此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場號(hào)座位號(hào)此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場號(hào)座位號(hào)數(shù)學(xué)（二）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在處取得極小值【答案】C【解析】函數(shù)在上，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A正確；根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)圖象，函數(shù)在時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B正確；由A的分析可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，故D正確，故選C．2．的二項(xiàng)展開式中第4項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B． C．40 D．80【答案】B【解析】的二項(xiàng)展開式中第4項(xiàng)為，所以所求系數(shù)為，故選B．3．已知，則等于（）A．6 B．13 C．6或13 D．12【答案】A【解析】由題意得，化簡可得，解得或6，因?yàn)?，所以且，故，故選A．4．已知甲、乙、丙、丁4名志愿者參加2022年冬奧會(huì)的3個(gè)項(xiàng)目的培訓(xùn)，每名志愿者只能參加1個(gè)項(xiàng)目的培訓(xùn)，則甲、乙參加同1個(gè)項(xiàng)目培訓(xùn)的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁4名志愿者參加2022年冬奧會(huì)的3個(gè)項(xiàng)目的培訓(xùn)，有種安排方法；而甲、乙參加同一個(gè)項(xiàng)目培訓(xùn)，有種安排方法，所以甲、乙參加同1個(gè)項(xiàng)目培訓(xùn)的概率，故選B．5．若某市高三某次數(shù)學(xué)測試的成績X（單位：分）服從正態(tài)分布N（96，16），則從該市任選1名高三學(xué)生，其這次數(shù)學(xué)測試的成績在100~108分內(nèi)的概率約為（）參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．A．0．1573 B．0．34135 C．0．49865 D．0．1359【答案】A【解析】因?yàn)閿?shù)學(xué)測試的成績X（單位：分）服從正態(tài)分布N（96，16），所以，因?yàn)椋?，所以，所以，故選A．6．隨機(jī)變量ξ的分布列如下表：ξ1a9Pbb其中，，則下列說法正確的是（）A．若，則當(dāng)時(shí)，隨b的增大而增大B．若，則當(dāng)時(shí)，隨b的增大而減小C．若，則當(dāng)時(shí)，有最小值D．若，則當(dāng)時(shí)，有最大值【答案】C【解析】若，則，故A，B均錯(cuò)誤；若，則，，其對(duì)稱軸為，則時(shí)，有最小值，即C正確，D錯(cuò)誤，故選C．7．盒中放有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)是新的，第一次比賽時(shí)從中任取3個(gè)來使用，比賽后仍放回盒中．第二次比賽時(shí)再從中任取3個(gè)球，則第二次取出的球都是新球的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令表示第一次任取3個(gè)球使用時(shí)，取出i個(gè)新球，B表示“第二次任取的3個(gè)球都是新球”，則有，，，，根據(jù)全概率公式，第二次取到的球都是新球的概率為，故選A．8．若兩曲線與存在公切線，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)公切線與曲線和的交點(diǎn)分別為，，其中，對(duì)于，有，則上的切線方程為，即，對(duì)于有，則上的切線方程為，即，所以，有，即，令，，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，故，即，故選B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是，則下列說法正確的有（）A．展開式共有7項(xiàng) B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)C．所有二項(xiàng)式系數(shù)和為128 D．展開式的有理項(xiàng)共有4項(xiàng)【答案】CD【解析】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是，所以令可得．A：因?yàn)?，所以展開式共有項(xiàng)，因此本選項(xiàng)說法不正確；B：因?yàn)?，所以二?xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)和第項(xiàng)，因此本選項(xiàng)說法不正確；C：因?yàn)?，所以所有二?xiàng)式系數(shù)和為，所以本選項(xiàng)說法正確；D：由B可知：，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)是有理項(xiàng)，故本選項(xiàng)說法正確，故選CD．10．已知，，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】令，，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，，又，所以，所以，故選AD．11．2021年5月20日，第五屆世界智能大會(huì)在天津召開，小趙、小李、小羅、小王、小劉為五名志愿者，現(xiàn)有翻譯、安保、禮儀、服務(wù)四項(xiàng)不同的工作可供安排，則下列說法正確的有（）A．若禮儀工作必須安排兩人，其余工作各安排一人，則有60種不同的方案B．若每項(xiàng)工作至少安排一人，則有120種不同的方案C．安排五人排成一排拍照，若小趙、小李相鄰，則有42種不同的站法D．已知五人身高各不相同，若安排五人拍照，前排兩人，后排三人，后排要求身高最高的站中間，則有40種不同的站法【答案】AD【解析】若禮儀工作必須安排兩人，其余工作各安排一人，則先從五人中任選兩人安排在禮儀崗位，剩余三人在其余三個(gè)崗位上全排列即可，故不同的方案有（種），A正確；若每項(xiàng)工作至少安排一人，則先將五人按2，1，1，1分成四組，再分配到四個(gè)崗位上，故不同的方案有（種），故B錯(cuò)誤；若小趙、小李相鄰，可把兩人看成一個(gè)整體，與剩下的三人全排列，有種排法，小趙、小李內(nèi)部有種排法，所以共有種不同的站法，C錯(cuò)誤；前排有種站法，后排三人高的站中間有種站法，所以共有種不同的站法，故D正確，故選AD．12．為排查新型冠狀病毒肺炎患者，需要進(jìn)行核酸檢測．現(xiàn)有兩種檢測方式：（1）逐份檢測：（2）混合檢測：將其中k份核酸分別取樣混合在一起檢測，若檢測結(jié)果為陰性，則這k份核酸全為陰性，因而這k份核酸只要檢測一次就夠了，如果檢測結(jié)果為陽性，為了明確這k份核酸樣本究竟哪幾份為陽性，就需要對(duì)這k份核酸再逐份檢測，此時(shí)，這k份核酸的檢測次數(shù)總共為次．假設(shè)在接受檢測的核酸樣本中，每份樣本的檢測結(jié)果是陰性還是陽性都是獨(dú)立的，并且每份樣本是陽性的概率都為，若，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)判斷下列哪些p值能使得混合檢測方式優(yōu)于逐份檢測方式．（參考數(shù)據(jù)：）（）A．0．4 B．0．3 C．0．2 D．0．1【答案】CD【解析】設(shè)混合檢測分式，樣本需要檢測的總次數(shù)可能取值為，，，故的分布列為：111，設(shè)逐份檢測方式，樣本需要檢測的總次數(shù)，則，要使得混合檢測方式優(yōu)于逐份檢測方式，需，即，即，即，又，，，，故選CD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．設(shè)隨機(jī)變量，若，則p的值為________．【答案】或0．5【解析】∵，∴，∴，解得，故答案為．14．若的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為160，則a的值為________．【答案】【解析】的展開式的通項(xiàng)，令，得，所以，解得，故答案為．15．十二生肖是中國特有的文化符號(hào)，有著豐富的內(nèi)涵，它們是成對(duì)出現(xiàn)的，分別為鼠和牛、虎和兔、龍和蛇、馬和羊、猴和雞、狗和豬六對(duì)．現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，按照上面的配對(duì)分成六組．甲、乙、丙三位同學(xué)依次選一組作為禮物，甲同學(xué)喜歡龍和馬，乙同學(xué)喜歡牛、羊和猴，丙同學(xué)喜歡兔、馬、狗．如果甲、乙、丙三位同學(xué)選取的禮物中均包含自己喜歡的生肖，則不同的選法種數(shù)為________．【答案】12【解析】鼠和牛、虎和兔、龍和蛇、馬和羊、猴和雞、狗和豬六對(duì)分別記為，，，，，，則甲喜歡，，乙喜歡，，，丙喜歡，，．若甲選，乙選，則丙有2種選擇，共2種選法；若甲選，乙不選，則乙有2種選擇，丙有3種選擇，共6種選法；若甲選，則乙、丙各有2種選擇，共4種選法，故共有12種不同的選法，故答案為12．16．若函數(shù)）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)和，則a的取值范圍為___________；若，則a的最小值為___________．【答案】，【解析】由得，，則有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即有兩個(gè)不相等的實(shí)根，令，則，∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴，∴；當(dāng)時(shí)，，即，∴，此時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，，∴a的最小值為，故答案為；．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知的展開式中，只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．（1）求n的值；（2）求展開式中含的項(xiàng)．【答案】（1）10；（2）．【解析】（1）∵的展開式中，只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴展開后一共有11項(xiàng)，則，解得．（2）二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，∴展開式中含的項(xiàng)為．18．（12分）用0，1，2，3，…，9十個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)不同的（1）三位數(shù)？（2）無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（3）小于500且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？【答案】（1）900；（2）648；（3）379．【解析】（1）由于0不能在百位，故百位上數(shù)字有9種選法，十位與個(gè)位上的數(shù)字均有10種選法，所以不同的三位數(shù)共有個(gè)．（2）百位上的數(shù)字有9種選法，十位上的數(shù)字有除百位上的數(shù)字以外的9種選法，個(gè)位上的數(shù)字應(yīng)從剩余8個(gè)數(shù)字中選取，所以共有個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．（3）滿足條件的一位自然數(shù)有10個(gè)，兩位自然數(shù)有個(gè)，三位自然數(shù)有個(gè)，由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有個(gè)小于500且無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．19．（12分）“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺(tái)軟件主要設(shè)有“閱讀文章”“視聽學(xué)習(xí)”兩個(gè)學(xué)習(xí)模塊和“每日答題”“每周答題”“專項(xiàng)答題”“挑戰(zhàn)答題”四個(gè)答題模塊，還有“四人賽”“雙人對(duì)戰(zhàn)”兩個(gè)比賽模塊．“四人賽”積分規(guī)則為首局第一名積3分，第二、三名積2分，第四名積1分；第二局第一名積2分，其余名次積1分；每日僅前兩局得分．“雙人對(duì)戰(zhàn)”積分規(guī)則為第一局獲勝積2分，失敗積1分，每日僅第一局得分．某人在一天的學(xué)習(xí)過程中，完成“四人賽”和“雙人對(duì)戰(zhàn)”．已知該人參與“四人賽”獲得每種名次的概率均為，參與“雙人對(duì)戰(zhàn)”獲勝的概率為，且每次答題相互獨(dú)立．（1）求該人在一天的“四人賽”中積4分的概率；（2）設(shè)該人在一天的“四人賽”和“雙人對(duì)戰(zhàn)”中累計(jì)積分為，求的分布列和．【答案】（1）；（2）分布列見解析，．【解析】（1）依題意可知，若該人積分為4分，則在“四人賽”中首局積3分，第二局積1分，或者首局積2分，第二局積2分，所以．（2）由題意知，的可能取值為3，4，5，6，7，，，，，，故的分布列為：34567P所以．20．（12分）某品牌的粉筆整箱出售，每箱共有20盒，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，其中會(huì)有某些盒的粉筆為非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，其余的都為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，并且每箱含有0，1，2盒非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品粉筆的概率分別為0．7，0．2，0．1．為了購買該品牌的粉筆，某校設(shè)計(jì)了一種購買方案：欲買一箱粉筆，隨機(jī)查看該箱的4盒粉筆，如果沒有非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，則購買，否則不購買．設(shè)“買下所查看的一箱粉筆”為事件A，“箱中有i盒非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品”為事件．（1）求，，；（2）隨機(jī)查看該品牌粉筆某一箱中的4盒，設(shè)X為查看的4盒中非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的盒數(shù)，求X的分布列及．【答案】（1），，；（2）分布列見解析，．【解析】（1）由已知得，，．（2）由題意知，X可能的取值為0，1，2，所以，，，所以X的分布列為X012P所以．21．（12分）某市教育局對(duì)該市普通高中學(xué)生進(jìn)行學(xué)業(yè)水平測試，試卷滿分120分．現(xiàn)從全市學(xué)生中隨機(jī)抽查了10名學(xué)生的成績，分別為78，81，84，86，86，87，92，93，96，97．（1）已知10名學(xué)生的平均成績?yōu)?8，計(jì)算其中位數(shù)和方差；（2）已知全市學(xué)生學(xué)習(xí)成績分布服從正態(tài)分布，某校實(shí)驗(yàn)班學(xué)生30人．①依據(jù)（1）的結(jié)果，試估計(jì)該班學(xué)業(yè)水平測試成績在的學(xué)生人數(shù)（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）；②為參加學(xué)校舉行的數(shù)學(xué)知識(shí)競賽，該班決定推薦成績在的學(xué)生參加預(yù)選賽，若每個(gè)學(xué)生通過預(yù)選賽的概率為，用隨機(jī)變量X表示通過預(yù)選賽的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（正態(tài)分布參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）中位數(shù)為，方差為；（2）①4；②分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為．【解析】（1）這10個(gè)數(shù)據(jù)依次為78，81，84，86，86，87，92，93，96，97，所以中位數(shù)為，平均數(shù)為，所以方差．（2）①由（1）知：，，，該班學(xué)生成績在