(shí),9(mw)=(P(in)9(〃).

(i)求0(6")；

(ii)設(shè)2=3儀；)一1，數(shù)列⑻的前〃項(xiàng)和為如證明：春

9.有窮數(shù)列生，…，4。?>2)中，令5(〃國(guó))=%,+。0+|+—+。/14〃4夕44〃，4￡1<),

⑴已知數(shù)列-32-1,3,寫出所有的有序數(shù)對(duì)(〃國(guó))，且〃<9,使得S(p,g)>0；

⑵已知整數(shù)列勺m，…為偶數(shù)，若S(?,〃/?=滿足：當(dāng)i為奇數(shù)時(shí)，

5(i>-/+l)>0；當(dāng)i為偶數(shù)時(shí),S億〃-i+l)<0.求㈤+同+…+同的最小值;

⑶已知數(shù)列生，生，…以滿足5(1,〃)〉。，定義集合力={心。+1,〃)>0/=1,2產(chǎn)-1}.若

彳={中2,…,乙}卜￡河)且為非空集合，求證：S(l,〃)>%+%+~+%.

10.對(duì)正整數(shù)〃此3,〃26,設(shè)數(shù)列力：《必，…M，qe{0』}(i=l，2,…,〃).8是〃?行〃列的數(shù)陣,

b”表示8中第i行第7列的數(shù)，4e{0,1}(/=1,2,…刈;八1,2,…川，且B同時(shí)滿足下列三個(gè)

條件：①每行恰有三個(gè)1;②每列至少有一個(gè)1;③任意兩行不相同.記集合

{i|ad+/％+…+。也=?；?/=1,2「?,/?}中元素的個(gè)數(shù)為藤.

「111000、

⑴若4:1」」,0,0,0,8=101100，求K的值；

,0001I1,

⑵若對(duì)任意P，”{1,2，…川(〃<4),8中都恰有〃行滿足第P列和第4列的數(shù)均為1.

①8能否滿足力=3廣？說明理由；

②證明：犬之工(〃2-4〃).

24'/

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11.已知函數(shù)卜=/(外與了=或外有相同的定義域。.若存在常數(shù)4(〃€R),使得對(duì)于任意

的再e。，都存在々C。，滿足/(x.)+g(x2)=a,則稱函數(shù)丁=g(x)是函數(shù)y=f(x)關(guān)于a的

“S函數(shù)”.

⑴若/(x)=lnx,g(x)=e\試判斷函數(shù)J，=g(x)是否是y=/(x)關(guān)于。的“S函數(shù)”，并說明

理由；

(2)若函數(shù)y=/(x)與y=g(x)均存在最大值與最小值，且函數(shù)y=g(x)是y=/*)關(guān)于。的

“S函數(shù)"，歹=/")又是少=g(x)關(guān)于。的“S函數(shù)”，證明：[/a)]min+[ga)]max=。；

(3)已知g(x)=G,其定義域均為[0,4.給定正實(shí)數(shù)/,若存在唯一的明使

得y=gM是y=/(x)關(guān)于。的“s函數(shù)”，求,的所有可能值.

12.在平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)尸(西,必),。(々,必)的“曼哈頓距離”定義為|再-彳2|+|必-必|,

記為IIP0II,如點(diǎn)尸(1,-2),0(-2,-4)的“曼哈頓距離”為5,記為"211=5.

⑴若點(diǎn)尸(。,2),“是滿足||尸。||42的動(dòng)點(diǎn)。的集合，求點(diǎn)集M所占區(qū)域的面積；

⑵若動(dòng)點(diǎn)P在直線y=x-2上，動(dòng)點(diǎn)。在函數(shù))，=<f的圖象上，求IIP0II的最小值；

⑶設(shè)點(diǎn)戶(“力)，動(dòng)點(diǎn)。在函數(shù))，=2/卜?-2,2])的圖象上，||。。||的最大值記為.“(〃/),

求M(a力)的最小值.

13.設(shè)有〃維向量不二岫+%"+…+。也為向量值和5的內(nèi)積,

當(dāng)[譏町=(),稱向量口和B正交.設(shè)S“為全體由T和1構(gòu)成的〃元數(shù)組對(duì)應(yīng)的向量的集合.

⑴若。=:,寫出一個(gè)向量5,使得忖同=0.

4

⑵令〃=｛艮刃艮FGSJ.若meB,證明：加+〃為偶數(shù).

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(3)若〃=4,/'(4)是從S,中選出向量的個(gè)數(shù)的最大值，且選出的向量均滿足［無可=0,猜

測(cè)/(4)的值，并給出一個(gè)實(shí)例.

14.對(duì)于函數(shù)y=/'(x),=XGD2,設(shè)若怎，X2GD,且*±七,

皆有)—,/a)1<小(』)-g(丫2)|1>⑴成立，則稱函數(shù)N=/")與尸或丫)“具有性質(zhì)

⑴判斷函數(shù)/(x)=F,xe［l,2］與g(x)=2x是否"具有性質(zhì)“⑵”，并說明理由；

(2)若函數(shù)八幻=2+.*,)€(?！唬菖c?(幻」“具有性質(zhì)/7(/)”，求f的取值范圍；

X

(3)若函數(shù)/(x)=-V+21nx-3與y=g(x)”具有性質(zhì)〃⑴“，且函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(0,+功上

x~

存在兩個(gè)零點(diǎn)X］,*2，求證x；+x；>2.

15.法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日是19世紀(jì)著名的幾何學(xué)家，他創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動(dòng)了空

間解析幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，奠定了空間微分幾何學(xué)的寬厚基礎(chǔ)，根據(jù)他的研究成果，我們定

義：給定橢圓C：=\(a>h>0),則稱圓心在原點(diǎn)。，半徑是店方的圓為“橢圓C

//b2

的伴隨圓'，已知橢圓5+*=l(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為產(chǎn)(夜,0),其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦

點(diǎn)戶的距離為6.

(1)若點(diǎn)A為橢圓。的''伴隨圓"與x軸正半軸的交點(diǎn)，8,。是橢圓C的兩相異點(diǎn)，且BZ)_Lx

軸，求方.瓦的取值范圍.

⑵在橢圓。的“伴隨圓”上任取一點(diǎn)夕，過點(diǎn)P作直線4,4,使得4,，2與橢圓C都只有一

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個(gè)交點(diǎn)，試判斷4,4是否垂直？并說明理由.

16.我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之(公元429年-500年)計(jì)算出圓周率的精確度記錄在

世界保持了千年之久，德國(guó)數(shù)學(xué)家魯?shù)婪?公元1540年-1610年)用一生精力計(jì)算出了圓

周率的35位小數(shù)，隨著科技的進(jìn)步，一些常數(shù)的精確度不斷被刷新.例如：我們很容易能

利用計(jì)算器得出函數(shù)J("=e'+x(e=2.71828…)的零點(diǎn)飛的近似值，為了實(shí)際應(yīng)用，本題

中取。的值為057.哈三中畢業(yè)生創(chuàng)辦的倉(cāng)儲(chǔ)型物流公司建造了占地面積足夠大的倉(cāng)庫，

內(nèi)部建造了一條智能運(yùn)貨總干線G,其在已經(jīng)建立的直角坐標(biāo)系中的函數(shù)解析式為

g(x)=Infx-2—!-1其在x=2處的切線為心現(xiàn)計(jì)劃再建一條總干線

<xo)

C2:y=c^,其中，〃為待定的常數(shù).

注明：本題中計(jì)算的最終結(jié)果均用數(shù)字表示.

(1)求出4的直線方程，并且證明：在直角坐標(biāo)系中，智能運(yùn)貨總干線G上的點(diǎn)不在直線4的

上方；

(2)在直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線g),計(jì)劃將倉(cāng)庫中直線4與4之間的部分設(shè)為隔

離區(qū)，兩條運(yùn)貨總干線G、分別在各自的區(qū)域內(nèi)，即曲線上的點(diǎn)不能越過直線4,求

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

17.卡特蘭數(shù)是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)常在各種計(jì)數(shù)問題中出現(xiàn)的數(shù)列.以比利時(shí)的數(shù)學(xué)家歐仁查

理卡特蘭(1814-1894)命名.歷史上，清代數(shù)學(xué)家明安圖(1692年-1763年)在其《割圜

密率捷法》最早用到“卡特蘭數(shù)”，遠(yuǎn)遠(yuǎn)早于卡塔蘭.有中國(guó)學(xué)者建議將此數(shù)命名為,'明安圖

數(shù)''或"明安圖?卡特蘭數(shù)卡特蘭數(shù)是符合以下公式的一個(gè)數(shù)列：

。”=。0%」+%%-2+~+。小即且檢=1.如果能把公式化成上面這種形式的數(shù)，就是卡特蘭

數(shù).卡特蘭數(shù)是一個(gè)十分常見的數(shù)學(xué)規(guī)律，于是我們常常用各種例子來理解卡特蘭數(shù).比如：

在一個(gè)無窮網(wǎng)格上，你最開始在(0,0)上，你每個(gè)單位時(shí)間可以向上走一格，或者向右走一

格，在任意一個(gè)時(shí)刻，你往右走的次數(shù)都不能少于往上走的次數(shù)，問走到(〃,〃)，03?有多

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少種不同的合法路徑.記合法路徑的總數(shù)為a

（1）證明”是卡特蘭數(shù);

（2）求”的通項(xiàng)公式.

18.“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng).某些折

紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）

步驟1：設(shè)圓心是E,在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為產(chǎn)；

步驟2：把紙片折疊，使圖周正好通過點(diǎn)八

步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；

步驟4：不停重復(fù)步驟2和3,就能得到越來越多的折痕.

已知這些折痕所圍成的圖形是一個(gè)橢圓.若取半徑為4的圓形紙片，設(shè)定點(diǎn)尸到圓心E的

距離為2百，按上述方法折紙.

⑴以點(diǎn)巴E所在的直線為x軸，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求折痕圍成的桶圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)橢圓C的下頂點(diǎn)為小過點(diǎn)。作兩條互相垂直的直線乙，4,這兩條直線與橢圓C的

另一個(gè)交點(diǎn)分別為必，N,設(shè)4的斜率為左依工。），△OMN的面積為工當(dāng)面＞7時(shí)，求左

的取值范圍.

19.五一小長(zhǎng)假到來，多地迎來旅游高峰期，各大旅游景點(diǎn)都推出了種種新奇活動(dòng)以吸引游

客，小明去成都某熊貓基地游玩時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)趣味游戲，游戲規(guī)則為：在一個(gè)足夠長(zhǎng)的直

線軌道的中心處有一個(gè)會(huì)走路的機(jī)器人，游客可以設(shè)定機(jī)器人總共行走的步數(shù)，機(jī)器人每一

步會(huì)隨機(jī)選擇向前行走或句后行走，且每一步的距離均相等，若機(jī)器人走完這些步數(shù)后，恰

好回到初始位置，則視為勝利.

（1）若小明設(shè)定機(jī)器人一共行走4步,記機(jī)器人的最終位置與初始位置的距離為X步，求X的

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分布列和期望；

⑵記P/YN'）為設(shè)定機(jī)器人一共行走萬步時(shí)游戲勝利的概率，求并判斷當(dāng)i為何值時(shí),

游戲勝利的概率最大；

（3）該基地臨時(shí)修改了游戲規(guī)則，要求機(jī)器人走完設(shè)定的步數(shù)后，恰好第一次回到初始位置,

才視為勝利.小明發(fā)現(xiàn)，利用現(xiàn)有的知識(shí)無法推斷設(shè)定多少步時(shí)獲得勝利的概率最大，于是

求助正在讀入學(xué)的哥哥，哥哥告訴他，“卡特蘭數(shù)”可以幫助他解決上面的疑惑：將〃個(gè)0和

〃個(gè)I排成一排，若對(duì)任意的在前女個(gè)數(shù)中，（）的個(gè)數(shù)都不少于1的個(gè)數(shù)，則滿

足條件的排列方式共有C1-C祟種，其中，C”-C祟的結(jié)果被稱為卡特蘭數(shù).若記，為設(shè)定

機(jī)器人行走2i步時(shí)恰好第一次回到初始位置的概率，證明：對(duì)（2）中的化，有

20.黎曼猜想是解析數(shù)論里的一個(gè)重要猜想，它被很多數(shù)學(xué)家視為是最重要的數(shù)學(xué)猜想之

--它與函數(shù)/（工）=三（x>0,s>l,s為常數(shù)）密切相關(guān)，請(qǐng)解決下列問題.

（1）當(dāng)1csM2時(shí)，討論/（X）的單調(diào)性；

⑵當(dāng)s>2時(shí)；

①證明/'（X）有唯一極值點(diǎn)；

②記/（x）的唯一極值點(diǎn)為g（s）,討論巨（s）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.

21.在信息論中，炳（entropy）是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息煽

、信源煽、平均自信息量.這里，“消息”代表來自分布或數(shù)據(jù)流中的事件、樣本或特征.（烯最好

理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因?yàn)樵诫S機(jī)的信源的炳越大）來自信源的另一

個(gè)特征是樣本的概率分布這里的想法是，比較不可能發(fā)生的事情，當(dāng)它發(fā)生了，會(huì)提供更

多的信息.由于一些其他的原因，把信息（燧）定義為概率分布的對(duì)數(shù)的相反數(shù)是有道理的.

事件的概率分布和每個(gè)事件的信息量構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)變量，這個(gè)隨機(jī)變量的均值（即期望）

就是這個(gè)分布產(chǎn)生的信息量的平均值（即埔）.端的單位通常為比特，但也用Sh、nat、Hart

計(jì)量，取決于定義用到對(duì)數(shù)的底.采用概率分布的對(duì)數(shù)作為信息的量度的原因是其可加性.例

如，投擲一次硬幣提供了iSh的信息，而擲，〃次就為位.更一般地，你需要用位來

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表示一個(gè)可以取〃個(gè)值的變量.在1948年，克勞德?艾爾伍德?香農(nóng)將熱力學(xué)的精，引入到信

息論，因此它又被稱為香農(nóng)滴.而正是信息炳的發(fā)現(xiàn)，使得1871年由英國(guó)物理學(xué)家詹姆斯?

麥克斯韋為了說明違反熱力學(xué)第二定律的可能性而設(shè)想的麥克斯韋妖理論被推翻.設(shè)隨機(jī)變

量4所有取值為1,2,…,，J定義4的信息熔"?=-1/叫心(￡4=1,，=1,2「、〃).

/=1J=!

(1)若〃=2,試探索J的信息烯關(guān)于片的解析式，并求其最大值;

(2)若[=2=白，k=2[*=2,3,???,〃)，求此時(shí)的信息炳.

22.，?費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題.該問題是：“在一個(gè)三

角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與比三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給

出了解答，當(dāng)“8c的三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，使得408=/8OC=NCQ4=120。的點(diǎn)。即

為鑄馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大干或等干120。時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為鑄馬點(diǎn).試用以上知

識(shí)解決下面問題：已知08C的內(nèi)角4氏。所對(duì)的邊分別為db,c,且

cos24+cos2C-cos2/l=1

⑴求A；

⑵若兒=2,設(shè)點(diǎn)。為ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，求蘇.而+萬定+1刀；

(3)設(shè)點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，|PA|+|PC|=/W|,求實(shí)數(shù)/的最小值.

23.給定正整數(shù)〃22,設(shè)集合〃={&。=(/"2,…人)山?04}，4=12i,〃}.對(duì)于集合河中

的任意元素￡=(占,與，…，與)和/=(乂，必，…，”)，記夕?/=王必+々為+L+5兒.設(shè)力q",且

P，i=j，

集合力={%|%=(%$2,…,L),i=l,2,….}對(duì)于A中任意元素6,%,若

覃打，

則稱A具有性質(zhì)“〃,〃).

(I)是否存在集合A具有性質(zhì)7(2,1),若存在，請(qǐng)寫出A的表達(dá)式，若不存在，請(qǐng)說明理由;

⑵判斷集合力={(1,1,0),(1,。1),(0,1,1)}是否具有性質(zhì)7(3.2)?若具苞求的值；若

不具有，請(qǐng)說明理由；

(3)是否存在具有性質(zhì)r(4,p)的集合A?若存在，請(qǐng)找出來；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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24.人類對(duì)地球形狀的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歷程.古人認(rèn)為宇宙是“天圓地方”的，以后人們又

認(rèn)為地球是個(gè)圓球.17世紀(jì)，牛頓等人根據(jù)力學(xué)原理提出地球是扁球的理論，這一理論直到

1739年才為南美和北歐的弧度測(cè)量所證實(shí).其實(shí)，之前中國(guó)就曾進(jìn)行了大規(guī)模的弧度測(cè)量，

發(fā)現(xiàn)緯度越高，每度子午線弧長(zhǎng)越長(zhǎng)的事實(shí)，這同地球兩極略扁，赤道隆起的理論相符.地

球的形狀類似于橢球體，橢球體的表面為橢球面，在空間直角坐標(biāo)系下，橢球面

「5+4+:=1（。>0/>0,（?>（^,這說明橢球完全包含在由平面工=±。/=±/）,2=±°所

a~b~c~

圍成的長(zhǎng)方體內(nèi)，其中4,瓦。按其大小，分別稱為橢球的長(zhǎng)半軸、中半軸和短半軸.某橢球

面與坐標(biāo)面Z=0的截痕是橢圓E:5+/=1.

⑴已知橢圓E+g=l（4%>0）在其上一點(diǎn)。&2。）處的切線方程為華+罌=1.過橢圓

a'b~a

上的左焦點(diǎn)片作直線/與橢圓￡相交于48兩點(diǎn)，過點(diǎn)4〃分別作橢圓的切線，兩切線交于

點(diǎn)求“8M面積的最小值.

（2）我國(guó)南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家祖唯于5世紀(jì)末提出了祖晅原理：“尋勢(shì)既同，則積不容

異”.祖晅原理用現(xiàn)代語言可描述為：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩

個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相

等.當(dāng)6=c時(shí)，橢球面「圍成的橢球是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，類比計(jì)算球的體積的方法，運(yùn)用咀瞄

原理求該橢球的體積.

25.羅爾定理是高等代數(shù)中微積分的三大定理之一，它與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān)，是由法國(guó)

數(shù)學(xué)家米歇爾?羅爾于1691年提出的.它的表達(dá)如下:如具函數(shù)r（M滿足在閉區(qū)間連續(xù),

在開區(qū)間（口」））內(nèi)可導(dǎo)，且"a）=/（b）,那么在區(qū)間（。,力）內(nèi)至少存在一點(diǎn)〃?，使得八利）=0.

⑴運(yùn)用羅爾定理證明：若函數(shù)/⑴在區(qū)間[。肉連續(xù)，在區(qū)間（。泊）上可導(dǎo)，則存在與￡（%力），

使得/'（%）=織二3.

b-a

（2）已知函數(shù)/（幻=xhu,g（x）=-外+1,若對(duì)于區(qū)間。,2）內(nèi)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù),

都有Ifa）-（小）>1g（x）-g（w）成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

（3）證明：當(dāng)p>L〃22時(shí)，有:田一.]?

ir〃一1（〃-1）〃

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26.布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可運(yùn)用到有限維空間并

構(gòu)成了一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石，得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾(L.E.J.Brouwer).簡(jiǎn)單地講

就是:對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)"X),存在實(shí)數(shù)%,使得我們就稱該函數(shù)為

“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，實(shí)數(shù)％為該函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).

⑴求函數(shù)/⑴=2、+x-3的不動(dòng)點(diǎn)；

⑵若函數(shù)g(x)=ln.v-6有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)知占，且玉<々，若.馬一王工2,求實(shí)數(shù)/)的取值范圍.

27.牛頓迭代法是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法比如,

我們可以先猜想某個(gè)方程/(x)=0的其中一個(gè)根「在x=x°的附近，如圖6所示，然后在點(diǎn)

(-%，/(%))處作/(戈)的切線，切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是王，用士代替。重復(fù)上面的過

程得到巧；一直繼續(xù)下去，得到怎，芍，…，血.從圖形上我們可以看到玉較?。接近人

工較須接近廣，等等.顯然，它們會(huì)越來越逼近二于是，求，?近似解的過程轉(zhuǎn)化為求七，若設(shè)

精度為。，則把首次滿足卜“-ZT|<￡的毛稱為廠的近似解.

⑴試用牛頓迭代法求方程/(力=0滿足精度￡=0.5的近似解(取且結(jié)果保留小數(shù)

點(diǎn)后第二位)；

(2)若/(x)+3/+6x+5+〃c'?0對(duì)任意、eR都成立，求整數(shù)。的最大值.(計(jì)算參考數(shù)值：

135ls

門2.72,e?3.86,e?4.48,1.3532s2.46,1.35221.82)

28.對(duì)數(shù)列｛“〃｝,規(guī)定｛△〃〃｝為數(shù)列｛〃〃｝的一階差分?jǐn)?shù)列，其中-4〃(〃匕『)，

規(guī)定為｛〃/”的二階差分?jǐn)?shù)列，其中△為川=△0〃+/-△wiGW).

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(1)數(shù)列｛的｝的通項(xiàng)公式外=〃2試判斷｛△〃〃｝,｛△?刖｝是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說

明理由？

(2)數(shù)列｛加｝是公比為g的正項(xiàng)等比數(shù)列，且忙2,對(duì)于任意的〃都存在〃PM,使

得求g所有可能的取值構(gòu)成的集合；

(3)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛<?〃｝的前〃項(xiàng)和為S”,且△2”?=0,對(duì)滿足小+“=2%,膽切的任

意正整數(shù)〃?、〃、k,都有?！ㄈ纭ǎ┎坏仁胶愠闪?，求實(shí)數(shù)/的最人值.

29.定義：如果函數(shù)y=/(x)和y=g(x)的圖像上分別存在點(diǎn)〃和N關(guān)于X軸對(duì)稱，則稱

函數(shù)y=/'(x)和)，=g(x)具有c關(guān)系.

2

(1)判斷函數(shù)f(x)=log2(8x)和g(x)=log：是否具有c關(guān)系；

⑵若函數(shù)/(x)=ag和g(x)=-x-l不具有C關(guān)系，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若函數(shù)/(力=疣、和g(x)=msinx(mvO)在區(qū)間(0,%)上具有C關(guān)系,求實(shí)數(shù)〃，的取值范

圍.

30.已知整數(shù)嘰〃之3,集合*“=｛(%62,…,z)l.”｛0』｝,i=l,2「?,〃｝,對(duì)于王中的任意兩

個(gè)元素力=(%,%一?,《)〃=佃也,…也)，定義力與4之間的距離為446)=5>,也|.若

/-I

4,4，一，4￡匕且4(4,4)=1(4,4)=?一=44』，4),則稱是4,4「?，4?是￥,,中的一

個(gè)等距序列.

⑴若4=(i,o,o,o),4=5i,o,o),4=(01,1,0),4=(o,i,Li：,判斷4,4,4,4是否是七中的

一個(gè)等距序列？

(2)設(shè)4B,c是工中的等距序列，求證：〃(4。)為偶數(shù)；

⑶設(shè)4,4,…,4是4中的等距序列，且4=辿曰，4="0廠,0),d(/4)=5.求

6個(gè)I6個(gè)0

m的最小值.

31.帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)

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正整數(shù)〃〃，函數(shù)/⑴在>0處的［，，，川階帕德近似定義為：R“湍：妥，

且滿足：/(0)=7?(0),r(0)=R'(0),/"(0)=/?"(0>??，/小)(0)=心叫0).已知

f(x)=ln(x+1)在x=0處的［1,1］階帕德近似為R(x)=—.注：

1+Ar

,ru)=［/r(x)］;.r(x)=(4u)=，(幻］,/%)=『心)］：…

⑴求實(shí)數(shù)。，b的值;

(2)求證：(x+6)/^j>l：

I

/1X-t/［\x+-

(3)求不等式i+l<e<|l+l2的解集，其中c=2.71828….

IX)\X)

32.若數(shù)列｛〃“｝滿足：a”G｛O,l｝,〃€N,且q=l,則稱｛%｝為一個(gè)X數(shù)列.對(duì)于一個(gè)X數(shù)

列｛%｝,若數(shù)列也｝滿足:4=1,且/*=等&〃cN\則稱也｝為｛q｝的伴隨數(shù)列.

(1)若X數(shù)列｛%｝中，。=1，。3=0，%=1,寫出其伴隨數(shù)列出｝中4也也的值；

(2)若｛4｝為一個(gè)X數(shù)列，也｝為｛%｝的伴隨數(shù)列

①證明：”｛q｝為常數(shù)歹「是"｛4｝為等比數(shù)列的充要條件；

②求打。23的最大值.

33.若存在常數(shù)，，使得數(shù)列｛%｝滿足磯-的必…(=，(〃之1,〃cN),則稱數(shù)列｛。〃｝為

，，”(，)數(shù)列，二

(1)判斷數(shù)列：1,2,3,8,49是否為''"(1)數(shù)列”，并說明理由；

(2)若數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為2的“”⑺數(shù)列”,數(shù)列也｝是等比數(shù)列,且｛%｝與也｝滿足

Sa；=w2a3…&+log?b,,求，的值和數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

J-I

⑶若數(shù)列｛%｝是''〃⑺數(shù)列“，S”為數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和，/>1,/>0,試比較In勺與%-1

的大小，并證明e，

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34.設(shè)N=/(x)是定義在R上的函數(shù)，若存在區(qū)間回和與￡(〃力)，使得J，=/(x)在［%%］

上嚴(yán)格減，在［X。向上嚴(yán)格增，則稱歹=/(x)為“含谷函數(shù)”，％為“谷點(diǎn)”，可稱為y=/(x)

的一個(gè)?'含谷區(qū)間”.

(1)判斷下列函數(shù)中，哪些是含谷函數(shù)？若是，請(qǐng)指出谷點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由：

(i)y=2|x|,(ii)y=x+cosx.

(2)已知實(shí)數(shù)加>0,y=V—2x-是含谷函數(shù)，且［2,4］是它的一個(gè)含谷區(qū)間，求機(jī)

的取值范圍；

(3)設(shè)〃均eR,h(x)=-x4+pxy+qx2+(4-3p-2q)x.設(shè)函數(shù)y=〃(x)是含谷函數(shù)，［a,可是

它的一個(gè)含谷區(qū)間，并記的最大值為"〃,<7).若/瑁)4力(2),且刈1)工()，求的

最小值.

35.設(shè)數(shù)陣4=即％,其中。11,q2，。21，。22e{l，2,3,4,5,6}.設(shè)

5={',62，.r,}。{1,2,3,4,5,6},其中q<e2cL<q,/eN'且Jw6.定義變換以為“對(duì)于數(shù)陣

的每一行，若其中有人或M,則將這一行中每個(gè)數(shù)都乘以-1;若其中沒有A且沒有-大，則

這一行中所有數(shù)均保持不變“(￡=4勺，…，，)"(4)表示''將4經(jīng)過窗變換得到4,再將4

經(jīng)過氣變換得到4,…以此類推，最后將4」經(jīng)過能變換得到4.記數(shù)陣4中四個(gè)數(shù)的和為

以4).

(\3、

⑴若4=,N,S={1,3},寫出4經(jīng)過以變換后得到的數(shù)陣4,并求小4)的值；

(36)

(\3、

⑵若4=aS=k，e”q},求［(兒)的所有可能取值的和；

(36)

⑶對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣4,證明：1(4)的所有可能取值的和不超過-4.

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a

\b、c}%、

36.已知4=&,%,%,〃)和數(shù)表4=%bic2di,其中q,〃,q，4wN'(，=0,l,2,3).若

“Acyd”

數(shù)表A滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)表A由4生成.

①任意iw{0,l,2},《+|-q,%*,q+]-q，4+1-4中有三個(gè)一1,一個(gè)3；

②存在Aw{l,2,3},使勺也?蟲中恰有三個(gè)數(shù)相等.

’5666、

⑴判斷數(shù)表力=4559是否由4=(6,7,7,3)生成；(結(jié)論無需證明)

13848)

⑵是否存在數(shù)表A由為=(6,7,7,4)生成？說明理由；

(3)若存在數(shù)表A由4=(7,12,3,4)生成，寫出4所有可能的值.

37.離散對(duì)數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)〃是素?cái)?shù)，集合X={1,2,…,p-1},若

z/,vey,/neN,記〃gi，為〃酎除以P的余數(shù)，為小除以P的余數(shù)；設(shè)QtX,

…,兩兩不同，若。"⑻…,p—2}),則稱〃是以。為底。的離散對(duì)數(shù),

記為〃=iog(P)A

(1)若〃=11,4=2,求QP-LA；

⑵對(duì)叫孫W{°，1，…,P-2},記見十為叫+叫除以P-1的余數(shù)(當(dāng)叫+加2能被P—1整除

時(shí)，叫十%=0).證明：log(p)u(Z)0c)=log(p)ab?log(p)ac,其中6,ceX；

(3)已知〃=log(p)?.對(duì)xwX,Ae{l,2,…,p-2},令必=/◎,%=工③心?.證明：

x=必?V?.

38.若有窮數(shù)列力：卬,。2,…,q(〃>4)滿足：q.+a“+j=c(cwRj=1,2,…,〃)，則稱此數(shù)列具

有性質(zhì)E.

⑴若數(shù)列A:-2,外的，2,6具有性質(zhì)E,求a2ta3fc的值；

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⑵設(shè)數(shù)列力具有性質(zhì)玲，且＜…＜明,〃為奇數(shù)，當(dāng)卬勺時(shí)，存在正整

數(shù)3使得叫-4=%,求證：數(shù)列4為等差數(shù)列；

(3)把具有性質(zhì)C,且滿足|七*t+%1=〃？(AeN'kwg,用為常數(shù))的數(shù)列/構(gòu)成的集合記

作[(〃,/〃).求出所有的〃，使得對(duì)任意給定的見C,當(dāng)數(shù)列力￡7；(〃,〃?)時(shí)，數(shù)列力中一定有

相同的兩項(xiàng)，即存在%=。/(博川4，，4〃).

39.給定正整數(shù)NN3,已知項(xiàng)數(shù)為小且無重復(fù)項(xiàng)的數(shù)對(duì)序列A：(內(nèi),必),(七,為),…,(％為)

滿足如下三個(gè)性質(zhì)：①4、c{l,2,…,N},且x尸K(^=l,2,…,〃?)；②的+l=j;(/=l,2,---,w-l)；

③(〃國(guó))與(9，P)不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列A中.

⑴當(dāng)N=3,加=3時(shí),寫出所有滿足石=1的數(shù)對(duì)序列A；

(2)當(dāng)N=6時(shí)，證明：m＜13；

⑶當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，記〃，的最大值為T(N),求7(N).

40.若存在與￡。使得/(x)4/(?％)對(duì)任意xw。恒成立，則稱/為函數(shù)/(》)在。上的最大

值點(diǎn)，記函數(shù)/(x)在。上的所有最大值點(diǎn)所構(gòu)成的集合為M

(l)S/(x)=-x2+2x+l,Z)=R,求集合M；

(2)若f(x)=(2；“、Z)=R,求集合”;

(3)設(shè)”為大于1的常數(shù)，若/(x)=x+〃sinx,O=[0,/)],證明，若集合必中有且僅有兩個(gè)元

素，則所有滿足條件的人從小到大排列構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列.

41.已知。：片,生,…，應(yīng)為有窮正整數(shù)數(shù)列，且可＜%W…〈4,集合X={T0,l}.若存

在七cX1=l,2,…使得占q+X2%+…+須4="則稱，為二-可表數(shù),稱集合

T={/1/=芭丹+工242+.一+占4，芍￡%/=1,2「0%}為左一可表集.

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⑴若k=10,q=2"/=l,2/、3判定31,1024是否為"-可表數(shù),并說明理由;

(2)若｛1,2,…/｝<7,證明：〃4?；

⑶設(shè)q=3'T,j=1,2,…,k,若｛1,2,--,2024｝口7'，求〃的最小值.

42.對(duì)于函數(shù))，=/(丫),丫￡RJ=g(丫),丫二力2及實(shí)數(shù)加，若存在5￡。"小二2，使得

/(x1)+g(x2)=w,則稱函數(shù)/(X)與g(x)具有R關(guān)聯(lián)”性質(zhì).

⑴若/(x)=sinx與g(x)=cos2K具有"關(guān)聯(lián)”性質(zhì)，求力的取值范圍；

⑵已知。>0,/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且滿足；

①在。2刈上，當(dāng)且僅當(dāng)“件，/*)取得最大值1；

②對(duì)任意xeR,有f(a+x)+f(a-x)=0.

求證：M=5mh+/(%)與.)，2=85心一/(外不具有“4關(guān)聯(lián)”性.

43.已知數(shù)列4：%%，L,4為有窮正整數(shù)數(shù)列.若數(shù)列4滿足如下兩個(gè)性質(zhì),則稱數(shù)列力為/〃

的左減數(shù)列:

①q+%+…+*=〃？;

②對(duì)于19<jWn,使得《>%的正整數(shù)對(duì)(切)有k個(gè).

(1)寫出所有4的1減數(shù)列；

(2)若存在m的6減數(shù)列，證明：，〃>6；

(3)若存在2024的々減數(shù)列，求左的最大值.

44.懸鏈線的原理運(yùn)用丁懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程.通過適當(dāng)建立坐標(biāo)系,

懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)兇(x)二笥二的圖象，類比三角函數(shù)的三種性質(zhì)：①平方關(guān)系：

①sinh+cosLyl,②和角公式：cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny,③導(dǎo)數(shù)：

(sinx)=cosx,定義雙曲正弦函數(shù)s/?(x)="立

(cosx)=-sinx,

⑴直接寫出M(X),H(x)具有的類似①、②、③的三種性質(zhì)(不需要證明);

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⑵若當(dāng)x〉0時(shí)，M(x)＞，7X恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(3)求/(工)=M(力一(:。5工一產(chǎn)的最小值.

45.在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖

所示的光滑曲線。：J=/(x)上的曲線段薪，其弧長(zhǎng)為演，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從力沿曲線段初運(yùn)動(dòng)

到8點(diǎn)時(shí)，％點(diǎn)的切線乙也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到8點(diǎn)的切線乙，記這兩條切線之間的夾角為A8(它

等于"的傾斜角與。的傾斜角之差).顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就

越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，因此可以定義欠=丁為曲線段々的平

△s

均曲率；顯然當(dāng)8越接近4即As越小，K就越能精確刻畫曲線。在點(diǎn)力處的彎曲程度，

因此定義K=!!飛石=；~/(若極限存在)為曲線C在點(diǎn)力處的曲率.(其中

i+y2)2

分別表示y=/(x)在點(diǎn)力處的一階、二階導(dǎo)數(shù))

(I)求單位圓上圓心角為60。的圓弧的平均曲率;

(2)求橢圓工+『=1在處的曲率;

4

(3)定義*3=芋4為曲線)，=/(')的''柯西曲率”.已知在曲線/(x)=x-x上存在

(i+y)

兩點(diǎn)P(X，/(xJ)和。伍,/伍))，且RQ處的“柯西曲率”相同，求在+區(qū)的取值范圍.

46.若無窮數(shù)列｛《,｝的各項(xiàng)均為整數(shù).且對(duì)于ViJeN,都存在A＞九使得

%-%一勺，則稱數(shù)列｛《,｝滿足性質(zhì)P.

(1)判斷下列數(shù)列是否滿足性質(zhì)P,并說明理由.

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①〃”=〃，，？=1,2,3,…；

②"=〃+2,77=1,2,3,....

(2)若數(shù)列｛叫滿足性質(zhì)P,且％=1,求證：集合卜cN1%=3｝為無限集;

(3)若周期數(shù)列｛4｝滿足性質(zhì)P,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

47.如果函數(shù)〃(x)的導(dǎo)數(shù)9")=/(工)，可記為尸(x)=J/(x)dx.若/。)之0,則

￡/(x)tZr=F(b)-F(a)表示曲線y=f(x),直線x=a,x=6以及x軸圍成的“曲邊梯形”的

面積.

⑴若/(x)=Rdx,且/1)=1,求**);

JX

TTpa

(2)已知0<a<5，證明：acoscc<￡cosxc/x<a,并解釋其幾何意義;

(3)證明：:費(fèi)I+cos,+J+cosg+7-nn2五.

1+cos——<----,WGN.

n7t

48.給出下列兩個(gè)定義：

I.對(duì)于函數(shù)y=/(x),定義域?yàn)?。，且其在。上是可?dǎo)的，若其導(dǎo)函數(shù)定義域也為。，則稱

該函數(shù)是“同定義函數(shù)”.

II.對(duì)于一個(gè)“同定義函數(shù),了二/(主)，若有以下性質(zhì)：

①ra)=g(/(x))；②/(x)=M/'(x))，其中產(chǎn)g(Oj'二〃(x)為兩個(gè)新的函數(shù)，y二/(x)

是y=/(x)的導(dǎo)函數(shù).

我們將具有其中一個(gè)性質(zhì)的函數(shù)歹二/(x)稱之為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，將兩個(gè)性質(zhì)都具有的函數(shù)

y=/(x)稱之為''雙向?qū)Ш瘮?shù)"，將y=g(x)稱之為“自導(dǎo)函數(shù)

⑴判斷函數(shù)y=tanx和y=lnx是“單向?qū)Ш瘮?shù)”，或者“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，說明理由.如果具有性質(zhì)

①，則寫出其對(duì)應(yīng)的“自導(dǎo)函數(shù)”；

(2)已知命題P：y=/(x)是“雙向?qū)Ш瘮?shù)”且其“自導(dǎo)函數(shù)”為常值函數(shù)，命題

q:/(x)=ka\keR,a>0,，/1).判斷命題P是^的什么條件，證明你的結(jié)論；

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⑶已知函數(shù)/(》)=(/

①若/(X)的“自導(dǎo)函數(shù)”是y=X,試求。的取值范圍;

②若a=/，=l,且定義/(x)=e'/(x)-g&+弱，若對(duì)任意吐口,2卜巨0,打，不等式/(x)4c

恒成立，求c的取值范圍.

49.多元導(dǎo)數(shù)在微積分學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)V是由(Jb,J..等多個(gè)自變量唯一確定的因

變量，則當(dāng)。變化為。+曲時(shí)，N變化為y+Ar,記lim8為V對(duì)。的導(dǎo)數(shù)，其符號(hào)為半.

和一般導(dǎo)數(shù)一樣，若在(4,%)上，已知案＞0,則J'隨著。的增大而增大；反之，已知崇＜0,

則y隨著。的增大而減小侈元導(dǎo)數(shù)除滿足一般分式的運(yùn)算性質(zhì)外，還具有下列性質(zhì)：①可加

性：".+為)=半+%;②乘法法則：啦兇=月皿+,5；③除法法則：

dudadudadada

(月港-Yf)；④復(fù)合法則：誓乎記y=e'+L21nx-J——ex-a.

2

d"y2

(e=2.7182818…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，

(1)寫出，和J的表達(dá)式；

axda

(2)已知方程P=0有兩實(shí)根外,七，七〈當(dāng).

①求出。的取值范圍；

②證明**M)＞0,并寫出內(nèi)+9隨。的變化趨勢(shì).

da

50.對(duì)于