第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)四川省自貢市2025屆高三第二次診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={?1,0,1,2}，B={x||x?1|<2}，則A∩B=(

)A.{?1,0} B.{0,1} C.{?1,0,1} D.{0,1,2}2.設(shè)i為虛數(shù)單位，若z(1+3i)=2i，則|z|=A.1 B.2 C.2 D.3.已知圓錐的母線長(zhǎng)是底面半徑的2倍，則該圓錐的側(cè)面積與表面積的比值為(

)A.13 B.23 C.324.若(2x?1)2025=a0A.?2 B.?1 C.1 D.25.若f(x)=ln(e2x+1)+axA.0 B.?1 C.?2 D.?e6.現(xiàn)有數(shù)字1，2，2，3，3，3，若將這六個(gè)數(shù)字排成一排，則數(shù)字2，2恰好相鄰的概率為(

)A.112 B.14 C.297.已知sinαsinβ=?14，cosA.316 B.18 C.1168.已知a=2.303lnln2.303?(ln2.303)ln2.303，b=elnA.a>c>b B.b>c>a C.b>a>c D.c>b>a二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知向量a=(2,1)，b=(1,x)，則(

)A.當(dāng)a/?/b時(shí)，x=12

B.當(dāng)|a+2b|=5時(shí)，x=1

C.當(dāng)x=1時(shí)，a在b方向上的投影向量為310.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，A.a2?b2=3

B.∠F1BF2=60°

C.當(dāng)△BF11.三角形的布洛卡點(diǎn)是法國(guó)數(shù)學(xué)家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn)，當(dāng)△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿(mǎn)足條件：∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ時(shí)，則稱(chēng)點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn)，角θ為布洛卡角.如圖，在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，記△ABC的面積為S，點(diǎn)P是△ABC的布洛卡點(diǎn)，布洛卡角為θ，則(

)

A.當(dāng)AB=AC時(shí)，PB2=PA?PC

B.當(dāng)AB=AC且PC=2PB時(shí)，cosθ=255

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1,σ2)，且P(1<X≤2.5)=0.46，則P(X>2.5)=

13.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，14.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a2+b2+c2=1，四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2(1)求{an}，(2)設(shè)cn=an,(n=2k?1)bn,(n=2k)(k∈N16.(本小題12分)某社區(qū)為推行普法宣傳，舉辦社區(qū)“普法”知識(shí)競(jìng)賽.有A，B兩類(lèi)問(wèn)題.每位參加比賽的選手先在兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從該類(lèi)問(wèn)題中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該選手比賽結(jié)束;若回答正確則繼續(xù)從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該選手比賽結(jié)束.A類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得40分，否則得0分;?B類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得60分，否則得0分.設(shè)選手李華能正確回答A類(lèi)問(wèn)題的概率為p(0<p<1)，能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為p2(1)當(dāng)p=45時(shí)，求李華先回答A類(lèi)問(wèn)題累計(jì)得分為(2)若李華先回答A類(lèi)問(wèn)題累計(jì)得分的期望大于先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題累計(jì)得分的期望，求p的取值范圍．17.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=ex(1)若f(x)存在極小值，且極小值為?1，求a;(2)若f(x)≥g(x)，求a的取值范圍．18.(本小題12分)

如圖，在平面四邊形ABCD中，△ABC是等邊三角形，△ADC是等腰三角形，且∠ADC=90°，現(xiàn)將△ACD沿AC翻折至△PAC，形成三棱錐P?ABC，其中P為動(dòng)點(diǎn)．

(1)若AB=BP，求證：平面APC⊥平面ABC;(2)若∠PAB=45°，記△ABC的重心為G，若AG=GE，求PE(3)求平面ABC與平面PBC夾角正切的最大值．19.(本小題12分)已知拋物線E:y2=2px(p>0)，過(guò)點(diǎn)G(?1,0)作E的切線，切點(diǎn)分別為P，Q(1)求E的方程;(2)設(shè)A，B為E上兩點(diǎn)，C為線段AB的中點(diǎn)(C不在x軸上)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OC交E于點(diǎn)D，直線DA與直線OB交于點(diǎn)M，直線AO與直線DB交于點(diǎn)N．(ⅰ)設(shè)AB=2，求|OA+(ⅱ)求證：AB//MN．

參考答案1.D

2.A

3.B

4.D

5.B

6.D

7.D

8.C

9.AC

10.ACD

11.ABC

12.0.04

13.214.5915.解：(1)當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1=n2+n2?(n?1)2+(n?1)2=n，

又n=1時(shí)，a1=S1=1，符合an=n，故an=n16.解：(1)設(shè)“答對(duì)A類(lèi)問(wèn)題”為事件M，“答對(duì)B類(lèi)問(wèn)題”為事件N，

當(dāng)p=45時(shí)，能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為452+15=25+15=35，

因?yàn)镸，N這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立事件，

根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式P(MN)=P(M)P(N)=45×35=1225;

(2)設(shè)先回答A類(lèi)問(wèn)題累計(jì)得分為X，X的取值為0，40，100，

P(X=0)=1?p;P(X=40)=p(1?(p2+15))=p(45?p2);P(X=100)=p(p2+15)，

可得E(X)=0×(1?p)+40×p(17.解：(1)求導(dǎo)數(shù)，f′(x)=ex?a=0，則x=lna，

因?yàn)閒(x)存在極小值，且極小值為?1，

所以f(lna)=elna?alna?1=?1，所以a=e，

經(jīng)檢驗(yàn)，a=e符合題意；

(2)由f(x)≥g(x)可得ex?ax?1≥xlnx，

因?yàn)閤>0(lnx中x的定義域?yàn)閤>0)，移項(xiàng)可得a?ex?xln?x?1x在(0,+∞)上恒成立．

設(shè)?(x)=ex?xlnx?1x(x>0)，則a??(x)min，

求導(dǎo)?′(x)=ex(x?1)+1?xx2=(x?1)(ex?1)x2，

令?′(x)=0，即(x?1)(ex?1)x2=0，

因?yàn)閤2>0，ex?1>0(x>018.解：不妨設(shè)AB=2，由題意可知AC=BC=2，

又△ADC是等腰直角三角形，則△APC也是等腰直角三角形，

則AP=PC=2，

(1)取AC的中點(diǎn)為O，連接PO，OB，則OB=3，OP=1，

因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，△APC是等腰直角三角形

所以PO⊥AC，OB⊥AC，

若AB=BP=2，則有OB2+OP2=PB2，則PO⊥OB，

又PO⊥AC，AC∩OB=O，AC，OB?面ABC，

所以PO⊥面ABC，又PO?面APC，所以平面APC⊥平面ABC;

(2)若∠PAB=45°，

由余弦定理可得BP=2+4?2×2×2×22=2，

又AP=PC=2，所以三棱錐P?ABC為正三棱錐，

又G為△ABC的重心，則PG為三棱錐的高，即PG⊥面ABC，

以G為原點(diǎn)，分別以GE，GP所在直線為y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)锳G=GE，則G為AE的中點(diǎn)，AG=2×32×23=233,PG=2?2332=63

所以P(0,0,63)，E(0,233,0)，A(0,?233,0)，B(1,33,0)，

PE=(0,233,?63)，PA=(0,?233,?63)，AB=(1,3,0)，

設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)

則n·PA=0n·AB=0，即?233y?63z=0x+3y=0,

則平面PAB的一個(gè)法向量為n=(3,?1,2)，

設(shè)PE與平面PAB所成角為α，

則sinα=PE·nPE·n=4332·6=23，

所以PE與平面PAB所成角的正弦值為23;

(3)取O為AC的中點(diǎn)，則PO⊥AC，OB⊥AC，

PO∩OB=O，19.解：(1)設(shè)過(guò)點(diǎn)G的直線l：ky?1=x，

則ky?1=xy2=2px?y2?2pky+2p=0,

因?yàn)橹本€l與E相切，所以yP2=2p，

由對(duì)稱(chēng)性可知|yP|=|yQ|=2p，

所以|PQ|=22p=2?p=12，

所以E的方程為y2=x．

(2)?①設(shè)AB：ty+m=x(t≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立ty+m=xy2=x，